CHƯƠNG 5

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Đặt vấn đề Trong toán học, đã có phương pháp tính đạo hàm và

tính phân xác định Thực tế, thường gặp các trường hợp :

Hàm y=f(x) chỉ được cho ở dạng bảng, công thức tường minh của y là chưa biết.

Hàm f(x) đã biết, nhưng phức tạp Hoặc viết chương trình máy tính để tính tích phân

xác định. Chọn giải pháp: “Tính gần đúng”

5.1 Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng công thức Taylor:

20

''

000 )(2

)())((')()( xx

fxxxfxfxf

Đặt h = x-x0 x=x0+h:2

''

000 2

)()(')()( h

fhxfxfhxf

h

xfhxfxf

)()()( 00

0'

Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h2. Khi đó

(5.1)

Có thể lấy công thức (5.1) để tính gần đúng f’(x0) khi |h| khá bé

Tính gần đúng đạo hàmSai số:

hM

hf

xR22

)()(

''

0

Với |f’’(x)|<=M, x[x0,x0+h]

Ví dụ: Cho f(x)=2x4+x-1. Tính f’(1)?

Giải: Chọn h=0.001, ta có:

01,9001,0

2009,2

001,0

)1()001,01()1('

fff

Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05 x[1;1,001]

012,0001,0.2

05,24|)1(| R

Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng đa thức nội suy

Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc a=x0<x1<x2<…<xn=b

f’(x) Pn’(x) với x[a,b] Sai số:

'

0

)1(

)()!1(

)()('

n

ii

n

xxn

cfxR

)(')()(' ' xRxPxf n

)( )()( xRxPxf n

Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Lagrange với 2 mốc nội suy:

; .)(01

01

10

10 xx

xxy

xx

xxyxP

))((!2

)('')( 10 xxxx

cfxR

)(!2

)('')(R' ; )( 010

01

010

' xxcf

xxx

yyxP

)(''2

)R(

)(

0

01

01

010

'

cfh

x

h

yy

xx

yyxf

)(''2

)R(

)(

11

011

'

cfh

x

h

yyxf

Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều: xi+1-xi = h

002

00 !

)1)...(1(...

!2

)1(

!1)()(

0y

n

nttty

tty

tyxPxf n

thxxn

n

i

nn

ithn

cfxR

0

1)1(

)()!1(

)()(

dt

dP

hdx

dt

dt

dP

dx

dP 1.

Với

)(')(')(' xRxPxf Lưu ý

Tính gần đúng đạo hàmTrường hợp 3 mốc: x0, x1, x2 với x1-x0=x2-x1 = h

)('''3

)34(2

1)('

)(''6

)(2

1)('

)('''3

)43(2

1)('

2

2

2102

1

2

201

0

2

2100

cfh

yyyh

xf

cfh

yyh

xf

cfh

yyyh

xf

5.2. Tính gần đúng tích phân Cần tính

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), thì I có thể tính:

Trường hợp:- f(x) chỉ được cho ở dạng bảng hoặc f(x)- Hoặc f(x) đã biết nhưng tính toán phức tạp

Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn

b

adxxfI )(

)()()( aFbFdxxfIb

a

Tính gần đúng tích phânSử dụng đa thức nội suy

Phân hoạch [a,b] thành m đoạn con [a0,a1],[a1,a2],…,[am-1,am] (với a=a0, b=am), trên [ai, ai+1] thay f(x) bởi đa thức nội suy pi(x)

1

)(i

i

a

a

i dxxp

Chia thành m đoạn

a0=a b=ama1 a2 ai ai+1

b

a

m

i

a

a

i

i

i

dxxpdxxf1

0

1

)()(

)(xpi

Tính gần đúng tích phân5.2.1 Công thức hình thang

Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia: x0=a<x1<…<xn=b, h=xi+1-xi=(b-a)/n

Chia thành n đoạn

x0=a b=xn

f(x)

x1x2xi Xi+1

Công thức hình thang

Thực ra, trên đoạn [xi, xi+1], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P1(x)

1 1 1

],[)(()()( 11

i

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x iiiii dxxxfxxyxPdxxfI

)(2

1

)2

1.().()(

1

1

0

21

0

1

ii

iiii

x

x

yyh

tytyhdtytyhdxxfi

i

Đặt x = xi+th dx = hdt. Với x [xi, xi+1] t [0,1]

Vậy:

sai số: Với c[xi, xi+h])(12

)( 23

cfh

hri

Công thức hình thang

Ii gần bằng diện tích hình thang xiABxi+1

xi xi+1

f(x)

h

yi+1

yi

ri(h)A

B)(

2

1)( 1

1

ii

x

xi yyhdxxfIi

i

Tính gần đúng tích phân. Công thức hình thang tổng quát:

)...2

()(2

)(...)()()(

1210

1

1

0

1

0

2

1 1

nn

i

n

ii

x

x

x

x

x

x

b

a

yyyyy

hyyh

dxxfdxxfdxxfdxxfIn

n

Sai số toàn phần:

Với M = sup|f’’(x)| , x[a,b]

12|)(|

3hnMhr

5.2. Tính gần đúng tích phân. Ví dụ: Tính gần đúng

5

1

1dx

xSố phép phân hoạch [1,5] thành 4 phần bằng nhau

5.2. Tính gần đúng tích phân. 5.2.2 Công thức Simpson (công thức parapol): Phân hoạch [a,b] thành 2n đọan con bằng nhau bởi các điểm chia

a=x0<x1<x2<……<x2n=b

x0=a b=x2n

Chia thành 2n đoạn

f(x)

x1x2

5.2.3 Công thức Simpson (tt) Xét đoạn kép [x2i-2, x2i]. Xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2

Pi(x). Ta có:

)yy4y(3

h

dx)x(Pdx)x(fI

i21i22i2

x

x i

x

xi

i2

2i2

i2

2i2

],[c );(90

)( 222i)4(

5

iiii xxcfh

hr Sai số:

Nếu |f’(x)|≤ M, x [x2i-2, x2i] thì:90

)(5Mh

hri

Công thức Simpson tổng quát

)]y..yy(2)y...yy(4)yy[(3

h

)yy4y(3

h...)yy4y(

3

h)yy4y(

3

h

dx)x(P...dx)x(Pdx)x(Pdx)x(fI

2n2421n231n20

n21n22n2432210

x

x n

x

x 2

x

x 1

b

a

n2

2n2

4

2

2

0

Sai số tòan phần: Người ta chứng minh được

90)( ;)()(

5

1

nMhhrhrhr i

n

ii

Với M thỏa: |f(4)(x)| ≤ M x[a,b]

(*)