Ba Huy

1

Chuy n 11. TH T CH KH CH P

I. Tm tt l thuyt

Cng thc th tch khi chp: 1

.3

V B h

B: din tch y

h: di chiu cao

II. Bi tp

Dng 1. C CNH BN VUNG GC VI Y

Bi 1. Cho hnh chp S.ABC c y ABC l tam gic u cnh a,

SA vung gc vi y v SB = 2a. Tnh th tch khi chp S.ABC.

Bi gii

Ta c: .

1.

3S ABC ABCV SA S

2

a 3

4ABCS

2 2 2

2 2 2

4a a 3a

3

SA SB AB

SA a

Bi 2. Cho khi chp S.ABC c y ABC l tam gic vung ti B,

SA vung gc vi y. Bit AB = 3a, AC = 5a, SAC vung cn.

Tnh th tch khi chp.

Bi gii

Ba Huy

2

Ta c: .

1.

3S ABC ABCV SA S

+) Tnh SABC

2 2 2

2 2 2

25a 9a 16a

BC AC AB

BC = 4a

21 1

. 3a.4a 6a

2 2ABCS AB BC

+) Tnh SA

Tam gic SAC vung cn SA = AC = 5a

Vy, 2 3.

15a.6a 10a

3S ABCV

Bi 3. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh thoi cnh a,

. Cho SA vung gc vi y v SC = 2a. Tnh th

tch hnh chp S.ABCD.

Bi gii

Ta c: . D D

1.

3S ABC ABCV SA S

+) Tnh D

SABC

Do nn ABD u. 2 2

D D

a 3 a 32S 2.

4 2ABC ABS

+) Tnh SA

600

D

CA

B

Ba Huy

3

3AC 2 3

2

aa

2 2 2 2 2 2

4a 3a aSA SC AC

SA a

Vy, 2 3

. D

1 a 3 3.

3 2 6S ABC

aV a

Bi 4. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l mt hnh thang

cn (AB//CD) vi AC = 20cm, BC = 15cm, AB = 25cm. Cho SA

vung gc vi y v SA = 8cm. Tnh th tch ca khi chp.

Bi gii

Th tch khi chp: . D D

1.

3S ABC ABCV SA S

Ch cn tnh D

SABC

.

Ta c:

AB2 = 625

AC2 + BC2 = 400 + 225 = 625

AC2 + BC2 = AB2

Tam gic ABC vung ti C.

Gi CH l ng cao trong ABC.

T . 20.15

. . 12 ( )

25

AC BCCH AB AC BC CH cm

AB

2

2225

. 9 ( )

25

BCHB AB BC HB cm

AB

Do hnh thang ABCD cn nn CD = AB 2HB = 25 2.9 = 7 (cm)

2

D

( D) (25 7)12192

2 2ABC

AB C CHS cm

Vy, 3. D

1.8.192 512

3S ABCV cm

Bi 5. Cho hnh chp S.ABC c SA vung gc vi y. Mt bn

25

1520

A B

D C

H

Ba Huy

4

SBC l tam gic u cnh a. Cho = 1200. Tnh th tch khi

chp.

Bi gii

Th tch khi chp: .

1.

3S ABC ABCV SA S

+) Tnh ABCS

Gi M l trung im ca BC. Do tam

gic SBC u nn SM BC .

Ta c:

( )BC SM

BC SAM

BC SA

BC AM .

Tam gic ABC c AM va l ng cao va l trung tuyn nn n

cn ti A. Do gc BAC bng 1200 nn gc MAB bng 600.

Ta c:

2 3tan

MB aAM

MAB

2

1 1 a. . .

2 2 2 3 4 3ABC

aS AM BC a

+) Tnh SA

3

2

aSM

2 2 2

2 2 23a a 2a 2

S

4 12 3 3

aA SM AM SA

Vy, 2 3

.

1 2 a 2.

3 363 4 3S ABC

a aV

Bi 6. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh vung cnh

a. Hai mt phng (SAB) v (SAD) cng vung gc vi y, SC =

a

M

A C

B

S

a

2

600

A

M B

Ba Huy

5

a . Tnh th tch khi chp S.ABCD Bi gii

Do hai mt phng (SAB) v (SAD)

cng vung gc vi mt y (ABCD)

nn giao tuyn ca chng cng vung

gc vi (ABCD).

Ta c

( ) ( D) ( D)SA SAB SA SA ABC

. D D

1.

3S ABC ABCV SA S

+)

+)

Vy, 3

2

. D

1.a

3 3S ABC

aV a

Bi 7. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh vung cnh

a. SA vung gc vi y v SC = 2a. Tnh VS.ABCD.

Bi 8. Cho khi chp S.ABC c ng cao SA bng a, y l tam

gic vung cn c AB = BC = a. Gi B l trung im ca SB, C l

chn ng cao h t A ca tam gic SAC.

a. Tnh th tch khi chp S.ABC.

b. Chng minh SC vung gc vi (ABC).

c. Tnh th tch khi chp S.ABC.

Bi 9. Cho hnh chp tam gic O.ABC c ba cnh OA, OB, OC

i mt vung gc vi nhau v OA = a, OB = 2a, OC = 3a.

a. Tnh VO.ABC v ng cao OH.

b. Tnh din tch tam gic ABC.

Bi 10. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh thang cn

(AB//CD), AB = 4a, DC = 8a v = 600. Cho (SD) (ABCD).

Tnh VS.ABCD.

Dng 2. CNH BN KHNG VUNG GC VI Y

C

A

B

D

S

Ba Huy

6

K)

hoi chop eu

)

ay la agiaceu

Channgcaotrungvi tamcuaay

Din tch tam gic u cnh a: 2

a 3S

4

Din tch hnh vung cnh a: 2S a

Bi 11. Cho hnh chp u tam gic S.ABC vi tam gic ABC c

tm l O v cnh bng a, SO = 2a. Tnh th tch khi chp S.ABC.

Bi gii

Do S.ABC u nn SO l ng cao.

.

1.

3S ABC ABCV SO S

Ta c:

2

a 3

4ABCS

Th tch khi chp:

2 3

1 1 a 3 a 3. .2a.

3 3 4 6ABC

V SO S

Bi 12. Cho khi chp u t gic S.ABCD c cnh y bng a v

cnh bn bng 3a . Tnh th tch khi chp .

Bi gii

Ta c: SABCD = a2

Gi O l tm ca y ABCD th

SO ( D)ABC . Do

. D D

1.

3S ABC ABCV SO S

Ta c: SABCD = a

2

Ba Huy

7

+) Tnh SO

Ta c: AC =

Vy, 3

2

. D

1 5 a 5.a

3 2 3 2S ABC

aV

Bi 13. Tnh th tch ca khi t din u SABC cnh a.

Bi gii

Gi O l tm ca mt phng (ABC)

th SO l ng cao ca hnh chp.

.

1.

3S ABC ABCV SO S

2

a 3

4ABCS

2 2 2SO SM OM 2 2

3 1 3.

2 3 2

a a

2 2

8 3a 2a 2.

9 4 3 3

aSO

Vy th tch khi chp cn tm l:

2 3

.

1 2 a 3 2. .

3 4 123S ABC

a aV

Bi 14. Cho hnh chp u tam gic S.ABC c y ABC l tam gic

u cnh a. Cnh bn hp vi y gc 600. Tnh VS.ABC .

OM

A C

B

S

Ba Huy

8

Bi gii

Gi O l tm ca y. Khi

SO (ABC) . Suy ra:

.

1.

3S ABC ABCV SO S

0

,( ) ( , )

60

SA ABC SA AO SAO

SAO

2

a 3

4ABCS

02 3

.tan60 . . 3

3 2

aSO AO a

Vy 2 3

.

1 a 3 3.

3 4 12S ABC

aV a

Bi 15. Cho hnh chp u t gic S.ABCD c cnh y bng a.

Cnh bn hp vi y mt gc 450 . Tnh Tnh VS.ABCD .

Bi 16. Tnh th tch khi chp u t gic S.ABCD c cnh y

bng a v gc 600. Bi gii

Gi O l tm ca y th

S ( )O ABC .

.

1.

3S ABC ABCV SO S

+) 2

a 3

4ABCS

+) Tnh SO

Do tam gic SAB cn v c gc

bng 600 nn l tam gic u.

SA = AB = a

600

OM

A C

B

S

OA C

B

S

Ba Huy

9

2

2

2 2 2 22 3 2a 2

a

3 2 3 3

a aSO SA AO SO

Vy, 2 3

.

1 2 a 3 2. .

3 4 123S ABC

a aV

Bi 17. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh ch nht tm

O, AB = 6a, BC = 8a. Cc cnh bn bng nhau v bng 13a . Tnh

VS.ABCD .

Bi gii

Gi O l chn ng cao h t S

ln mt y (ABCD). Khi

OA, OB, OC, OD ln lt l cc

hnh chiu ca cc cnh bn SA,

SB, SC, SD ln mt y.

Do cc cnh bn bng nhau nn:

OA = OB = OC = OD

O l tm ca ng trn

ngoi tip mt y.

V mt y l hnh ch nht nn O l giao ca 2 ng cho AC v

BD.

. D D

1.

3S ABC ABCV SO S

2D

S . 6a.8a 48aABC

AB BC

AC2 = AB2 + BC2 = 36a2 + 48a2 = 84a2 AC = 2a

AO = a

SO2 = SA2 AO2 = 169a2 21a2 = 148a2 SO = 2a

Vy 2 3. D

1.2a 37.48a 32a 37

3S ABCV

Bi 18. Cho hnh chp u t gic S.ABCD, y l hnh vung cnh

a, cc cnh bn to vi y mt gc 600. Tnh th tch khi chp

OC

D

B

A

S

Ba Huy

10

S.ABCD

Bi gii

Gi O l chn ng cao h t nh

S ln (ABCD). Khi cc gc

OAS, , ,OBS OCS ODS ln lt l

cc gc hp bi gia cc cnh bn

SA, SB, SC, SD vi y. Theo gi

thit suy ra:

0

OAS 60OBS OCS ODS

Ta c: O ,..., Dtan tan DS

SO SOA O

OAS O

OA = = OD

O l tm ca hnh vung ABCD.

. D D

1.

3S ABC ABCV SO S

2D

aABCS

02 6

.tanOAS .tan60

2 2

a aSO OA

Vy, 3

2

. D

1 6 6. .a

3 2 6S ABC

a aV

Bi 19. Cho hnh chp tam gic u S.ABC c cnh AB bng a. Cc

cnh bn SA, SB, SC to vi y mt gc 600. Tnh th tch ca

khi chp S.ABC.

Bi 20. Cho hnh chp S.ABC c SA vung gc vi y. ABC l

tam gic vung ti B, AB = , AC = 2a. Gc gia hai mp (SBC)

v (ABC) bng 600. Gi M l trung im ca AC. Tnh VS.BCM v

khong cch t M n (SBC).

Bi 21. Cho hnh chp tam gic S.ABC c AB = 5a, BC = 6a , CA

= 7a. Cc mt bn (SAB), (SBC) v (SCA) to vi y mt gc 600.

Tnh th tch khi chp .

OC

D

B

A

S

Ba Huy

11

Dng 3. T S TH TCH

Bi 22. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh bnh hnh.

Gi M l trung im SC. Mt phng (ADM) ct SB ti N. Tnh t

s th tch ca hai khi chp S.ADMN v S.ABCD.

Bi 23. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh bnh hnh.

Gi G l trng tm ca tam gic SBC. Mt phng (ADG) ct SB ti

N v ct SC ti M. Tnh t s th tch ca hai khi chp S.ADMN

v S.ABCD.

Bi 24. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh bnh hnh

tm O. M l trung im ca cnh SC. Mt phng (P) qua AM v

song song vi BD ct SB ti B v ct SD ti D . Tnh t s ca

hai khi chp S.ABMD v S.ABCD.

Bi 25. Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh bnh hnh

tm O. I l trung im ca SO. Mt phng (Q) qua AI v song song

vi BD ct SB ti B, ct SC ti C v ct SD ti D . Tnh t s

ca hai khi chp S.ABCD v S.ABCD.

Bi 26. Cho im M trn cnh SA, im N trn cnh SB ca khi

chp tam gic S.ABC sao

. Mt phng (P) qua MN

v song song vi SC chia khi chp thnh hai phn. Tm t s th

tch ca hai phn .

CC BI TON THI T NM 2006 N NAY

(H Khi B 2006) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh

ch nht vi AB = a, AD = 2a , SA = a v SA vung gc vi mt

ph i M v N ln lt l trung im ca AD v SC; I

l giao im ca BM v AC. Chng minh rng mt phng (SAC)

vung gc vi mt phng (SMB). Tnh th tch ca khi t din

ANIB.

(H Khi D 2006) Cho hnh chp tam gic S.ABC c y ABC

l tam gic u cnh a, SA = 2a v SA vung gc vi mt phng

Ba Huy

12

(ABC). Gi M v N ln lt l hnh chiu vung gc ca A trn cc

ng thng SB v SC. Tnh th tch ca khi chp A.BCNM.

(H Khi A 2007) Cho hnh chp S.ABCD c y l hnh vung

cnh a, mt bn SAD l tam gic u v nm trong mt phng vung

gc vi y. Gi M, N, P ln lt l trung im ca cc cnh SB, BC,

CD. Chng minh AM vung gc vi BP v tnh th tch ca khi t

din CMNP.

(H Khi B 2007) Cho hnh chp t gic u S.ABCD c y l

hnh vung cnh a. Gi E l im i xng ca D qua trung im ca

SA, M l trung im ca AE, N l trung im ca BC. Chng minh

MN vung gc vi BD v tnh (theo a) khong cch gia hai ng

thng MN v AC.

(H Khi D 2007) Cho hnh chp S.ABCD c y l hnh thang,

BA = BC = a, , AD = 2a. Cnh bn SA vung gc

vi y v SA = 2a. Gi H l hnh chiu vung gc ca A trn SB.

Chng minh tam gic SCD vung v tnh (theo a) khong cch t H

n mt ph

(H Khi A - 2008) Cho lng tr ABC.A'B'C' c di cnh bn

bng 2a, y ABC l tam gic vung ti A, AB = a, AC = 3a v hnh

chiu vung gc ca nh A' trn mt phng (ABC) l trung im ca

cnh BC. Tnh theo a th tch khi chp A'.ABC v tnh cosin ca gc

gia hai ng thng AA', B'C'.

(H Khi B 2008) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh

vung cnh 2a, SA = a, SB = 3a v mt phng (SAB) vung gc vi

mt phng y. Gi M, N ln lt l trung im ca cc cnh AB, BC.

Tnh theo a th tch ca khi chp S.BMDN v tnh cosin ca gc

gia hai ng thng SM, DN.

(H Khi D 2008) Cho lng tr ng ABC.A'B'C' c y ABC l

tam gic vung, AB = BC = a, cnh bn AA' = 2a. Gi M l trung

im ca cnh BC. Tnh theo a th tch ca khi lng tr ABC.A'B'C'

v khong cch gia hai ng thng AM, B'C.

Ba Huy

13

(C Khi A, B, D 2008) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD

l hnh thang, , AB = BC = a, AD = 2a, SA vung

gc vi y v SA = 2a. Gi M, N ln lt l trung im ca SA, SD.

Chng minh rng BCNM l hnh ch nht v tnh th tch ca khi

chp S.BCNM theo a.

(TNTHPT - 2009) Cho hnh chp S.ABC c mt bn SBC l tam gic

u cnh a, cnh bn SA vung gc vi mt phng y. Bit gc

= 1200, tnh th tch ca khi chp S.ABC theo a.

(TNBT - 2009) Cho hnh chp S.ABC c y ABC l tam gic

vung ti B, AB = a v AC = a ; cnh bn vung gc vi mt phng

(ABC) v SA = a . Tnh th tch ca khi chp S.ABC theo a.

(H Khi A - 2009) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh

thang vung ti A v D, AB = AD = 2a, CD = a; gc gia hai mt

phng (SBC) v (ABCD) bng 600. Gi I l trung im ca cnh

AD. Bit hai mt phng (SBI) v (SCI) cng vung gc vi mt

phng (ABCD). Tnh th tch khi chp S.ABCD theo a.

(H Khi B - 2009) Cho lng tr ABC.ABC c BB = a. Gc

gia ng thng BB v mp(ABC) bng 600. Tam gic ABC vung

ti C v = 600 . Hnh chiu vung gc ca B ln mp(ABC) trng

vi trng tm ca tam gic ABC. Tnh th tch khi t din A.ABC .

(H Khi D - 2009) Cho lng tr ng ABC.ABC c y ABC

l tam gic vung ti B, AB = a, AA' = 2a, AC = 3a. M l trung im

ca AC, I l giao im ca AM v AC . Tnh th tch khi t din

IABC theo a v khong cch t A n mp(IBC).

(C Khi A, B, D - 2009) Cho hnh chp t gic u S.ABCD, AB

= a, SA = a . Gi M, N, P ln lt l trung im ca SA, SB v

CD. Chng minh rng MN vung gc vi SP. Tnh th tch khi t

din AMNB theo a.

(TNTHPT 2010) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh

vung cnh a, cnh bn SA vung gc vi mt phng y, gc gia

mt phng (SBD) v mt phng y bng 600. Tnh th tch khi chp

Ba Huy

14

S.ABCD theo a.

(H Khi A 2010) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh

vung cnh a. Gi M v N ln lt l

trung im ca cc cnh AB v AD; H l giao im ca CN vi DM.

Bit SH vung gc vi mt phng (ABCD) v SH = a . Tnh th

tch khi chp S.CDNM v tnh khong cch gia hai ng thng

DM v SC theo a.

(H Khi B 2010) Cho hnh lng tr tam gic u ABC.ABC

c AB = a, gc gia hai mt phng (ABC) v (ABC) bng 600. Gi

G l trng tm tam gic ABC. Tnh th tch khi lng tr cho v

tnh bn knh mt cu ngoi tip t din GABC theo a.

(H Khi D 2010) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh

vung cnh a, cnh bn SA = a; hnh

chiu vung gc ca nh S trn mt phng (ABCD) l im H thuc

on AC, AH =

. Gi CM l ng cao ca tam gic SAC. Chng

minh M l trung im ca SA v tnh th tch khi t din SMBC theo

a.

(C Khi A, B, D 2010) Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l

hnh vung cnh a, mt phng (SAB) vung gc vi mt phng y,

SA = SB, gc gia ng thng SC v mt phng y bng 450. Tnh

theo a th tch ca khi chp S.ABCD.