cinematica de fluidos
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MECNICA DE FLUIDOS I
CINEMTICA DE FLUIDOS
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Es una parte de la mecnica de los fluidos que
estudia los movimientos de los fluidos sin tomar en
cuenta las fuerzas que lo provocan .
El Campo de Velocidades Descripcin de
Movimientos.
Para identificar las partculas de un flujo en cada
instante, se utilizan coordenadas espaciales, es decir
que la velocidad de todas las partculas pueden
expresarse de la siguiente manera :
V = V (x,y,z,t)
CINEMTICA DE FLUIDOS
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O desarrollada en sus tres proyecciones es :
V = u (x,y,z,t)i + v(x,y,z,t)j + w(x,y,z,t)k
Fsicamente , estas ecuaciones indican que en el
instante t, la partcula de fluido cuya posicin es
P(x,y,z), , tiene una velocidad V.
Cuando la velocidad es independiente del tiempo; el
movimiento se llama estacionario o permanente, y
V = V(x,y,z)
SISTEMAS DE ESTUDIO: Basado en que para los
fluidos la velocidad depende de la posicin y del
tiempo. Existen 2 sistemas de anlisis.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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a) Sistema de Lagrange.- Donde el anlisis se
realiza en diferentes puntos de la trayectoria.
GOMERResaltado
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b) Sistema de Euler.- Consiste en elegir un punto y
determinar las variables cinemticas en ese punto y
en cada instante, sin considerar la trayectoria que
siga despus cada partcula individual.
Se utiliza el vector de posicin como una
funcin vectorial del tiempo.
t1, t2
(x,y,z, t)
X
Z
Y
GOMERResaltado
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Tipos de Flujos.-
a) Flujo Uniforme.
b) Flujo no Uniforme.
c) Flujo Permanente.
d) Flujo no Permanente.
e) Flujo Rotacional.
f) Flujo no Rotacional o Irrotacional.
g) Flujo Turbulento
h) Flujo Laminar.
i) Flujo Gradualmente variado.
J) Flujo Rpidamente variado.
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a) Flujo Uniforme.- Es aquel movimiento de fluido
en donde la magnitud, direccin y sentido de la
velocidad no cambia de un lugar a otro.
v1 v2 v3 vnv1 = v2 = v3 = vn
ds
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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b) Flujo no Uniforme.- Cuando la velocidad vara
de un punto a otro en una regin del flujo.
v1 v2 v3 vnv1 v2 v3 vn
ds
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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b) Flujo Permanente.- Cuando la velocidad
permanece constante para diferentes tiempos en un
punto del flujo..
GOMERResaltado
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c) Flujo no Permanente.- Cuando la velocidad
vara en un punto o regin para los instantes
sucesivos.
GOMERResaltado
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e) Flujo Rotacional.- Es cuando en el interior del
fluido el campo de vectores
Rot v 0.
f) Flujo no Rotacional o Irrotacional.- Es cuando
la velocidad angular media de la totalidad de
segmentos rectilneos de cada partcula es nula.
p = 0
g) Flujo Turbulento.- Es aquel movimiento de
fluidos en la cual las partculas se mueven en forma
desordenada en todas las direcciones, no se puede
conocer la trayectoria de una partcula individual.
Esto se da en las tuberas, en los ros.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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e) Flujo Laminar.- Es cuando las partculas fluidas
se mueven segn trayectorias paralelas, formando el
conjunto de ellas capas o lminas. Los mdulos de
las velocidades de capas adyacentes no tienen el
mismo valor.
La viscosidad del fluido es la magnitud fsica
predominante y su accin amortigua cualquier
tendencia a la turbulencia.
Capas o lminas
GOMERResaltado
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i) Gradualmente Variado y Rpidamente Variado
VOLUMEN DE CONTROL.- Es el volumen
definido en el espacio, cuyos lmites estn
determinados por una superficie de control (S.C) La
superficie de control puede ser variable o invariable
con el tiempo y el volumen de control puede ser fijo
y/o desplazable. Adems, la cantidad de materia o
masa puede variar con el tiempo dentro del volumen
GOMERResaltado
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De control.
ACELERACIN DE UNA PARTCULA
FLUIDA
En el mtodo de Lagrnge se observa que x,y,z, son
funciones del tiempo, luego podemos establecer el
campo de aceleraciones derivando el campo de
velocidades con respecto al tiempo.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Por derivada de funcin compuesta:
Las tres componentes son:
Aceleracin convectiva Aceleracin
Local
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Tambin podemos escribir :
O lo que es lo mismo :
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Aceleracin Local ( ).- Provienen de la variacin
de la velocidad en un punto de la masa fluida, con el
paso del tiempo. Indica la traslacin del campo.
Aceleracin Covectiva ( ) .- Proviene de un
campo permanente (en un instante t), en el que la
velocidad de una partcula sufrir variaciones en los
diversos puntos del campo. Est relacionado con el
gradiente de las componentes de la velocidad.
LINEAS DE CORRIENTE DE FLUJO :
Las lneas de corriente de flujo son definidas como
aquellas lneas que son tangentes a los vectores
velocidad en cada punto y en un instante dado.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Significa que para hallar las lneas de flujo hay que
congelar las trayectorias en un instante dado (hacer t
= constante).
Las lneas de flujo coinciden con las trayectorias,
solamente cuando la velocidad no depende del
tiempo.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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En el espacio :
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Tambin:
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Derivada de una funcin ligada al movimiento.
Sea la funcin = (x,y,z,t)
Por derivadas de funcin compuesta.
GOMERResaltado
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Si :
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Para cualquier funcin F, el campo vectorial
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En el sistema cilndrico:
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Divergencia de Velocidad :
En el sistema cilndrico:
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ROTACIONAL O VORTICIDAD:
Desarrollando:
Tambin:
En el sistema cilndrico:
GOMERResaltado
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LAPLACIANO DE
Indica posibilidad de giro, adems indica si la funcin
es armnica.
De estas 4 operaciones vectoriales se resume:
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Tambin se comprueba
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TUBO DE FLUJO : Es la superficie formada por todas las
lneas de corriente trazadas por todos los puntos de una
curva cerrada. Si el flujo depende del tiempo, se tendr el
tubo de flujo en un instante.
Circulacin ( )
Se define como la integral de lnea en torno a una
curva cerrada, en el instante t, de la componente
tangencial de la velocidad a lo largo de dicha curva.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Relacin entre y g
Del teorema de Stokes:
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VARIABLES DE CAUCHY-REIMANN
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Ecuacin de Continuidad.
Se demuestra que :
Cuando en el sistema no existe variacin de N
(Propiedad extensiva) entonces:
de donde establecemos que el flujo en la S.C. ser:
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Indica el principio de la conservacin de la masa. Es
decir el flujo o caudal que entra a travs de la
superficie de control es igual a la variacin por
unidad de tiempo de la masa dentro del volumen de
control. De esta ecuacin
Como el flujo es permanente :
GOMERResaltado
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ENTRA :
SALIDA :
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Luego :
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FORMAS DE MOVIMIENTO : El anlisis se
realiza para el sistema bidimensional, para cada una
de las formas de movimiento representada por las
redes de flujo que contienen a su vez las lneas de
corriente y las lneas equipotenciales.
Definidas ambas por una familia de curvas
mutuamente perpendiculares.
FUNCIN CORRIENTE ( ).- Es aquella funcin
escalar que contiene a las lneas de corriente, est
definida por el escalar , que es relaciona con las
velocidades de la siguiente manera :
Para lneas de corriente
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Para que ( ) exprese funcin de tiene que ser su
ecuacin diferencial exacta.
Igualando :
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FUNCIN EQUIPOTENCIAL ( )
Es una funcin exacta que contiene a las lneas
equipotenciales
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Se demuestra que y son perpendiculares.
Para L.C
GOMERResaltado
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Para lnea Equipotencial :
REDES DE FLUJO
Estn formadas por la lnea de corriente y las lneas
equipotenciales excepto en los puntos singulares.
Puntos Singulares: Es aquel punto donde no se
cumple la condicin de perpendicularidad.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Vs = Vs As = An Ac = Es el cambio en la
Buscar redes con cua- constante entre 2 lneas
drados perfectos. Equipotenciales adyacen
tes y entre 2 lneas de co-
rriente adyacentes.
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Una red de flujo estar constituida por una malla de
cuadrados perfectos, esto cuando la red se aproxima
a cero (al lmite). El proceso de obtencin es grfico
necesitamos muchos trazos y estar borrando
continuamente.
REDES DE FLUJOS SIMPLES.- Se establecen las
curvas bsicas considerando que el escurrimiento es
simple, con la condicin de continuidad,
incompresibilidad e irrotacionalidad.
Establecindose los siguientes casos de movimiento
simple.
GOMERResaltado
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1.- Flujo Rectilneo con Velocidad Constante
GOMERResaltado
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1.- Flujo Rectilneo con Velocidad Constante
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Notas :
- Los valores de y dependen de la intensidad de
Uo y la red se presenta entre 4 lneas de frontera.
2. FLUJO FUENTE.- Se produce el movimiento
desde un punto considerado fuente, con una
direccin radial, como se muestra.
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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Por consiguiente :
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3. FLUJO SUMIDERO.- Se produce cuando el
movimiento de la partcula se produce de afuera
hacia adentro. Presentando una familia de curvas
semejante a la fuente.
GOMERResaltado
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4. FLUJO VORTICE.- El vrtice simple o
irrotacional es un flujo muy til que puede
establecerse fcilmente escogiendo la funcin de
corriente del manantial como potencial de velocidad
del vrtice , as:
La funcin de corriente :
GOMERResaltado
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La red de corriente tendr la misma forma que la del
manantial y el sumidero, excepto que las
circunferencias concntricas sern ahora lneas de
corriente y el haz de rayos, lneas equipotenciales,
como se muestra.
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La familia de lneas de corriente pone de manifiesto
que el fluido se mueve siguiendo trayectorias
circulares, con centro en el origen.
FUNCIN POTENCIAL COMPLEJA PARA
EXPRESAR LAS REDES DE FLUJO.
Conociendo :
GOMERResaltado
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FLUJO RECTILINEO :
Toda red de flujo tendr parte real constituido por y
otra parte imaginaria formada por .
FLUJO FUENTE :
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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FLUJO SUMIDERO :
FLUJO VORTICE :
GOMERResaltado
GOMERResaltado
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REDES DE FLUJOS COMPUESTOS
Se utiliza el principio de superposicin de afectos
Si :
Ejemplo : Flujo rectilneo con un sumidero
GOMERResaltado
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Flujo Compuesto :
El proceso grfico se realiza para intensidades uo y Q conocidos, siendo por lo tanto datos.
Ejm :
uo = 1m3/seg , Q = 1m3/seg.Se obtiene valores de las lneas de corriente
(mayormente) para cada flujo simple, posteriormente
se hace para el flujo compuesto.