Ciencias formalesLos objetos de la ciencias formales son ideales

Su mtodo es la deduccin.Y su criterio de verdad: la consistencia o no contradiccin de los resultados.Todos sus enunciados son analticos: es decir se deducen de postulados o teoremas Ciencias fcticasEl mtodo axiomtico-deductivo de las Ciencias formalesLas ciencias formales son aquellas que no dicen nada de la experiencia de la realidad por s mismas. Sin embargo la Lgica est en todas las dems ciencias y las Matemticas en muchas de ellas (la Fsica, la Astronoma, pero tambin la Economa y la Sociologa) Las ciencias formales parten en sus razonamientos deductivos de AXIOMAS. La palabra axioma significa dignidad en griego y se llam as (Euclides fue el primero en usar en este sentido la palabra) con el fin de dar a entender que las PROPOSICIONES AXIOMTICAS son las ms importantes, las ms dignas, las primeras de todas.

Ejemplo: - Dos rectas paralelas se cortan en el infinito - Por dos puntos siempre pasa una recta - En cualquier figura el nmero de ngulos coincide con el nmero de lados - Un nmero cualquiera restado a ese nmero cualquiera siempre es cero.

Un conjunto de axiomas debe cumplir tres requisitos: a) Los axiomas deben ser independientes entre s. Es decir, un axioma no se puede deducir de otro. b) El conjunto de axiomas debe ser consistente. Eso significa que de un axioma no se puede deducir un teorema que contradiga otro axioma. c) El conjunto debe ser completo.Esto significa que podremos saber de cualquier teorema que se deduce de los axiomas si es verdadero o es falso.

LOS TEOREMAS son las proposiciones que se deducen de los axiomas. Ejemplo: el teorema de Pitgoras: El cuadrado de la hipotenusa de un tringulo es igual al cuadrado de los lados del tringulo Los teoremas se deducen de los axiomas.

Ejemplos de axiomas en Lgica: No se da una proposicin A y su negacin o, dicho de otro modo, No (A y no-A). Este axioma se conoce como principio de no contradiccin. Se deduce el siguiente teorema: O A o no-A Este teorema se conoce como tercio excluido o tercio excluso, es decir, se da un hecho o no se da un hecho, una tercera posibilidad est excluida. NOTA: En este caso el teorema podra ser axioma y, entonces, el axioma sera el teorema deducido. Eso no importa. Lo importante es que quede claro cules son los principios de los que se parte.Mtodo deductivo de las ciencias formales: Matemticas.Tabla de contenidos[ocultar] 1Las Matemticas 1.1Los axiomas 1.2Los teoremas 1.2.1Estructura de un sistema formal axiomtico 1.2.2Axiomas 1.2.3Definiciones 1.2.4Criterios de deduccin

Las MatemticasNo es tarea fcil definir las Matemticas debido al gran progreso que han experimentado en los ltimos siglos. Se ha venido afirmando que las Matemticas estudian elnmeroy laextensin, pero esta definicin ha quedado anticuada. Vamos a exponer un esquema muy simplificado de las distintas partes de esta ciencia para hacernos una idea de su contenido:

Organigrama de las MatemticasEn los fundamentos de las Matemticas, est lateora de los conjuntosy laLgica.Esta fundamentacin ha dado origen a la matemtica moderna que ha supuesto una revolucin. Esta revolucin surgi para dar al conjunto de los conocimientos matemticos una mayorconsistencia y coherencia. Tal fue la intencin de sus creadores,Hilbert,CantoryRussell. Tambin fueron importantes las aportaciones de los matemticos franceses reunidos bajo el nombre deNicols Bourbaki. Para todos ellos era ms importante enunciar y demostrar con el mximo rigor los principales teoremas de las Matemticas que descubrir otros nuevos.Este nuevo enfoque de las Matemticas, concibe a esta ciencia comoun sistema formal axiomtico. Si conseguimos entender estas palabras, habremos comprendido la estructura de las Matemticas.Un sistema formal axiomtico, est constituido por un conjunto de proposiciones llamadastesisdel sistema, de las que unas son losaxiomasy otras losteoremas.

Los axiomasSon las proposiciones bsicas del sistema. Axioma viene del griegoque significadignidades. Son las proposiciones ms dignas, las primeras. As las bautizEuclidesen susElementos. Antiguamente estos axiomas eran evidentes; es decir, su verdad se impona inmediatamente a la mente. Son los llamadosaxiomas materiales.En la actualidad, sin embargo, los axiomas se enuncian comoaxiomas formales, como proposiciones cuya verdad no se plantea como problema, pero que se establecen como fundamento de todas las dems proposiciones del sistema formal axiomtico.Para hacernos una idea adecuada del sistema formal axiomtico, pondremos como ejemplo, el deljuego de ajedrez. Los axiomas son las reglas del juego, de las que no se pueden salir los jugadores, y, por tanto, en los sistemas formales axiomticos, los axiomas deben quedar bien establecidos para que se puedan deducir los teoremas con ausencia de contradiccin.Los teoremasSon las proposiciones o tesis del sistema formal axiomtico que se demuestran a partir de losaxiomas, o a partir de otros teoremas ya demostrados.Estructura de un sistema formal axiomtico Parte morfolgica1. Un conjunto de componentes primitivos.2. Un conjunto de operaciones relativas a tales componentes.3. Un conjunto de reglas de formacin expresivas de cmo a partir de los componentes primitivos se pueden construir nuevos componentes llamados derivados. Parte axiomtica1. Un conjunto de axiomas.2. Un conjunto de definiciones.3. Un conjunto de reglas o criterios de deduccin.4. Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.Lo que se refiere a la parte morfolgica, lo hemos estudiado en laLgica proposicional. En cuanto a la parte axiomtica, se han formulado diferentes grupos de axiomas como los deLukasiewicz, los deFregeLukasiewicz, y los deHilbertAckermann, que pasamos a exponer.

Axiomas A 1: A 2: A 3: A 4:

DefinicionesTienen como fin establecer el significado de los operadores no primitivos o derivados. Df, 1: Df, 2: Df. 3: Df. 4:

Criterios de deduccin D 1: A 1, A 2, A 3, A 4 son tesis. D 2: Sies una tesis y sies una tesis, entonceses una tesis (modus ponendo ponens). D 3: Si una expresin lgica es una tesis y sustituimos en ella una proposicin atmica por otra cualquiera, el resultado es una tesis. D 4: Sies una tesis, y sies una tesis, entonceses una tesis. D 5: Nada es tesis si no es mediante los criterios: D 1, D 2, D 3 y D 4.A partir de estos axiomas, definiciones y criterios de deduccin se pueden ir demostrando los teoremas de lalgica proposicional. Por ejemplo: A partir de A 2, D 1, D 3, se obtiene:T1. A partir de A 1, T 1, D 1, D 4:T2. A partir de T 2, Df 1:T3. A partir de A 3, D 1, D 3:T4. A partir de T 3, T 4, D 2:T5.En el mtodo matemtico no existe un modelo nico de sistema formal axiomtico para toda la matemtica. Cada una de sus partes, segn el organigrama anterior, tiene su sistema formal axiomtico.La teora de los conjuntos utiliza los axiomas deZermeloFaenkel, o los deNeumannBernaysGdel. La aritmtica usa los dePeano, La geometra eucldea los deHilbert, etc.Finalmente, para que un conjunto de axiomas est bien construido tiene que cumplir los siguientes requisitos: Independencia:Ninguno de los axiomas puede ser deducido o demostrado a partir de los dems. Cada axioma ha de ser independiente. Consistencia:Partiendo de los axiomas no debe ser posible demostrar un teorema y la negacin del mismo. No se puede demostrar que 3 + 2 sea igual a 5, y que 3 + 2 sea distinto de 5. Completitud:Significa que sobre cualquier proposicin del sistema se pueda determinar si es verdadera o es falsa.Al aplicar estas condiciones necesarias, surgen laslimitaciones de los sistemas formales axiomticos, que fueron descubiertas por el insigne lgico matemticoKurt Gdelen 1931. Gdel afirma que en todo sistema formal axiomtico, hayproposiciones indecidiblesdesde el interior del sistema, es decir, que no se puede afirmar si son verdaderas o falsas, dentro de los lmites del sistema. (Habra que salirse del sistema y enunciar otros axiomas, pero esto nos llevara a un proceso indefinido).Algunos matemticos consideraron dentro de este tipo de proposiciones algunas que an no haban sido demostradas como la conjetura deGoldbach.Finalmente, podemos preguntarnos, sobre el tipo de conocimiento y la seguridad o certeza que nos proporcionan las matemticas, son seguras sus conclusiones?La autonoma del sistema formal axiomtico es la raz de la seguridad de sus conclusiones. Dados los axiomas, los teoremas se van deduciendo necesariamente. Volvemos a encontrar la nocin de verdad lgica ovalidez, matemticamente verdadero significa verdadero dentro del sistema axiomtico en el que se trabaja.Sin embargo lo interesante de las matemticas es que tambin se pueden aplicar como herramienta para consolidar descubrimientos en los campos de otras ciencias como la fsica, la qumica o la astronoma.Las matemticas, nos ayudan a: Codificar y descifrar la experiencia. Por ejemplo si Juana y Pepe pueden cortar el csped de su casa trabajando juntos en 4 horas. Si trabajara Juana sola, tardara 6 horas, cunto tardara Pepe si trabajara solo?Solucin:Juana 6h Juana 4h Pepe 4hPor lo tanto, Pepe 12h No engaarnos con nuestros sentidos o intuiciones: Supongamos que una persona rema 2 Km, ro arriba y 2Km. ro abajo. Esta persona rema a 5Km. por hora en aguas tranquilas. La corriente del ro es de 3 Km. por hora, cunto tiempo tardar?Solucin: = Tiempo = Espacio = VelocidadRo arriba:

Ro abajo:

Total= 1h 15minA esto podemos aadir que las Matemticas tambin pueden apreciarse y comprenderse como un sistema separado, un lenguaje independiente, gracias al cual traducimos y organizamos nuestra experiencia para poderla entender y racionalizar. Por eso decimos quelas Matemticas son el lenguaje en el que escribimos la Fsica.Los cientficos de la naturaleza, fsicos o astrnomos, perciben una relacin entre los datos que observan y los encajan en algn patrn matemtico.Kepler-el famoso astrnomo que describi el viaje de la tierra alrededor del sol en rbitas elpticas, usando los datos deThycho Brahesobre la rbita de Marte -, observ que los planetas se movan describiendo elipses y atribuy estas observaciones a un error de observacin, pues an en esa poca se explicaban los movimientos de los astros circularmente. Gracias a sus estudios sobre elipses y cnicas y a su admiracin por las matemticas, pudo volver a la antigua idea de la filosofa pitagrica de que la naturaleza estaba escrita en un lenguaje matemtico, y enunci sus tres famosas leyes en su obra fundamental,La armona del mundo.En este sentido, afirmaBertrand Russell:Las matemticas son, creo yo, la principal fuente de nuestra creencia en verdades eternas y exactas. Esto deja pensar que todo razonamiento exacto se aplica a objetos ideales en contraposicin a los objetos sensibles, que el pensamiento es ms noble que los sentidos, y que el objeto del pensamiento es ms real que los objetos de la percepcin sensible.Todas estas reflexiones nos llevan a formularnos varias preguntas: Es inventada la matemtica, es decir, consiste en un conjunto de convenciones hechas y acordadas?, o, es algo que el ser humano ha descubierto observando el mundo que le rodea?Si la matemtica es pura invencin, cmo es que funciona tan bien?, cmo es que sus aplicaciones se cumplen en el mundo exterior? Si fue descubierta, cmo es que parecen existir tantos sistemas axiomticos que cumplen con el criterio de la independencia de los axiomas y que no tienen nada que ver con nuestros sentidos?Cmo se origin la matemtica? Podemos contestar ingenuamente que para contar cabras u ovejas, para comerciar y no ser engaados, pero cuando surgieron los nmeros ellos mismos cautivaron la atencin y el inters de los cientficos. Pitgoras y su escuela mantenan la existencia de una correspondencia biyectiva entre los nmeros y las realidades naturales, hasta que descubrieron los nmeros irracionales como, que ya no era fcil relacionar con la experiencia, con los sentidos.El debate sigue abierto.El mtodo matemtico, del que venimos hablando, queda resumido en el siguiente texto:Euclides construy su geometra, una geometra que resisti el paso de dos mil aos, utilizando un mtodo de trabajo especialmente acertado:el mtodo axiomtico. Euclides empezaba por enunciar una serie de verdades que le parecan evidentes por s mismas y que aceptaba sin demostracin previa. Por ejemplo que por dos puntos pasa siempre una recta, o que dos rectas no paralelas se cortan siempre en un solo punto. Una vez aceptados estos presupuestos bsicos, las nicas reglas del razonamiento le proporcionaban todo lo dems. A partir de los enunciados primitivos, de los axiomas, se iban encadenando una tras otra las deducciones que se desprendan de ellos, eran los teoremas. Por supuesto, la eleccin de los axiomas en cierto sentido arbitraria, puede partirse de un cierto conjunto de enunciados o de otro conjunto distinto. Lo que en verdad importa es que se respeten las reglas deductivas y se mantenga el entramado total en toda su complejidad.El mtodo de trabajo de la matemtica moderna es semejante al de Euclides, slo que ms perfecto y acabado. Supongamos que queremos edificar una teora matemtica, por ejemplo la teora de conjuntos. Empezaremos por definir una serie de axiomas que nos aclaren lo que entendemos por los conjuntos, luego nos pondremos a deducir de acuerdo con las reglas del juego, y sta ser nuestra teora de conjuntos. Eligiendo los axiomas con cuidado no hay que temer a la antinomias; precisamente los axiomas se pensarn de tal manera que las antinomias no puedan aparecer. sta es la ventaja de una teora formalizada frente a una intuitiva. Lo nico que se le pide a este juego lgico es que no nos lleve a contradicciones, es decir, que no podamos probar a la vez, a partir de los axiomas un teorema y su negacin.Un sistema de axiomas es consistente cuando no es posible probar a la vez un teorema y su contrario. El sueo de Fausto de todo matemtico es probar que su ciencia est libre de contradicciones, que resiste todos los asaltos, que es consistente. Y no slo eso, su sueo incluye el que sea completa, es decir, que todo teorema que haya sido o pueda ser pensado sea susceptible de ser probado o refutado. Por desgracia este ambicioso programa, - el programa de Hilbert -, es slo un sueo. Un sueo del que nos despert cruelmente en 1931 Kurt Gdel Gdel prob que se tomaba un conjunto de axiomas lo suficientemente amplio que contenga los axiomas de la aritmtica como mnimo -, no es posible probar, con las armas de deduccin del sistema, que tal conjunto sea a la vez consistente y completo. Es decir, que en caso de ser completo, contendra contradicciones. Y en caso de no tener contradicciones, -es decir, en caso de ser consistente habra siempre teoremas verdaderos que nunca podramos demostrar.Gdel ha demostrado en cierto modo las limitaciones de la matemtica. Esta no puede probarlo todo; en particular no puede probar su propia consistencia.Navarro, J.La nueva matemtica, p. 47 y ss.

I could fall in loveI could lose my heart tonightIf you don't turn and walk away'cause the way I feel I mightLose control and let you stay'cause I could take you in my armsAnd never let go

I could fall in love with youI could fall in love with you

I can only wonder howTouching you would make me feelBut if i take that chance right nowTomorrow will you want me stillso I should keep this to myselfAnd never let you know

I could fall in love with youI could fall in love with you

And i know it's not rightso I guess i should tryTo do what I should doBut I could fall in love with youI could fall in love with you

So I should keep this to myselfAnd never let you know

I could fall in love with youI could fall in love with you.

Yo podra enamorarmePodra perder mi corazn esta nocheSi no te das la vuelta y te alejasPor la manera en la que me siento, podraPerder el control y dejar que te quedesPorque yo podra tomarte entre mis brazosY nunca dejarte ir

Yo podra enamorarme de tiYo podra enamorarme de ti

Podra preguntarme cmoMe hara sentir tocartePero si me arriesgo ahoraMaana me querras todava?As que debo guardar esto para miY nunca dejarte saber

Yo podra enamorarme de tiYo podra enamorarme de ti

Y yo s que no es correctoAs que imagino que debera intentarHacer lo que debo hacerPero yo podra enamorarme de tiYo podra enamorarme de ti

As que debo guardar esto para miY nunca dejarte saber

Yo podra enamorarme de tiYo podra enamorarme de ti.