ciercunferencia de mohr

8/18/2019 Ciercunferencia de Mohr

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Circunferenciasde MohrEn muchas aplicaciones de la Ingeniería, es útil tener unarepresentación geométrica del Estado Plano de Esfuerzos.

Las ecuaciones de transformación, pueden interpretarse comolas ecuaciones paramétricas (con Ѳ como parmetro! "uegeneran una cur#a plana en un sistema coordenado rectangular$

cortantes)esfuerzosparaEje.(τ

normales)esfuerzosparaEje.(σ

%e las ecuaciones,o&tenemos$


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( )αθ2cosτ+θ2sen

2

σ-σ-=τ

θ2senτ+θ2cos2

σ-σ=

2

σ+σ-σ

xy

yx

yx

xy

yxyx

x

''

'

Ele#ando al cuadrado las ecs. ('! sumando término a término(para eliminar el parmetro Ѳ!, o&tenemos$

( )βτ+

σσ=τ+

σ+σσ xy

2

2

yxyx

2

2

yx

x 2

-

2- '''

)oordenadas del)entro *

σ+σ= !

2"

yx

+adio *2

xy

2

yx

2# τ+

σσ=

-


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arios hechos importantes relati#os al Estado Plano de Esfuerzos,esta&lecidos en la sección anterior, "uedan manifestados en laspropiedades geométricas de la )ircunferencia de -orh. Poreemplo$/ alores e0tremos del Esfuerzo1ormal$

2$ yσσ tales "ue #

2

yx

$ +σ+σ

=σ #2

yx

2 −σ+σ

=σ 2

xy2

2

yxyx

2xy2

2

yxyx

$22

%22

τ+

σ−σ−

σ+σ=στ+

σ−σ+

σ+σ=σ

en los puntos representati#os el esfuerzo cortante es 13L4.En consecuencia, dichos puntos representan L45 E563E+745

P+I1)IP8LE5.


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2

yx σ+σ

(+ecordar ! xy y x MAX 2

2

2τ

σ σ

τ +

−=

9ace falta precisar el significado del parmetro Ѳ en la)ircunferencia de Esfuerzos. Las ecuaciones ('! pueden re/escri&irse de la manera siguiente$

( )

( )( )

( )( )$.

2p2#sen

2p2cos#2

2p2#sen

2psen2#sen2cosp2cos#2

'y'x

yx

'x

'y'x

yx

'x

βθ−θ=τ

θ−θ+σ+σ

=σθ−θ=τ

θθ+θθ+σ+σ

=σ


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Nota$ Para o&tener las ecuaciones (:.;! hemos usado la

ecuación para encontrar el ngulo do&le "ue corresponde ala direcciones principales$

2

22tan

yx

xy

yx

xy

p σ−στ

=σ−σ

τ=θ

p

yx2cos#

2θ=

σ−σ→

pxy 2#sen θ=τ

hemos reemplazado en las

ec. (:!.

Las ecuaciones (:.;! son


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( )

( )( )β

=θτθ=τ

=θσ=θ+

σ−σ=σ

para 2#sen "ortanteElesfuezo

para 2cos#2

&ueo

y'x'pxy

'xp

yx

x

En consecuencia, el parmetro >Ѳ "ue figura en las ecuacionesde la )ircunferencia de -orh, de&e indicarnos tam&ién unarotación positi#a en la dirección contraria al mo#imiento de lasmanecillas del relo.


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Procedimiento para trazar la Circunferencia de Morh.

%atos . xyyx !! τσσ→

3samos las ecuaciones (:.;! (:.>!.


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La carga a0ial P produce el estado de esfuerzos en el material,como se indica en la ?gura. @razar el circulo de -ohr para estecaso.

)onstrucción del circulo, de la ?gura se o&tiene$

Ejercicios


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4&ser#e "ue los esfuerzos principales estn en lospuntos 8 %

El elemento de la ?gura inicial representa este estado deesfuerzos principales.

El esfuerzo cortante m0imo en el plano, el esfuerzo normal

promedio asociado, se identi?can en el circulo como punto E o 6.en E, sucede "ue$


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