chuong03

Bài giảngPHƯƠNG PHÁP SỐ

Chương 3:

PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

1. Đặt vấn đề Trong thực tế, để giải được bài toán nhiều khi cần phải tính

định mức của ma trận, giải hệ phương trình tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo,…

Giả sử cần giải hệ phương trình tuyến tính:

AX = B

nn n21n

2n2221

1n1211

a ...a a

...

a ... a a

a ... a a

A

nb

...

b

b

B 2

1

nx

...

x

x

X 2

1

Đặt vấn đề (tiếp theo) Nếu det(A)0 thì hệ có nghiệm duy nhất Phương pháp giải thuộc 2 hai nhóm:

o Trực tiếp (giải đúng): Cramer, Gauss,…o Lặp (gần đúng)

Phương pháp Cramer

)Adet(

)Adet(x i

i

Trong đó:

A: Ma trận các hệ số

Ai: Ma trận có được từ A bằng cách thay cột i bởi B

Đặt vấn đề (tiếp theo)

nn1nin1ni1n

n21i221i221

n11i111i111

i

a...aba...a

.......................

a...aba...a

a...aba...a

A

Thay cột thứ i trong A bởi B để có Ai

Phương pháp CramerVí dụ 3.1: Giải hệ sau bằng phương pháp Cramer:

Giải: Ta có:

123

22

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

101)-3(22)-(1-4)2(-1 21

11.3

12

11.1

12

21.2

123

211

112

)det(

A

101)-(2-2)-2(1-4)3(-1 21

11

12

11.2

12

213

121

212

113

)det( 1

A

302)3(61)-(3-2)(22 22

133

11

13

11

222

113

221

132

)det( 2

A


203)3(26)(-1-4)2(1 21

31.3

12

31

12

21.2

123

211

312

)det( 3

A

110

10

)det(

)det( 11

A

Ax

310

30

)det(

)det( 22

A

Ax

210

20

)det(

)det( 33

A

Ax

Phương pháp CramerVí dụ 3.2: Tìm nghiệm của hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:

6x3x3x

5xxx2

4xxx

321

321

321


6

5

4

B ,

331

112

111

A4

331

112

111

)Adet(

34

12x12

336

115

114

11 0

4

0x0

361

152

141

22

14

4x4

631

512

411

23

Vậy nghiệm của hệ là: x1 =3; x2 = 0; x3 = 1


Nhận xét: Nếu xem như trong quá trình tính toán không có sai số

quy tròn thì phương pháp Cramer là một phương pháp giải đúng.

Việc giải hệ gồm n phương trình bằng phương pháp Cramer cần phải tính n+1 định thức cấp n, mỗi định thức cấp n cần: n!-1 phép cộng, (n-1)n! phép nhân . Khi n lớn số lượng phép tính là rất lớn khó thực hiện được trong thực tế.

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (phương pháp khử) Nội dung của phương pháp: Gồm 2 quá trình:

Quá trình thuận:

Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác trên:

)n(n

)2(2

)1(1

(n))2(

n2

)1(n1

)1(12

)n(

b

...

b

b

B ;

1

......

a....1

a....a1

A

)()( , ki

kij baTrong đó: là phần tử ở hàng i cột j của ma trận A và phần tử

Thứ i của ma trận B sau bước biến đổi thứ k.

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

)n(nn

)2(2n

)2(n22

)1(1n

)1(n12

)1(121

bx

.................

bxa...x

bxa...xax


Quá trình nghịch: Lần lượt tính nghiệm xn, xn-1, … x1 theo cách:

n

kkk

n

ikk

iik

iii

nn

nnn

nn

nnn

xabx

xabx

xabx

bx

2

)1(1

)1(11

1

)()(

)1()1(

)1(11

)(

....

.....

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt) Các bước thực hiện: Để minh họa, ta sử dụng phương pháp Gauss để

giải hệ sau:

123

22

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx


Bước 1: - Giả sử a11 ≠ 0, chia dòng 1 cho a11. (a11 là phần tử trụ). Hệ đã cho tương đượng với:

n

)(

nnnnnn

n

n

)(n

)()(

b

...

b

b

b

x

...

x

x

x

.

a...aaa

...............

a...aaa

a...aaa

a...aa

3

2

11

3

2

1

321

3333231

2232221

11

113

1121

111)1(

111j1)1(

j1 a/bb ,a/aa Với

123

222

3

2

1

2

1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Quá trình thuận

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)- Khử x1 trong phương trình thứ i=2,3,4,…, n bằng cách:

Thay dòng i bởi dòng i – dòng 1 * ai1 . Nghĩa là:

a(1)ij = aij - a(1)

1j *ai1 với j=1,n

và: b(1)i=bi - b(1)

1*ai1

Hệ đã cho tương đương với:

)(n

)(

)(

)(

n)(

nn)(

n)(

n

)(n

)()(

)(n

)()(

)(n

)()(

b

...

b

b

b

x

...

x

x

x

.

a...aa

...............

a...aa

a...aa

a...aa

1

13

12

11

3

2

1

113

12

13

133

132

12

123

122

11

113

112

0

0

0

1

2

11

2

5

2

7

2

1

2

5

2

3

2

3

2

1

2

1

32

32

321

xx

xx

xxx


Bước 2: Giả sử a(1)220, chia dòng 2 cho a(1)

22. Hệ đã cho tương đượng với:

),...,2,1(,/ ,/ )1(22

)1(2

)2(2

)1(22

)1(2

)2(2 njabbaaa jj Với

)(n

)(

)(

)(

n)(

nn)(

n)(

n

)(n

)()(

)(n

)(

)(n

)()(

b

...

b

b

b

x

...

x

x

x

.

a...aa

...............

a...aa

a...a

a...aa

1

13

22

11

3

2

1

113

12

13

133

132

22

223

11

113

112

0

0

10

1

2

11

2

5

2

7

3

1

3

5

2

3

2

1

2

1

32

32

321

xx

xx

xxx

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt)- Khử x2 ở phương trình thứ i=3,4,5,…,n bằng cách:

Dòng i = dòng i – dòng 2 * ai2(1)

Nghĩa là: a(2)ij = a(1)

ij-a(2)2j *ai2 , với j=1,2,…,n

và: b(2)i=b(1)

i - b(2)2*ai2

Hệ đã cho tương đương với:

)(n

)(

)(

)(

n)(

nn)(

n

)(n

)(

)(n

)(

)(n

)()(

b

...

b

b

b

x

...

x

x

x

.

a...a

...............

a...a

a...a

a...aa

2

23

22

11

3

2

1

223

23

233

22

223

11

113

112

00

00

10

1

3

20

3

10-

3

1

3

5

2

3

2

1

2

1

3

32

321

x

xx

xxx


Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đưa được ma trận hệ số về ma trận tam giác trên. Hệ đã cho tương đương với:

)n(n

)(

)(

)(

n

)(n

)(n

)(

)(n

)()(

b

...

b

b

b

x

...

x

x

x

.

...

...............

a...

a...a

a...aa

33

22

11

3

2

1

33

22

223

11

113

112

1000

100

10

1

2 3

1

3

5

2

3

2

1

2

1

3

32

321

x

xx

xxx


Quá trình nghịch:

2 3

1

3

5

2

3

2

1

2

1

3

32

321

x

xx

xxx

Từ phương trình thứ 3, ta có: x3 = 2Từ phương trình thứ 2, ta có: x2 =-1/3+5/3x3 = 3Từ phương trình thứ 1, ta có: x1 =3/2-1/2x2+1/2x3 = 1

Vậy nghiệm của hệ là: x1 = 1; x2 = 3; x3 = 2


Ví dụ 3.3: Giải hệ sau bằng phương phap Gauss

6x3x3x

5xxx2

4xxx

321

321

321

Giải: ???

2) Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss (tt) Bước 1:

o Phần tử trụ a11 # 0, chia dòng 1 cho a11.

o Khử x1 ở các phương trình 2, 3 bằng cách:

Thay dòng i bởi dong i – dòng 1 * a21 (Với i=2,3)

Bước 2: phần tử trụ a(1)22 = -1

2

3-

4

B ,

220

310

111(1))1(A


Chia dòng 2 cho a(1)22=-1 , và khử x2 ở phương trình 3, ta được

4-

3

4

B ,

400

310

111(2))2(A

Bước 3: Chia dòng 3 cho phần tử trụ a(2)33 = -4

1

3

4

B ,

100

310

111(3))3(A


Quá trình ngược:Từ phương trình 3, ta có: x3 = 1

Từ phương trình 2, ta có: x2 = 3 – 3 * x3 = 0

Từ phương trình 1, ta có: x1 = 4 – 1*x3 – 1* x2 = 3

1

33

4

3

32

321

x

xx

xxx

Ta có hệ đã cho tương đương với:

Vậy nghiệm của hệ là: x1=3; x2=0 và x3 = 1

Sơ đồ Gauss Trong trường hợp không sử dụng máy tính để giải, để hạn

chế sai sót, ta có thể lập bảng (sơ đồ Gauss) để ghi lại quá trình tính tóan.

Để đơn giản, ta xét hệ chỉ gồm 3 phương trình, 3 ẩn:

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Lập bảng để tính gồm 5 cột

i ai1 ai2 aỉ3 bi

I

1 a11 a12 a13 b1 a1

2 a21 a22 a23 b2 a2

3 a31 a32 a33 b3 a3

1 a12(1) a12

(1) b2(1) a1

(1)

II

2 0 a22(1) a23

(1) b2(1) a2

(1)

3 0 a32(1) a33

(1) b3(1) a3

(1)

0 1 a23(2) b2

(2) a2(2)

III3 0 0 a33

(2) b3(2) a 3

(2)

0 0 1 b3(3) a 3

(3)

IV

1 x3

1 x2

1 x3

Cách ghi vào sơ đồ Gauss Phần I:

- Ghi các hệ số của A vào các cột ai1, ai2, ai3 và hệ số tự do B vào cột bi.

- Cột ghi tổng các phần tử bên trái cùng dòng.

- Chia dòng 1 cho a11, kết quả ghi vào dòng cuối của phần I (ứng với i=4)

Phần II:- Hệ số của các phương trình thứ 2, 3 sau khi khử x1 được

ghi vào các dòng ứng với i=2, 3.- Chia dòng ứng với i=2 cho a22(1), ghi kết quả vào dòng

cuối của phần II (ứng với i = 4)

Cách ghi vào sơ đồ Gauss (tiếp theo) Phần III:

- Hệ số của phương trình thứ 3 sau khi khử x2 được ghi vào dòng đầu tiên (ứng với i=3)

- Chia dòng 3 cho a33(2), kết quả ghi vào dòng cuối của

phần III (ứng với i=4) Phần IV: Ghi hệ số 1 vào các ô tương ứng với vị trí của x và

tính nghiệm x3, x2, x1.

Chú ý: những phép biến đổi trên các hệ số của A, B như thế nào thì cũng biến đổi như vậy đối với cột tổng nên tổng ai1+ai2+ai3+bi=ai

Nếu có sự khác biệt lớn hơn sai số do quy tròn thì phải xem lại quá trình tính tóan.

(Xem ví dụ trong slide kế)

SƠ đồ GaussVí dụ 3.4: Lập sơ đồ Gauss cho việc giải hệ:

123

22

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

i ai1 ai2 aỉ3 bi

I

1 2 1 -1 3 5

2 1 -1 2 2 4

3 3 -2 1 -1 1

1 1/2 -1/2 3/2 5/2

II

2 0 -3/2 5/2 1/2 3/2

3 0 -7/2 5/2 -11/2 -13/2

0 1 -5/3 -1/3 -1

SƠ đồ Gauss (tt)

III3 0 0 -10/3 -20/3 -10

0 0 1 2 3

IV

1 2 3

1 3

1 1

6x3x3x

5xxx2

4xxx

321

321

321

Ví dụ 3.5: Lập sơ đồ Gauss giải hệ:

i Ai1 ai2 aỉ3 bi

I

1 1 1 1 4 7

2 2 1 -1 5 7

3 1 3 3 6 13

1 1 1 4 7

II

2 0 -1 -3 -3 -7

3 0 2 2 2 6

0 1 3 3 7

III3 0 0 -4 -4 -8

0 0 1 1 2

IV

1 1 2

1 0 1

1 3 4

Khối lượng phép tính của PP Gauss

6

521 )n)(n(n

2

1)n(n

6

521 )n)(n(n

6

794 23 nnnSn

Phép nhân

Phép chia

Phép cộng hoặc trừ

Tổng cộng cóPhép tính

Nhận xét: Ít hơn nhiều so với phương pháp Cramer

Giải thuật của phương pháp GaussQuá trình thuận:

For (int k=1; k<=n;k++) {

m = akk;//m là phần tử trụ

If m= =0 “Chưa xét trường hợp này, dừng”

Else { //Chia dòng k cho m=akk

bk=bk/m;

for (int j=1; j<=n; j++) akj=akj/m;

for (int i=k+1; i<=n;i++){

hệsố = aik; bi=bi-heso*bk;

for (int j = k; j<=n; j++) aij=aij-akj*heso;

}

}

}

Giải thuật của phương pháp Gauss Quá trình nghịch:

For (int i=n; i>=1; i--)

{//Tính nhiệm xi.

s = 0;

for (int k=i+1; k<=n; k++)

s = s + aik*xk;

xi = bi-s;

}

3) Phương pháp Gauss với phần tử trụ lớn nhất:

Với PP Gauss được trình bày ở trên: Phương pháp Gauss là PP giải đúng. Thực tế, vẫn xảy

ra sai số do quy tròn. Hơn nữa, các tính toán trên máy tính chỉa là gần đúng. Sai số sẽ lớn khi phần tử trụ có trị tuyệt đối nhỏ.

Không thực hiện được nếu ở bước k, phần tử akk=0

Cải tiến phương pháp Gauss ở trên bằng cách: Ở bước k, ta chọn phần tử làm trụ có trị tuyệt đối lớn nhất

3) Phương pháp Gauss với phần tử trụ lớn nhất (tt)

Nội dung của phương pháp:

Giống như phương pháp Gauss đã trình bày, tuy nhiên:

Ở bước k, trước khi biến đổi:o Ta tìm dòng r sao cho:

|ark| =max{|aik| , i=k, k+1, k+2, …, n}

o Hóan vị dòng r với dòng k

Sau đó mới thực hiện:o Chia dòng k cho akk

o Khử xk trong các phương trình còn lại (k+1, k+2,…)

Giải thuật(PP Gauss với có chọn phần tử trụ max)

Quá trình thuậnFor (k=1; k<=n; k++){

r = k;

for (i=k;i<=n; i++) if |aik|>|ark| then r = i;

if (ark== 0) {Hệ không có nghiệm duy nhất, dừng}

else {

Hóan vị dòng r với dòng k

m=akk;

Chia dòng k cho m

Khử xk ở các pt thứ i=k+1, k+2, …, n bằng cách:

Thay dòng i bởi dòng i – aik*dòng k

}

}

Quá trình nghịch:

For (int i=n; i>=1; i--) {//Tính nhiệm xi.

s = 0;for (int k=i+1; k<=n; k++) s = s+ aik*xk;xi = bi-s;

}

Giải thuật(PP Gauss với có chọn phần tử trụ

max)

4. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cholesky

Giải hệ PT tuyến tính: AX = B Nội dung của phương pháp: Giả sử biến đổi được ma trận A thành tích của 2 ma trận

vuông cấp n : A = C x D

Trong đó ma trận C và D là 2 ma trận tam giác có dạng:

nnnn ccc

Cc

c

C

...

...

0...

0...0

21

2221

11

1...00

...

...10

...1

2

112

n

n

d

dd

D

Trong đó cii0 với mọi i=1,2,…,n

Phương pháp Cholesky (tiếp theo)

Sau khi xác định được 2 ma trận C và D, tính nghiệm của hệ gồm 2 bước: Bước 1: Giải hệ CY = B

y1 = b1/c11

y2 = (b2 – c21*y1)/c22

kki

k

ikikk cycby /).(

1

1

Bước 2: Giải hệ DX = Y

xn = yn; xn-1 = yn-1 – dn-1n*xn

1,...,1-nk ,.1

i

n

kikikk xdyx


Cách tìm ma trận C và D:

Ta có:

i)(j 0d

j)(i 1d

1)j(i .

ij

ij

1

1

11

j

kkjikijij

ii

dcac

ac

0c

)(1 ).(1

/

ij

1

1

1111

jidcacii

d

cadi

kkjikijij

jj

Giải thuật CholeskyThuận: Tìm 2 ma trận C và D

Cho i = 1,2,…n;Cho j=1,2,…,n{

Nếu (j<=i) {Nếu i=j thì dij=1

ngược lại (j<i): dij=0Nếu j=1 thì cij=aij

Ngược lại:{acc=0; cho k=1,2,…,j-1: acc = acc + cik*dkj; cij =aij – acc;}

}Ngược lại (nghĩa là j>i):

{ cij=0 Nếu (i=1) d1j=a1j/c11

Ngược lại { acc=0;

Cho k=1,2,…,i-1: acc = acc + cik*dkj; dij =(aij – acc)/cii

} }

}

Giải thuật CholeskyNghịch: Tìm Y sao cho CY = B Cho i = 1,..n{

acc = 0

Cho j = 1..i-1: acc = acc + cij*yj;

yi = (bi – acc)/cii}Tìm X sao cho DX = Y Cho i = n..1{

acc = 0

Cho j = n..i+1: acc = acc + dij*xj;

xi = yi – acc}


Ví dụ 3.6: Giải hệ sau bằng phương pháp Cholesky

123

22

32

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Giải: Phân tích A = C D

100

3/510

2/12/11

,

3/102/73

02/31

002

DC

Giải hệ CY=B, được nghiệm y1=3/2, y2= -1/3, y3= 2

Giải hệ DX=Y, được nghiệm x1=1, x2= 3, x3= 2

5) Tính định thức ma trận bằng phương pháp Gauss Cho ma trận:

Cần tính det(A)=? Có thể dùng phương pháp Gauss như đã trình bày để tính (lưu ý: ở

đây không có ma trận hệ số B)

nn n21n

2n2221

1n1211

a ...a a

...

a ... a a

a ... a a

A

Tính định thức ma trận bằng phương pháp Gauss (tiếp theo)

Nội dung của phương pháp: Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác có dạng:

1.................... 0

....

a ... a 1 0

a ...a a 1(n)2n

(n)23

(n)1n

(n)13

(n)12

)(nA

Gọi a(k)kk là phần tử trụ được chọn trong bước thứ k. Ta có:

n

k

kkk

p aA1

)(.)1()det(

Trong đó: p là số lần hóan vị các dòng để tìm phần tử trụ

Giải thuật tính định thức ma trận bằng phương pháp Gauss

detA = 1;Cho k=1,2,3,…, n Với mỗi dòng k

Chọn t sao cho Nếu atk=0 thì det(A)=0; dừng thuật tóan Nếu atk ≠ 0 thì làm các việc sau đây: Nếu t≠k thì

Đổi chỗ dòng k với dòng t và detA = detA*(-1) ; Chọn trụ là mk = akk

Chia dòng k cho mk;detA = detA*mk

Khử aik ở các dòng i (i=k+1, k+2,…) bằng cách: Tính: hệ số = aik

Dòng i = dòng I – dòng k * hệ số

}..1/{max njaa jktk

6. Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp gauss

Bài toán: Cho ma trận A:

Tìm ma trận nghịch đảo A-1 của A. Nghĩa là :

A.A-1 =I, Với I là ma trận đơn vị cấp n:

Lưu ý: Mọi ma trận không suy biến đều tồn tại ma trận nghịch đảo.

nn n21n

2n2221

1n1211

a ...a a

...

a ... a a

a ... a a

A

1 ... 0 0 0

...

0 ... 0 1 0

0 ... 0 0 1

I

Tìm ma trận nghịch đảo (tt) Kí hiệu A-1= (xij):

nn n21

2n2221

1n1211

1

...

...

...

...

xxx

xxx

xxx

A

n

Ta có:

nn n21

2n2221

1n1211

21

22221

11211

1

...

...

...

...

...

...

...

...

xxx

xxx

xxx

aaa

aaa

aaa

AA

nnnnn

n

n

n

kknnk

n

kknk

n

kknk

n

kknkkk

n

kkk

n

kknk

n

kkk

n

kkk

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

112

11

1222

112

11

121

111

...

....

...

...

1...00

....

0...10

0...01

I

xij Cần phải tìm?

Tìm ma trận nghịch đảo (tt)

0...

...

1...

...

0...

0...

2211

2211

2222121

1212111

njnnjnjn

njjnjjjj

njnjj

njnjj

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

nj

j

j

nj

j

j

nnnn

n

n

e

e

e

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

...

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Xét cột thứ j trong 2 ma trận A.A-1 và I. Ta có hệ:

Với

)( 1

)( 0

ji

jieij

Hay

Tìm ma trận nghịch đảo (tt) Nội dung của phương pháp là:

Giải hệ có dạng:

Để tìm các phần tử ở cột thứ j của ma trận A-1

nj

j

j

nj

j

j

nnnn

n

n

e

e

e

x

x

x

aaa

aaa

aaa

......

...

...

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Với

)( 1

)( 0

ji

jieij

Tìm ma trận nghịch đảo (tt) Cụ thể:

Giải hệ:

0 ...

...

0...

0...

1 ...

1313212111

13313321321131

12312321221121

11311321121111

nnnnnn

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

Để tìm được các phần tử ở cột 1 của ma trận A-1

Tìm ma trận nghịch đảo (tt) Giải hệ:

0 ...

...

0...

1...

0 ...

2323222121

23323322321231

22322322221221

21321322121211

nnnnnn

nn

nn

nn

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

Để tìm các phần trử trên cột 2 của ma trận A-1 Tổng quát:

Giải hệ AXj = Ij để tìm các phần tử trên cột j của A-1. Với Xj là cột thứ j của A-1, Ij là cột thứ j của I

Có thể giải hệ bằng phương pháp Gauss. Ở đây có chung ma trận hệ số A

Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo bằng pp Gauss Quá trình thuận:

k=1..n{ Tìm r sao cho:

Nếu ark=0 thì: “Thông báo A suy biến, không tìm được ma trận nghịch đảo”

Ngược lại:{ Hoán vị dòng k cua A r của A; hóan vị dòng k của I với dòng r của I.

heso=akk

Chia dòng k của A và I cho heso i=k+1,..,n

{ heso=aik

Dòng i của A = Dòng i của A – heso*dong k của A. Dòng i của I = Dòng i của I – heso*dong k của I.

} } }

}../{max nkjaa jkrk

Giải thuật tìm ma trận nghịch đảo bằng pp Gauss Quá trình nghịch:

j=1..n

{ i=n..1

{ s=0

k=n..i+1: s=s+aik*xkj;

xij=Iij – s;

}

}

7. Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector4.1 Định nghĩa: Chuẩn của ma trận A=(aij) là một số thực ||A|| thỏa các điều

kiện:a. ||A||≥0 (với ||A||=0 A = 0)b. ||.A||=||.||A||, với là một số thực c. ||A+B||≤||A||+||B||d. ||A.B|| ≤||A||.||B||Thực tế thường dùng 3 chuẩn sau:

||max .

)||( .

||max .

,

2

12

2

1

j

iji

jiij

iij

j

aAc

aAb

aAa (Chuẩn cột)

(Chuẩn Ơclit )

(Chuẩn dòng)

Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector

Ví dụ 4.1: Cho

473

201

112

A

Tính? AAA ,,

21

Chuẩn của ma trận và chuẩn của vector Chuẩn Vector: Vector là ma trận chỉ có 1 cột nên chuẩn của Vector là:

n

iin xxxxX

1211

...

2

1

1

222

2

2

12)(...

n

iin xxxxX

ii

xX max

Ví dụ 4.2: Cho vector

3

4

2

1

XTính các chuẩn dòng, cột vàƠclitCủa X

8. Sự không ổn định của hệ phương trình đại số tuyến tính. Giả sử nghiệm của hệ AX=B tìm được là X1. Nếu thay đổi rất ít giá trị của các hệ số hoặc của vế phải, mà

nghiệm tìm được của hệ sai lệnh lớn so với X1. Ta nói hệ AX=B không ổn định, ngược lại hệ phương trình gọi là ổn định

Cách đơn giản để kiểm tra tính ổn định của hệ thống phương trình là: Giải hệ AX=B đồng thời cũng giải hệ AX=B1 với B1 khác rất ít so bới B. Nếu hai nghiệm tìm được xấp xỉ nhau, ta nói hệ ổn định, ngược lại ta nói hệ không ổn định

Cách khác: xét hệ số Cond(A)=||A||.||A-1||Với ||A|| là một chuẩn nào đó.

Cond(A) càng lớn, hệ càng không ổn địnhCon(A) càng gần với 1, hệ càng ổn định.

Sự không ổn định của hệ phương trình đại số tuyến tính (tt)Ví dụ:

3110957

3391068

235657

3278710

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

9. Giải hệ phuơng trình tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn.

- Bắt đầu với X(0) nào đó, nếu dãy: X(n+1) = + X(n) (*)

hội tụ về X(*) khi n thì X(*) là nghiệm của hệ

Tìm nghiệm của hệ: AX=B

Nội dung của phương pháp-Biến đổi hệ về dạng tương đượng: X = + X

Trong đó:

nnn2n1

2n2221

1n1211

2

1

...

...

...

...

,...

n

Sự hội tụ bề nghiệm và sai số Định lý: Nếu ||||p<1 thì dãy lặp (a) hội tụ về nghiệm (||||

p: Là một chuẩn nào đó của )

Sai số: Gọi X* là nghiệm đúng của hệ. Ta có:

1*

1

kk

p

p

p

k XXXX

pp

k

p

p

k XXXX 01*

1

)(

Trong đó || ||p là một chuẩn nào đó.

Ví dụ về phương pháp lặp đơn Tìm nghiệm gần đúng của hệ sau bằng PP lặp đơn:

20408,004,0

915,0309,0

808,024,04

321

321

321

xxx

xxx

xxx

213

312

321

02,001,05

05,003,03

02,006,02

xxx

xxx

xxx

XX

Ví dụ về phương pháp lặp đơnVới

002,001,0

05,0003,0

02,006,00

;

5

3

2

Ta thấy ||||1 = 0,08<1. Vậy dãy

)()1( nn XX

Hội tụ về nghiệm của hệ đã cho

Bài tập: Với hệ đã cho trong ví dụ trên.

a) Hãy tính nghiệm gần đúng của hệ sau 3 lần lặp (Bắt đầu với X(0)=(0,0,0)

b) Hãy tìm nghiệm gần đúng của hệ với sai số không quá 0,05

Bài tập chương 3

543

2925

1262

321

321

321

xxx

xxx

xxx

3110957

3391068

235657

3278710

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxa) b)

1. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss với phần tử trụ max và phương pháp Cholesky

23

727

334

321

321

321

xxx

xxx

xxx

c)

chuong03

Documents