ciljevi u cenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ...katedra za matematiku (fsb, zagreb) matematika 2...
TRANSCRIPT
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:
Integral kao antiderivacija
Prepoznavanje ”ociglednih” supstitucija
Metoda supstitucije-slozeniji zadaci
Parcijalna integracija
Kombiniranje gornjih tehnika
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 2 / 43
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Tablicno integriranje
2 Integriranje supstitucijom
”Ocigledna” supstitucija
Supstitucija
Supstitucija u odredenom integralu
3 Parcijalna integracija
Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije
Parcijalna integracija u odredjenom integralu
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 3 / 43
Tablicno integriranje
f (x)∫
f (x)dx1x ln |x |+c
xa;a 6=−1 xa+1
a+1 +c
sinx −cosx +c
cosx sinx +c1
cos2 xtgx +c
1
sin2 x−ctgx +c
bx bx
lnb +c
ex ex +c1√
a2−x2arcsin( x
a )
f (x)∫
f (x)dx1
a2+x21aarctg( x
a )+c1
a2−x21
2a ln |a+xa−x |+c
1√x2+a2
ln(x +√
x2 +a2)+c
1√x2−a2
ln(x +√
x2 −a2)+c
shx chx +c
chx shx +c1
sh2x−cthx +c
1
ch2xthx +c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 4 / 43
Tablicno integriranje Zadaci
Zadatak 1.
Odredite sljedece integrale: Rj.01
(a)∫ (
2x3 + 1x2 − 7√
x
)
dx
(b)∫ (
x2/3 + 5x
)dx
(c)1∫0
2√
xdx .
Zadatak 2.
Odredite sljedece integrale:
(a)∫ (
2cosx − 3cos2 x
)
dx
(b)∫
5sin3 x+4
sin2 xdx
(c)
π
2∫0
13 sinxdx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 5 / 43
Tablicno integriranje Zadaci
Zadatak 3.
Odredite sljedece integrale:
(a)∫ (
134+x2
+ 17−x2
)
dx
(b)∫ (
1√5−x2
+ 3√4+x2
)
dx
(c)∫
1√4x2−1
dx
(d)1∫0
dxx2+1
.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 6 / 43
Tablicno integriranje Zadaci
Zadatak 4.
Odredite sljedece integrale:
(a)∫ (
3x +32x)
dx
(b)∫
5e3xdx
(c)1∫0
2xdx
(d)Odredite povrsinu na slici desno.
−1 1
ex
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 7 / 43
Tablicno integriranje Zadaci
Zadatak 5.
Odredite sljedece integrale:
(a)π∫0
(3x2 +2sinx −ex
)dx
(b)1∫0
(3√
x + 1√1−x2
)
dx
(c)Odredite povrsinu na slici
desno.
π0
cos x
sin x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 8 / 43
Tablicno integriranje Zadaci
Rjesenje 1:
Zad.01
(a) x4
2 − 1x −14
√x +c.
(b) 35x5/3 +5ln |x |+c.
(c) 43 .
Rjesenje 2:
(a) 2sinx −3tgx +c.
(b) −5cosx −4ctgx +c.
(c) 13 .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 9 / 43
Tablicno integriranje Zadaci
Rjesenje 3:
(a) 2√3
arctg( 2x√3)+ 1
2√
7ln∣∣∣
√7+x√7−x
∣∣∣+c.
(b) arcsin( x√5)+3ln(x +
√x2 +4)+c.
(c) 12 ln
(
x +√
x2 − 14
)
+c.
(d) π
4 .
Rjesenje 4:
(a) 1ln33x + 1
2ln332x +c.
(b) 53e3x +c.
(c) 1ln2 .
(d) e2−1e .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 10 / 43
Tablicno integriranje Zadaci
Rjesenje 5:
(a) π3 +5−eπ.
(b) 34 +
π
2 .
(c) P =
π
4∫0
(cosx −sinx) =√
2−1.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 11 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Ocigledna supstitucija
Ako je u = u(x) onda je
∫f (u(x))
du
dxdx =
∫f (u)du
PRIMJER 1.∫2x
√x2 −1dx =?
Rjesenje:∫ √
x2 −1 2xdx =∣∣∣u=x2−1
dudx =2x
∣∣∣=
∫ √u du
dx dx =∫ √
udu = 23u3/2 +c =
= 23
√
(x2 −1)3 +c.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 12 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Primjer 2.∫
sin2 x cosxdx =?
Rjesenje:∫
sin2 x cosxdx =∣∣∣
u=sinxdudx =cosx
∣∣∣=
∫u2 du
dx dx =∫
u2du = u3
3 +c = sin3
3 +c.
Standardnija procedura:∫
sin2 x cosxdx =∣∣ u=sinxdu=cosxdx
∣∣=
∫u2du = u3
3 +c = sin3
3 +c.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 13 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Zadatak 6.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)∫
cos2 x sinxdx
(b)∫
ex
1+ex dx
(c)∫
ex
1+e2x dx
(d)∫
x3
x4+1dx
(e)∫
x2 cos(x3)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 14 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Rjesenje 6:
(a)∫
cos2 x sinxdx =∣∣∣
t=cosxdt=−sinxdx−dt=sinxdx
∣∣∣=−∫
t2dt =− t3
3 +c =−cos3
3 +c.
(b) ln(1+ex)+c (t = 1+ex)
(c) arctg(ex)+c (t = ex)
(d) 14 ln(x4 +1)+c (t = x4 +1)
(e) 13 sin(x3)+c (t = x3)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 15 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Zadatak 7.
Ako je∫
f (x)dx = F (x)+c, koliko je: (a)∫
f (2x)dx
(b)∫
f (x −4)dx
(c)∫
f (3x +1)dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 16 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Rjesenje 7:
(a)F (2x)
2 +c
(b) F (x −4)+c
(c)F (3x+1)
3 +c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 17 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Sljedeci zadaci se cesto koristi u primjenama.
Zadatak 8.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)∫
sin2 xdx
(b)∫
cos2 xdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 18 / 43
Integriranje supstitucijom ”Ocigledna” supstitucija
Rjesenje 8:
(a) Koristimo se poznatim trigonometrijskim identitetom
sin2 x =1−cos(2x)
2
∫sin2 xdx = 1
2
∫(1−cos(2x))dx = 1
2
∫dx − 1
2
∫cos(2x)dx =
x2 −
sin(2x)4 +c
(b) Koristimo se identitetom
cos2 x =1+cos(2x)
2
∫cos2 xdx = 1
2
∫(1+cos(2x))dx = 1
2
∫dx + 1
2
∫cos(2x)dx =
= x2 +
sin(2x)4 +c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 19 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija
SUPSTITUCIJA
Integral∫
h(x)dx , pomocu supstitucije, izracunavamo sljedecim
koracima:
(a) Odaberemo novu varijablu u = g(x) i uvrstimo ju u integral (uz
du = g′(x)dx): ∫h(x)dx =
∫h(x)
du
g′(x)
(b)Izh(x)g′(x) pokusamo eliminirati x tako da
h(x)g′(x) prepoznamo kao
funkciju od u tj.h(x)g′(x) = f (u). Dakle,
∫h(x)
du
g′(x)=
∫f (u)du
(c)∫
f (u)du je sada jednostavniji integral u kojem, nakon
izracunavanja, zamjenimo nazad u = g(x).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 20 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija
Primjer 3.∫
x3+3(x4+12x)2 dx =?
Rjesenje:
(a) Stavimo u = x4 +12x . Dakle du = (4x3 +12)dx :
∫x3 +3
(x4 +12x)2dx =
∫x3 +3
u2
du
(4x3 +12)
(b) U integralu kracenjem se eliminira x
∫x3 +3
u2
du
4(x3 +3)=
1
4
∫1
u2du
(c) 14
∫1u2 du = 1
4u−1
−1 +c = 14(x4+12x)−1
−1 +c =− 14(x4+12x)
+c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 21 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija
Zadatak 9.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)∫
x+1√x2+2x+2
dx
(b)∫
e1x
x2 dx
Zadatak 10.
(a)∫ √
lnx+2x dx
(b)∫ cosϕ
1+sinϕdϕ
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 22 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija
Zadatak 11.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)∫ sin(ln t)
t dt
(b)∫
e2y
1+e2y dy
(c)∫
x1+x4 dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 23 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija
Rjesenje 9:
(a)∫
x+1√x2+2x+2
dx =
∣∣∣∣∣
t=x2+2x+2dt=2(x+1)dx
dx= 12(x+1)dt
∣∣∣∣∣=
∫x+1√
t
dt2(x+1) =
∫t−12 dt = t
12
12
+c =
= 2√
x2 +2x +2+c
(b) −e1x +c (t = 1
x )
Rjesenje 10:
(a) 23(lnx +2)
23 +c (t = lnx +2)
(b) ln |1+sinϕ|+c (t = 1+sinϕ)
Rjesenje 11:
(a) −cos(ln t)+c (u = ln t)
(b) 12 ln(1+e2y ) (u = 1+e2y )
(c) 12arctg(x2) (u = x2)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 24 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu
SUPSTITUCIJA U ODREDENOM INTEGRALU
Ako integral∫
h(x)dx supstitucijom u = g(x) prelazi u integral∫
f (u)du
onda vrijedi:b∫
a
h(x)dx =
g(b)∫
g(a)
f (u)du
Veza medu granicama integrala je dana sa
x a b
u g(a) g(b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 25 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu
Primjer 4.
Izracunajte integral1∫0
ex
ex+1dx
Rjesenje:
1∫0
ex
ex+1dx =
∣∣∣∣
u=ex+1du=ex dx
x 0 1
u 2 1+e
∣∣∣∣=
1+e∫2
1u du = (lnu)|1+e
2 = ln(
1+e2
)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 26 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu
Zadatak 12.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)
π
8∫0
cos(4x)dx
(b)1∫0
t√
t2 +1dt
(c)1∫0
ex
1+e2x dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 27 / 43
Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu
Rjesenje 12:
(a)
π
8∫0
cos(4x)dx =
∣∣∣∣
t=4xdt=4dxx 0 π
8
t 0 π
2
∣∣∣∣=
π
2∫0
cos t dt4 = 1
4
(
sin t |π
2
0
)
= 14 .
(b)1∫0
t√
t2 +1dt =
∣∣∣∣∣
u=t2+1du=2tdt
t 0 1
u 1 2
∣∣∣∣∣=
2∫1
√u du
2 = 12
23(u
3/2|21) = 13(√
8−1)
(c)1∫0
ex
1+e2x dx ==
∣∣∣∣
u=ex
du=ex dxx 0 1
u 1 e
∣∣∣∣=
e∫1
11+u2 du = arctgu|e1 = arctge− π
4 .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 28 / 43
Parcijalna integracija
PARCIJALNA INTEGRACIJA
Stavimo
u = f (x), v = g(x)
Sa povrsina sa slike desno
iscitavamo vezu:∫
udv +∫
vdu = uv
u
v
∫ud v
∫vdu
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 29 / 43
Parcijalna integracija
Integral∫
f (x)g′(x)dx racunamo na sljedeci nacin:
∫f (x)g′(x)dxdx =
∣∣∣
u=f (x)⇒du=f ′(x)dxdv=g′(x)dx⇒v=g(x)
∣∣∣= uv − ∫
vdu =
= f (x)g(x)− ∫g(x)f ′(x)dx .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 30 / 43
Parcijalna integracija
Primjer 5.
Izracunajte integral∫
x cosxdx .
Rjesenje:∫x
︸︷︷︸
u
cosxdx︸ ︷︷ ︸
dv
=∣∣ u=x⇒du=dxdv=cosxdx⇒v=sinx
∣∣= uv − ∫
vdu = x sinx − ∫sinxdx =
= x sinx +cosx +c.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 31 / 43
Parcijalna integracija
Primjer 6.
Izracunajte integral∫
lnxdx .
Rjesenje:∫
lnx︸︷︷︸
u
dx︸︷︷︸
dv
=∣∣∣u=lnx⇒du= 1
x dx
dv=dx⇒v=x
∣∣∣= uv − ∫
vdu = (lnx)x − ∫1x xdx =
= x lnx − ∫dx = x lnx −x +c.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 32 / 43
Parcijalna integracija
Zadatak 13.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)∫
xexdx
(b)∫
x2 cosxdx
Zadatak 14.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)∫(x +1)sinxdx
(b)∫(2x −1)e3xdx
(c)∫
x2 lnxdx
(d)∫
x2e3xdx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 33 / 43
Parcijalna integracija
Rjesenje 13:
(a)∫
xex dx =∣∣ u=x⇒du=dxdv=ex dx⇒v=ex
∣∣= xex − ∫
exdx = xex −ex +c
(b)∫
x2 cosx dx =∣∣ u=x2⇒du=2xdxdv=cosxdx⇒v=sinx
∣∣= x2 sinx − ∫
2x sinxdx =
=∣∣ u=2x⇒du=2dxdv=sindx⇒v=−cosx
∣∣= x2 sinx − (2x(−cosx)+
∫2cosxdx) =
= x2 sinx +2x cosx −2∫
cosxdx = x2 sinx +2x cosx −2sinx +c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 34 / 43
Parcijalna integracija
Rjesenje 14:
(a) −(x +1)cosx +sinx +c
(b) e3x(
13(2x −1)− 2
9
)+c
(c) x3
3 ln |x |− x3
3 +c
(d) e3x(
x2
3 − 2x9 + 2
27
)
+c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 35 / 43
Parcijalna integracija
Zadatak 15.
Supstitucijom i parcijalnom integracijom izracunajte sljedece integrale:
(a)∫
2x3 cos(x2) dx
(b)∫
ex sinx dx
(c)∫
arcsinx dx
(d)∫
xarctg x dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 36 / 43
Parcijalna integracija
Rjesenje 15:
(a)∫
2x3 cos(x2)dx =∣∣ t=x2
dt=2xdx
∣∣=
∫t cos t dt =
∣∣ u=t⇒du=dtdv=cos tdt⇒v=sin t
∣∣=
= t sin t − ∫sin t dt = t sin t +cos t +c = x2 sin(x2)+cos(x2)+c
(b)∫
ex sinx dx =∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=sinxdx⇒v=−cosx
∣∣=−cosx ex +
∫ex cosx dx
=∣∣ u=ex⇒du=ex dxdv=cosx dx⇒v=sinx
∣∣=−cosx ex +sinxex − ∫
ex sinx dx
⇒ 2∫
ex sinx dx =−cosx ex +sinxex
⇒∫
ex sinx dx =ex
2(−cosx +sinx)+c
(c)∫
arcsinx dx =
∣∣∣∣u=arcsinx⇒du=
1√1−x2
dx
dv=dx ⇒ v=x
∣∣∣∣= x arcsinx − ∫
x√1−x2
dx =
=
∣∣∣∣
t=√
1−x2
dt=− x√1−x2
∣∣∣∣= x arcsinx +
∫dt = x arcsinx + t +c =
= x arcsinx +√
1−x2 +c.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 37 / 43
Parcijalna integracija
Rjesenje 15:
(d)∫
xarctg x dx =
∣∣∣∣∣
u=arctg x⇒du=1
1+x2 dx
dv=xdx ⇒ v=x2
2
∣∣∣∣∣= x2
2 arctg x − ∫x2
2(1+x2)dx =
= x2
2 arctg x − 12
∫(1− 1
1+x2 ) dx = = x2
2 arctg x − 12(x −arctg x)+c.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 38 / 43
Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu
PARCIJALNA INTEGRACIJA U ODREDENOM INTEGRALU
b∫
a
u dv = uv |ba −b∫
a
v du
Zadatak 16.
Izracunajte integral:e∫1
lnx dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 39 / 43
Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu
Zadatak 17.
Izracunajte povrsinu sa slike:
x
y
f (x) = x sin x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 40 / 43
Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu
Rjesenje 16:
e∫1
lnx dx =∣∣∣u=lnx⇒du=
1x dx
dv=dx ⇒ v=x
∣∣∣= x lnx |e1 −
e∫1
x 1x dx = 1.
Rjesenje 17:
3π∫2π
x sinx dx =∣∣ u=x⇒du=dxdv=sinxdx⇒v=−cosx
∣∣=−x cosx |3π
2π+
3π∫2π
cosx dx = 5π.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 41 / 43
Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu
Zadatak 18.
Izracunajte sljedece integrale:
(a)3∫2
72x−3 dx
(b)∫
dxx2−2x+3
(c)∫
xx2+7
dx
(d)∫
tgx dx
(e)
π
2∫π
4
ctgx dx
(f)∫
6x2−2x−sinx2x3−x2+cosx
dx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 42 / 43
Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu
Rjesenje 18:
(a) 72 ln3
(b) 1√2
arcctg(
x−1√2
)
+c
(c) 12 ln(x2 +7)+c
(d) − ln |cosx |+c
(e) − ln(√
22 )
(f) ln |2x3 −x2 +cosx |+c
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 43 / 43