chuyên đề: thỂ tÍch cÁc khỐi Đa diỆn-khỐi...
TRANSCRIPT
Chuyên đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRÒN XOAY
Sưu tầm và biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên Quang.
1. Một số kiến thức bổ trợ:
a) Hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết:
a.1.Một số công thức tính thể tích:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương:
Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .
- Thể tích khối lăng trụ: Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao.
- Thể tích của khối chóp: Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao.
- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm A’,B’,C’ khác với S. Ta có:
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)- Thể tích khối trụ: V = (h : độ dài đường cao)- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =
- Thể tích khối nón: V =
- Diện tích mặt cầu: S =
- Thể tích khối cầu: V =
a.2.Một số kiến thức bổ trợ:
+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: Diện tích :
+ Hình vuông ABCD có cạnh a: Đường chéo Diện tích .
+ Công thức tính diện tích tam giác: .
+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P). Nếu thì
Nếu không vuông góc với thì
- Xác định hình chiếu vuông góc d’ của d trên (P).
Khi đó : .+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
* Nếu thì- Dựng và tại A- Dựng AB vuông góc với b tại B Khi đó:
a
bA
B
* Nếu a và b không vuông góc thìCách 1:- Dựng tại O và - Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (P)-Trong (P) dựng OH vuông góc với b’tại H.-Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b tại B-Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a tại A. Khi đó: Cách 2:- Dựng và .- Dựng (Q) thỏa mãn
- Trong (Q) kẻ AB vuông góc với c tại B Khi đó:
a b
O
I H
BA
2
c
A
(P)
(Q)
B
Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.
Giải: Ta có : Chiều cao: Diện tích :
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông ABCD.
Giải: Ta có : và
Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và .
Giải: Ta có: Khi đó:
Diện tích tam giác ABC là
(đvdt)
Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết .
Giải: Diện tích tam giác ABC là
(đvdt)
Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC).
Giải
3
Giải:a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên ta có:
Khi đó OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).Do đó
b.Vì nên OM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) mà nên .Do đó A
B
S
MO
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD).b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD).
Giải:a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên ta có:Vì Khi đó AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó
b.Vì nên AO là hình chiếu vuông góc của SO trên (ABCD) mà
nên .Do đó
O
A
D C
S
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông, Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.
4
Giải:Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta thấy
và nên Do đó
tại OTrong kẻ OH vuông góc với SC tại H.Khi đó :
O
D
A B
S
H
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng .Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC tại N. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN.Giải: (ĐH khối A-2011)Kẻ đt d đi qua N và //AB,Qua A kẻ đt đi //MN cắt d tại E.
.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SE. Khi đó .
Vì MN//EN mà Do đó
A
B
S
E
M
N
K
b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm
Bài tập 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 2a.Bài tập 2: Cho hình vuông ABCD cạnh . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vuông ABCD.Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vuông tại A và
5
.Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết .Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD).b.Xác định góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD).
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA=SB=SC.a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC).b.Xác định góc giữa mặt (SAB) và (ABC).
Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều.Hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Xác định góc giữa cạnh bên AA’ và mặt đáy (A’B’C’).
Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Xác định góc giữa đường chéo BC’ của mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’).
2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề:
a) Ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác.
B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B 3: Áp dụng công thức V =
Ví dụ 1. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Giải:a) Gọi E là trung điểm của BC và O là tâm của
.Vì ABCD là tứ diện đều nên và và
Trong vuông
Mặt khác: ,
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH
A
B
D
EOH
M
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp 6
a. Biết cạnh bên bằng .Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứ diện K.ABC theo a.
b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc .d. Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc .
GiảiGiải:a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên ta có:
Trong vuông :
Mặtkhác:
Vậy thể tích chóp S.ABC là
A
B
S
MOH
K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của K trên (ABC).Khi đó Vậy
Tính thể tích khối tứ diện K.ABC là
(đvtt)
b.Vì nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).Do đó
= .Trong tam giác vuông SAO ta có:
; (đvdt)
Vậy (đvtt)
c.Vì nên OM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) mà nên
.Do đó =
Trong tam giác vuông SMO ta có: ; (đvdt)
Vậy (đvtt)
d. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên là tam giác cân đỉnh S mà ,AB=a
7
Do đó vuông cân đỉnh S Ta có:
Trong
Vậy (đvtt)
Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,BC=3a, .Góc giữa SD và ABCD bằng .
Giải:a) Vì nên AD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD).Do đó
Xét tam giác SAD có và
nên SA=AD=3a
Ta có , Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
A
D C
S
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ.
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B3: Áp dụng công thức
Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng
8
Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng là ABCA’B’C’. Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là
(đvtt)
A'
B'
C'
A
B
C
Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của lăng trụGiải: a. Gọi H là hình chiếu của A’trên (ABC). Do A’A=A’B=A’C nên H là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có và
Trong vuông AA’H ta có
A’H = AH. tan600 =
=
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
A
B
C
A'
B'
MH
Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng
Giải: Gọi b là độ dài cạnh của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có
9
Mặt khác Theo giả thiết ta có nên
Khi đó
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
D
A
C
D'
A'
C'
Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoay
B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối tròn xoay
B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối tròn xoay
B 3: Áp dụng công thức :- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)- Thể tích khối trụ: V = ( h : độ dài đường cao )- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =
- Thể tích khối nón: V =
- Diện tích mặt cầu: S =
- Thể tích khối cầu: V =
Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b.
10
Giải: Khối trụ có bán kính Mặt khác Theo giả thiết ta có bán kính
- Diện tích xung quanh của hình trụ là = (đvdt)
- Diện tích toàn phần của hình trụ là = Sxq +2.Sđ =
Thể tích khối trụ có bán kính R và chiều cao h=4b là
V =
C
B
A
A'
B'
C'O'
H
O
Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích toàn phần của khối nón có chiều cao bằng a và góc ở đỉnh bằng .
Giải: Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm O.Thiết diện qua trục là SAB cân có
nên Trong vuông Ta có:
- Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq = (đvdt) - Diện tích toàn phần của hình nón là Stp = Sxq +Sđ =
(đvdt)Thể tích khối nón có bán kính R và chiều cao h=a là
V =
S
O
A
B
b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc với đáy ABC và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a.
11
Giải: Do nên SA là đường cao của khối chóp S.ABC.Trong tam giác vuông ABC.Ta có:
Vậy V = SABC. SA = (đvtt)
4a 5a
3a
A
B
S
Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đường cao SA vuông góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc
Giải: Gọi M là trung điểm của BC.Vì ABC là tam giác đều nên mà
Nên AM là hình chiếu vuông góc của SM trên (ABC) Do đó hơn nữa
nên
Trong SAM ta có
SA = AM. tan300 =
Vậy V = SABC. SA =
= (đvtt)
A
B
C
S
M
Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
A,BC=a, SA=SB=SC= và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc
Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC).Do tam giác ABC vuông tại A và SA=SB=SC nên H là trung điểm của BC.
12
Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó
Trong SHC ta có
Trong SHM ta có
HM = SH: tan600 = Do đó AC=2HM= Khi đó
= AB.AC= .a
Vậy V = SABC. SA = (đvtt)
Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp a.Biết cạnh bên bằng .Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA Tính tỷ số thể tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD.b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc .c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc .
d. Biết .Giải:a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp tam giác đều nên ta có:
Trong
Mặtkhác: Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
B
A D
S
O
M
H
13
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (ABCD).
Khi đó ,
Ta có thể tích khối tứ diện M.ABC là
Khi đó :
Cách 2:
b.Vì nên OA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD).Do đó
= .Trong tam giác vuông SAO ta có:
; (đvdt)
Vậy (đvtt)
c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì nên OE là hình chiếu vuông góc của SE trên (ABCD) mà nên .Do đó =Trong tam giác vuông SMO ta có:
; (đvdt)
Vậy (đvtt)
d. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên là tam giác cân đỉnh S mà ,AB=a Do đó đều cạnh a Ta có:
Trong
Vậy (đvtt)
Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông.
a. Biết AB=,2a và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng
b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng
14
Giải:a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a nên ta có: và AO =
Vì Khi đó AO là hình chiếu vuông góc của SO trên (ABCD). mà nên Do đó
=Trong tam giác vuông SAO ta có:
;
(đvdt)
Vậy O
A
D
S
b. Vì nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD).Do đó
= .Trong tam giác vuông SAC ta có:
; Gọi b là độ dài cạnh của hình vuông ABCD Ta có
Khi đó (đvdt)
Vậy (đvtt)
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy.Gọi H là trung điểm của AB
a. CMR b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
c. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho .Tính theo a.
15
Giải:a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là trung điểm của AB nên
và
Khi đó Ta có :
b. Mặtkhác: Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
A
B
S
H
M
c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn nên.Tính
Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a.
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
16
Giải:Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có SA=SC và OA=OC nên SB=SD và OB=OD nên Từ (1) và (2) Ta có Xét ta có AB = AD = a và
nên là tam giác đều cạnh a. Khi đó Ta có :
Trong vuông Ta có:
Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
(đvtt)
O
D
A B
S
Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo hợp với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ
Giải: a. Vì ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác đều nên
và ABCD là hình vuông cạnh a.Khi đó ta
có và
AC là hình chiếu vuông góc của A’C trên nên
Trong ABC ta có
AA’ = AC. tan600 = . =5Vậy Thể tích khối lăng trụ là
17
B'
A'
A
B
Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, .Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên (ABC) một góc
300.Tính thể tích lăng trụ đó.Giải: a. Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên Do đó AB là hình chiếu vuông góc của A’B trên (ABC)Ta có:
Trong ABC ta có: AB = BC. tan600 = a
Trong AA’B Ta có: tan300 =
AA’=AB.tan300 = a . =a
= AB.AC = .a .a =
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
A'
B'
C'
A
B
C
18
Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, .Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc
300.a. Tính độ dài cạnh AC’ b. Tính thể tích lăng trụGiải: a. Vì ABC vuông tại A nên BA AC Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA AA’ Do đó Ta có nên AC’ là hình chiếu vuông góc của BC’ trên Theo giả thiết Ta có:
Trong ABC ta có: tan600 = AB = AC. tan600 = a
Trong BAC’ Ta có:
tan300 = AC’ = =AB =3a
Trong AA’C’:
= AB.AC = .a .a =
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
B'
A'
B
A
Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a ,
và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Tính thể tích của lăng
trụ trên.
Giải: a. Gọi H là trung điểm của B’C’.Theo giả thiết ta có Trong vuông Ta có:
19
=
Vậy Thể tích khối lăng trụ là
A'
B'
C'
A
B
C
H
Bài tập 12: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung quanh bằng bằng .
Giải: Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm O.Thiết diện qua trục là SAB - Diện tích xung quanh của hình nón là
(đvdt)
Trong vuông Ta có:
Vậy Thể tích khối nón có bán kính R và chiều cao h=a là
V =
S
O
A
B
c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy,
20
GA
B
C
S
I
N
M
I
O
A
B C
D
S
E
F
M
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt
SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.Lời giải:
a)Ta có:
+ +
Vậy:
b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có :
// BC MN// BC
Vậy:
Yêu cầu:+Học sinh ghi được thể tích khối SABC và tính.+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối. + Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích đối với khối chóp
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)b) Tính thể tích khối chóp S.ABCDc) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Lời giải:a) Gọi . Ta có (AEMF) //BD EF // BD
b)
+
+ có :
Vậy :
c) : Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :
có trọng tâm I, EF // BD nên:
HD
Yêu cầu: +Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn của giáo viên.+Tính được thể tích của khối S.ABCD sau khi đã làm qua nhiều bài tập.+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF. Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài 5)
21
D
B
A
C
F
E
A
S
I
O
D
B
C
C'
D'
B'
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.b) Chứng minh c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Lời giải:a)Tính
Ta có:
b) Ta có: Ta có: c) Tính :
Ta có:
Mà , chia cho
Tương tự:
Từ (*) .
Vậy
Yêu cầu:+Học sinh chứng minh được đường thẳng vuông góc mặt phẳng.
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số , .
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy
ra
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC
tại C’.a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b) Chứng minh c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’d)
Lời giải:a) Ta có:
b) Ta có Ta có Suy ra:
22
A'
C'
BA
cD
D'
B'
O
M
c) Tính +Tính :
Ta có:
vuông cân nên
Ta có:
Từ
+
Yêu cầu:+Học sinh biết chứng minh + Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau:
+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’b) Tính thể tích khối OBB’C’.c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V. Ta có :
. * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên:
b) M là trung điểm BC
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện
OBB’C’. Ta có :
Yêu cầu:+Học sinh xác định công thức thể tích của khối hộp và khối chóp.+Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
23
A'
C'D'
D
A
C
B'
B
A C
B
C'A'
B'
I
E
F
J
Lời giải:Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’. + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích.
Khối CB’D’C’ có
+ Khối lập phương có thể tích:
Yêu cầu:+Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối với khối nhỏ đang tính
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FELời giải:a) Khối A’B’ BC: Gọi I là trung điểm AB, Ta có:
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên
;
+ Vậy :
Yêu cầu:+ Học sinh biết cách tính khối A’B’ BC+Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai khối chóp
tam giác.+ Biết được đường thẳng nào vuông góc với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho khối CEFA’.+ Tương tự cho khối CFA’B’
Bài 8. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
24
Lời giải.
Giả sử BI = x
Ta có
A’A = AI.tan 300 =
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8Do đó VABC.A’B’C’ = 8
30
I
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 9 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = , AD = . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Tính thể tích khối lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1.Lời giải. Kẻ A’H , HM
(định lý 3 đường vuông góc)
Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 =
AN =
Mà HM = x.cot 450 = x
Nghĩa là x =
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x = HN
M
D'
B'A'
D
C
BA
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụHD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a* Tính: = Bh = .AA’
* Tính: = AB.AC (biết AC = a)
* Tính AB: Trong ABC tại A, ta có: AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
ĐS: =
Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc = 600. Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm
25
2a3a
a
C'B'
A'
CB
A
hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD * B’O (ABCD) (gt) * Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là =
* Tính = : Trong BB’O tại O, ta có:
cos = =
+ ABD đều cạnh a (vì = 600 và AB = a) DB = a
OB = DB = . Suy ra: cos = = 600
b) * Đáy ABCD là tổng của 2 đều ABD và BDC = 2. =
* = Bh = .B’O = .B’O
* Tính B’O: B’O = (vì B’BO là nửa tam giác đều) ĐS:
Dạng 3: Tính thể tích các khối tròn xoayBài 12: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nónb) Tính thể tích của khối nónHD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15 Tính: AB = 5 ( AOB tại O)* Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24
b) V = = = = =12
Bài 13: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nónb) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2 a2
* Stp = Sxq + Sđáy = 2 a2 + a2 = 23 a2
26 2a
A B
S
O
3
4
A
BO
a
60a
O
D' C'
B'A'
D C
BA
b) V = = =
Tính: SO = (vì SO là đường cao của
SAB đều cạnh 2a)
Bài 14: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nónb) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên = = 450
* Sxq = Rl = .OA.SA = a2
Tính: SA = a ; OA = a ( SOA tại O) * Stp = Sxq + Sđáy = a2 + a2 = (1 +
) a2
b) V = = =
Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.Tính thể tích của khối trụ.HD: * Sxq = 2 Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .R.2R = 4 R2
* OA =R; AA’ = 2R* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4 R2 + R2 = 5 R2
* V = = =
Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụb) Tính thể tích của khối trục) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích
của thiết diện được tạo nênHD: a) * Sxq = 2 Rl = 2 .OA.AA’ = 2 .5.7 = 70(cm2) * OA = 5cm; AA’ = 7cm * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = =120 (cm2)b) * V = = = .52.7 = = 175 (cm3) c) Gọi I là trung điểm của AB OI = 3cm * = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ
27
45
S
BAO
A
B
O
O'A'
B'
lh
h
r
l
B'
A'
O'
I
OB
A
nhật) * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4(cm) ( OAI tại I)
Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a. a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, Db) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầuHD: a) * Gọi O là trung điểm của CD.* Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: DAC vuông tại A
OA = OC = OD = CD
(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)
* Chứng minh: DBC vuông tại B OB = CD * OA = OB = OC = OD = CD A, B, C, D
thuộc mặt cầu S(O; )
b) * Bán kính R = = = = =
* S = ; * V = R3 =
Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, Sb) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy). Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS
b) R = OA = ; S = 2a2 ; V =
Bài 19: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, Sb) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
28
O
D
C
B
A
HD: * Gọi I là trung điểm AB. Kẻ vuông góc với mp(SAB) tại I * Dựng mp trung trực của SC cắt tại O OC = OS (1)* I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vì SAB vuông tại S) OA = OB = OS (2) * Từ (1) và (2) OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA = =
=
* S =
* V =
Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.HD: a) Gọi O là trung điểm SC * Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC lần lượt vuông tại A, D, B
* OA = OB = OC = OD = OS =
S(O; )
b) * R = = =
* S= ;V=
Bài tập tư giảiDạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 5a, cạnh bên tạo với đáy góc . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
29
c
b
a I
O
S
C
B
A
2a
a
S
O
D
CB
A
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy, SA=. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCb) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC.
Bài 3: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a. Góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) bằng . Tính thể tích của khối chóp SABC.Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có , tam giác ABC vuông cân tại A, BC = , SA=2a. E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC.b) Tính thể tích khối SAEF.c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, và .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a. Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt đáy. Biết , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB=a, BC= , góc giữa AC’ và mp(A’A’C’D’) bằng . M là trung điểm AD
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật.b) Tính thể tích khối MACB’
Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh bằng 2a.a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’.b) Tính thể tích khối CBA’B’
Bài 3: Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc .
a) Chứng minh rằng .b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Bài 4: Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.(ĐS: 300)
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS: )
c) Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.Bài 5: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’=AB=h và góc của B’C làm với mặt đáy bằng .
a) Chứng minh rằng .
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS: )
c) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ.
Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay
Bài 1: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
30
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nónb) Tính thể tích của khối nónc) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 600. Tính SSBC
Bài 2: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụb) Tính thể tích của khối trụ
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a. SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD). a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, Sb) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
e) Một số đề thi ĐH các năm gần đây:
ĐH Khối A-2011Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB=BC=2a. hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng .Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC tại N.Biết góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600
a. Tính thể tích khối chóp SBCMN.b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN .ĐS:a.
b.
A
B
S
E
M
N
K
31
ĐH Khối A-2012Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,Hình chiếu vuông góc của S trên
là điểm H thuộc AB sao cho HA=2HB, góc giữa SC và (ABC) bằng 600
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC .ĐS:
a.
b.
x
A
S
HM
N
K
ĐH Khối B-2012Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. SA=2a,AB=a.Gọi H là hình chiếu của A trên SC.a. CM SC (ABH)b. Tính thể tích khối chóp S.ABHĐS:
a.
b. A
B
S
M O
H
32
ĐH Khối D-2012Cho lăng trụ tứ giác đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình vuông,Tam giác A’AC cân, A’C=a. a. Tính thể tích khối chóp ABB’C’.b. Tính khoảng cách từ A đến (BCD’) theo a .ĐS:
a.
b.
D'
A'B'
A B
D H
ĐH Khối A-2013Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, . SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên (SBC) bằng 600
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.b. Tính khoảng từ C đến (SAB).
ĐS:
a.
b.
B
C
S
H M
33
ĐH Khối B-2013Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và
. a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b. Tính khoảng cách từ A đến (SCD) .ĐS:
a.
b.
A
B
S
H
M
ĐH Khối D-2013Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,SA
.Gọi M là trung điểm của BC và
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b. Tính khoảng cách từ D đến (SBC) .ĐS:
a.
b. A
B
S
M
H
34
ĐH Khối A-A1-2014Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, .Hình chiếu vuông
góc của S trên là trung điểm của AB. a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.b. Tính khoảng cách từ A đến (SBD) .ĐS:
a.
b. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên BD và F là hình chiếu vuông góc của H trên SE.
A
B
S
H
E
F
ĐH Khối B-2014Cho lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm của AB. Góc giữa A’C và mặt đáy bằng .Hình chiếu vuông góc của S trên là trung điểm của AB. a. Tính thể tích khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.b. Tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’)
a.
b. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên AC và F là hình chiếu vuông góc của H trên A’E.
A
B
A'
B'
HE
F
35
ĐH Khối D-2014Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a. mặt phẳng (SBC) . a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA .ĐS:
a.
b. C
B
S
H
K
f) Một số đề kiểm tra:
ĐỀ SỐ 1 : Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= . Đáy là tam giác ABC cân
, cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).
Đáp án: Áp dụng định lí cosin trong
ABC có AB = AC =
= AB.AC.sin1200 =
.
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.* Theo định lí sin trong ABC ta có:
= 2R R = = HA
R
hM
B
A
H
M
3,0 đ
36
SHA vuông tại H SH = =
= .SH = 2,0 đ
* Gọi hA, hM lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC)
hM = hA .
SBC vuông tại S = a22,0 đ
* Lại có: = .hA hA = =
Vậy hM = d(M;(SBC)) = 3,0 đ
ĐỀ SỐ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB . Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn:
, góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
37
•Ta có H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH
BC = AB ; AI= ; IH=
=
AH = AI + IH =
I
S
H
BA
C
2,0 đ
•Ta có
Vì 2,0 đ
• 1,0 đ
•
Ta có 5,0 đ
ĐỀ SỐ 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
theo a.
38
Đáp án:Từ giả thiết AC = ; BD = 2a ;AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a Do đó hay tam giác ABD đều.Từ giả thiết (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO (ABCD).
2,0 đ
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
và DH = ; OK // DH và OK AB
AB (SOK)Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
4,0 đ
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
Diện tích đáy ; đường cao của hình chóp .
Thể tích khối chóp S.ABCD:
4,0 đ
39
S
A
BK
HC
O
ID3a
a
S
A
BK
HC
O
ID3a
a