chuyen de tich phan on thi dai hoc
DESCRIPTION
luyện thi đại học 2014TRANSCRIPT
Trang 78
1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
'( ) ( )F x f x= , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
( ) ( )f x dx F x C= +∫ , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất • '( ) ( )f x dx f x C= +∫ • [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
• ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠∫ ∫ 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
4. Phương pháp tính nguyên hàma) Phương pháp đổi biến số
Nếu ( ) ( )f u du F u C= +∫ và ( )u u x= có đạo hàm liên tục thì:
[ ] [ ]( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C= +∫ b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu= −∫ ∫
CHƯƠNG IIINGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. NGUYÊN HÀM
• 0dx C=∫
• dx x C= +∫
• 1
, ( 1)1
xx dx C
+= + ≠ −
+∫α
α αα
• 1 lndx x Cx
= +∫
• x xe dx e C= +∫
• (0 1)ln
xx a
a dx C aa
= + < ≠∫
• cos sinxdx x C= +∫
• sin cosxdx x C= − +∫
• 2
1 tancos
dx x C x
= +∫
• 2
1 cotsin
dx x Cx
= − +∫
• 1cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C aa
+ = + + ≠∫
• 1sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C aa
+ = − + + ≠∫
• 1 , ( 0)ax b ax be dx e C aa
+ += + ≠∫
• 1 1 lndx ax b Cax b a
= + ++∫
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 79
VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân.
Baøi 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 2 1( ) – 3f x x xx
= + b) 4
22 3( ) x
f xx
+= c)
21( ) x
f xx
−=
d) 2 2
2( 1)( ) x
f xx
−= e) 3 4( )f x x x x= + + f)
31 2( )f xx x
= −
g) 2( ) 2sin2x
f x = h) 2( ) tanf x x= i) 2( ) cosf x x=
k) 2 2
1( )sin .cos
f xx x
= l) 2 2cos2( )
sin .cos
xf x
x x= m) ( ) 2sin3 cos2f x x x=
n) ( )( ) – 1x xf x e e= o) 2
( ) 2cos
xx ef x e
x
− = +
p) 3 1( ) xf x e +=
Baøi 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) 3( ) 4 5; (1) 3f x x x F= − + = b) ( ) 3 5cos ; ( ) 2f x x F= − =π
c) 23 5( ) ; ( ) 1x
f x F ex
−= = d)
2 1 3( ) ; (1)2
xf x F
x+
= =
e) 3
21( )= ; ( 2) 0x
f x Fx
−− = f) 1( ) ; (1) 2f x x x F
x= + = −
g) ( ) sin 2 .cos ; ' 03
f x x x F
= =
π h) 4 3
23 2 5( ) ; (1) 2x x
f x Fx
− += =
i) x x xf x Fx
3 2
23 3 7( ) ; (0) 8( 1)
+ + −= =
+ k) x
f x F2( ) sin ;2 2 4
π π = =
Baøi 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) 2( ) cos ; ( ) sin ; 32
g x x x x f x x x F
= + = =
π
b) 2( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0g x x x x f x x x F= + = =π
c) 2( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2g x x x x f x x F= + = = −Baøi 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a) ( ) (4 5)( ) (4 1)
x
xF x x ef x x e
= −
= − b)
4
5 3( ) tan 3 5( ) 4 tan 4 tan 3
F x x xf x x x
= + −
= + +
c)
2
2
2 2
4( ) ln3
2( )( 4)( 3)
xF xx
xf xx x
+ = +
− = + +
d)
2
2
2
4
2 1( ) ln2 1
2 2( 1)( )1
x xF xx x
xf x
x
− +=
+ + − = +
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 80
Baøi 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a) 3 2
2( ) (3 2) 4 3. .( ) 3 10 4
F x mx m x x Tìm mf x x x
= + + − +
= + −b)
2
2
( ) ln 5. .2 3( )
3 5
F x x mxTìm mx
f xx x
= − + + = + +
c) 2 2
2( ) ( ) 4 . , , .( ) ( 2) 4
F x ax bx c x x Tìm a b cf x x x x
= + + −
= − −d)
2( ) ( ) . , , .( ) ( 3)
x
xF x ax bx c e Tìm a b cf x x e
= + +
= −
e) 2 2
2 2( ) ( ) . , , .( ) (2 8 7)
x
xF x ax bx c e Tìm a b cf x x x e
−
−
= + +
= − − +f)
2
2( ) ( ) . , , .( ) ( 3 2)
x
xF x ax bx c e Tìm a b cf x x x e
−
−
= + +
= − +
g)
b cF x a x x x
f x xTìm a b c
( ) ( 1)sin sin 2 sin32 3
( ) cos , , .
= + + + =
h)
F x ax bx c xx x
f xx
Tìm a b c
2
2( ) ( ) 2 3
20 30 7( )2 3
, , .
= + + −
− + =
−
VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ( )f x dx∫ bằng phương pháp đổi biến số
• Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = [ ]( ) . '( )g u x u x thì ta đặt ( ) '( )t u x dt u x dx= ⇒ = .
Khi đó: ( )f x dx∫ = ( )g t dt∫ , trong đó ( )g t dt∫ dễ dàng tìm được.
Chú ý: Sau khi tính ( )g t dt∫ theo t, ta phải thay lại t = u(x).
• Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1):
a) x dx10(5 1)−∫ b) 5(3 2 )
dx
x−∫ c) x dx5 2−∫
d) 2 7(2 1)x xdx+∫ e) 3 4 2( 5)x x dx+∫ f) 2 5
xdx
x +∫
g) 2 1.x xdx+∫ h) 2
3
3
5 2
xdx
x+∫ i)
2(1 )dx
x x+∫
k) 4sin cosx xdx∫ l) 5
sin
cos
xdx
x∫ m)
2tan
cos
xdx
x∫
n) 3
x
x
e dx
e −∫ o)
2 1. xx e dx+∫ p) xe dxx
∫
f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2a x− sin ,
2 2x a t t= − ≤ ≤
π π
hoặc cos , 0x a t t= ≤ ≤ π2 2a x+
hoặc a x2 2
1
+
tan ,2 2
x a t t= − < <π π
hoặc cot , 0x a t t= < < π
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 81
q) 3ln x
dxx∫ r)
1xdx
e +∫ s)
tan
2cos
xedx
x∫
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):
a) 2 3(1 )
dx
x−∫ b)
2 3(1 )dx
x+∫ c) 21 .x dx−∫
d) 24
dx
x−∫ e) 2 21 .x x dx−∫ f)
21
dx
x+∫
g) 2
21
x dx
x−∫ h)
2 1
dx
x x+ +∫ i) 3 2 1.x x dx+∫
VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau: a) .sinx xdx∫ b) cosx xdx∫ c) 2( 5)sinx xdx+∫
d) 2( 2 3) cosx x xdx+ +∫ e) sin 2x xdx∫ f) cos2x xdx∫
g) . xx e dx∫ h) 23 xx e dx∫ i) ln xdx∫
k) lnx xdx∫ l) 2ln xdx∫ m) 2ln( 1)x dx+∫
n) 2tanx xdx∫ o) 2 2cosx xdx∫ p) 2 cos2x xdx∫
q) 2ln(1 )x x dx+∫ r) .2xx dx∫ s) lgx xdx∫
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) xe dx∫ b) ln xdx
x∫ c) sin x dx∫
d) cos x dx∫ e) .sinx x dx∫ f) 3sin xdx∫
g) ln(ln )xdx
x∫ h) sin(ln )x dx∫ i) cos(ln )x dx∫
Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) .cosxe xdx∫ b) 2(1 tan tan )x e x x dx+ +∫ c) .sin 2xe xdx∫
d) 2
ln(cos )
cos
xdx
x∫ e)
2ln(1 )x
dxx
+∫ f)
2cos
xdx
x∫
g) ( )2
2
ln 1
1
x x xdx
x
+ +
+∫ h)
3
21
xdx
x+∫ i)
2ln x
dxx
∫
( ). xP x e dx∫ ( ).cosP x xdx∫ ( ).sinP x xdx∫ ( ). lnP x xdx∫ u P(x) P(x) P(x) lnx dv xe dx cos xdx sin xdx P(x)dx
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
Trang 82
VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của
các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
1
2
( ) ( ) ( )(*)
( ) ( ) ( )F x G x A x CF x G x B x C
+ = + − = +
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ]1( ) ( ) ( )2
F x A x B x C= + + là nguyên hàm của f(x).
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) sin sin cos
xdx
x x−∫ b) cos sin cos
xdx
x x−∫ c) sin sin cos
xdx
x x+∫
d) cos sin cos
xdx
x x+∫ e) 4
4 4sin
sin cos
xdx
x x+∫ f)
4
4 4cos
sin cos
xdx
x x+∫
g) 22sin .sin 2x xdx∫ h) 22 cos .sin 2x xdx∫ i) x
x xe
dxe e−−
∫
k) x
x xe
dxe e
−
−−∫ l)
x
x xe
dxe e−+
∫ m) x
x xe
dxe e
−
−+∫
VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1. f(x) là hàm hữu tỉ: ( )( )( )
P xf x
Q x=
– Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích
f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn: 1( )( )
A Bx a x b x a x b
= +− − − −
22 2
1 , 4 0( )( )
A Bx C vôùi b acx mx m ax bx c ax bx c
+= + = − <
−− + + + +∆
2 2 2 21
( ) ( ) ( ) ( )A B C D
x a x bx a x b x a x b= + + +
− −− − − −
2. f(x) là hàm vô tỉ
+ f(x) = , m ax bR x
cx d
+
+ → đặt m ax b
tcx d
+=
+
+ f(x) = 1( )( )
R x a x b
+ + → đặt t x a x b= + + +
• f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản.
Chẳng hạn:
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 83
+ [ ]sin ( ) ( )1 1 .sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( )
x a x bx a x b a b x a x b
+ − +=
+ + − + +, sin( )1
sin( )a b
söû duïnga b
−= −
+ [ ]sin ( ) ( )1 1 .cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )
x a x bx a x b a b x a x b
+ − +=
+ + − + +, sin( )1
sin( )a b
söû duïnga b
−= −
+ [ ]cos ( ) ( )1 1 .sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )
x a x bx a x b a b x a x b
+ − +=
+ + − + +, cos( )1
cos( )a b
söû duïnga b
−= −
+ Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− = − thì đặt t = cosx + Nếu (sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− = − thì đặt t = sinx + Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )R x x R x x− − = − thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)
Baøi 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) ( 1)dx
x x +∫ b) ( 1)(2 3)
dx x x+ −∫ c)
2
21
1
xdx
x
+
−∫
d) 2 7 10
dx
x x− +∫ e)
2 6 9
dx
x x− +∫ f)
2 4
dx
x −∫
g) ( 1)(2 1)
xdx
x x+ +∫ h) 22 3 2
xdx
x x− −∫ i)
3
2 3 2
xdx
x x− +∫
k) 2( 1)dx
x x +∫ l)
31
dx
x+∫ m)
3 1
xdx
x −∫
Baøi 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) 11 1
dxx+ +
∫ b) 12
xdx
x x
+
−∫ c)
31
1 1dx
x+ +∫
d) 4
1dx
x x+∫ e)
3x
dx x x−
∫ f) ( 1)
xdx
x x +∫
g) 3 42dx
x x x+ +∫ h) 1
1x dx x x
−+∫ i) 3 1
1x dx x x
−+∫
k) 23 (2 1) 2 1
dx
x x+ − +∫ l)
2 5 6
dx
x x− +∫ m)
2 6 8
dx
x x+ +∫
Baøi 3. Tính các nguyên hàm sau: a) sin 2 sin 5x xdx∫ b) cos sin3x xdx∫ c) 2 4(tan tan )x x dx+∫
d) cos2 1 sin cos
xdx
x x+∫ e) 2sin 1
dx x +∫ f)
cosdx
x∫
g) 1 sincos
xdx
x−
∫ h) 3sin
cosxdx
x∫ i) cos cos
4
dx
x x
+
∫ π
k) cos cos2 cos3x x xdx∫ l) 3cos xdx∫ m) 4sin xdx∫
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 84
1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )b
af x dx∫ .
( ) ( ) ( )b
af x dx F b F a= −∫
• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )b b b
a a af x dx f t dt f u du F b F a= = = = −∫ ∫ ∫
• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
x = a, x = b là: ( )b
aS f x dx= ∫
2. Tính chất của tích phân
• a
af x dx( ) 0=∫ • ( ) ( )
b a
a bf x dx f x dx= −∫ ∫ • ( ) ( )
b b
a akf x dx k f x dx=∫ ∫ (k: const)
• [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a af x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( )
b c b
a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
• Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ( ) 0b
af x dx ≥∫
• Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( )b b
a af x dx g x dx≥∫ ∫
3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số
[ ]( )
( )( ) . '( ) ( )
u bb
a u af u x u x dx f u du=∫ ∫
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì:
b bb
aa a
udv uv vdu= −∫ ∫
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b
avdu∫ dễ tính hơn
b
audv∫ .
II. TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 85
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
( ) ( ) ( )b
af x dx F b F a= −∫
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và phép tính vi phân.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ∫ ++2
1
3 )12( dxxx b) xx e dxx
2 2 3 1
1
3 + + +
∫ c) ∫−2
12
1 dxx
x
d) 2
21 2
x dxx− +
∫ e) ( )∫−
−
+1
22
24 4 dxx
x f) e
x x dxx x
22
1
1 1 + + +
∫
g) ( )( )x x x dx2
11 1+ − +∫ h) ( )x x x x dx
2 2 3
1+ +∫ i) ( )∫ −+
4
1
43 42 dxxxx
k) 2 2
31
2x x dxx
−∫ l)
2
1
2 5 7e x xdxx
+ −∫ m)
8
3 21
143
x dxx
−
∫
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) 2
11x dx+∫ b) dx
x x
5
2 2 2+ + −∫ c) x dx
x
2
20 2+∫
d) x dxx
2
20 1+∫ e) x dx
x
2 2
3 30
3
1+∫ f) x x dx
4 2
09.+∫
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a) x dx0
sin 2 6
π π +
∫ b) x x x dx2
3
(2sin 3cos )
π
π+ +∫ c) ( )x x dx
6
0sin3 cos2
π
+∫
d) 4
20
tan .cos
x dx
x∫
π
e) 3
2
4
3tan x dx∫
π
πf)
4 2
6
(2 cot 5)x dx+∫
π
π
g) 2
0 1 sindx
x+∫
π
h) 2
0
1 cos 1 cos
x dxx
−+∫
π
i) 2
2 2
0sin .cosx xdx∫
π
k) 3
2
6
(tan cot )x x dx
−
−∫
π
πl)
xdx
x
2
2
sin 4
sin 4
π
π
π
π−
−
+
∫ m) 4
4
0cos x dx∫
π
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a) 1
0dx
x x
x xe e
e e
−
−−
+∫ b)
2
21
( 1).ln
x dx
x x x
+
+∫ c)
x
xe dxe
1 2
0
42
−
+∫
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
Trang 86
d) x
xe dx
e
ln 2
0 1+∫ e)
xx ee dx
x
2
11
− −
∫ f) x
xe dx
1
0 2∫
g) xe xdx2
cos
0.sin
π
∫ h) xe dx x
4
1∫ i)
e x dxx1
1 ln+∫
k) e xdx
x1
ln∫ l) xxe dx
21
0∫ m)
1
0
11 x
dxe+
∫
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( )b
ag x dx∫ .
Nếu viết được g(x) dưới dạng: [ ]( ) ( ) . '( )g x f u x u x= thì ( )
( )( ) ( )
u bb
a u ag x dx f u du=∫ ∫
Dạng 2: Giả sử ta cần tính ( )f x dx∫β
α.
Đặt x = x(t) (t ∈ K) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(a), β = x(b)
thì [ ]( ) ( ) '( ) ( )b b
a af x dx f x t x t dt g t dt= =∫ ∫ ∫
β
α [ ]( )( ) ( ) . '( )g t f x t x t=
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
Baøi 1. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):
a) ∫ −1
0
19)1( dxxx b) x dxx
1 3
2 30 (1 )+∫ c) ∫ +
1
02
5
1 dx
xx
d) ∫ +
1
0 12xxdx e)
1 2
01x x dx−∫ f)
1 3 2
01x x dx−∫
g) ∫ +
32
52 4xx
dx h) ∫ +
+3
0 2
35
12 dx xxx i)
ln 2
0 1
x
xe dx
e+∫
f(x) có chứa Cách đổi biến
2 2a x− sin ,
2 2x a t t= − ≤ ≤
π π
hoặc cos , 0x a t t= ≤ ≤ π2 2a x+
hoặc a x2 2
1
+
tan ,2 2
x a t t= − < <π π
hoặc cot , 0x a t t= < < π
2 2x a−
{ }, ; \ 0sin 2 2
ax t
t
= ∈ − π π
hoặc [ ], 0; \cos 2
ax t
t
= ∈
ππ
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 87
k) ( )
x
x
e dx
e
ln3
30 1+∫ l) ∫
+e
xdxx
1 2ln2 m) ∫
+e
dxx
xx
1
lnln31
n) ∫ +
2
022 sin4cos
2sinπ
dx xx
x o) ∫ +
2
02
3
sin1sin.cos
π
dxxxx p) ∫ +
6
022 cossin2
2sinπ
dxxx
x
Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
a) ∫ −
21
021 x
dx b) ∫ −
1
02
2
4 xdxx c) ∫ −
2
1
22 4 dxxx
d) ∫ +
3
02 3xdx e) ∫ ++
1
022 )2)(1( xx
dx f) ∫ ++
1
024 1xx
xdx
g) 0
21 2 2
dx
x x− + +∫ h) ∫
−2
13
2 1 dxx
x i) ( )∫
+
1
0 521 x
dx
k)
23
22 1
dx
x x −∫ l)
222
20 1
x dxx−
∫ m) 2
2
02x x x dx−∫
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ∫4
0
2sin
π
xdxx b) ∫ +2
0
2 cos)sin(
π
xdxxx c) ∫π2
0
2 cos xdxx
d) x x dx
2
4
0co s
π
∫ e) 3
2
4
tanx xdx∫
π
πf) ∫ −
1
0
2)2( dxex x
g) dxxex∫2ln
0
h) dxxxe
∫1
ln i) ∫ −3
2
2 )ln( dxxx
k) ∫2
0
3 5sin
π
xdxe x l) ∫2
0
cos 2sin
π
xdxe x m) ∫e
xdx1
3ln
o) dxxxe
∫1
23 ln p) ∫e
e
dxx
x1
2
ln q) dxxex x )1(0
1
32∫−
++
b ( ). x
aP x e dx∫ ( ).cos
b
aP x xdx∫ ( ).sin
b
aP x xdx∫
b
aP x xdx( ). ln∫
u P(x) P(x) P(x) lnx dv xe dx cos xdx sin xdx P(x)dx
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 88
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ∫ −2
0
2 dxx b) x x dx2
2
0−∫ c) x x dx
2 2
02 3+ −∫
d) x dx3
2
31
−
−∫ e) ( )x x dx5
22 2
−
+ − −∫ f) x dx3
02 4−∫
g) 4
2
16 9x x dx− +∫ h) ∫ +−
3
0
23 44 dxxxx i) 1
14 x dx
−
−∫
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) ∫ −π2
0
2cos1 dxx b) 0
1 sin 2 .x dxπ
−∫ c) x dx2
2
sin
π
π−
∫
d) 1 sin xdx−
−∫π
π e)
2
01 cos xdx+∫
πf)
01 cos2xdx+∫
π
g) 3
2 2
6
tan cot 2x x dx+ −∫
π
πh)
3 3
2
cos cos cosx x xdx
−
−∫
π
πi)
2
01 sin xdx+∫
π
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ∫ +
3
13xx
dx b) ∫ +−
1
02 65xx
dx c) ∫ ++
3
02
3
12xxdxx
d) ( )∫ +
1
0321
dx x
x e) ( )∫ −
3
29
2
1 xdxx f) ∫ +
4
12 )1( xx
dx
g) ∫ −
4
2 )1(xxdx h) ( )
∫ +++1
02 65
114xx
dxx i) 1 3
0
11
x x dxx+ + +∫
k) 0 3 2
21
2 6 9 93 2
x x x dxx x−
− + +
− +∫ l)
3 2
32
3 3 33 2
x x dxx x
+ +
− +∫ m)
1 2
30 (3 1)
x dxx +
∫
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) ∫ +−
2
02 22xx
dx b) ( )∫ +
+3
02
2
123 dx
xx c) ∫ +
+++2
02
23
4942 dx
xxxx
d) 1
2 20
1( 2) ( 3)
dxx x+ +
∫ e) 1 3
20
11
x x dxx
+ +
+∫ f)
1
40 1
x dxx+
∫
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
Trang 89
g) 2
41
1(1 )
dxx x+
∫ h) 2 2008
20081
1(1 )
x dxx x
−
+∫ i)
3 4
2 22 ( 1)
x dxx −
∫
k) 2
20
1 4
dxx+
∫ l) 2 2
41
1 1
x dxx
−
+∫ m)
1 4
20
2 1
x dxx
−
+∫
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
22
0
11
x dxx
+−∫ b) ∫ +
+37
03 13
1 dxx
x c) 10
5 2 1dx
x x− −∫
d) ∫ ++−1
0 13234 dx
xx e)
6
2 2 1 4 1dx
x x+ + +∫ f) ∫ −+
2
1 11 dx
xx
g) ∫ ++
1
0 1 xxdx h) ∫
++
1
02
3
1dx
xxx i) ∫
+
2
05
4
1dx
xx
k) ∫ +22
0
2 1dxxx l) ∫ +1
0
23 1dxxx m) 3 5 3
20 1
x x dxx
+
+∫
n) 2 3
25 4
dx
x x +∫ o)
23
22 1
dx
x x −∫ p)
2
31 1
dx
x x +∫
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) 1
2 2
01x x dx+∫ b)
3 2
2 21
1
1
x dxx x
+
+∫ c)
1
2 30 (1 )
dx
x+∫
d) 2
2
12008x dx+∫ e)
3 3 2
010x x dx−∫ f)
1 2
01 x dx+∫
g) 1
211 1
dx
x x− + + +∫ h)
2
21 2008
dx
x +∫ i)
1 3
20 1
x dx
x x+ +∫
k)
22
2 30 (1 )
dx
x−∫ l)
222
20 1
x dx
x−∫ m)
54
2
112 4 8x x dx− −∫
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a) 2
0
cos7 cos2
xdx
x+∫
π
b) 2
2
0sin cos cosx x xdx−∫
π
c) 2
20
cos
2 cos
xdx
x+∫
π
d) 2 6 3 5
01 cos sin cosx x xdx−∫
π
e) 2
0
sin 2 sin 1 3cos
x x dxx
+
+∫
π
f) 3
0
cos2 cos2
xdx
x+∫
π
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 90
g) 2
20
cos
1 cos
xdx
x+∫
π
h) 3
2
4
tan
cos 1 cos
xdx
x x
π
π +∫ i)
2
0
sin 2 sin1 3cos
x x dxx
π
+
+∫
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a) ln3
0 1x
dx
e +∫ b)
ln 2 2
0 1
x
x
e dx
e +∫ c)
1
1 3ln lne x x dxx
+∫
d) ln3 2
ln 2
lnln 1
x dxx x +
∫ e) 0
2 3
1( 1)xx e x dx
−
+ +∫ f) ln 2
30 ( 1)
x
x
e dx
e +∫
g) ln3
0 ( 1) 1
x
x x
edx
e e+ −∫ h)
1
0
x
x x
e dxe e−+
∫ i) ln 2
01xe dx−∫
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ∫4
0
cos.2sin
π
xdxx b) ∫4
0
tan
π
xdx c) dxx∫π
0
2sin
d) ∫2
0
3sin
π
xdx e) 2
3 3
0(sin cos )x x dx+∫
π
f) xdx2
0cos 3
π
∫
g) 2
2 4
0sin cosx xdx∫
π
h) ∫2
0
32 cossin
π
xdxx i) 2
4 5
0sin cosx xdx∫
π
k) ∫ +
2
0 cos31sin
π
dxx
x l) dxx
2
0
1cos 1
π
+∫ m) ∫ +
2
0 cos1cos2sin
π
dxx
xx
n) 32
0
cos 1 cos
x dxx+∫
π
o)
π
π∫3
4
6sin .cos
dx
x xp)
3
3
4sin .cos
dx
x x
π
π∫
q) 32
20
sin1 cos
x dx x+
∫
π
r) 4
3
0tan xdx∫
π
s)
π
∫3
4
0tan xdx
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) ∫ −2
0
53 cossincos1
π
xdxxx b) ∫ +++2
6
cossin2cos2sin1
π
π
dxxx
xx c) dx xx
x∫
+
3
4
2cos1costan
π
π
d) 2
4 4
0cos2 (sin cos )x x x dx+∫
π
e) ∫ +4 0
sin )cos(tanπ
dxxex x f) ( ) dxxx∫ +2
0
32 2sinsin1
π
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 91
g) 3
0sin . ln(cos )x x dx
π
∫ h) 34
2 2 50
sin(tan 1) .cos
x dxx x
π
+∫ i)
3
2 2
3
1
sin 9cosdx
x x
π
π− +
∫
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a) 2
3
1 sin
dxx∫
π
π b)
2
0 2 cosdx
x−∫
π
c) 2
0
cos 2 cos
x dxx−∫
π
d) 2
0
cos 1 cos
x dxx+∫
π
e) 2
0
12 sin
dxx+∫
π
f) 2
0
sin 2 sin
x dxx+∫
π
g) 2
0
1sin cos 1
dxx x+ +∫
π
h) 2
2
sin cos 1sin 2 cos 3
x xdx
x x−
− ++ +∫
π
πi)
π
π +
∫4
0 cos cos4
dx
x x
k) 2
20
(1 sin ) cos(1 sin )(2 cos )
x x dxx x
−
+ −∫
π
l)
π
π π +
∫3
4 sin cos
4
dx
x xm)
π
π π +
∫3
6 sin sin
6
dx
x x
Baøi 4. Tính các tích phân sau:
a) ∫ −2
0
cos)12(
π
xdxx b) ∫ +
4
0 2cos1
π
xxdx c) ∫
3
02cos
π
dx x
x
d) 2
3
0sin xdx∫
π
e) 2
2
0cosx xdx∫
π
f) 2
2 1
0sin 2 . xx e dx+∫
π
g) 2
1cos(ln )x dx∫ h) x
dxx
3
2
6
ln(sin )
cos
π
π∫ i)
2 2
0(2 1)cosx xdx−∫
π
k) 2 2
0sinxe xdx∫
π l)
4 2
0tanx xdx∫
π
m) 2
0sin cosx x xdx∫
π
n) 22
sin 3
0sin cosx e x xdx∫
π
o) 4
0ln(1 tan )x dx+∫
π
p) ∫4
04cos
π
xdx
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit. Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ∫ +
1
0 1x
x
edxe b) ∫ +
2ln
0 5xedx c)
1
0
14x
dxe +
∫
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 92
d) ∫ +
8ln
3ln 1dx
eex
x
e) ln8
2
ln31.x xe e dx+∫ f) ∫ +
−2ln
0 11 dx
ee
x
x
g) 2
1
11 x
dxe−−
∫ h) 2 2
0 1
x
xe dx
e +∫ i)
1
0 1
x
xe dx
e
−
− +∫
k) 2
1
ln(ln 1)
e x dxx x +
∫ l) 1 2
0 1
x
xe dx
e
−
− +∫ m)
ln3
0
1
1xdx
e +∫
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) ∫2
0
sin
π
xdxe x b) ∫2
0
2 dxxe x c) ∫ −1
0
dxxe x
d) ∫ +2
0
cos)cos(
π
xdxxe x e) ( )∫ +1
0
1ln dxxx f) 2
1
1 lne x dxx
+∫
g) 2
ln ln(ln )e
e
x x dxx
+∫ h) ∫
+
+
e
dxxxxx
1
2ln 1ln
ln i) 3
2
ln(ln )e
e
x dxx∫
k) 2
21
ln xdxx
∫ l) 3
2
6
ln(sin )
cos
xdx
x∫
π
πm)
1
0
ln( 1)1
x dxx
+
+∫
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng 1. Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [–a; a] thì ( ) 0a
af x dx
−
=∫
• Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [–a; a] thì 0
( ) 2 ( )a a
af x dx f x dx
−
=∫ ∫
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1: Phân tích 0
0( ) ( ) ( )
a a
a aI f x dx f x dx f x dx
− −
= = +∫ ∫ ∫ 0
0( ) ; ( )
a
aJ f x dx K f x dx
−
= =
∫ ∫
Bước 2: Tính tích phân 0
( )a
J f x dx−
= ∫ bằng phương pháp đổi biến. Đặt t = – x.
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ⇒ I = J + K = 0 – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K ⇒ I = J + K = 2K
Dạng 2. Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
0
( ) ( )1x
f x dx f x dxa−
= +
∫ ∫α α
α(với α ∈ R+ và a > 0)
Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
0
0
( ) ( ) ( )1 1 1x x x
f x f x f xI dx dx dxa a a− −
= = ++ + +
∫ ∫ ∫α α
α α
0
0
( ) ( );x 1 1xf x f xJ dx K dx
a a−
= =
+ + ∫ ∫
α
α
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 93
Dạng 3. Nếu f(x) liên tục trên 0;2
π thì 2 2
0 0(sin ) (cos )f x dx f x dx=∫ ∫
π π
Để chứng minh tính chất này ta đặt: 2
t x= −π
Dạng 4. Nếu f(x) liên tục và ( ) ( )f a b x f x+ − = hoặc ( ) ( )f a b x f x+ − = −thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = π thì đặt t = π – x nếu a + b = 2π thì đặt t = 2π – x
Dạng 5. Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Ta thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là:
1
2
( ) ( ) ( )(*)
( ) ( ) ( )F x G x A x CF x G x B x C
+ = + − = +
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ]1( ) ( ) ( )2
F x A x B x C= + + là nguyên hàm của f(x).
Baøi 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):
a) 7 5 34
4
4
1
cos
x x x xdx
x−
− + − +∫
π
πb) ( )
π
π−
+ +∫2
2
2
cos ln 1x x x dx c)
12
12
1cos . ln 1
xx dx
x−
− + ∫
d) ( )1 2
1ln 1x x dx
−
+ +∫ e) − − +∫1
4 21 1
x dx
x x f)
1 4
2 1
sin 1
x xdxx−
+
+∫
g) 52
2
sin
1 cos
xdx
x−
+∫
π
πh)
2
2
24 sin
xdx
x
π
π− −
∫ i) 2
2
2
cos
4 sin
x xdx
x
π
π−
+
−∫
Baøi 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):
a) 1 4
1 2 1xx dx
− +∫ b)
1 2
1
1 1 2x
x dx−
−
+∫ c)
1
21 ( 1)( 1)x
dx
e x− + +∫
d) 2sin
3 1xxdx
− +∫π
π e) ∫
− ++3
3
2
211dxxx f)
1
21 (4 1)( 1)x
dx
x− + +∫
g) 2
2
sin sin3 cos5
1 xx x x
dxe
− +
∫
π
πh)
6 64
4
sin cos
6 1xx x
dx
−
+
+∫
π
πi)
2 22
2
sin
1 2xx x
dx
− +
∫
π
π
Baøi 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):
a)2
0
cos cos sin
n
n nx dx
x x+∫
π
(n ∈ N*) b) 72
7 70
sin sin cos
x dxx x+
∫
π
c) 2
0
sin sin cos
x dxx x+
∫
π
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 94
d) 20092
2009 20090
sinsin cos
x dxx x+
∫
π
e) 42
4 40
coscos sin
x dx x x
π
+∫ f)
42
4 40
sincos sin
x dx x x
π
+∫
Baøi 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
a) 2
0
.sin4 cos
x x dx x−
∫π
b) 2
0
cos4 sinx x dx
x
+
−∫π
c) 2
0
1 sinln 1 cos
x dxx
+ + ∫
π
d) 4
0ln(1 tan )x dx+∫
π
e) 2
3
0.cosx xdx∫
πf) 3
0.sinx xdx∫
π
g) 0 1 sin
x dxx+∫
π h)
0
sin 2 cosx x dx
x+∫π
i) 2
0
sin1 cos
x x dx x+
∫π
k) 4
0sin 4 ln(1 tan )x x dx+∫
π
l) 2
0
sin9 4 cos
x x dx x+
∫π
m) 4
0sin cosx x xdx∫
π
Baøi 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a) 2
0
sin sin cos
x dxx x−∫
π
b) 2
0
cos sin cos
x dxx x−∫
π
c) 2
0
sin sin cos
x dxx x+∫
π
d) 2
0
cos sin cos
x dxx x+∫
π
e) 42
4 40
sinsin cos
x dx x x+
∫
π
f) 42
4 40
cossin cos
x dx x x+
∫
π
g) 62
6 60
sinsin cos
x dx x x+
∫
π
h) 62
6 60
cossin cos
x dx x x+
∫
π
i) 2
2
02sin .sin 2x xdx∫
π
k) 2
2
02 cos .sin 2x xdx∫
π
l) 1
1
x
x xe dx
e e−− −∫ m)
1
1
x
x xe dx
e e
−
−− −∫
n) 1
1
x
x xe dx
e e−− +∫ o)
1
1
x
x xe dx
e e
−
−− +∫
VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi
Giả sử cần tính tích phân ( , )b
na
I f x n dx= ∫ (n ∈ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta
thường gặp một số yêu cầu sau: • Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 ≤ k ≤ n). • Chứng minh một công thức truy hồi cho trước. • Tính một giá trị
0nI cụ thể nào đó.
Baøi 1. Lập công thức truy hồi cho các tích phân sau:
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 95
a) 2
0sinn
nI xdx= ∫
π
• Đặt 1sin
sin .
nu xdv x dx
− = =
b) 2
0cosn
nI xdx= ∫
π
• Đặt 1cos
cos .
nu xdv x dx
− = =
c) 4
0tann
nI xdx= ∫
π
• Phân tích: ( )2 2 2tan tan tan 1 tann n nx x x x− −= + −
d) 2
0cos .n
nI x x dx= ∫
π
• Đặt cos .
nu xdv x dx
= =
2
0sin .n
nJ x x dx= ∫
π
• Đặt sin .
nu xdv x dx
= =
e) n x nI x e dx
1
0= ∫ • Đặt
.
n
xu xdv e dx
=
=
f) 1
ln .e
nnI x dx= ∫ • Đặt lnnu x
dv dx =
=
g) 1
2
0(1 )n
nI x dx= −∫ • Đặt cosx t= → Đặt 2sin
sin .
nu tdv t dt
= =
h) 1
20 (1 )n n
dxIx
=+
∫ • Phân tích 2 2
2 2 21 1
(1 ) (1 ) (1 )n n nx x
x x x
+= −
+ + +
Tính 1 2
20 (1 n )n
xJ dxx
=+
∫ . Đặt 2(1 )n
u xx
dv dxx
= = +
i) 1
01 .n
nI x x dx= −∫ • Đặt 1 .
nu xdv x dx
=
= −
k) 4
n 0 cosn
dxI dx x
= ∫
π
• Phân tích 1
1 cos
cos cosn nx
x x+= → Đặt
11
cosnt
x+=
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 96
1. Diện tích hình phẳng • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Trục hoành. – Hai đường thẳng x = a, x = b.
là: ( )b
aS f x dx= ∫ (1)
• Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. – Hai đường thẳng x = a, x = b.
là: ( ) ( )b
aS f x g x dx= −∫ (2)
Chú ý:
• Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: ( ) ( )b b
a af x dx f x dx=∫ ∫
• Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm được 2 nghiệm c, d (c < d). Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
( ) ( ) ( ) ( )b c d b
a a c df x dx f x dx f x dx f x dx= + +∫ ∫ ∫ ∫
= ( ) ( ) ( )c d b
a c df x dx f x dx f x dx+ +∫ ∫ ∫
(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) • Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d.
( ) ( )d
cS g y h y dy= −∫
2. Thể tích vật thể • Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
Thể tích của B là: ( )b
aV S x dx= ∫
• Thể tích của khối tròn xoay: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 97
2( )b
aV f x dx= ∫π
Chú ý: Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Oy:
(C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d
là: 2( )d
cV g y dy= ∫π
VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng
Baøi 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x x y x x2 4 5, 0, 2, 4= − − = = − = b) ln 1, 0, ,x y y x x e
x e= = = =
c) 1 ln
, 0, 1,x
y y x x ex+
= = = = d) ln , 0, , 12
xy y x e x
x= = = =
e) 1ln , 0, ,y x y x x ee
= = = = f) 3, 0, 2, 1y x y x x= = = − =
g) 4
1, 0, 0,21
xy y x x
x= = = =
−h) 1lg , 0, , 10
10y x y x x= = = =
Baøi 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) 3 1, 0, 01
xy y x
x− −
= = =−
b) , 2 , 0y x y x y= = − =
c) , 2, 1x y e y x= = = d) , 2 0, 0y x x y y= + − = =
e) 2 22 , 2 1, 2y x y x x y= = − − = f) 2 4 5, 2 4, 4 11y x x y x y x= − + = − + = −
g) 2
2 27, ,27x
y x y yx
= = = h) 2 22 , 4 4, 8y x y x x y= = − − =
i) 2 2 , 2 2 1 0, 0y x x y y= + + = = k) 2 26 5, 4 3, 3 15y x x y x x y x= − + − = − + − = −Baøi 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) 1, , 0,y x y y x ex
= = = = b) sin 2 cos , 3, 0,y x x y x x= − = = = π
c) 25 , 0, 3 , 0xy y y x x−= = = − = d) 2 22 2 , 3 6, 0, 4y x x y x x x x= − = + − = =
e) , 0, 4y x y y x= = = − f) 2 22 2, 4 5, 1y x x y x x y= − + = + + =
g) , 2 , 0y x y x y= = − = h) 21 , , 1x
xy y e x
e−
−= = =
Baøi 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) 2 24 , 2y x y x x= − = − b) 2 4 3 , 3y x x y x= − + = +
c) 2 21 1, 34 2
y x y x= = − + d) 2
21 ,
21
xy y
x= =
+e) 2, 2y x y x= = − f) 2 22 , 4y x x y x x= − = − +
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 98
g) 2
21,
2 1
xy y
x= =
+ h) 23 , 0y x y
x= + + =
i) 2 2 , 2y x x y x= + = + k) 2 2, 4y x y x= + = −Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) 2 2,y x x y= = − b) 2 5 0, 3 0y x x y+ − = + − =
c) 2 2 0, 0y y x x y− + = + = d) 2 2 1, 1y x y x= + = −
e) 2 2 , , 0, 3y x y x y y= = = = f) 2( 1) , siny x x y= + = π
g) 2 2 26 , 16y x x y= + = h) 2 3 2(4 ) , 4y x y x= − =
i) 3 1 0, 1 0x y x y− + = + − = k) 2 2 28, 2x y y x+ = = Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) . ; 0; 1; 2.xy x e y x x= = = − = b) 2. ln ; 0; 1; .y x x y x x e= = = =
c) ; ; 1.x xy e y e x−= = = d) 25 ; 0; 0; 3 .xy y x y x−= = = = −
e) 5( 1) ; ; 1.xy x y e x= + = = f) 1ln , 0, ,y x y x x ee
= = = =
g) 2sin cos , 0, 0,y x x y x x= + = = = π h) sin ; ; 0; 2 .y x x y x x x= + = = = π
i) 2sin ; ; 0; .y x x y x x= + = π = = π k) 2sin sin 1, 0, 0,2
y x x y x xπ
= + + = = =
Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) 2
1( ) :2
C y xx
= + , tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
b) 2 2 1( ) : , 0
2x x
C y yx+ +
= =+
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
c) 3 2( ) : 2 4 3, 0C y x x x y= − + − = và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) 3( ) : 3 2, 1C y x x x= − + = − và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) 2( ) : 2C y x x= − và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
a) sin , 0, 0,4
y x y x xπ
= = = = b) 3 21 , 0, 0, 33
y x x y x x= − = = =
c) 6 6sin cos , 0, 0,2
y x x y x xπ
= + = = = d) y x y x, 0, 4= = =
e) 3 1, 0, 1, 1y x y x x= − = = − = f) 2 ,y x y x= =
g) 2 3
,4 8x x
y y= = h) 2 4 , 2y x x y x= − + = +
i) sin , cos , ,4 2
y x y x x x= = = =π π k) 2 2( 2) 9, 0x y y− + = =
l) 2 24 6, 2 6y x x y x x= − + = − − + m) ln , 0, 2y x y x= = =Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 99
a) 2 , 1, 4x y yy
= = = b) 2 , 4y x y= =
c) , 0,xy e x y e= = = d) 2 , 1, 2y x y y= = =Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) 2( 2) , 4y x y= − = b) 2 2, 4 , 4y x y x y= = =
c) 21 , 0, 0, 1
1y y x x
x= = = =
+ d) 22 , 0y x x y= − =
e) . ln , 0, 1,y x x y x x e= = = = f) 2( 0), 3 10, 1y x x y x y= > = − + =
g) 2 ,y x y x= = h) ( )2 2– 4 1 x y+ =
i) 149
22
=+ yx k) 1, 2, 0, 0y x y y x= − = = =
l) 2 0, 2, 0x y y x− = = = m) 2 3, 0, 1y x y x= = =
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 100
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a) ∫ −2
0
2 dxxx b) 5
3( 2 2 )x x dx
−
+ − −∫ c) 3
2
12 1x x dx− +∫
d) 22
1
12
x dxx−
− +
∫ e) 3 7
8 42 1 2
x dxx x+ −
∫ f) 1
20 2 5 2
dx
x x+ +∫
g) 1
20 ( 1)
xdx
x +∫ h)
0
21 2 4
dx
x x− + +∫ i)
2 3 2
20
2 4 94
x x x dxx
+ + +
+∫
k) 1 3
20 1
x dxx +
∫ l) 1
20 1
xdx
x+∫ m)
1
30 ( 1)
xdx
x +∫
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
a) ∫ −+
2
1 11 dx
xx b)
4
1
25 4
dx
x− + +∫ c)
0
11x x dx
−
+∫
d) 10
5 2 1dx
x x− −∫ e)
3
1
33 1 3
x dxx x−
−
+ + +∫ f)
2
1 2 2xdx
x x+ + −∫
g) 2 4
50 1
x dxx +
∫ h) 9
3
11x x dx−∫ i) x dx
x
73
30
13 1
+
+∫
k) 3
3 2
01x x dx+∫ l)
1 3 2
03x x dx+∫ m)
1 3 2
01x x dx−∫
o) 1
5 2
01x x dx−∫ p)
1 2
230 ( 1)
x xdx
x
+
+∫ q)
3 5 3
20
2
1
x x dxx
+
+∫
r) 2
2 2
04x x dx−∫ s) t)
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a) / 4 2
0
1 2sin 1 sin 2
x dxx
π −+∫ b)
/2
0
sin 2 sin 1 3cos
x x dxx
π +
+∫ c)
/2
0
sin 2 cos 1 cos
x x dxx
π
+∫
d) /2
2 20
sin 2
cos 4sin
x dxx x
π
+∫ e)
/2
0sin sin 2 sin3x x x dx
π
∫ f) /2
5
0cos xdx
π
∫
g) /2
4 4
0cos2 (sin cos )x x x dx
π+∫ h)
/3
2/ 4
tan
cos 1 cos
x dxx x
π
π +∫ i)
20
sin 1 cos
x x dxx
π
+∫
k) / 4
2
0tanx x dx
π
∫ l) /2
0
sin 2cos 1
x dxx
π
+∫ m) /2
0
sin 1 3cos
x dxx
π
+∫
o) /2 2004
2004 20040
sin sin cos
x dxx x
π
+∫ p)
/2 3
0
4sin 1 cos
x dxx
π
+∫ q) /2
0
cos3sin 1
x dxx
π
+∫
IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 131
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Baøi 1. (TN 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 1y x= + và y x –1= .
ĐS: S16 3
= .
Baøi 2. (TN 2003)
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 3 2
2
3 3 1( )2 1
x x xf xx x+ + −
=+ +
biết rằng F(1) = 1 3
.
2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 22 10 12
2x xy
x− −
= +
và đường
thẳng y = 0.
ĐS: 1) xF x x
x
2 2 13( )2 1 6
= + + −+
2) S 63 16 ln8= − .
Baøi 3. (TN 2005) Tính tích phân: I x x xdx2
2
0( sin ) cos
π
= +∫ .
ĐS: I2
2 3π
= − .
Baøi 4. (TN 2006–kpb) 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số xy e= , y = 2 và đường thẳng x = 1.
2. Tính tích phân: I = 2x dx
cos x
2
0
sin 24
π
−∫ .
ĐS: 1) S e 2 ln 2 4= − − 2) I4ln3
= .
Baøi 5. (TN 2006–pb)
1. Tính tích phân: I = x x
x
e e dxe
ln5
ln 2
( 1)
1
+
−∫ .
2. Tính tích phân: J = xx e dx1
0(2 1)+∫ .
ĐS: 1) I263
= 2) J = e + 1.
Baøi 6. (TN 2007–kpb) Tính tích phân: J = e xdx
x
2
1
ln∫ .
ĐS: I = 1 3
.
Baøi 7. (TN 2007–pb)
1. Tính tích phân: x dxx
2
21
2
1+∫ .
III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 132
2. Tính tích phân: x xdx3
12 ln∫ .
ĐS: 1) ( )J 2 5 2= − 2) K 9 ln3 4= − .
Baøi 8. (TN 2007–kpb–lần 2) Tính tích phân: I = x dxx
1 2
3 0
31+
∫ .
ĐS: I = ln2. Baøi 9. (TN 2007–pb–lần 2)
1. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y x y x xsin , 0, 0,2π
= = = = . Tính thể
tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành. 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x y2 6 , 0= − + = .
ĐS: 1) V2
4π
= 2) S = 36.
Baøi 10. (TN 2008–kpb) Tính tích phân: I = xe xdx1
0(1 )+∫ .
ĐS: I = 3 2
.
Baøi 11. (TN 2008–pb)
1. Tính tích phân: I = x x dx1
2 3 4
1(1 )
−
−∫ .
2. Tính tích phân: J = x xdx2
0(2 1)cos
π
−∫ .
ĐS: 1) I32 5
= 2) J 3π= − .
Baøi 12. (TN 2008–kpb–lần 2) Tính tích phân: I = x dx1
03 1+∫ .
ĐS: I = 14 9
.
Baøi 13. (TN 2008–pb–lần 2)
1. Tính tích phân: I = xx e dx1
0(4 1)+∫ .
2. Tính tích phân: J = x x dx2
2
1(6 4 1)− +∫ .
ĐS: 1) I = e + 3 2) J = 9.
Baøi 14. (TN 2009) Tính tích phân: I = x x dx0
(1 cos )π
+∫ .
ĐS: I2 4 2
π −= .
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 133
Baøi 15. (TN 2010) Tính tích phân: I = x x dx1
2 2
0( 1)−∫ .
ĐS: 1 30
.
Baøi 16. (TN 2011) Tính tích phân: I = ĐS:
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 134
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Baøi 1. (ĐH 2002A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y x x y x2 4 3 , 3.= − + = +
ĐS: S109
6= .
Baøi 2. (ĐH 2002B) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
xy
24
4= − và x
y2
.4 2
=
ĐS: S423
π= + .
Baøi 3. (ĐH 2002A–db1) Tính tích phân: I = x x xdx2 6 3 5
01 cos .sin .cos
π
−∫ .
ĐS:
Baøi 4. (ĐH 2002A–db2) Tính tích phân: I = ( )xx e x dx0
2 3
11
−
+ +∫ .
ĐS:
Baøi 5. (ĐH 2002B–db2) Tính tích phân: I = x
x
edx
e
ln3
30 ( 1)+∫ .
. ĐS:
Baøi 6. (ĐH 2002D–db2) Tính tích phân: I = x dxx
1 3
20 1+∫ .
ĐS:
Baøi 7. (ĐH 2003A) Tính tích phân: dxI
x x
2 3
25
. 4
=+
∫
ĐS: I1 5ln4 3
= .
Baøi 8. (ĐH 2003B) Tính tích phân: xI dxx
24
0
1 2sin .1 sin 2
π
−=
+∫
ĐS: I = 1 ln 22
.
Baøi 9. (ĐH 2003D) Tính tích phân: I x x dx2
2
0= −∫ .
ĐS: I = 1.
Baøi 10. (ĐH 2003A–db1) Tính tích phân: I = x x dx1
3 2
01−∫ .
ĐS:
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 135
Baøi 11. (ĐH 2003A–db2) Tính tích phân: I = x dxx
4
0 1 cos2
π
+∫ .
ĐS:
Baøi 12. (ĐH 2003B–db1) Tính tích phân: I = x
x
e dxe
ln5 2
ln 2 1−∫ .
ĐS:
Baøi 13. (ĐH 2003B–db2) Cho hàm số xaf x bxex 3
( )( 1)
= ++
. Tìm a, b biết rằng:
f (0) 22′ = − và f x dx1
0( ) 5=∫ .
ĐS:
Baøi 14. (ĐH 2003D–db1) Tính tích phân: I = xx e dx2
1 3
0∫ .
ĐS:
Baøi 15. (ĐH 2003D–db2) Tính tích phân: I = e x dx
x
2
1
1+∫ .
ĐS:
Baøi 16. (ĐH 2004A) Tính tích phân: xI dxx
2
1.
1 1=
+ −∫
ĐS: I = 11 4 ln23
− .
Baøi 17. (ĐH 2004B) Tính tích phân: e x xI dx
x1
1 3ln ln .+= ∫
ĐS: I = 116135
.
Baøi 18. (ĐH 2004D) Tính tích phân: I x x dx3
2
2ln( ) .= −∫
ĐS: I = 3ln 3 2− .
Baøi 19. (ĐH 2004A–db2) Tính tích phân: I = x x dxx
2 4
20
14
− +
+∫ .
ĐS:
Baøi 20. (ĐH 2004B–db1) Tính tích phân: I = dxx x
3
31
1+
∫ .
ĐS:
Baøi 21. (ĐH 2004B–db2) Tính tích phân: I = xe xdx2
cos
0sin 2
π
∫ .
ĐS:
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 136
Baøi 22. (ĐH 2004D–db1) Tính tích phân: I = x xdx2
0sin
π
∫ .
ĐS:
Baøi 23. (ĐH 2004D–db2) Tính tích phân: I = x xe e dxl n8
2
ln31+∫ .
ĐS:
Baøi 24. (ĐH 2005A) Tính tích phân: I = x xdxx
2
0
sin 2 sin1 3cos
π
+
+∫ .
ĐS: I = 34 27
.
Baøi 25. (ĐH 2005B) Tính tích phân: I = x xdxx
2
0
sin 2 .cos 1 cos
π
+∫ .
ĐS: I = 2 ln 2 1− .
Baøi 26. (ĐH 2005D) Tính tích phân: I = xe x xdx2
sin
0( cos ) cos
π
+∫ .
ĐS: I = e 14π
+ − .
Baøi 27. (ĐH 2005A–db1) Tính tích phân: I = x xdx3
2
0sin . tan
π
∫ .
ĐS: I = 3ln 28
− .
Baøi 28. (ĐH 2005A–db2) Tính tích phân: I = x dxx
7
30
21
+
+∫ .
ĐS: I = 231 10
.
Baøi 29. (ĐH 2005B–db1) Tính tích phân: I = e
x xdx2
0ln∫ .
ĐS: I = e32 19 9
+ .
Baøi 30. (ĐH 2005B–db2) Tính tích phân: I = xx e x dx4
sin
0(tan cos )
π
+∫ .
ĐS: I = e12ln 2 1+ − .
Baøi 31. (ĐH 2005D–db1) Tính tích phân: I = e x dx
x x
3 2
1
lnln 1+
∫ .
ĐS: I = 76 15
.
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 137
Baøi 32. (ĐH 2005D–db2) Tính tích phân: I = x xdx2
2
0(2 1)cos
π
−∫ .
ĐS: I = 2 1
8 4 2π π
− − .
Baøi 33. (ĐH 2006A) Tính tích phân: I = xdx
x x
2
2 20
sin 2
cos 4sin
π
+∫ .
ĐS: I = 23
.
Baøi 34. (ĐH 2006B) Tính tích phân: I = x x
dxe e
ln 5
ln3
12 3−+ −
∫ .
ĐS: I = 3ln2
.
Baøi 35. (ĐH 2006D) Tính tích phân: I = xx e dx1
2
0( 2)−∫ .
ĐS: I = e25 3 4
− .
Baøi 36. (ĐH 2006A–db1) Tính tích phân: I = dxx x
6
2
12 1 4 1+ + +
∫ .
ĐS: I = 3 1ln2 12
− .
Baøi 37. (ĐH 2006A–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 3= − +và đường thẳng d: y x2 1= + .
ĐS: S = 1 6
.
Baøi 38. (ĐH 2006B–db1) Tính tích phân: I = dxx x
10
5
12 1− −
∫ .
ĐS: I = 2 ln 2 1+ .
Baøi 39. (ĐH 2006B–db2) Tính tích phân: I = e x dx
x x1
3 2 ln1 2 ln−
+∫ .
ĐS: I = 10 2 113
− .
Baøi 40. (ĐH 2006D–db1) Tính tích phân: I = x xdx2
0( 1)sin 2
π
+∫ .
ĐS: I = 14π
+ .
Baøi 41. (ĐH 2006D–db2) Tính tích phân: I = x xdx2
1( 2) ln−∫ .
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]đt : 01695316875 ymail: [email protected]
Trang 138
ĐS: I = 5 ln 44
− .
Baøi 42. (ĐH 2007A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: xy e x y e x( 1) , (1 )= + = + .
ĐS: S = e 12
− .
Baøi 43. (ĐH 2007B) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x x y x eln , 0,= = = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
ĐS: V = e3(5 2)27
π − .
Baøi 44. (ĐH 2007D) Tính tích phân: I = e
x xdx3 2
1ln∫ .
ĐS: I = e45 1 32
− .
Baøi 45. (ĐH 2007A–db1) Tính tích phân: I = x dxx
4
0
2 11 2 1
+
+ +∫ .
ĐS: I = 2 ln 2+ . Baøi 46. (ĐH 2007A–db2) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y x y x24 ,= = . Tính
thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
ĐS: V = 128 15
.
Baøi 47. (ĐH 2007B–db1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x xy y
x2(1 )0,
1
−= =
+.
ĐS: S = 11 ln 24 2π
− + .
Baøi 48. (ĐH 2007B–db2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y x y x2 2, 2= = − .
ĐS: S = 12 3π
+ .
Baøi 49. (ĐH 2007D–db1) Tính tích phân: I = x x dxx
1
20
( 1)4
−
−∫ .
ĐS: I = 31 ln 2 ln32
+ − .
Baøi 50. (ĐH 2007D–db2) Tính tích phân: I = x xdx2
2
0cos
π
∫ .
ĐS: I = 2
24
π− .
Baøi 51. (ĐH 2008A) Tính tích phân: I = xdxx
46
0
tan cos2
π
∫ .
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
Trang 139
ĐS: I = ( )1 10ln 2 32 9 3
+ −
Baøi 52. (ĐH 2008B) Tính tích phân: I = x
dxx x x
4
0
sin 4
sin 2 2(1 sin cos )
π π −
+ + +∫ .
ĐS: I = 4 3 24
− .
Baøi 53. (ĐH 2008D) Tính tích phân: I = xdxx
2
31
ln∫ .
ĐS: I = 3 2 ln 2 16
− .
Baøi 54. (ĐH 2008A–db1) Tính tích phân I x xdx3
2
0sin . tan
π
= ∫ .
ĐS: I = 3ln 28
− .
Baøi 55. (ĐH 2008A–db2) Tính tích phân xI dxx
7
30
2 1
+=
+∫ .
ĐS: I = 231 10
.
Baøi 56. (ĐH 2008B–db1) Tính tích phân I = e
x xdx2
0ln∫ .
ĐS: I = e32 19 9
+ .
Baøi 57. (ĐH 2008B–db2) Tính tích phân I = xtgx e x dx4
sin
0( cos )
π
+∫ .
ĐS: I = e12ln 2 1+ − .
Baøi 58. (ĐH 2008D–db1) Tính tích phân e xI dx
x x
3 2
1
lnln 1
=+
∫ .
ĐS: I = 76 15
.
Baøi 59. (ĐH 2008D–db2) Tính tích phân I x xdx2
2
0( 2 1)cos
π
= −∫ .
ĐS: I = 2 1
8 4 2π π
− − .
Baøi 60. (CĐ 2008) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): y x x2 4= − + và đường thẳng d: y x= .
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
Trang 140
ĐS: S = 9 2
.
Baøi 61. (ĐH 2009A) Tính tích phân I = x dx2
3
0(cos 1)
π
−∫ .
ĐS: I = 815 4
π− .
Baøi 62. (ĐH 2009B) Tính tích phân I = xdxx
3
21
3 ln( 1)
+
+∫ .
ĐS: I = 1 273 ln4 16
+
.
Baøi 63. (ĐH 2009D) Tính tích phân I = x
dxe
3
1
11−
∫ .
ĐS: I = e e2ln( 1) 2+ + − .
Baøi 64. (CĐ 2009) Tính tích phân I = ( )x xe x e dx1
2
0
− +∫ .
ĐS: I = e12 − .
Baøi 65. (ĐH 2010A) Tính tích phân I = x x
xx e x e dx
e
1 2 2
0
21 2
+ +
+∫ .
ĐS: I = e1 1 1 2ln3 2 3
++ .
Baøi 66. (ĐH 2010B) Tính tích phân I = ( )
e x dxx x
21
ln
2 ln+∫ .
ĐS: I = 1 3ln3 2
− + .
Baøi 67. (ĐH 2010D) Tính tích phân I = e
x xdxx1
32 ln
− ∫ .
ĐS: I = e21
2− .
Baøi 68. (CĐ 2010) Tính tích phân I = x dxx
1
0
2 11
−+∫ .
ĐS: I = 2 – 3ln 2 .
.
HOÀNG THÁI VIỆT - ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÀ NẴNG 2013
sđt : 01695316875 ymail: [email protected]
HOÀNG THÁI VIỆT – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC ĐÀ NÃNG 2014
Câu 1.A2011
Câu 2. B2011
đáp án :
Câu 3.D2011
đáp án :
Câu 4.A2012
đáp án :
Câu 5.B2012
đáp án :
Câu 6.D2012
đáp án :
Câu 7.A2013
đáp án :
Câu 8.B2013
đáp án :
đáp án :