Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 1

CILINDRO Conjunto de puntos en el espacio en donde se genera una superficie por una recta que se mantiene

siempre paralela con respecto a otra, la cual pasa por una superficie plana contenida en alguno de los

planos coordenados, en donde la recta fija se llama generatriz y la curva se llama directriz.

A esta superficie se le conoce como Superficie Cilíndrica o Cilindro

Rectas paralelas al vector a

X

Vec

tor

a

λ(Generatriz)

Γ(Directriz)Q(u)

De acuerdo con la figura, se obtiene la ecuación vectorial de la generatriz:

λ = P = Q u( ) + ta / t ∈!{ }

Y de la directriz:

Γ = Q F1 u( ), F2 u( ), F3 u( )( )

Por lo tanto la ecuación vectorial del cilindro es:

Σcil = P = Q u( ) + ta / t ∈! ∧ u ∈!{ }

Σcil = x, y, z( ) = F1 u( ), F2 u( ), F3 u( )( ) + t a1,a2 ,a3( ) / t ∈! ∧ u ∈!{ }

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Si P ∈∑cil ∧ P = x, y, z( )

x = F1 u( ) + ta1

y = F2 u( ) + ta2 t ∈! Ecuaciones parametricas del cilindro

z = F3 u( ) + ta3 u ⊂ !

Para llegar a la ecuación cartesiana, se eliminan los parámetros ( )t u∧ .

E J E M P L O S:

1) Determinar la ecuación vectorial, paramétricas y ecuación vectorial de un cilindro con rectas

generatrices paralelas al vector ( )1,3,2a = − y cuya curva directriz esta dada como:

Γ : x, y, z( ) x − 3( )2

4+

y − 2( )2

16= 1 ∧ z = 0

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

Solución:

( )1,3,2a = − ( ) ( )2 23 2: 1 0

4 16x y

z∧

⎧ ⎫− −⎪ ⎪Γ + = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Ecuaciones paramétricas de Γ :

cos2 u + sen2u = 1

cos2 u = x − 3

2⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

2

sen2u = y − 24

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

2

cos2 u = x − 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

sen2u = y − 24

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

2

cosu = x − 32

senu = y − 24

2cosu + 3= x 4senu + 2 = y

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x = 2cosu + 3

y = 4senu + 2 u ∈ 0;2π⎡⎣ ⎤⎦z = 0

Q u( ) = P = x, y, z( ) = 2cosu + 3,4senu + 2,0( ) / u ∈ 0;2π⎡⎣ ⎤⎦{ } Ecuación vectorial de Γ

Por lo que la ecuación vectorial de la superficie cilíndrica

∑cil = P = x, y, z( ) = Q u( ) + ta / t ∈! ∧ u ∈ 0,∞( ){ }

∑cil = P = x, y, z( ) = 2cosu + 3,4senu + 2,0( ) + −1,3,2( ) / t ∈! ∧ u ∈ 0;2π⎡⎣ ⎤⎦{ }

Unas paramétricas son las siguientes:

x = 2cosu + 3− t

y = 4senu + 2 +3t t ∈! ∧ u ∈ 0;2π⎡⎣ ⎤⎦z = 2t

Despejando los parámetros para eliminarlos y obtener su ecuación cartesiana:

sustituyendo en se tiene:2zt t x y= ∧

x = 2cosu + 3− z2

x − 3+ z2= 2cosu

x − 3+ z2

2= cosu

y = 4senu + 2+ 3 z2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

y = 4senu + 2+ 3z2

y − 2− 3z2= 4senu

y − 2− 3z2

4= senu

como: cos2 u + sen2u = 1 2 233 2

2 2 12 4

z zx y⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⇒ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x2 − 3x + xz2− 3x + 9− 3z

2+ xz

2− 3z

2+ z2

42

+ y2 − 2y − 3y2

2= 1

Lo anterior se reduce a: 4x2 − 4y2 + z2 + 4xz − 24x −16y −12z + 28 = 0

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2) Determine la ecuación vectorial y cartesiana de un cilindro cuya directriz es:

Γ : x, y, z( ) z = ln x + 3 ∧ y = 2{ }

en dirección del vector a = 3,−1,1( )

Solución:

Unas ecuaciones paramétricas de la curva Γ son:

x = u

y = 2 ; u ∈ 0;∞( )z = lnu + 3

Q u( ) = u,2,lnu + 3( ) / u ∈ 0;∞( )

∑cil = P = x, y, z( ) = Q u( ) + ta / t ∈! ∧ u ∈ 0,∞( ){ }

∑cil = P = x, y, z( ) = u,2,lnu + 3( ) + t 3,−1,1( ) / t ∈! ∧ u ∈ 0,∞( ){ }

Unas paramétricas de la superficie son:

x = u + 3t

y = 2− t ; t ∈! ∧ u ∈ 0,∞( )z = lnu + 3+ t

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eliminando los paramétros

( )

( ) ( )( )

2

:3 2

3 6...................................

3 6

u t

ln 3 6 5

:ln 3 6 3 2

y t

sustituyendo en xx u y

x u y a

despejando u de au x y

Sustituyendo en zz x y y

z x y y

∧

− + =

= + − +

= +

= − +

=

−

+ −

= + − + +

+

+

−

−

X

C ilindro  Logarítmico

a

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Otra vista es la siguiente. (Nota: la orientación de los ejes son diferentes, para tratar de que se note la superficie)

Un caso particular de los cilindros es aquel cuyo conjunto de puntos en !3 equidistan de una recta fija y

se llama “Cilindro Circular Recto”.

λ

Por ejemplo, el siguiente dibujo es el de un cilindro con eje el eje Z y radio = a:

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a

X

Y

Z

Es decir, si tomamos dos puntos pertenecientes a el cilindro,

P = x, y, z( )P ' = 0,0, z( )distancia P; P '( ) = x2 + y2 + z − z( )2

= a2 = a

x2 + y2 = a2

La cual es la ecuación cartesiana del cilindro.

Unas ecuaciones paramétricas son:

x = acosu

y = asenu u ∈ 0;2π⎡⎣ ⎤⎦z = v v ∈! v es un parametro por lo que tiene un valor de -∞;∞( )

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COORDENADAS CILINDRICAS Las coordenadas cilíndricas r θ∧ son las coordenadas polares del punto P’, que es la proyección

ortogonal del punto P sobre el plano xy. La coordenada cilíndrica z es la altura de P sobre el plano xy

tal como se muestra en la figura:

X

P'(x,y,z)

rY

θ

la relación entre coordenadas cilíndricas y rectangulares es:

cos sen

x ry rz z

θθ

===

Resumiendo:

La forma de expresar un punto en !3 es :

- Coordenadas rectangulares ( ), ,P x y z

- Coordenadas esféricas ( ), ,P r θ φ

- Coordenadas cilíndricas ( ), ,P r zθ

La forma de expresar un punto en !2 es :

- Coordenadas cartesianas ( ),P x y

- Coordenadas polares ( ),P r θ

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E J E M P L O S:

1) Expresar en coordenadas cilíndricas los siguientes puntos:

a) ( )1,1, 3−

b) ( )2,0, 1−

Solución, inciso a:

El punto es ( )1,1, 3−

2 2

0

2y =angtanx

=angtan1

=45 ó 4

3

r x y

z

θ

θπθ

⇒ = + =

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Por lo tanto el punto es: 2, , 34π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Resolver el otro inciso.

2) Expresar en coordenadas rectangulares las siguientes coordenadas cilíndricas:

a) 3, ,02π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

b) ( )2,0,1

c) 1, ,23π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución, inciso a:

3cos 02

=3sen 32

=0

x

y

z

π

π

⇒ = =

=

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Por lo tanto el punto es: ( )0,3,0

Resolver los otros incisos.

3) Expresar en coordenadas cilíndricas las siguientes ecuaciones de los cilindros:

a) 2 2 25x y+ =

b) ( )22 3 9x y+ − =

Solución, inciso a: 2 2 25

cossen

x yx ry rz z

θθ

+ ====

sustituyendo en la ecuación del cilindro,

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2

cos sen 25

cos sen 25

cos sen 25

r r

r r

r

θ θ

θ θθ θ

+ =

+ =

+ =

además por la identidad 2 2cos sen 1θ θ+ =

( )2 1 25

255

r

rr

=

==

Por lo que la ecuación en coordenadas cilíndricas es: 5r =

Resolver el otro inciso.