CIFA 2010 1

Analyse structurelle des systèmes, une approche

graphique

Christian Commault et Jean-Michel Dion

Gipsa-Lab, DépartementAutomatique Université de Grenoble –FRANCE

CIFA 2010 2

• Motivation d’une approche structurelle des systèmes • Les systèmes structurés, propriétés génériques et

graphe associé• Le cas particulier de l’observabilité• Autres problèmes - Autres modèles• Classification des capteurs• Indice de criticité• Conclusion

But de la présentation

CIFA 2010 3

• Les systèmes, en particulier s’ils sont construits par l’homme, présentent souvent une structure

• Relations fixes entre variables : absence de relation (sous-systèmes en série ou en parallèle), dérivées, …

• Lors de la modélisation puis de l’étude des propriétés, cette structure est souvent masquée ou au moins inexploitée

• Les variables reliées entre elles, le sont à-travers des paramètres mal connus et/ou variant dans le temps

• Dans les calculs on suppose que tout est connu

Observations

CIFA 2010 4

• Prendre en compte la structure dans le modèle (en particulier l’absence de relation entre variables)

• Etudier les propriétés du système quels que soient les paramètres variables (ou presque)

• Essayer d’éviter des inconvénients comme l’aspect conservatif des résultats (études de robustesse) ou la complexité de calcul excessive (calcul formel)

Souhaitable

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Colonne de Distillation

ACCUMULATEUR

CONDENSEUR

L D, XD

Reflux Produit de tête

LF, XF

Alimentation

VVapeur

B, XB

Produit de fond

REBOUILLEUR

Commandes Sortie

Perturbations

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00

0

0

00

00

,

0

0

0

0

,

00

0

0

00

xC

x

x

xxE

x

x

B

xx

x

xx

xx

A

00

0

0

00

00

,

0

0

0

0

,

00

0

0

00

xC

x

x

xxE

x

x

B

xx

x

xx

xx

A

CIFA 2010 7

Classe de systèmes linéaires paramétrés pour lesquels les coefficients des matrices d’état sont soit :- des zéros- des paramètres indépendants

Propriétés génériques : valides pour presque toute valeur des paramètres

CIFA 2010 8

)()()(

)()()(:

tuDtxCty

tuBtxAtx

Graphe associé :- Ensemble de sommets : sommets d’entrée, d’état et de sortie- Ensemble d’arcs : correspondent aux coefficients non nuls des matrices (autant d’arcs que de paramètres i)

)()()(

)()()1(:

kuDkxCky

kuBkxAkx

CIFA 2010 9

Exemple

u1

x1x2

y1

y2

x3

u2

CIFA 2010 10

Propriété non vérifiée

2

3

Variété algébrique

Variété algébrique =Zéros communs d’un ensemble de polynômes en les paramètres

1

Propriété vérifiée

CIFA 2010 11

M une matrice carrée structurée de taille n

532641

62

54

31

)det(

0

0

0

M

M

nsnpermutatioe

mmmSignM nn

ur unest

.....)()det( )()2(2)1(1

lignesColonnes

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• Permutation sans zéro = couplage complet sur le graphe

• Pas de couplage complet implique det(M) = 0

• Un couplage complet implique det(M) ≠ 0 génériquement

• En général rang générique (M) = dimension couplage maximum sur le graphe

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000

0000

00

72

11

1064

98531

M

LignesColonnes

Rang Générique = 4

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Rang générique de T(s) =Nombre maximal de chemins entrées-sorties disjoints (Maximal linking)

Van der Woude, 91

Commault, Dion, Perez, 91

CIFA 2010 15

Rang générique = 2

Exemple 1

s

ssT53

62421

0)(

CIFA 2010 16

Rang générique = 2

Exemple 2

u1

u2

u3

x1

y1

y2

y3

x3

x5

x4

x2

x6

CIFA 2010 17

Theorème (Lin, 74)Le système est génériquement observable si et seulement si:-1) Il existe un chemin de tout sommet d’état à un sommet de sortie: connexion à la sortie - 2a) Il n’existe pas de contraction dans le graphe OU-2b) La matrice [AT, CT]T est génériquement de rang n

V1 V2

d(V1)> d(V2)Contraction:

CIFA 2010 18

Pas de connexion à la sortie

Non observable

Contraction

Non observable

Connexion à la sortie et pas de contraction

Observable

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• Connexion à la sortie• Pas de contraction

Observable

1

2

3

4

5

6

7

10

9

8

11

12

13

14

15y2 y1

CIFA 2010 20

Système Observateur 2

Observateur r

Observateur 1

Résidu r

Générateur de résidus

Commande

Sortiey

u

r1

r2

rr

x1

x2

xr

Défaut

f

Perturbation

q

Détection et localisation des défauts

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Théorème :Le problème a une solution si et seulement si : Le système est génériquement observable k = kd + r

Détection et localisation des défauts (FDI)

Où : k = nombre maximal de chemins (perturbations/défauts-sorties) sans sommet communkd = nombre maximal de chemins (perturbations-sorties) sans sommet communr = nombre de défauts

CIFA 2010 22

Rang générique d’une matrice structurée : problème de couplage maximum dans un graphe biparti Rang générique d’une matrice de transfert : problème de linking maximum dans un graphe Ces problèmes se réduisent à des problèmes de type flot maximum

Complexité polynomiale

CIFA 2010 23

Ouvrages : Reinschke 88, Murota 87 Survey : Dion, Commault, van der Woude 03 Les articles dédiés à certains problèmes : Commandabilité : Lin 74, Shields-Pearson 76, … Découplage : Linneman 83, Dion-Commault 93 Rejet de perturbations : van de Woude 91, Commault-Dion-Perez 91 Diagnostic : Commault-Dion 07

CIFA 2010 24

Autres types de modèles structurés : Avec constantes : Murota 87 Modèle variables/contraintes : Blanke et al Systèmes bilinéaires : Boukhobza 07 Systèmes singuliers : Boukhobza 06

CIFA 2010 25

x2

x1

x9

x7

y

x3

x8

x6

x5

x4

z

Localisation de capteurs

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Considérons un système muni d’un ensemble de capteurs et une propriété P

• La propriété P n’est pas vérifiée avec l’ensemble de capteurs donné : localisation de capteurs, combien de capteurs rajouter, quelles variables mesurer ?

• La propriété P est vérifiée avec l’ensemble de capteurs donné : classification de capteurs, quel est l’impact de la perte de capteurs sur la propriété ?

CIFA 2010 27

Propriété P vérifiée pour l’ensemble de capteurs initial

Ensemble admissible de capteurs: sous-ensemble de capteurs V tel que P est vraie pour V

Intérêt pour caractériser l’importance de la perte éventuelle de capteurs

CIFA 2010 28

Classification des capteurs:

– yi est inutile si pour tout ensemble admissible de capteurs V contenant yi, V \ {yi} est un ensemble admissible de capteurs

– Capteurs utiles : pas inutiles

– yi est essentiel si yi appartient à tout ensemble admissible de capteurs

I

UE

CIFA 2010 29

• Minimal Sensor Set (MSS), Staroswiecki et al 2004 – Sous-ensemble de capteurs V tel que P est vraie pour V et

fausse pour tout sous-ensemble propre de V.

• Classification :– yi est inutile : n’appartient à aucun MSS

– Capteur utile : appartient à au moins un MSS

– yi est essentiel si yi appartient à tous les MSS

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• Dans la suite, P sera la connexion à la sortie

• Problème :

Classification des capteurs pour P en fonction de leur importance (essentiel, utile, inutile)

Quantification de la « criticité » de chaque capteur

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x2

x1

x3

y1

y2

x4

y4

y5

u1

u2

y3

y1 essentiel

CIFA 2010 32

x2

x1

x3

y1

y2

x4

y4

y5

u1

u2

y3

y2 inutile

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x2

x1

x3

y1

y2

x4

y4

y5

u1

u2

y3

y3, y4, y5 utiles

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Contient 2m éléments de (y1, y2, …, ym) à

Structure de treillis pour l’inclusion d’ensembles

Propriété de connexion à la sortie monotone : si une

configuration est un ensemble admissible, tout sur-ensemble

est admissible

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12345

1234 1235 1245 1345 2345

123 124 134 125 145

1412

Configurations minimales (MSS)

135

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Taux de couverture pour la propriété P = (nombre de configurations admissibles) / (nombre de configurations) : P(Y)

Indice de criticité du capteur yi pour la propriété P :P(yi) = 1 - P(Y/yi)/P(Y)

CIFA 2010 37

Exemples de calcul :

P(y1) = 1 - (y1)/() = 1 – (0/16)/ (10/32) = 1

P(y2) = 1 - (y2)/() = 1 – (5/16)/ (10/32) = 0

P(y3) = 1 - (y3)/() = 1 – (4/16)/ (10/32) = 1/5

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x2

x1

x3

y1

y2

x4

y4

y5

u1

u2

y3

Indice de criticité

P(y5) = 1/5

P(y4) = 3/5

P(y3) = 1/5

P(y2) = 0

P(y1) = 1

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Systèmes structurés : modélisation simple de l’aspect relation/pas de relation entre variables Représentation graphique : visualisation de la structure et résultats génériques intuitifs. Complexité : de nombreux problèmes sont résolus de manière polynomiale. Classification des capteurs très générale. Mesure de la criticité des capteurs