Universidad Rafael LandvarFacultad de HumanidadesPEM EN Matemtica y FsicaFsica Conceptual 1Cat. Byron Zamora.CINEMTICA (Parte I) La Cinemtica es la parte de la mecnica que se encarga de estudiar las caractersticas del movimiento, y no sus causas como en Dinmica. Cuando se dice a las caractersticas del movimiento de una partcula se refiere a expresiones como: qu velocidad llevaba, cunto tiempo le llev desplazarse, qu altura alcanz, qu aceleracin obtuvo, etc.

Como se aprecia en el diagrama anterior, la cinemtica clasifica sus movimientos en una y dos dimensiones. Entre los de una dimensin se tiene el MRU (Movimiento Rectilneo Uniforme), que considera partculas que se mueven en trayectorias rectas y con velocidad constante, promedio o media. El MRUA (Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado), se consideran aquellos movimientos en lnea recta en direcciones horizontal y vertical cuya velocidad cambia constantemente en el tiempo, a lo que se le denomina aceleracin constante. Luego se tiene los movimientos en dos dimensiones los cuales son: El Movimiento de Proyectiles o Tiro Parablico, y el MCU (Movimiento Circular Uniforme) o sea el movimiento en crculos con velocidad constante.MOVIMIENTOS EN UNA DIMENSIN (1-D)1. Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU): Son todos aquellos movimientos que una partcula o cuerpo realiza en lnea recta con velocidad constante, promedio o media. nicamente interesa cuantos se movi y en cunto tiempo lo hizo. Si una partcula recorre cierta distancia de longitud recta y se sabe cunto se tard en recorrerla se puede decir que la velocidad media que tuvo en ese recorrido. La distancia recorrida se puede denotar cuando el movimiento es horizontal, por las letras x, s, d, o por x. Mientras que el tiempo que le lleva recorrer esa distancia por t o t. Por lo tanto, la velocidad media queda definida cmo:

Esta ecuacin por definicin dice que una partcula se encuentra con velocidad constante si recorre espacios iguales en tiempos iguales. La letra del alfabeto griego significa cambio o diferencia. Debido a que la rapidez o velocidad depende de la distancia recorrida y el tiempo, sus dimensionales pueden ser metros/segundo, pies/segundo, kilmetros/hora, millas/hora, etc.Ejemplo 1: Un bus extraurbano se tarda 5 horas en viajar de Guatemala hacia Puerto Barrios. Sabiendo que hay 300 km aproximadamente entre stas ciudades y expresando primero la velocidad en m/s y despus en km/h, cul es su velocidad media del recorrido?

Solucin: Valuando y haciendo la conversin despus a m/s:

El bus extraurbano tiene una velocidad media de 60 km/h (16.7 m/s).Ejemplo 2. Si el bus del ejemplo anterior en uno de sus viajes logra tener una velocidad media de 75 km/h. En cunto tiempo realiz el viaje (horas y segundos)?Solucin: Como ahora se tienen la velocidad media y la distancia recorrida, se despeja el tiempo t de la forma siguiente:

Ejemplo 3. Un tren de carga lleva viajando 2horas a una velocidad media de 30 km/h. Qu distancia lleva recorrida en kilmetros y metros en ese tiempo?Solucin: Ahora se despeja la distancia puesto que se tiene la velocidad promedio y el tiempo de recorrido.

Para poder despejar con facilidad esta ecuacin de velocidad media se puede utilizar el tringulo siguiente:

2. Movimiento Rectilneo Uniformemente Acelerado (Variado) M.R.U.A.: Quiere decir que un objeto o partcula se mueve en lnea recta con cambios de velocidad (aceleracin) constantes. Se vern dos tipos de movimiento, el primero es el movimiento horizontal, donde la aceleracin constante tambin es horizontal (ax = a), y el movimiento vertical llamado cada libre, donde la aceleracin constante es vertical y es llamada aceleracin gravitacional o simplemente gravedad la cual se asume tiene un valor constante de g = 9.80 m/s2. Debido a que la velocidad ya no permanece constante en un instante o intervalo, es necesario especificar los siguientes trminos utilizados en ambos movimientos:Velocidad Instantnea (v): La velocidad instantnea es la velocidad que lleva una partcula en un instante de tiempo determinado, a diferencia de la velocidad media que es con respecto a un rango o intervalo de tiempo.Velocidad Inicial (vo): Es la velocidad instantnea con que inicia un evento, rango, o intervalo una partcula.Velocidad Final (vf): Velocidad instantnea con que finaliza un evento, intervalo o recorrido una partcula.Aceleracin Instantnea (a): Es el cambio de velocidad que una partcula realiza en un momento o instante dado. Se define como el cambio de velocidad dividido el tiempo que le llev realizar dicho cambio de velocidad.

La aceleracin o cambio de velocidad es positiva cuando se finaliza el evento o intervalo con una velocidad final mayor que con la velocidad con que se inici el evento. Lgicamente ser negativa si se finaliza con una velocidad final menor que la velocidad inicial, o sea que frena. Y por ltimo, si se finaliza con la misma velocidad con que se inici el evento, la aceleracin ser cero. Esta condicin de aceleracin = 0 es la utilizada cuando la velocidad es constante tanto en MRU como en Equilibrio Cinemtico.Puesto que la aceleracin es un cambio de velocidad en cierto tiempo, sus dimensionales son cuantos m/s, que es el cambio de velocidad, por cada segundo que pasa, y como nicamente se est tratando casos de aceleracin constante, los cambios de velocidad tambin son constantes.

La aceleracin media es el cambio de velocidad en todo el intervalo dividido en todo el tiempo que dura el intervalo.Distancia recorrida horizontal (x o s): Es la distancia recorrida de la partcula. Tiene dimensionales de metros, pies, millas, pulgadas, etc.Tiempo (t): El tiempo que lleva una partcula de recorrido. Tiene dimensionales de segundos, horas, minutos, etc.M.R.U.A. HorizontalLas cuatro frmulas o expresiones que ayudarn a explicar y resolver problemas con aceleracin constante horizontal ax. Y stas son:Vf = vo + at (1)En esta frmula 1 se ve que la velocidad final es igual a la velocidad con que se inicia el evento o recorrido, ms una porcin de incremento de la aceleracin tiene en el tiempo que sta acta en todo el intervalo (a*t). Se ve la consistencia en la dimensionales puesto que la velocidad final e inicial estn dadas en m/s y el incremento de a*t tambin resulta en dimensionales de m/s.

Vf2 = vo2 + 2ax (2)La velocidad final al cuadrado es igual a la velocidad inicial al cuadrado ms la porcin de dos veces la aceleracin por la distancia horizontal total recorrida en todo el intervalo (2*a*x). Se tiene la consistencia de las dimensionales nuevamente puesto que la velocidad inicial al cuadrado y la velocidad final al cuadrado son m2/s2 y la multiplicacin de aceleracin por el desplazamiento tambin da las mismas dimensionales.

x = xo + vo*t + *a*t2 (3)El desplazamiento total recorrido en un intervalo es igual al desplazamiento inicial ms la porcin debida a la velocidad inicial con que inicia el evento por el tiempo total del intervalo ms la parte de un medio de la aceleracin por el tiempo al cuadrado del intervalo. El desplazamiento total y el dimensional tienen dimensionales de distancia, tambin lo tiene la multiplicacin de la velocidad inicial por el tiempo y la multiplicacin de la aceleracin por el tiempo al cuadrado. Si la distancia inicial coincide desde el inicio del evento (t = 0), el trmino Xo es igual a cero. Entonces este no aparece en la expresin matemtica 3.x = vo*t + *a*t2 (3)

x = ((vo + vf)/2)*t (4)La ecuacin 4 dice que el desplazamiento total en un intervalo es igual a la semisuma de la velocidad inicial ms la velocidad final, y multiplicada por el tiempo t. Nuevamente hay consistencia en las dimensionales, ya que la media suma de las velocidades da dimensionales de longitud sobre tiempo y multiplicada por el tiempo nos da longitud. Una caracterstica de esta ecuacin es que no depende de la aceleracin. Ejemplo 1. Un atleta recorre los 100 m planos en 9.00 s. Si parte del reposo, (a) cul fue su aceleracin constante? (b) Con qu velocidad lleg a la meta?Solucin:(a) Como parti del reposo entonces su velocidad inicial (vo) es cero y como se nos da la distancia recorrida y el tiempo en que se recorri esta distancia, se utiliza para resolverlo la ecuacin 3, donde se despeja la aceleracin:

(b) La velocidad con que llega es la velocidad final vf y sabiendo que parte del reposo (vo = 0). Despejando la velocidad final:

Ejemplo 2. Un carro viene a 90 km/h cuando se acerca a una curva peligrosa la cual se encuentra a 120 m de l en ese instante, y sta, no puede recorrerse a ms de 40 km/h. Cunto tiempo tiene el vehculo para disminuir su velocidad a 40 km/h y que aceleracin tendr en ese recorrido?Sol. Primero se convierte las dimensionales en m/s.

Para encontrar el tiempo con la informacin original se utiliza la ecuacin 4 y se despeja t:

Al vehculo le lleva disminuir de 90 km/h a 40 km/h en 120 m 6.67s, teniendo unas aceleracin de 2.10 m/s2.

M.R.U.A. Vertical o Cada LibreOtra clase de movimientos en una dimensin pertenecientes al MRUA es el movimiento vertical conocido como Cada Libre. En esta clase de movimiento es muy similar al horizontal salvo que ahora es vertical, cambiando las variables de distancia horizontal recorrida (x, s o d) por altura (h) y la aceleracin horizontal ax = a, se cambia por el valor de la aceleracin gravitacional o vertical ay = g la cual se considera con un valor constante de 9.80 m/s2 (32 ft/s2). El movimiento vertical tiene la particularidad que cuando se lanza un objeto hacia arriba o hacia abajo, o simplemente se deja caer, depende nicamente de la fuerza gravitacional y la aceleracin causada g por sta fuerza. A estos objetos o partculas lanzados que no tienen propulsin propia se le llaman Proyectiles.Debido a que la fuerza gravitacional es la fuerza con que la tierra nos atrae hacia ella (y nosotros a ella), esta siempre nos mantiene prcticamente pegados a su superficie debido a que esta fuerza se dirige o apunta hacia el centro de la tierra (hacia abajo). La fuerza gravitacional, y por consiguiente, la aceleracin gravitacional g, tambin apuntan hacia abajo siempre, por lo que su valor se considera negativo (g = 9.80 m/s2), por lo que en las cuatro ecuaciones equivalentes para aceleracin constante, ya consideran este signo, de la forma siguiente:

Convencin de signos en cinemtica:Si el estudiante elige que una rapidez o velocidad hacia la derecha es positiva (+), cualquier velocidad hacia la izquierda ser negativa (), y viceversa.Si el estudiante elige que una rapidez o velocidad hacia arriba es positiva (+), cualquier velocidad que se dirija hacia abajo ser negativa (), y viceversa.El estudiante puede elegir a partir de donde se puede iniciar a medir una distancia horizontal recorrida, ya sea hacia la derecha o hacia la izquierda. A este punto se le conoce como punto cero. Si el estudiante elige que las distancias medidas a partir del punto cero hacia la derecha aumentan o disminuyen positivamente, las distancias medidas hacia la izquierda a partir del punto cero, aumentan o disminuyen negativamente.Las distancias verticales se inician a medir desde un punto de referencia llamado nivel de referencia cero. Por lo regular se elige el nivel del suelo como altura cero, pero se puede elegir cualquier nivel a conveniencia. Es decir, a partir de aqu se inician a medir las alturas y profundidades con que se mueven los objetos ya sea hacia arriba o hacia abajo. Si el estudiante elige que las alturas medidas arriba de la referencia cero son positivas y crecientes, entonces las mediciones debajo de la referencia sern negativas y decrecientes, y viceversa.Las aceleraciones se consideran positivas cuando la velocidad final es mayor que la velocidad inicial. Cuando la velocidad final es ms pequea que la velocidad inicial, se dice que la aceleracin es negativa, o que la partcula frena. Esto es vlido tanto hacia la derecha e izquierda como hacia arriba y hacia abajoHay que mantener la convencin de signos por ejemplo, las alturas mayores que el sistema de referencia cero (donde se coloca la altura cero, h = 0 m) son positivas y negativas abajo del sistema de referencia. Por ejemplo, si una persona se encuentre en la terraza de su casa que tiene 2.00 m de altura, y si se coloca la referencia en la terraza, cualquier cosa que se mida por encima de la terraza ser positiva y por debajo de la terraza negativa. Esto quiere decir que el suelo se encuentra a 2.00 m de la terraza.Ejemplo 1. Se lanza una piedra hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s. Calcular: (a) la altura mxima alcanzada, (b) el tiempo en alcanzar la altura mxima, (c) que altura y velocidad lleva a los 0.50s, (d) que altura y velocidad lleva a los 1.50 s, (e) el tiempo de vuelo de la piedra, (f) que velocidad y tiempo lleva la piedra cuando lleva 4.00 m de altura. Sol. (a) Se sabe que un objeto alcanz su altura mxima porque en ese instante su velocidad es cero. Utilizando ecuacin 2 con los datos dados y despejando la altura se tiene:

(b) Se utiliza la misma tctica ya el tiempo de subida de la piedra es cuando alcanza su altura mxima, por lo que nuevamente la velocidad final en este momento ser cero. Utilizando ecuacin 1 y despejando t:

(c) La altura que lleva a los 0.50 s se calcula con la ecuacin 3:

En 0.50 s la piedra va subiendo y lleva una altura de 3.78 m y lleva una velocidad de 5.10 m/s. La velocidad es positiva porque la piedra va ascendiendo.

(d) La altura y velocidad que lleva la piedra a los 1.50 s despus de lanzarla hacia arriba.

A los 1.50 s, la piedra ya viene de regreso ya que la velocidad es negativa, tiene un valor de 4.70 m/s, y lleva una altura de 3.98 m.

(e) El tiempo de vuelo de la piedra es desde que es lanzada hacia arriba hasta que cae nuevamente en el suelo.Una forma de calcular el tiempo de vuelo es multiplicar por dos el tiempo de subida, puesto que el mismo tiempo le lleva subir y bajar.

Otra forma de calcular el tiempo de vuelo es darle altura cero puesto que cuando la piedra regresa al suelo tiene esta altura.

El tiempo de vuelo se da cuando la piedra regresa al suelo nuevamente o visto de otra forma, cuando la altura es nuevamente cero, es de 2.04 s. Hay que notar que la piedra llega al suelo con -10.0 m,/s, igual con la se lanz slo que negativa porque viene descendiendo.(f) Velocidad y tiempo cuando lleva una altura de 4.00 m.

Como se observa, se obtuvo una velocidad positiva, + 4.65m/s, y una negativa, - 4.65m/s. Esto se debe a que la piedra pasa la primera vez a la altura de 4.00 m cuando sube, por lo que la velocidad es positiva, y pasa nuevamente por cuatro metros cuando viene de regreso, la velocidad es negativa.Para calcular el tiempo se utiliza la ecuacin 3 para formar una ecuacin cuadrtica y resolverla igualndola a cero con la ecuacin cuadrtica.

Ecuacin cuadrtica

, a = + 4.9, b = - 10, y c = + 4.

y El tiempo nunca puede ser negativo. El tiempo pequeo, el de 0.55 s, es cuando la piedra pasa por 4.00 m cuando sube. Y el tiempo mayor, el de 1.49 s, es cuando la piedra nuevamente pasa por 4.00 m pero ahora en descenso.

Ejemplo 2 de Cada Libre. Una persona desde lo alto de un edificio de 60.0 m lanza una pelota de tenis hacia arriba con una velocidad inicial de 20.0 m/s. Calcular: (a) El tiempo de vuelo de la pelota hasta llegar al suelo, (b) la altura total alcanzada por la pelota medida desde el suelo, (c) la velocidad con que la pelota golpea el suelo.Solucin. Primero colocamos los datos proporcionados por el problema.Vo = 20.0 m/s; altura del edificio = 60.0 m.(a) El tiempo de vuelo se calcula como

Igualando a cero la ecuacin cuadrtica

, resolviendo

y .El tiempo negativo se despreciaEl tiempo de vuelo es de 6.09 s.(b) Primero se calcula altura que alcanza la pelota sobre el edificio. Se sabe que cuando la pelota se encuentra en su altura mxima, su velocidad es de cero metros por segundo.

, despejando hmax se tiene:

La altura medida desde el suelo es la altura del edificio ms la altura alcanzada por la pelota sobre el edificio.

La altura total alcanzada por la pelota de tenis es de 80.4 m desde el suelo.La velocidad con que cae la pelota hacia el suelo se calcular de dos formas.Primero utilizando la frmula 4.

Si nos damos cuenta se coloca en la altura h el valor de 60.0 m, debido a que la pelota cae 60.0 m abajo del punto de partida. El signo menos de la velocidad es porque la pelota va hacia el suelo (hacia abajo).Otra forma de calcular la velocidad es utilizando la frmula 2.

Nos da la misma respuesta excepto que hubo que colocarse el signo menos, debido a que la raz cuadrada de cualquier nmero da los dos valores, uno positivo y el otro negativo. Se le coloca el negativo por que como ya se dijo, va cayendo.

TextoTextoTextoTextoTexto60.0 mTextoTextoTextoTextoBasta con seleccionar y escribir el texto. Use los controladores para ajustar el interlineado.Basta con seleccionar y escribir el texto. Use los controladores para ajustar el interlineado.CINEMTICA:Caractersticas del movimiento como velocidad desplazamiento, aceleracin, etc.

DINMICA:Causas del movimiento,Fuerzas.

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