chuyên Đề ptĐt trong mp

8/17/2019 Chuyên Đề PTĐT Trong Mp

1/64

Chuyên đề phươ ng trình đườ ng thẳ ng trong mặt phẳ ng

1

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

MỤC LỤC

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 2

2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2

4. Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu ..................................................................... 2

5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 2

6. Dự kiến đóng góp của đề tài ......................................................................... 3

CHƢƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ................................................................ 4 1. Phƣơng trình đƣờng thẳng............................................................................. 4

2. Khoảng cách và góc ...................................................................................... 5

3. Các dạng bài tập ............................................................................................ 7

CHƢƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN .............................................. 13 1. Điểm và đƣờ ng thẳng .............................................................................. 13

2. Điểm và đƣờ ng thẳng liên quan tớ i tam giác .......................................... 19

3. Điểm và đƣờ ng thẳng liên quan tớ i tứ giác ............................................. 37

CHƢƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC

NHAU ................................................................................................................. 54

KẾT LUẬN ......................................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 64


2/64


2

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Đƣờng thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toánTHPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG.

Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài

“phƣơng trình đƣờ ng thẳng trong mặt phẳng”.

Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng

ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập.

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm đƣợ c các dạng toán này,

tránh những sai lầm dễ mắc phải.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Đƣa ra đƣợ c những dạng bài tậ p về đƣờ ng thẳng trong mặt phẳng.

4. Phạm vi, đối tƣợng nghiên cứu

Phạm vi: Học sinh lớ p 10, ôn thi THPPQG.

Đối tƣợ ng: Học sinh lớ p 10, ôn thi THPTQG.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấ p THPT trong nhiều năm và

kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mớ i CT - SGK vừa qua.- Phƣơng pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.

- Phƣơng pháp thử nghiệm.

- Phƣơng pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng.

- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận.

- Phƣơng pháp khảo sát, thống kê.


3/64


3

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

6. Dự kiến đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống các dạng phƣơng trình đƣờ ng thẳng trong

mặt phẳng.


4/64


4

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

CHƢƠ NG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Phƣơng trình đƣờng thẳng

1.1. Phƣơng trình tổng quát của một đƣờ ng thẳng

Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng có dạng 0ax by c

2 2 0a b vớ i ;n a b là véc tơ pháp tuyến.

Nhận xét: Nếu n là một véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng thì .k n cũng là

một véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng .1.2. Phƣơng trình tham số của một đƣờ ng thẳng

Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng đi qua điểm0 0;M x y và có véc tơ

chỉ phƣơng1 2;u a a là: 0 1

0 2

x x a t

y y a t ( 2 2

1 2 0a a , t là tham số)

Nhận xét: Nếu u là một véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng thì .k u cũnglà một véc tơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng .

1.3. Phƣơng trình chính tắc của đƣờ ng thẳng

Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng đi qua điểm0 0;M x y và có véc tơ

chỉ phƣơng1 2;u a a là: 0 0

1 2

1 2

, . 0x x y y

a a a a

1.4. Phƣơng trình đƣờ ng thẳng theo đoạn chắn

Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ;0 0; , , 0A a và B b a b là:

1x y

a b

đƣợc gọi là phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn.


5/64


5

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Chú ý: Nếu có hai điểm , ,; ; 0A A B B B A B A

A x y và B x y x x y y thì ta có

phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ; ;A A B B

A x y và B x y là:

A A

B A B A

x x y y x x y y

2. Khoảng cách và góc

2.1. Khoảng cách

Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 0ax by c và điểm0 0;M x y .

K hoảng cách từ điểm M đến đƣờng thẳng đƣợc tính bởi công thức:

0 0

2 2

,

ax by c d M

a b

Cho đƣờng thẳng cắt nhau và có phƣơng trình: 0ax by c và

0a x b y c .

Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc giữa hai đƣờng thẳng và là:

2 2 2 2

ax by c a x b y c

a b a b

Chú ý: Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 0ax by c và hai điểm

,; ;M M N N

M x y N x y không nằm trên . Khi đó:

+) Hai điểm M, N nằm cùng phía với khi và chỉ khi

0M M N N

ax by c ax by c

+) Hai điểm ,M N nằm khác phía với khi và chỉ khi

0M M N N

ax by c ax by c

2.2. Góc

Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 0ax by c và đƣờng thẳng có

phƣơng trình: 0a x b y c .


6/64


6

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Gọi là góc giữa hai đƣờng thẳng và ta có:

2 2 2 2

.

aa bbCos

a b a b


7/64


7

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

3. Các dạng bài tập

Chú ý:

Các điểm đặc biệt trong tam giác

Cho tam giác ABC, khi đó:

+) Trọng tâm G( ; )3 3

A B C A B C x x x y y y

+) Tr ực tâm H:. 0

. 0

AH BC

BH AC

+) Tâm đƣờ ng tròn ngoại tiế p I:2 2

2 2

IA IB

IA IC

Các đƣờng đặc biệt trong tam giác:

+) Đƣờ ng trung tuyến của tam giác: Khi gặp đƣờ ng trung tuyến của tam giác, ta

chủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.

+) Đƣờ ng cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc vớ i

cạnh đối diện.

+) Đƣờ ng trung tr ực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và

vuông góc vớ i cạnh đó.

+) Đƣờ ng phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB,

M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC.

Một số bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đƣờng cao không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố

còn lại.


8/64


8

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Cách giải: - Viết phƣơng trình cạnh AB qua A và vuông góc vớ i .CK

- Viết phƣơng trình cạnh AC qua A và vuông góc vớ i .BH

H

K

A (a ,b )

B C

Bài toán 2: Cho một đỉnh và hai đƣờ ng trung tuyến không qua đỉnh đó. Tìm các

yếu tố còn lại.

Cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm

tìm tọa độ điểm C , thay tọa độ C vào phƣơng trình CN tìm tham số và điểm

C .

- Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, theo công thức trung điểm

tìm tọa độ điểm B , thay tọa độ B vào phƣơng trình BM tìm tham số và điểm

B .

M N

A(a ,b )

B C

Bài toán 3: Cho một đỉnh và hai đƣờng phân giác trong không qua đỉnh đó. Tìm

các yếu tố còn lại.

Cách giải: - Gọi 'A và ''A là hai điểm đối xứng của A qua đƣờ ng phân giác

'BB và 'CC ( 'A và ''A thuộc cạnh BC ).

- Viết phƣơng trình cạnh BC , tìm tọa độ điểm B và .C


9/64


9

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

:ax+by+c=0

B xB;yB A x A;y A

M

A

B C

A' '

A'

Bài toán 4: Cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trƣớ c. Tìm

các yếu tố còn lại.

Cách giải: - Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm tọa độ của điểm chia

đoạn thẳng theo tỉ số k …

Bài toán 5. Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy, cho đƣờ ng thẳng

2 2: 0 0ax by c a b . và hai điểm ;y , ;A A B B

A x B x y không

thuộc . Xác định điểm M trên đƣờ ng thẳng , biết đƣờ ng thẳng AM

vuông góc với đƣờ ng thẳng AB . Cách giải:

- Viết phƣơng trình đƣờ ng thẳng AM qua A và vuông góc với đƣờ ng thẳng

AB.

- Xác định tọa độ giao điểm của đƣờ ng thẳng AM và đƣờ ng thẳng .


10/64


10

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

C xC;yC

:ax+by+c=0 A

B

M1

A

M2

B

M


2 2: 0 0ax by c a b và điểm ;C C

C x y không thuộc . Xác

định tọa độ điểm A trên đƣờ ng thẳng , biết góc giữa hai đƣờ ng thẳng AC và

bằng .

Cách giải:

- Tham số hóa điểm A.

- Sử dụng công thức.

cosAC u

AC u ( u là véc tơ chỉ phƣơng của đƣờ ng

thẳng ).

- Giải phƣơng trình ở bƣớ c 2 và k ết luận.

Bài toán 7. Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt;y , ;

A A B B A x B x y . Xác định điểm M trên đƣờ ng thẳng AB, biết

; ,k 0AM kBM k R .

Cách giải:

- Giả sử ;M x y

- Xác định M trong hai trƣờ ng hợ p:

-

Trƣờ ng hợ p 1: AM kBM (điểm M nằm trong đoạn AB).

- Trƣờ ng hợ p 2: AM kBM (điểm M nằm ngoài đoạn AB).


2 2

: 0 0ax by c a b và hai điểm ;y , ;A A B B A x B x y không


11/64


11

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

M

B

A

thuộc . Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho

, , 0d M AB k k R k .

Cách giải:

-

Tham số hóa điểm M.

-

Sử dụng công thức tính khoảng cách ,d M A B .

- Giải phƣơng trình ở bƣớ c 2 và k ết luận.

Bài toán 9. Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm;y , ;

A A B B A x B x y . Viết phƣơng trình đƣờ ng thẳng đi qua điểm

0 0;M x y

và thỏa mãn hệ thức , . , ; , 0d A k d B k R k .

Cách giải:

-

Giả sử 2 20 0

: 0ax by ax by a b

- Sử dụng hệ thức , . , *a b

d A k d B a b

- Chọn a, b đại diện và thỏa mãn *

Một số bài toán dựng hình cơ bản

+) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đƣờ ng thẳng

Lập đƣờ ng thẳng d đi qua A và vuông góc vớ i

H d

+) Dựng A’ đối xứng với A qua đƣờ ng thẳng

Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên


12/64


12

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Lấy A’ đối xứng vớ i A qua H: '

'

2

2A H A

A H A

x x x

y y y

+) Dựng đƣờ ng thẳng d’ đối xứng với d qua đƣờ ng thẳng

Lấy hai điểm M, N thuộc d. Dựng M’, N’ lần lƣợt đối xứng vớ i M, N qua

. Khi đó ' ' 'd M N


13/64


13

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

CHƢƠ NG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN

1. Điểm và đƣờng thẳng

A-Ví dụVí dụ 1:

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I tạo với đƣờng thẳng

0: 2 3 3 0 45d x y góc .

Lời giải:

Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I có dạng:

2 22 3 0 , 0 .a x b y a b

Hay : 2 3 0ax by a b

Mà góc tạo bởi 2 đƣờng thẳng d và bằng 045 suy ra:

0

2 2

2 2

22 2

2 2

2 345

. 13 2 3

2 2 . 13

2 2 3 13

5 24 5 0

a bCos

a b

a b

a b

a b a b

a ab b

+ Chọn 0 0b a ( loại)

+ Chọn 25

1 5 24 5 0 1

5

a

b a a a

Vậy PT đƣờng thẳng là: 5 13 0x y hoặc 5 13 0x y

Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng.

Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có

thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và

b.

Ví dụ 2:


14/64


14

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I và cách đều 2 điểm

(5; 1)A và (3;7).B

Lời giải:

Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm ( 2;3)I có dạng:

2 22 3 0 , 0a x b y a b

Hay : 2 3 0ax by a b

Mà ; ;d A d B

2 2 2 2

7 4 5 4

7 4 5 4

4

0

a b a b

a b a b

a b a b

a b

a

Vậy có 2 đƣờng thẳng là:4 5 0x y hoặc 3 0y

Nh ận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là

đường thẳng song song hoặc trùng với AB , đi qua trung điểm của AB .

Ví dụ 3:

Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình: 2 0x y . Viết phƣơng trình

đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng và cách một khoảng bằng 2 .

Lời giải:

PT đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng có dạng:

0, 2x y m m

Chọn điểm ( 2;0)M thuộc . Theo bài ra ta có: , 2d M hay

m 2 42 2 2

02

m m

m

Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng là: 0x y hoặc 4 0x y

Ví dụ 4( Khối A-2006):


15/64


15

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đƣờng thẳng

1 2 3: 3 0, : 4 0 : 2 0.d x y d x y và d x y Tìm tọa độ điểm M

thuộc3d sao cho khoảng cách từ M đến

1d bằng 2 lần khoảng cách từ M đến

2.d

Lời giải:

Gọi3

2 ;M a a d

Theo bài ra ta có1 2

, 2 ,d M d d M d

2a a 3 2a a 42.

2 2

3a 3 2 a 4

11

1

a

a

Vậy 22; 11M hoặc 2,1 .N

Ví dụ 5 ( Khối B-2011):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đƣờng thẳng : 4 0x y và

: 2 2 0d x y . Tìm tọa độ điểm N thuộc đƣờng thẳng d sao cho đƣờng

thẳng ON cắt đƣờng thẳng tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.

Lời giải:

+) Gọi ;2 2 ; 4N a a d và M b b

+) Đƣờng thẳng ON cắt đƣờng thẳng tại điểm M nên O, M, N thẳng hàng hay

4 4 2 2

4 2 2 2

b ka a OM kON a b a b b

b k a a

(1)

+) Mà


16/64


16

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

2 22 2

2 22 2 2

2

. 8 4 2 2 64

5 8 4 4 2 5 10 8 5 6 0

05 6 0 6

5

OM ON b b a a

a a a a a a a

a

a a a

Vậy 0; 2N hoặc6 2;

5 5N

Ví dụ 6:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M(1;2). Viết phƣơng trình đƣờng

thẳng đi qua M cắt tia Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác AOB có diện tích nhỏ

nhất.

Lời giải:

PT đƣờng thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), cắt Oy tại B(0;b):

1 , 0x y

a ba b

1 21,2 1M d a b

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:1 2 1 2

1 2 . 8aba b a b

Mà :

. 8 214 4 1 2 42AOB AOB min

a b a S ab S

ba b

Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng d là: 12 4

x y

B-Bài tập

Bài tập 1: Cho điểm 2; 1A . Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng

:2 4 0d x y sao cho 2.AM

ĐS:1 2

11 21; 2 , ; .

5 5M M


17/64


17

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm 1; 1M lên đƣờng thẳng

: 2 0.d x y

ĐS: 2;0 .H

Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M là đối xứng của 1;1M qua đƣờ ng thẳng

: 2 0.d x y

ĐS: 3; 3 .M

Bài tập 4: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 1;3A và cách điểm

2;1B một khoảng bẳng 3.

ĐS:1 2: 1 0; :5 12 41 0.x x y

Bài tập 5: Viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong góc A của tam giác ABC

biết 1;1 , 4;5 , 4; 11 .A B C

ĐS: 4 7 11 0.x y

Bài tập 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 3;1M cắt ,Ox Oy lần lƣợt

tại A và B sao cho:

a) OA OB nhỏ nhất.

b) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.

c) 2 2

1 1

OA OB nhỏ nhất.

ĐS: a) 3 3 3 3 3 6x y , b) 3 6x y , c) 3 10.x y

Bài tập 7: Cho đƣờng thẳng : 2 1 0d x y và hai điểm 1; 1 , 2;0 .A B

Tìm tọa độ điểm M thuộc đƣờng thẳng d sao cho:

a) MA MB nhỏ nhất.

b) MA MB lớn nhất.


18/64


18

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

ĐS: a)31 33

;35 35

M , b) 5;3 .M

Bài tập 8: ( Khối B-2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 1;1A và

4; 3B Tìm điểm C thuộc đƣờng thẳng 2 1 0x y sao cho khoảng cách

từ C đến AB bằng 6.

ĐS: C(7;3)

Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đƣờng thẳng : 2 2 0d x y và

điểm 1;1 .I Viết phƣơng trình đƣờng thẳng cách điểm I một khoảng bằng

10 và tạo với đƣờng thẳng d một góc bằng 045 .

ĐS: 3 6 0, 3 14 0, 3 8 0, 3 12 0.x y x y x y x y

Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1). Viết phƣơng trình

đƣờng thẳng đi qua điểm M và cắt 2 đƣờng thẳng

21 3 5 0, :: 4 0x y d x y d lần lƣợt tại hai điểm A, B sao cho

2 3 0.MA MB ĐS: 0, 1 0x y x

Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho điểm 1;2 .M Viết phƣơng trình

đƣờng thẳng đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B khác O sao cho2 2

9 4

OA OB nhỏ

nhất.

ĐS: 2 9 20 0x y

Bài tập 12: Cho đƣờng thẳng : 2 0d x y và 2;1 , 1; 3 , 1;3 .A B C

Tìm M thuộc d sao cho:

a) MA MB lớn nhất.

b)

2 2 2MA MB MC nhỏ nhất.

c)

MA MB MC nhỏ nhất.


19/64


19

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

2. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tam giác

A- Ví dụ

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm 1; 2 , 3;3 .A B Tìm tọa độ

điểm C thuộc 2: 0x y sao cho tam giác ABC vuông tại C .

Nh ận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải:

Gọi ; 2C c c ta có: 1; 4 , 3; 1AC c c BC c c

Mà tam giác ABC vuông tại C suy ra . 0AC BC

1 3 4 1 0

1 2 7 0

7

2 1

c c c c

c c

c

c

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán: 7 3

1; 3 , ; .2 2

C C

Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho 2;1 .A Tìm tọa độ điểm B trên

: 2 2 0x y và điểm C trên : 2 2 0d x y sao cho tam giác ABC

vuông cân tai A.Nh ận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau.

Lời giải:

Gọi 2 2 ; , 2 2;B b b C c c d , ta có

2 4; 1 , 2 ; 1AC c c AB b b

Theo bài ra tam giác ABC cân tại A nên:2 2. 0AB AC

AB AC


20/64


20

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

2 2 22

2 2 4 1 1 0 1

4 1 2 4 1 2

b c b c

b b c c

Xét PT (1): 2 2 4 1 1 0b c b c

Nếu b = 0 thì c = 1 không thỏa mãn PT (2) suy ra 0.b

Khi đó PT (1)1 1

2 42

b c c

b

Thay vào PT (2) ta đƣợc

2 2

2 22

2

1 14 1 1

4

b c b b c

b

2

22

2

14 1 1 0

4

c b b

b

2

2

11 0

4

c

b

221 4c b

1 2

1 2

c b

c b

Trƣờng hợp 1:

51 2

32 4 1 1

3

c c b

c bb

Suy ra4 1 4 5; , ;

3 3 3 3B C

Trƣờng hợp 2:1 2 3

2 4 1 1

c b c

c b b

Suy ra 4; 1 , 4; 3 .B C


21/64


21

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Vậy với4 1 4 5; , ;

3 3 3 3B C hoặc 4; 1 , 4;3B C thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3:

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC biết PT các đƣờng thẳng

chứa các cạnh ,AB BC lần lƣợt là:4 3 4 0; 1 0.x y x y Phân giác

trong của góc A có phƣơng trình: 2 6 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh của tam

giác .ABC

Lời giải:

D

A

B C

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ PT:

4 3 4 0 22;4

2 6 0 4

x y x A

x y y

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:

4 3 4 0 11;0

1 0 0

x y x B

x y y

Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua điểm 2;4A có dạng:

2 4 0 2 4 0a x b y ax by a b

Gọi : 2 6 0d x y

Theo bài ra ta có d là phân giác trong của góc A nên:

, ,Cos AB d Cos AC d

2 2

1.a 2.b 4.1 2.3

. 5 25. 5a b

2 2 a b 2 a b


22/64


22

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

3 4 0a a b

0

3 4 0

a

a b

+) Nếu 0 0. : 4 0a b Do ó AC y đ

+) Nếu 3 4 0 :a b chọn 4 3.a thìb

: 4 3 4 0Suy ra AC x y (trùng vớ i AB )

Vậy PT đƣờng thẳng : 4 0AC là y

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:

4 0 55;4

1 0 4

y x C

x y y

Vậy với 2;4 ; 1;0 ; 5;4A B C thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Nh ận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm

ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC. Khi đó ta viết được

phương trình đường AC.

B'

A

B C

D

Ví dụ 4( Khối D-2011):Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 4;1 ,B trọng

tâm 1;1G và đƣờng phân giác trong của góc A có PT: 1 0.x y Tìm tọa

độ đỉnh A và .C

Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự như ví dụ trên.

Lời giải:


23/64


23

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

I

G M K

A

B C E

Gọi AE là đƣờng phân giác trong của góc A suy ra : 1 0AE x y

Gọi M là trung điểm của .AC Do G là trọng tâm tam giác ABC nên

1

2GM BG

Mà5 7 71

5;0 ;12 221 0 1

M M

M M

x x BG suy ra M

y y

Từ B kẻ BK vuông góc với )(AE K AC tại I ; Tam giác ABK có AI vừa là

đƣờng cao vừa là đƣờng phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK .

Đƣờng thẳng BK AE nên BK có dạng : 0.x y c

Mà B BK nên 4 1 0 3c c Suy ra PT đƣờng thẳng : 3 0.BK x y

Ta thấy ,I BK I AE nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

1 0 1 1; 2

3 0 2

x y x I

x y y

Lại có I là trung điểm của BK nên ta có tọa độ điểm 2; 5 .K

Suy ra3 3; 6 1;4

2 2MK

Đƣờng thẳng AC đi qua 2 điểm ,M K nên có phƣơng trình:

2 5

1 4

x y

4 13 0x y

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:


24/64


24

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

4 13 0 4 4; 3

1 0 3

x y x A

x y y

M là trung điểm của AC nên 3; 1C

Vậy 4;3 ; 3; 1 .A C

Ví dụ 5( Khối D-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho điểm 0;2A và là đƣờng thẳng đi qua

.O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phƣơng trình đƣờng

thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng .AH

Lời giải:

Gọi véc tơ chỉ phƣơng của là: 2 2; , 0u a b a b

PT tham số của đƣờng thẳng qua 0;0O và có véc tơ chỉ phƣơng ;u a b là:

x at

y bt

; ; 2H H at bt AH at bt

2 2 . 0 2 0AH AH u a t b b

2 2

2 1

bt

a b

Lại có: ,0d H x AH

22 2 2 2 2b t a t bt

2 2 4 4 0 2a t bt

Từ 4 2 2 41 , 2 : . 0tacó a a b b

Chọn 4 22 : 2 4 0 1 5a tacó b b b


25/64


25

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Vậy PT đƣờng thẳng là2

1 5

x t

y t hoặc

2

1 5

x t

y t

Ví dụ 6 ( Khối B-2010):Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại ,A có đỉnh

4;1 ,C phân giác trong góc A có PT: 5 0.x y Viết phƣơng trình

đƣờng thẳng ,BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ

dƣơng.

Nh ận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và khác

phía với một đường thẳng.

A B

C

C'

Lời giải:

Gọi: d là đƣờng phân giác trong góc ,A ;5A a a d

4 ; 4AC a a

Đƣờng thẳng d có véc tơ pháp tuyến 1;1n suy ra có véc tơ chỉ phƣơng

1; 1u

Tam giác ABC vuông tại A ta có:

.,

.

AC u Cos AC d

AC u

2 2

4 4 1

22. 4 4

a a

a a


26/64


26

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

2 2

2 4 4a a a

2 2 24 2 32 16a a a

4a ( do a có hoành độ dƣơng)

Suy ra 4;1A suy ra 8AC và 8,0 .AC

Gọi ;B x y ta có2 2

4; 1 4 1AB x y AB x y

Theo bài ra ta có:1

.2ABC

S AB AC

2 2124 .8. 4 12

x y (1)

Mà . 0 8. 4 0. 1 0 4AB AC x y x

Thay vào (1) ta đƣợc 7y hoặc 5y . Suy ra 4;7B hoặc 4; 5B .

Xét hàm số: ; 5F x y x y

Với 4;7B , ta có: ; . ; 48 0.B B C C F x y F x y Suy ra B và C nằm khác

phía với đƣờng phân giác góc A. Còn 4; 5B (loại).

Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng : 3 4 16 0.BC x y

Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta có thể làm như sau:

B1: Tìm C’ là ảnh của C qua d.

B2: Gọi A thuộc d, tìm tọa độ điểm A.

B3: Viết phương trình đường AC’.

B4: Gọi tọa độ điểm B thuộc AC’. Tính diện tích AB. Với điều kiện B, C’ nằm

cùng phía với điểm A. Hay AB cùng chiều với 'AC .

Ví dụ 7 ( Khối A-2010):

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh 6;6 ,A

đƣờng thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB và AC có phƣơng


27/64


27

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

trình: : 4 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh B và ,C biết điểm 1; 3E

nằm trên đƣờng cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.

Lời giải:

I

H B C

A

E

Gọi H là chân đƣờng cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC

AH suy ra AH có phƣơng trình: 0x y c

AH qua A suy ra 6 6 0 0c c

Phƣơng trình đƣờng cao AH là: 0.x y

Gọi I là giao điểm của và AH nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

4 0 2 (2;2)

0 2

x y x A

x y y

Theo tính chất đƣờng trung bình ta có I là trung điểm của AH

Suy ra .2; 2H

PT đƣờng thẳng BC qua H và song song với có dạng: 0.x y d

H thuộc BC 2 2 0 4d d

Suy ra phƣơng trình đƣờng thẳng : 4 0BC x y

Gọi1 1 2 2

4 ;; ; 4B x x C x x ta có:

2 2 1 11 1 ; 6; 10;CE x x AB x x

Theo bài ra ta có:

2 1 2 1. 0 1 6 1 10 0CE AB x x x x (1)

Mặt khác H là trung điểm của BC nên:1 2

4x x (2)


28/64


28

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Từ (1), (2) ta có: 1

2

0

4

x

x hoặc 1

2

6

2

x

x

Vậy 0; 4 ; 4;0B C hoặc 6;2 ,; 2; 6 .B C

Ví dụ 8:

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có phân giác trong

: 0,AD x y đƣờng cao : 2 3 0,CK x y đƣờng thẳng AC đi qua

0; 1 .M Viết phƣơng trình các cạnh biết 2 .BA MA

Lời giải:

K

I

M

N

D

A

B C

Gọi N đối xứng với M qua AD thì N thuộc AB

Phƣơng trình đƣờng thẳng MN qua M và vuông góc với AD suy ra1 0: x y MN

Gọi I là giao của MN và AD suy ra tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:

10 1 12 ;

1 0 1 2 2

2

x x y I

x y y

Mà I là trung điểm của MN nên 1;0N

Đƣờng thẳng AB qua N và vuông góc với CK suy ra 2 1: 0x y AB

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

2 1 0 1 1;1

0 1

x y x A

x y y

Đƣờng thẳng AC qua Avà M nên 2 1: 0x y AC


29/64


29

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

12 1 0 1 ; 222 3 0 22

x y x C

x y y

Gọi 2 1;B b b AB

Ta có:2 2

2 22 2 1 5, .AB b b MA

Mà2

2 2 2 4 5 1 20BA MA MA AB b

2 1

1 4 3

b

b b

+) Nếu 1 3; 1b B Thỏa mãn

+) Nếu 3 5;3b B không thỏa mãn do ,B C nằm cùng một phía so với

.AD

Suy ra đƣờng thẳng BC qua B và C là:5 11

0.2 2

x y

Vậy phƣơng trình các cạnh là:

: 2 1 0,AB x y

: 2 1 0,AC x y

5 11: 0.

2 2BC x y

Ví dụ 9 ( Khối B-2013):Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có chân đƣờng cao hạ từ

đỉnh A là17 1

H ; ,5 5

chân đƣờng phân giác trong của góc A là 5;3D và

trung điểm của AB là 1;0 .M Tìm tọa độ đỉnh .C

Lời giải:


30/64


30

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

H

K

N

M

D

A

B C

Ta có AH qua H và vuông góc vớ i HD nên AH có phƣơng trình:

2 3 0x y

Gọi A 3 2a;a AH. Do M là trung điểm của AB nên MA MH

Suy ra2 2

13 2 1 13 5

3

a a a

a

+) Nếu1 17 1

;5 5 5

a thì A ( loại do A H )

+) Nếu 3 3;3a thì A

Phƣơng trình đƣờng thẳng AD qua A và D là: 3 0y

Gọi ,N a b là điểm đối xứng với M qua AD suy ra N AC và MN vuông

góc AD hay . 0 .8 .0 0 0MN AD a b a

Gọi K là giao điểm của MN và AD suy ra1

;2 2

a bK

13 0 5

2

bK AD b

Do đó 0;5N

Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua Avà N là: 2 3 15 0x y

Phƣơng trình đƣờng thẳng BC qua H và D là: 2 7 0x y

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

2 3 15 0 9 9;11

2 7 0 11

x y x C

x y y

Vậy 9;11 .C


31/64


31

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Ví dụ 10 ( THPTQG-2015):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại .A Gọi

H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC ; D là điểm đối xứng của B

qua H ; K là hình chiếu vuông góc của C trên đƣờng thẳng .AD Giả sử

5; 5 , 9; 3H K và trung điểm của cạnh AC thuộc đƣờng thẳng

10 0.x y tìm tọa độ điểm .A

Lời giải:

D H

M

C B

A

K

Gọi M là trung điểm AC . Ta có ,2

AC MH MK nên M thuộc đƣờng

trung trực của HK . Đƣờng trung trực của HK có phƣơng trình

7 10 0,x y nên tọa độ của M thỏa mãn hệ10 0

7 10 0.

x y

x y

Suy ra 0;10 ,M

Ta có ,HKA HCA HAB HAD nên AHK cân tại H , suy ra

.HA HK Mà ,MA MK nên A đối xứng vớ i K qua .MH

Ta có 5;15 ;MH đƣờ ng thẳng MH có phƣơng trình 3 10 0.x y

Trung điểm AK thuộc MH và AK MH nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ

9 33 10 0

2 2

9 3 3 0.

x y

x y

Suy ra 15;5 .A


32/64


32

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Nh ận xét: M ấ u chố t ở đây là ta nhớ đượ c tính chất đườ ng trung tuyế n trong

tam giác vuông để chỉ ra MH=MK. Nhớ đượ c tính chấ t chỉ ra .HAK HKA

B- Bài tập

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có 2;2A và các phân giác trong góc ,B góc C

lần lƣợt là: : 3 4 0, : 2 0.B C

x y x y Tìm tọa độ B và .C

Đáp số:6 14; , 9; 7 .

5 15B C

Bài tập 2: Cho các điểm 1;1 , 2;5 , 4;7 .A B C Chứng minh tam giác ABC

có góc A nhọn. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua Aasao cho

, ,B d C d d d lớn nhất.

Đáp số: 2 5 7 0.x y

Bài tập 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Điểm K thuộc đoạn BC sao

cho 3 .CK KB Điểm G thỏa mãn 2 .AG GK Điểm D thuộc BC sao

cho .GD GB Biết 7; 2 ,D phƣơng trình :3 13 0AK x y và điểm A

có tung độ âm. Viết phƣơng trình .AB

Đáp số: 3.x

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có:

: 2 0, :2 1 0, :4 7 0.AB x y AC x y BC x y

Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm 3 ;62M mà chia tam giác ABC

thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Đáp số: : 6 6 34 3 34 15 81 9 34 0.d x y

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có trực tâm 2;0H , trung tuyến

:3 7 8 0.CM x y Trung trực của BC là : 3 0.d x Tìm tọa độ điểm

.A


33/64


33

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Đáp số:16

2;2 , 2; .5

A A

Bài tập 6: Cho tam giác ,ABC phân giác trong : 2 0,AD x y đƣờng cao

:2 1 0.BH x y AB qua27

1;1 , .4ABC

M S Tìm , , .A B C

Bài tập 7: Cho tam giác ABC có A (0 2,5).A

A Ox x Hai đƣờng cao

hạ từ ,B C có phƣơng trình lần lƣợt là:

1 2: 1 0; :2 4 0.d x y d x y

Tìm tọa độ , ,A B C để diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Đáp số:1 5 3 7;0 , ; , ; 3 .

2 2 2 2A B C

Bài tập 8: Cho tam giác ABC và đƣờng thẳng : 3 1 0.x y Giả sử

7 14 194; , ; , 3;3

2 5 10

D E N theo thứ tự là chân đƣờng cao từ ,A B và trung

điểm .AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ,ABC biết trung điểm M của BC

nằm trên và hoành độ của điểm M nhỏ hơn hoặc bằng 4.

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có trực tâm 3;0H và trung điểm của BC là

6;1 .I Đƣờng thẳng : 2 3 0.AH x y Gọi ,D E lần lƣợt là chân đƣờng

cao kẻ từ B và C của tam giác ABC . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC , biết đƣờng thẳng : 2 0DE x và điểm D có tung độ dƣơng.

Đáp số: 1;2 , 4; 3 , 8;5 .A B C

Bài tập 10( Khối D-2009):

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có 2;0M là trung điểm

cạnh .AB Đƣờng trung tuyến và đƣờng cao qua đỉnh A lần lƣợt có phƣơng trình

:7 2 3 0; 6 4 0.x y x y Viết phƣơng trình đƣờng thẳng .AC


34/64


34

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng : 3 4 5 0AC x y

Bài tập 11(Khối B-2009):

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh 1;4A

và các đỉnh ,B C thuộc đƣờng thẳng : 4 0.x y X ác định tọa độ các

điểm B và C biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

Đáp số:11 3 3 5

; ; ;2 2 2 2

B C hoặc3 5 11 3; ; ;

2 2 2 2B C


Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu của C lên đƣờng thẳng AB là 1; 1 ,H đƣờng phân giác

trong của góc Acó phƣơng trình x y 2 0và đƣờng cao kẻ từ B có

phƣơng trình:4 3 1 0.x y

Đáp số:10 3

;3 4

C


Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho điểm 2;2A và các đƣờng thẳng

1 2: 2 0, : 8 0.d x y d x y Tìm hai điểm ,B C thuộc

1 2,d d sao cho

tam giác ABC vuông cân tại .A

Đáp số: 1;3 , 3;5B C hoặc 3; 1 , 5;3B C

Bài tập 14: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC với

5,AB đỉnh 1; 1 ,C đƣờng thẳng AB có phƣơng trình:

2 3 0,x y trọng tâm của tam giác ABC thuộc đƣờng thẳng:

2 0.x y Xác định tọa độ các đỉnh ,A B của tam giác .ABC

Đáp số: 1 34; , 6;

2 2A B hoặc

1 34; , 6;

2 2B A


35/64


35

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Bài tập 15: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có 4; 2 ,A

phƣơng trình đƣờng cao kẻ từ C và đƣờng trung trực của BC lần lƣợt là:

2 0, 3 4 2 0.x y x y Xác định tọa độ các đỉnh ,C B của tam giác

.ABC

Đáp số:1 9 7 1; ; ;

4 4 4 4B C

Bài tập 16: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có đỉnh 2,4 .A

Đƣờng thẳng đi qua trung điểm của ,AB AC có phƣơng trình:

4 6 9 0.x y Trung điểm của cạnh BC nằm trên đƣờng thẳng d có

PT: 2 2 1 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tam giác ABC có diện

tích bằng7

2 và đỉnh C có hoành độ lớn hơn 1.

Đáp số: 1;1 , 4;3B C

Bài tập 17: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC cân tại ,A phƣơng

trình các cạnh ,AB BC lần lƣợt là: 2 1 0, 3 5 0.x y x y Viết

phƣơng trình cạnh AC biết AC đi qua điểm 1; 3 .M

Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC: 2 11 31 0x y

Bài tập 18: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có phƣơng trình

đƣờng phân giác trong góc A là1 : 2 0,d x y phƣơng trình đƣờng cao vẽ

từ B là2 : 2 1 0,d x y cạnh AB đi qua 1; 1 .M Viết phƣơng trình cạnh

.AC

Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng AC: 2 7 0.x y

Bài tập 19: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho 2 đƣờng thẳng

1 : 2 5 3 0,d x y

2 : 5 2 7d x y cắt nhau tại A và điểm 7;8 .P


36/64


36

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng3d đi qua P tạo với

1 2,d d thành tam giác cân tại

A và có diện tích bằng29

.2

Đáp số: Phƣơng trình đƣờng thẳng3 : 7 3 25 0.d x y


37/64


37

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

3. Điểm và đƣờng thẳng liên quan tới tứ giác

Chú ý: Khi giải các bài toán về hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và

hình vuông, chúng ta cần chú ý đế n tính chất đố i xứ ng. Chẳ ng hạn, giao điể m

hai đường chéo là tâm đố i xứ ng của hình bình hành; hai đườ ng chéo của hình

thoi là tr ục đố i xứng…

A- Ví dụ

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy viết phƣơng trình các cạnh hình bình hành

ABCD biết tâm hình bình hành là 1;6I còn các cạnh , , ,AB BC CD DA

lần lƣợt đi qua ; ;3; 0 6;6 5;9 5;4; .M N P Q

Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình bình hành.

Lời giải:

I

C

A

B

D

M

N

P

Q

M '

Q'

Do I là tâm hình bình hành nên lấy M đối xứng với M qua I .

( 1;12),M M CD PT đƣờng thẳng CD qua P và M là:

2 23 0.x y

PT đƣờng thẳng AB qua M và song song với CD là: 2 3 0x y .

Lấy Q đối xứng với Q qua (7 ) à;8I Q v Q BC

PT đƣờng thẳng BC qua N và Q là: 2 6 0x y

PT đƣờng thẳng AD qua Q và song song BC là: 2 13 0x y

Vây PT các cạnh HBH là: : 2 23 0CD x y

: 2 3 0AB x y

: 2 6 0BC x y

: 2 13 0AD x y


38/64


38

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Nh ận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N, P qua tâm I. Khi đó

ta tìm được tọa độ hai điểm đối xứng là N’ và P’ lần lượt nằm trên hai đường

thẳng AD và AB.

Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm1;0

2I và

đƣờng thẳng : 2 2 0AB x y và 2 .AB AD Tìm tọa độ các đỉnh của

hình chữ nhật.

Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng tâm của hình chữ nhật.

Lời giải:

I

C

A B

D

M

M '

Lấy 0;1M thuộc đƣờng thẳng AB

Do I là tâm HCN nên lấy M đối xứng với M qua (1; 1),I M M CD PT

đƣờng thẳng CD qua M và song song với AB là: 2 3 0x y .

1 2. 1 2 : , , 5

5Tacó AD d AB CD d M AB

2 2 5 , 5AB AD d I AD

PT đƣờng thẳng AD vuông góc với đƣờng thẳng AB là: 2 0x y c

1 4, 5 5

65

c c d I A D

c

Suy ra đƣờng thẳng AD có 2 PT: 2 4 0 2 6 0x y và x y

Trƣờng hợp 1: Nếu : 2 4 0AD x y



39/64


39

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

2 2 0 22,0 3;0

2 4 0 0

x y x A C

x y y

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:

2 3 0 11; 2 2;2

2 4 0 2

x y x D B

x y y

Trƣờng hợp 2: Nếu : 2 6 0AD x y


2 2 0 22;2 1; 2

2 6 0 2

x y x A C

x y y


2 3 0 33;0 2;0

2 6 0 0

x y x D B

x y y

Vậy tọa độ các đỉnh hình chữ nhật là:

2;0 ; 2;2 ; 3;0 ; 1; 2A B C D hoặc

2;2 ; 2;0 ; 1; 2 ; 3;0A B C D

Ví dụ 3( Khối D-2012):

Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật .ABCD Các đƣờng thẳng

AC và AD lần lƣợt có phƣơng trình là 2 3 0 4 0,x y và x y đƣờng

thẳng BD đi qua điểm

1

;1 .3M Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật

.ABCD

Lời giải:

I O

N

C

A

D

B

M


40/64


40

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268


3 0 33;1

4 0 1

x y x A

x y y

Gọi d là đƣờng thẳng qua M và song song với AD thì phƣơng trình d có dạng:

0 4x y m m

4 4: 0

3 3M d m d x y

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ PT:

4 1 10 1;3 133 0

3

x x y N

y x y

Gọi I là trung điểm của MN thì2 2;

3 3I

Gọi là đƣờng thẳng qua I và vuông góc với AB thì phƣơng trình của là:

0x y n

Điểm 0 : 0I n x y

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì tọa độ điểm O là nghiệm của hệ PT:

3 0 00;0

0 0

x y x O

x y y

Phƣơng trình đƣờng thẳng BD đi qua 2 điểm M, O có dạng: 3 0.x y

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ PT:3 0 1

1;34 0 3

x y x D

x y y

Do O là trung điểm của AC và BD nên ta có 1; 3 ; 3; 1B C

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là:

1;3 ; 1; 3 ; 3; 1 ; 3;1D B C A

Nh ận xét: Ở đây ta để ý để chỉ ra ON=OM.


41/64


42/64


42

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Đƣờng thẳng ,AM AN có véc tơ chỉ phƣơng lần lƣợt là:

11 2 ;7 4 , 1;2AM a a AN ta có:

0 .

45.

AM AN Cos

AM AN

2 2

25 101

2 11 2 7 4 . 5

a

a a

25 2 2 10 17a a a

225 2 2 10 17a a a

2 1

5 4 04

a a a

a

Vậy có 2 điểm A cần tìm là:1 2

1; 1 , 4;5A A

Ví dụ 5( Khối A- 2013):Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD với điểm C

thuộc đƣờng thẳng : 2 5 0 4;8 .d x y và A Gọi M là điểm đối xứng của

B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tìm tọa độ các điểm B và C ,

biết rằng 5;4 .N

Lời giải:

N (5;4)

I

M

C

A(-4;8) B

D


43/64


43

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Gọi ; 2 5 ,C t t d gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD suy ra I là trung điểm

của AC nên4 2 3;

2 2

t t I

Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB (trong tam giác vuông đƣờng trung

tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền) suy ra IN = IA

Do đó ta có phƣơng trình:

2 2 2 2

4 2 3 4 2 35 4 4 8

2 2 2 2

t t t t

1 1, 7t C

Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB

Mà CB = AD và CM song song với AD ( tính chất hình chữ nhật) nên tứ giác

ACMD là hình bình hành.

Suy ra AC song song DM

Lại có ,BN DM suy ra BN AC và .CB CN

Vậy B là điểm đối xứng với N qua AC. Phƣơng trình đƣờng thẳng AC qua A và C là: 3 4 0.x y

Đƣờng thẳng BN qua N và vuông góc với AC là: 3 17 0.x y

Gọi 3 17; ,B a a gọi K là trung điểm của BN suy ra3 22 4

;2 2

a a K

3 22 43 4 0 7 4; 7

2 2

a a K AC a B

Vậy 4; 7 , 1; 7B C .

Ví dụ 6 ( Khối B- 2013):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đƣờng

chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đƣờng thẳng BD có phƣơng trình:

2 6 0x y và tam giác ABD có trực tâm 3;2 .H Tìm tọa độ các đỉnh C

và D.


44/64


44

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Lời giải:

H

D

I

B C

A

Gọi I là giao điểm của AC và BD suy ra 045IB IC ICB

Mà IB IC (gt) nên tam giác BIC vuông cân tại I

BH AD BH BC HBC vuông cân tại B suy ra I là trung điểm của

HC.

Gọi3 2

; ;2 2

a bC a b I

Do . 0 2 3 2 0CH BD CH BD a b (1)

3 22. 6 0

2 2

a bI BD (2)

Từ (1), (2) suy ra1

1,66

a C

b

Ta có1

33

IC IB BC IC ID

ID ID AD

2 2 2: 10 5 2Mà CD IC ID IC ( theo pitago)

Gọi 6 2 , 5 2D t t DB vàCD

2 2 17 2 6 50

7

t t t

t

Vậy 1;6 , 4;1C D hoặc 1;6 , 8;7 .C D

Ví dụ 7:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hình thoi ABCD có đƣờng chéo BD nằm trên đƣờng thẳng : 2 0.x y Điểm 4; 4M nằm trên đƣờng


45/64


45

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

thẳng chứa cạnh BC, điểm 5;1N nằm trên đƣờng thẳng chứa cạnh AB.

Biết 8 2.BD Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết điểm D có

hoành độ âm.

Chú ý: Ở đây ta chú ý đến tính chất đối xứng trục của hình thoi.

Lời giải:

M '

D

I A C

B

M (4;-4)

N (-5;1)

Gọi M đối xứng với M qua 2;2BD M

Đƣờng thẳng AB qua M N nên : 3 8 0AB x y

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT:

2 0 77;5

3 8 0 5

x y x B

x y y

Gọi , 2 ,D d d

2 2

8 2 7 7 128 1 1, 3doBD d d d D

Gọi I là tâm hình thoi suy ra 3;1 ,I khi đó đƣờng thẳng AC qua I và vuông góc

với BD suy ra AC có phƣơng trình: 4 0.x y


4 0 11, 3 5, 1

3 8 0 3

x y x A C

x y y

Vậy tọa độ các đỉnh hình thoi là: 1;3 , 7;5 , 5; 1 , 1; 3A B C D .


46/64


46

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Nh ận xét: Bài toán trên có thể lấy đối xứng của điểm N qua trục đối xứng

AC. Khi đó ta tìm được tọa độ điểm đối xứng là N’ nằm trên đường thẳng AD.

Ví dụ 8:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hình vuông ABCD trong đó A

thuộc đƣờng thẳng1 : 1 0,d x y và C, D nằm trên đƣờng

thẳng2

3:2 0.x y d Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết hình vuông

có diện tích bằng 5.

Lời giải:

B

D C

A

Gọi I là tâm hình vuông ABCD .

Gọi1 2

;1 , 5 , 5ABCD

A a a d tacó S d A d AD

2 1 35

5

a a

1

3 2 5 7

3

a

a a

*) Với 1 1;0a A suy ra phƣơng trình cạnh : 2 1 0AD x y


2 3 0 11;1

2 1 0 1

x y x D

x y y

Gọi2

, 5C a b tacóC d vàDC



47/64


47

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

2 2

0

2 3 0 3

21 1 5

1

a

a b b

a a b

b

Suy ra 0;3C hoặc 2; 1 .C

+) Vớ i1 3

0,3 ; 2;22 2

C I B

+) Vớ i1 1

2, 1 ; (0; 2)2 2

C I B

*) Với7 7 10

;3 3 3

a A suy ra phƣơng trình cạnh AD là:

132 0

3x y


12 3 0 1 73 ;13 7 3 32 03 3

x y x D

x y y

Gọi2

; 5C a b tacóC d vàDC


2 2

4

312 3 03

1 725

3 3313

3

a

a b b

a ba

b

+) Vớ i4 1 11 11 10 4; ; ;3 3 6 6 3 3C I B


48/64


48

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

+) Vớ i2 13 5 23 4 16; ; ;

3 3 6 6 3 3C I B

Vậy có 4 hình vuông thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

1;0 , 2;2 , 0;3 , 1;1A B C D

hoặc 1; 0 , 0; 2 , 2; 1 , 1;1A B C D

hoặc7 10 10 4 4 1 1 7

; , ; , ; , ;3 3 3 3 3 3 3 3

A B C D

hoặc7 10 4 16 2 13 1 7; , ; , ; , ; .

3 3 3 3 3 3 3 3

A B C D

Ví d ụ 9 (Khối A-2014):

Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung

điểm AB , N thuộc cạnh AC sao cho 3AN NC . Viết phƣơng trình đƣờ ng

thẳng ,CD biết 1;2 , 2; 1 .M N

Lời giải:

D

A

C

B M

N

I

Ta có 10.MN Gọi a là độ dài cạnh hình vuông ,ABCD 0.a

Ta có2

a AM và

3 3 2,

4 4

AC a AN

nên2

2 2 2 52 . .cos .8

a MN AM AN AM AN MAN

Do đó2

5 10 4.8a a


49/64


49

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Gọi ;I x y là trung điểm của .CD Ta có 4IM AD và 2,4

BD IN

nên ta có hệ phƣơng trình

2 2

2 2

1; 21 2 1617 6

; .2 1 25 5

x y x y

x y x y

+) Vớ i 1; 2x y ta có 1; 2I và 0;4 .IM

Đƣờ ng thẳng CD đi qua I có vtpt IM có phƣơng trình: 2 0.y

+) Vớ i17 6

; .5 5x y ta có17 6

;5 5I và12 6

; .5 5IM

Đƣờ ng thẳng CD đi qua I có vtpt IM có phƣơng trình: 3 4 15 0.x y

B- Bài tập:

Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD có 1;2 , 3;0 .A B Chân đƣờng cao H

kẻ từ đỉnh A xuống đáy lớn CD thỏa mãn tam giác AHC vuông cân tại H và có

diện tích bằng 9. Tìm tọa độ các đỉnh hình thang.

Bài tập 2(Khối A-2005): Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đƣờng thẳng

1 : 0,d x y

2 : 2 1 0.d x y Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết

đỉnh A thuộc đƣờng thẳng1,d đỉnh C thuộc đƣờng thẳng

2d và B, D thuộc trục

hoành.

Đáp số:

1;1 , 0;0 , 1; 1 , 2;0A B C D hoặc 1;1 , 2;0 , 1; 1 , 0;0 .A B C D

Bài tập 3( Khối A-2009): Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật

ABCD có điểm 6;2I là giao điểm của hai đƣờng chéo AC và BD. Điểm

1;5M thuộc đƣờng thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đƣờng thẳng

: 5 0x y

Đáp số: AB: 5 0y hoặc 4 19 0.x y


50/64


50

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có các đƣờng

thẳng ,AB AD lần lƣợt đi qua các điểm 2;3 , 1;2 .M N Hãy lập phƣơng

trình đƣờng thẳng BC và CD, biết rằng hình chữ nhật ABCD có tâm 5 3;2 2I và

độ dài đƣờng chéo AC bằng 26.

Đáp số: : 7 0, : 3 0BC x y CD x y

hoặc : 3 4 14 0, : 4 3 12 0.BC x y CD x y

Bài tập 5: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình thoi ABCD có tâm 3;3I và

2 .AC BD Điểm4

2;3

M thuộc đƣờng thẳng AB, điểm13

3;3

N thuộc

đƣờng thẳng CD. Viết phƣơng trình đƣờng chéo BD biết B có hoành độ nhỏ hơn

3.

Đáp số : 7 18 0.BD x y

Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình thoi ABCD có đƣờng chéo

BD nằm trên đƣờng thẳng : 2 0.x y Điểm 4; 4M nằm trên đƣờng

thẳng chứa cạnh BC, điểm 5;1N nằm trên đƣờng thẳng chứa cạnh AB.

Biết 8 2.BD Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ,ABCD biết điểm D có

hoành độ âm.

Đáp số: 1; 3 , 7; 5 , 5; 1 , 1; 3A B C D

Bài tập 7: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình vuông ABCD có

đỉnh 4;5 ,A và một đƣờng chéo có phƣơng trình : 7 8 0.x y Viết

phƣơng trình các cạnh của hình vuông.

Đáp số: : 3 4 31 0, : 4 3 1 0,AB x y AD x y

: 4 3 24 0, : 3 4 7 0.BC x y CD x y


51/64


51

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Bài tập 8: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình thang cân ABCD có đáy lớn

CD. Biết 0;2 , 2; 2A D và giao điểm I của AC và BD nằm trên đƣờng

thẳng có phƣơng trình: : 4 0.d x y Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình

thang khi góc 0.45AID

Đáp số: 2 2;2 2 , 2 4 2;2 4 2B C

hoặc 4 3 2;2 2 , 4 4 2; 2 2B C

Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích

bằng 4. Biết 1;0 , 0;2A B và giao điểm I của hai đƣờng chéo nằm trên

đƣờng thẳng .y x Tìm tọa độ các đỉnh C và D.

Đáp số:5 8 8 2; , ;

3 3 3 3C D hoặc 1;0 , 0; 2 .C D

Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Biết

2 ,AB BC đƣờng thẳng AB đi qua điểm4;1 ,3M đƣờng thẳng BC đi qua

điểm 0;3 ,N đƣờng thẳng AD đi qua điểm1

4; ,3

P đƣờng thẳng CD đi qua

điểm 6;2 .Q Viết phƣơng trình các cạnh của hình vuông .ABCD

Đáp số: : 3 9 13 0, : 9 3 35 0,AB x y AD x y

: 3 3 0, : 3 0BC x y CD x y

hoặc : 3 17 13 0, : 17 3 71 0,AB x y AD x y

: 17 3 9 0, : 3 17 52 0.BC y CD x y

Bài tập 11: Cho tam giác .ABC Gọi , ,A B C là các điểm sao cho

, ,ABA C BCB ACAC B là các hình bình hành. Biết


52/64


52

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

1 2 30; 2 , 2; 1 , 0;1H H H là trực tâm của các tam giác , , .BCA CAB ABC

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác .ABC

Đáp số: 1;1 , 2; 1 , 1; 2 .A B C

Bài tập 12: Cho hình chữ nhật ABCD có 1;2H là hình chiếu vuông góc của

A xuống ,BD điểm9;3

2M là trung điểm .BC Trung tuyến kẻ từ A của tam

giác ADH là :4 4 0.d x y Viết phƣơng trình đƣờng thẳng .BC

Đáp số: :2 12 0, :2 8 33 0.BC x y BC x y

Bài tập 13: Cho hình chữ nhật ABCD có 5; 7 ,A điểm C nằm trên đƣờng

thẳng1 : 4 0.d x y Đƣờng thẳng đi qua đỉnh D và trung điểm của đoạn

thẳng AB là2 ;3 4 23 0.d x y tìm tọa độ của B và C biết điểm B có

hoành độ dƣơng.

Đáp số: 33 21; , 1;5 .5 5

B C

Bài tập 14: Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm cạnh CD và

đƣờng thẳng :13 10 13 0,BN x y điểm 1;2M thuộc đoạn AC sao

cho 4 .AC AM Gọi H là điểm đối xứng của N qua .C Tìm tọa độ các đỉnh

của hình bình hành, biết rằng 3 2CA AB và điểm H thuộc đƣờng thẳng

:2 3 0.x y

Đáp số:5 7 7 13; , ; , 1;1 , 3; 1 .

3 3 3 3A B C D

Bài tập 15: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đƣờng thẳng

:2 5 0d x y và 4;8 .A Gọi M là điểm đối xứng với B qua ,C N là

hình chiếu của B lên .MD Tìm tọa độ của , ,B C biết 5; 4 .N


53/64


53

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Đáp số: 4;7 , 1; 7 .B C

Bài tập 16: Cho 3 đƣờng thẳng:

1 2 3

:3 2 4 0, : 6 0, : 3 0.d x y d x y d x

Tìm tọa độ điểm3 1 2

, , ,A C d B d D d sao cho ABCD là hình vuông.

Đáp số: 4;4 , 2;4 , ,C 3;3 ; 3;5 .B D A

Bài tập 17: Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm ,AB đƣờng thẳng

:2 1 0DM x y và điểm 1; 1 .C Tìm tọa độ điểm D .

Bài tập 18 (Khối B-2014):

Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành .ABCD Điểm 3;0M là trung

điểm cạnh AB , điểm 0; 1H là hình chiếu vuông góc của B trên AD và

điểm4;3

3G là trọng tam tam giác .BCD Tìm tọa độ các điểm , .B D


54/64


54

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

I

F

M

N

D C

B A

CHƢƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCHKHÁC NHAU

Bài toán 1. Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi

1;3M là trung điểm của cạnh BC,3 1;

2 2N . là điểm trên cạnh AC sao cho

1

4AN AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết D nằm

trên đƣờ ng thẳng 3 0x y .

Phân tích:

-

Ta nhận thấy r ằng giả thiết bài toán xoay quanh ba điểm , ,D M N nên

giữa chúng xuất hiện những mối quan hệ đặc biệt. Bằng tr ực quan ta đƣa

ra giả thuyết DN MN . Nếu giả thuyết là đúng dựa vào bài toán 1 ta

sẽ tìm đƣợ c tọa độ điểm .D Từ đó ta sẽ tìm đƣợc các đỉnh còn lại của

hình vuông bằng phƣơng pháp tham số hóa quen thuộc.

-

Ta sẽ cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta

chọn hình vuông ABCD có tọa độ các đỉnh

2;2 , 2;2 , 2; 2 , 2; 2 .A B C Khi đó

. 0 .DN MN DN MN

Gi ải .

Trƣớ c hết ta sẽ chứng minh DN MN . Ta có thể chứng minh bằng một trong

các cách sau:

Cách 1. (Thuần túy hình phẳng)


55/64


56/64


56

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

M

N

A B

CD

-

Xét tam giác DCM , ta có 2 2 2 25

.4

DM DC CM a Suy ra

2 2 2 .DM DN MN DN MN

Sau khi chứng minh DN MN ta có

Phƣơng trình đƣờ ng thẳng : 1 0.DN x y

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 1 0 1

1; 23 0 2

x y x D

x y y .

Giả sử ; ,A m n từ 4 6 3 ;2 3 .AC AN C m n Từ

7 2 ;4 2 .AB DC B m n Suy ra tọa độ điểm

13 5 6 5; .

2 2

m n M

Từ đó ta có13 5 2 3

3;0 , 1; 4 ; 3;26 5 6 0

m m A B C

n n

Nh ận xét:

Để giải quyết bài toán 1 ta mở “ nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm D nhờ mối

quan hệ DN MN . Nhƣ vậy bài toán 1 thực chất đƣợ c xây dựng trên bài toán

hình phẳng thuần túy : Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điể m của cạnh

BC; N là điể m trên cạnh AC sao cho1

4AN AC . Chứ ng minh r ằ ng

DN MN

Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi

M là trung điểm của cạnh BC ,

3 1

;2 2N là điểm trên cạnh AC sao cho


57/64


57

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

N

D C

M

B A

1

4AN AC . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết đƣờ ng

thẳng DM có phƣơng trình 1 0x .

Phân tích:

- Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm , ,D M N . Bằng tr ực quan ta dễ

nhận thấy những nét giống bài toán 1.

- Theo k ết quả của bài toán 1, ta đã có DN MN . Tuy nhiên một vấn đề

nảy sinh là giả thiết bài toán 2 không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” chỉ vớ i

mối quan hệ vuông góc.

-

Từ đó ta đƣa ra nhận định, giữa ba điểm này có mối quan hệ ràng buộc

khác nữa. Ta dễ dàng nhận ra mối quan hệ này là tam giác DMN vuông

cân, hay 045NDM từ cách giải 4 trong bài toán 1.

Gi ải :

Để chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có thể thực hiện theo các

cách sau:

Cách 1: (Sử dụng công cụ lƣợ ng giác)

Đặt .AB BC CD DA a

Xét tam giác AND , ta có 2 2 2 25

2 . .cosA .8

DN AN AD AN AD a

Xét tam giác CMN , ta có 2 2 2 25

2 . .cosC .8

MN CN CM CN CM a

Xét tam giác DCM , ta có 2 2 2 25

.4

DM DC CM a Suy ra

2 2 2

DN MN DMN

DM DN MN vuông cân tại .N

Cách 2: (Thuần túy hình phẳ ng)


58/64


58

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Gọi I là giao điểm của hai đƣờ ng chéo AC và .BD Điểm F là trung điểm

của đoạn .DI Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là tr ực tâm tam

giác NDC nên CF DN . Mà CF//MN nên DN MN .

Tứ giác DNMC nội tiế p nên 045NMD NCD . Từ đó suy ra tam giác

DMN vuông cân tại .N

Cách 3: (Sử dụng công cụ véc tơ)

Đặt ; . 0;DA x DC y x y x y a . Ta có

3 1 1 3; ;

4 4 4 4DN x y MN DN DM x y Suy ra

2 23. 0 .

16DM MN x y DN MN

Lại có2

2 22 23 1 9 1 5

4 4 16 16 8

DN x y x y a ;

22 2

2 21 3 1 9 5

4 4 16 16 8MN x y x y a DN MN . Từ đó suy ra

tam giác DMN vuông cân tại .N

Cách 4: ( Sử dụng công cụ tọa độ )

Chọn hệ tr ục tọa độ nhƣ hình vẽ. Khi đó 0;0 , 0; , ;0D A a C a .

Ta có3

; ; ;2 4 4

a a a M a N .

Do đó

2 23 3 3 3; ; ; . .4 4 4 4 16 16a a a a DN MN DN MN a a DN MN


59/64


59

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Và 2 2 25

.8

DN MN a Hay tam giác DMN vuông cân tại .N

Sau khi chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có:

Giả sử 1;D d , ta có

2 2

1. 222

cos32

5 1

2 2

DM

DM

d DN u d NDM

d DN u d

Vớ i 2 1; 2d D . Phƣơng trình đƣờ ng thẳng : 2NM x y . Suy

ra (1;3)M .

Từ đó theo kết quả bài toán 1 ta có 3;0 ; 1; 4 ; 3;2A B C .

Vớ i 3 1;3d D . Phƣơng trình đƣờ ng thẳng AN . Suy ra (1; 2)M .

Từ đó theo kết quả bài toán 1.1 ta có M

Nh ận xét :

- Ta nhận thấy bài toán 1 và bài toán 2 là giống nhau về mặt hình thức,

song k ết quả bài toán 1 và bài toán 2 lại có sự khác nhau . Nguyên nhân

của sự khác nhau này chính là việc lựa chọn mối quan hệ ba điểm tạo

thành góc AM trong cách phát biểu bài toán.

- Từ đó ta cũng dễ dàng nhận ra bài toán 2 thực ra đƣợ c xây dựng dựa trên

bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông .ABCD Gọi M là

trung điể m của cạnh ,BC N là điể m trên cạnh AC sao cho

1

4AN AC . Chứ ng minh tam giác DMN vuông cân.

Một số bài tập áp dụng


60/64


60

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình vuông ABCD có phƣơng trình

đƣờ ng chéo : 5 0AC x y . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên

tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho .DN BM Đƣờ ng thẳng song song

vớ i AN k ẻ từ M và đƣờ ng thẳng song song vớ i AM k ẻ từ N cắt nhau ở

0; 3 .F Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ,ABCD biết điểm M nằm

trên tr ục hoành.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho hình vuông ABCD có 1;4 .A Trên

tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho

DN BM . Đƣờ ng thẳng song song vớ i AN k ẻ từ M và đƣờ ng thẳng song

song vớ i AM k ẻ từ N cắt nhau tại .F Biết phƣơng trình đƣờ ng thẳng

: x y 3 0CF . Xác định tọa độ các điểm , .M N Biết r ằng M nằm trên

tr ục hoành.

Bài 3: Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có hai

đƣờ ng chéo cắt nhau ở 0; 1 .I K ẻ AH và BK lần lƣợ t vuông góc vớ i BD

và .AC Đƣờ ng thẳng AH và BK cắt nhau ở 3 1;

2 2E . Xác định tọa độ các

đỉnh của hình chữ nhật ,ABCD biết điểm H nằm trên đƣờ ng thẳng

2 1 0x y

Bài 4: Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có hai

đƣờ ng chéo cắt nhau tại .I K ẻ AH và BK lần lƣợ t vuông góc vớ i BD và .AC

Đƣờ ng thẳng AH và BK cắt nhau tại .E Xác định tọa độ các đỉnh của hình

chữ nhật ,ABCD biết phƣơng trình đƣờ ng thẳng : 3 5 0BK x y ,

phƣơng trình đƣờ ng thẳng : 1 0IE x y và tọa độ điểm3 4;

5 5H .


61/64


61

Ths. Tr ần H ải 0982 358 268

Bài 5: Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC cân tại A, D

là trung điểm của đoạn .AB Biết r ằng11 5 13 5

; , ;3 3 3 3

I E lần lƣợt là tâm đƣờ ng

tròn ngoại tiế p tam giác ,ABC tr ọng tâm tam giác .ADC Các điểm

3; 1 , 3;0M N lần lƣợ t thuộc các đƣờ ng thẳng , .DC AB Tìm tọa độ các

đỉnh của tam giác ,ABC biết A có tung độ dƣơng.

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC cân tại ,A D là trung

điểm của đoạn thẳng .AB Điểm13 5

;3 3

E là tr ọng tâm tam giác .ADC Phƣơng

trình đƣờ ng thẳng : 3 0CD x , đƣờ ng cao k ẻ từ đỉnh A của tam giác

ABC đi qua 2;0 .N Xác định tọa độ tâm đƣờ ng tròn ngoại tiế p tam giác

.ABC

Bài 7: Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ ,Oxy cho hình vuông , 2;1ABCD E là

một điểm thuộc cạnh .BC Đƣờ ng thẳng qua3 6;

5 5M vuông góc vớ i DE cắt

các đƣờ ng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và 5; 2K . Xác định tọa độ

các đỉnh của hình vuông , biết đƣờ ng thẳng CH có phƣơng trình

7 16 0x y .

Bài 8: Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ ,Oxy cho hình vuông13

3;3

N là một

điểm thuộc cạnh .BC Đƣờ ng thẳng qua B vuông góc vớ i DE cắt các đƣờ ng

thẳng DE và DC theo thứ tự ở

chuyên Đề ptĐt trong mp

Documents