chuyen de bat dang thuc co ban danh cho thcs
TRANSCRIPT
A. TÝnh chÊt luü thõa bËc hai:
Ngay tõ líp 7 häc sinh ®· biÕt nhËn xÐt vÒ dÊu cña mét sè cã luü
thõa ch½n n¾m ®îc tÝnh chÊt cña luü thõa bËc hai
“B×nh ph¬ng hay luü thõa bËc hai cña mäi sè ®Òu kh«ng
©m”
(*)
DÊu “=” x¶y ra khi a = 0.
Líp 8 häc sinh ®· ®îc lµm quen víi h»ng ®¼ng thøc:
(A - B)2 = A2 – 2AB + B2
NÕu sö dông tÝnh chÊt (*) th×
ViÖc khai th¸c vµ sö dông s¸ng t¹o bÊt ®¼ng thøc (I) gióp häc
sinh rÌn luyÖn t duy vµ h×nh thµnh ph¬ng ph¸p chøng minh còng nh
c¸ch thøc ®Ó h×nh thµnh bÊt ®¼ng thøc míi tõ bÊt ®¼ng thøc ®·
biÕt.
Tõ bÊt ®¼ng thøc (I):
(a – b)2 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 2ab
ë c¶ 3 B§T (I), (II), (III) dÊu “=” x¶y ra khi a = b.
B. Khai th¸c tÝnh chÊt luü thõa bËc hai.
I/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc (I): (a – b)2 ≥ 0
Tõ bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã thÓ ®æi biÕn ®Æt A = ay; B = bx
khi ®ã (I) trë thµnh: (ay – bx )2 ≥ 0 a, b, x, y
DÊu “=” x¶y ra khi ay = bx
Khai triÓn vµ biÕn ®æi: a2y2 – 2axby + b2x2 ≥ 0
a2y2 + b2x2 ≥ 2axby
a2y2 + b2x2 +a2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2axby +
b2y2
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Nh vËy ta cã bµi to¸n:
1
A2 ≥ 0
a
≥ 2
(II)
(a + b)2 ≥ 4ab
(A - B)2 ≥ 0 A,B
(I)
1.Bµi to¸n 1:
Chøng minh r»ng : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
(BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho 2 bé sè a, b, vµ x, y)
§Ó kh¾c s©u c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc ta sÏ
chøng minh bµi to¸n b»ng nhiÒu c¸ch
- Ph¬ng ph¸p 1: Dïng ®Þnh nghÜa : A > B A – B > 0.
+ LËp hiÖu A – B.
+ Chøng tá A – B > 0.
+ KÕt luËn A > B.
+ C¸ch 1 : XÐt hiÖu : (a2 + b2)(x2 + y2) – (ax + by)2
= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2- b2y2 – 2axby
= a2y2 - 2axby + b2x2
= (ay - bx)2 ≥ 0 lu«n ®óng a, b, x, y.
VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
DÊu “=” x¶y ra khi
- Ph¬ng ph¸p 2 : PhÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng.
+ BiÕn ®æi A > B A1 > B1 A2 > B2 … (*)
+ VËy A > B.
+ C¸ch 2 : Ta cã (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2
a2y2 - 2axby + b2x2 ≥ 0
(ay – bx)2 ≥ 0 lu«n ®óng a, b, x, y.
DÊu “=” x¶y ra khi
BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng lµ ®óng.
VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Ph¬ng ph¸p 3 : Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®· biÕt
+ C¸ch 3 : Ta cã (ay - bx)2 ≥ 0
a2y2– 2aybx + b2x2 ≥ 0
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2+ 2·by + b2y2(céng 2 vÕ
a2x2, b2y2).
(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
- Ph¬ng ph¸p 4 : Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng.2
+ Gi¶ sö cã ®iÒu tr¸i víi kÕt luËn.
+ Suy ra ®iÒu m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt hoÆc ®iÒu ®· biÕt.
+ Gi¶ sö sai – kÕt luËn ®óng.
+ C¸ch 4: Gi¶ sö (a2 + b2)(x2 + y2) < (ax + by)2
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 < a2x2+ 2·by + b2y2
a2y2– 2aybx + b2x2 < 0
(ay - bx)2 < 0. V« lý
VËy (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
Bèn ph¬ng ph¸p trªn thÓ hiÖn trong 4 c¸ch gi¶i bµi to¸n 1 lµ 4
ph¬ng ph¸p th«ng thêng ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc.
Khai th¸c tiÕp tôc bÊt ®¼ng thøc (I) ta cã:
(ay - bx)2 ≥ 0
(az - cx)2 ≥ 0 (ay - bx)2 + (az - cx)2 + (cy - bz)2 ≥ 0
(cy - bz)2 ≥ 0
Khai triÓn, chuyÓn vÕ céng vµo 2 vÕ B§T : a2x2 + b2y2 + c2z2 ta
®îc:
a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2≥a2x2+b2y2+c2z2+2axby
+2axcz+2bycz
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
2.Bµi to¸n 2 :
CMR : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
( B§T Bunhiac«pxki cho 2 bé 3 sè a, b, c vµ x, y, z).
Gi¶i
XÐt hiÖu : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) - (ax + by +cz)2
=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2- a2x2- b2y2- c2z2-
2abxy-2acxz-2bcyz
=(a2y2-2abxy+b2x2)+(a2z2–2acxz+c2x2)+(b2z2-2bcyz+ c2y2)
=(ay - bx)2+ (az - cx)2+ (cy - bz)2 ≥ 0
DÊu “=” x¶y ra khi
B»ng c¸ch lµm t¬ng tù ta cã thÓ ph¸t triÓn bµi to¸n B§T Bunhiac«pxki
tæng qu¸t:
3
(a2
1 + a22 +…+ a2
n)(x21 + x2
2 +…+ x2n) ≥ (a1x1 + a2x2 +…+ anxn )2
DÊu “=” x¶y ra khi
§Ó ý r»ng nÕu a vµ x lµ 2 sè nghÞch ®¶o cña nhau th× ax = 1 (x
= )
Tõ bµi to¸n 2 ta cã thÓ ®Æt ra bµi to¸n:
3.Bµi to¸n 3:
Cho ba sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng
Chøng minh r»ng: (a + b + c)( + + ) ≥ 9
Gi¶i
Theo bµi to¸n 2 (B§T Bunhiac«pxki):
(a + b + c)( + + ) ≥ 2
(a + b + c)( + + ) ≥ 32 = 9
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c.
Tõ bÊt ®¼ng thøc (x+ y+ z)( + + )≥ 9
§Æt a + b = X; b + c = Y; c + a = Z ta ®îc B§T:
2(a + b + c)( + + )≥ 9
( + + +3) ≥ 9
+ + ≥
Bµi to¸n t×m ®îc:
4.Bµi to¸n 4:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng CMR: + + ≥
Gi¶i
¸p dông bµi to¸n 2 tacã:
(a+b+c+b+c+a)( + + )≥ 2
2(a + b + c)( + + )≥ 9
( + + +3) ≥ 9
4
+ + ≥ (1)
Ta tiÕp tôc khai th¸c bµi to¸n 4 theo 2 bíc sau:
- Bíc 1 : Nh©n 2 vÕ cña (1) víi a+b+c > 0.
(a + b + c)( + + )≥ (a + b + c)
- Bíc 2 : Khai triÓn rót gän vÕ tr¸i sau ®ã chuyÓn vÕ ta ®îc:
+ + ≥
§©y lµ néi dung cña bµi to¸n 5
5.Bµi to¸n 5 :
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng
CMR: + + ≥
Chøng minh bµi to¸n 5 ta cã thÓ dÉn tõ bµi to¸n 1 theo híng khai
th¸c ®Ó ®i ®Õn kÕt qu¶. Nhng ta cã thÓ gi¶i ®éc lËp nh sau:
- Ph¬ng ph¸p 1: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 2
[( + ( +( ][( )2+ ( )2+ ( )2] ≥
2(a + b + c)( + + ) ≥ (a + b + c)2
+ + ≥ (®pcm)
- Ph¬ng ph¸p 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si
+ ≥ 2 = a
+ ≥ b
+ ≥ c
VËy + + ≥ (céng theo vÕ 3 B§T trªn )
Ta tiÕn hµnh khai th¸c bµi to¸n 5 b»ng c¸ch:+Trang bÞ thªm cho bµi to¸n 5 ®iÒu kiÖn : abc = 1.+ ¸p dông B§T C« si cho 3 sè d¬ng :
a + b + c ≥ 3 = 3x1 = 3
5
6.Bµi to¸n 6:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : abc = 1.
CMR + + ≥ (2)
Gi¶i
Theo bµi to¸n 5
+ + ≥ ≥
+ + ≥
Xem xÐt bµi to¸n 6 ta nhËn thÊy:
+ NÕu ®Æt a = ; b = ; c = abc = = 1.
Khi ®ã : x + y = + = = c(a + b).
T¬ng tù : y + z = a(b + c).
z + x= b(c + a).
Do ®ã B§T (2) + + ≥ .
+ + ≥ .
7.Bµi to¸n 7:
Cho x, y, z lµ 3 sè d¬ng tho¶ m·n : xyz = 1
CMR : + + ≥ .
Gi¶i
§Æt a = ; b = ; c = abc = = 1.
Ta cã : x+y = c(a+b)
y+z = a(b+c)
6
z+x = b(c+a)
Do ®ã : + + = + + ≥ (theo bµi to¸n
6)
Nh vËy tõ tÝnh chÊt vÒ luü thõa bËc hai ta ®· khai th¸c ®îc chïm
7 bµi to¸n tõ dÔ ®Õn khã hoÆc rÊt khã mÆt kh¸c còng rÌn luyÖn t duy
s¸ng t¹o cña häc sinh.
II/.Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc II. ≥ 2
§Æt th× Ta cã ngay bµi to¸n:
8. Bµi to¸n 8:
Cho sè d¬ng x.
Chøng minh r»ng: x + ≥ 2.
Khai th¸c bµi to¸n 8 ta thÊy: x. .
Do ®ã nÕu ta dïng 4 sè d¬ng a, b, c, d tho¶ m·n : abcd=1.
Khi ®ã: ab= (cd=
Ta kh¸m ph¸ ®îc bµi to¸n míi:
9. Bµi to¸n 9:
Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1
CMR: ab + cd ≥ 2 (hoÆc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2)
(Chøng minh bÊt ®¼ng thøc nµy chØ cÇn ®a vÒ bµi to¸n 8 b»ng
c¸ch dïng ®iÒu kiÖn abcd=1)
L¹i cã: a2 + b2 ≥ 2ab ; c2 + d2 ≥ 2cd.
Do ®ã : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2ab + 2cd
Liªn kÕt víi bµi to¸n 9 ta cã: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 2(ab + cd) ≥ 4
10. Bµi to¸n 10:
Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1
CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4
TiÕp tôc liªn kÕt bµi to¸n 9 vµ 10 ta cã:
11. Bµi to¸n 11:
7
Cho a, b, c, d lµ 4 sè d¬ng tho¶ m·n abcd=1
CMR: : a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10
Gi¶i
Tõ ®iÒu kiÖn a. b, c, d > 0 vµ abcd=1
Ta cã: : ab = ; ad = ; ca =
Do ®ã: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd)
= (cd + + (bc + + (bd + ≥ 2 + 2 + 2 = 6 (Bµi to¸n 9)
Mµ a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4 (bµi to¸n 10)
a2 + b2 + c2 + d2 + ab + cd + ac + bd ≥ 10
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = d
V©y tõ bÊt ®¼ng thøc (II) ta khai th¸c thµnh 1 chïm 4 B§T (8 )
III. Khai th¸c bÊt ®¼ng thøc III: (a + b)2 ≥ 4ab a, b
Lµ bÊt ®¼ng thøc ®a ra mèi quan hÖ cña b×nh ph¬ng1tæng víi tÝch
cu¶ chóng.
§Ó khai th¸c B§T (III) ta thªm ®iÒu kiÖn a,b lµ 2 sè d¬ng.
Chia 2 vÕ cña (III) cho ab(a + b) ta ®îc:
≥ + ≥
12. Bµi to¸n 12:
Cho a,b lµ 2 sè d¬ng
Chøng minh r»ng: + ≥
Gi¶i
XÐt hiÖu + - = = ≥ 0
VËy + ≥
DÊu “=” x¶y ra khi a=b
Khai th¸c bµi to¸n 12 t¬ng tù nh c¸ch khai th¸c bµi to¸n 1.
Ta cã: + ≥ c2 + d2 ≥ 4
+ ≥
+ ≥
Do ®ã nÕu céng theo vÕ cña 3 B§T trªn ta ®îc:
8
+ + ≥
13. Bµi to¸n 13:
Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng.
CMR: + + ≤
Gi¶i
Theo bµi to¸n 12:
≤ )
≤ )
≤ )
Céng theo vÕ cña 3 B§T trªn:
+ + ≤
DÊu “=” x¶y ra khi a=b=c
Khai th¸c bµi to¸n 13 b»ng c¸ch :
+ §Æt a= x + y; b= y + z; c= z + x
≤ + )
≤ + )
≤ + )
+ Thªm ®iÒu kiÖn : + = 4
Ta h×nh thµnh bµi to¸n 14 lµ mét B§T ®· lµ mét bµi thi ®¹i häc khèi A
n¨m 2005. §iÒu nµy cµng chøng tá viÖc häc sinh n¾m ch¾c kiÕn thøc
ngay tõ líp díi lµ v« cïng quan träng.
14. Bµi to¸n 14:
Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n: + = 4
CMR: + + ≤ 1
(§¹i häc khèi A – n¨m 2005)Gi¶i
- C¸ch 1
9
Ta cã : = ≤ ( + ) ≤ ( + + + )
T¬ng tù:
≤ ( + + + )
≤ ( + + + )
Céng theo vÕ 3 B§T trªn:
+ + ≤ . 4 ( + )
Mµ + = 4
VËy + + ≤ 1
DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z =
- C¸ch 2:
Ta cã = ≤ ( + ) ≤ + ( + ) = + +
T¬ng tù:
≤ + +
≤ + +
Céng theo vÕ c¸c B§T:
+ + ≤ ( + + )=1
VËy + + ≤ 1
Khai th¸c bµi to¸n 14 b»ng c¸ch ®Æt vµo tam gi¸c ta cã:
15. Bµi to¸n 15:
XÐt tam gi¸c ABC cã: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p kh«ng ®æi.
CMR: + + ≤
Gi¶i¸p dông bµi to¸n 12
Ta cã: = ≤ ( + )
≤ ( + )
10
≤ ( + )
Céng theo vÕ cña 3 B§T ta ®îc:
+ + ≤ ( + + + + + ) =
(a + b + c) = .2p =
DÊu “=” x¶y ra khi Δ ABC ®Òu cã a = b =c =
TiÐp tôc khai th¸c b¶i to¸n trong tam gi¸c vÒ mèi quan hÖ gi÷a c¹nh cña tam gi¸c vµ chu vi cña nã ta cã:
16. Bµi to¸n 16
Trong Δ ABC cã chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh ).
CMR : + + ≥ 2 ( + + )
Gi¶i
NhËn xÐt : p - a = - a = > 0 ( v× b + c > a bÊt ®¼ng
thøc tam gi¸c )
T¬ng tù : p - b > 0 ; p- c > 0.
MÆt kh¸c : p - a + p - b = 2p - a - b = c
p - b + p - c = a
p - c + p - a = b
Do ®ã ta nghÜ ®Õn viÖc dïng bÊt ®¼ng thøc bµi to¸n 12 nh sau:
+ ≥ =
+ ≥
+ ≥
Céng theo vÕ cña bÊt ®¼ng thøc ta cã :
+ + ≥ 2 ( + + )
DÊu ‘=’ x¶y ra khi Δ ABC ®Òu
11