cinemática relativista. antecedentes: mecánica clásica. más de dos siglos. excelente...
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Cinemática Relativista
ANTECEDENTES:
Mecánica clásica. Más de dos siglos. Excelente aproximación. Invariancia frente a transformaciones de Galileo. No existe Sistema Inercial de Referencia (SIR) absoluto.
FORMULACIÓN DEL ELECTROMAGNETISMO:
James Clerk Maxwell, a mediados siglo XIX, unifica los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos. La luz es una onda electromagnética.
• ¿Son las ecuaciones del electromagnetismo invariantes frente a las transformaciones de Galileo?
• ¿Donde se propaga la luz? ETER. Medio material que llena el universo. Similar a un fluido, rígido, invisible y difícil de detectar.
Galileo, s. XVI-XVII
Isaac Newton, s. XVII-XVIII
James Clerk Maxwell, 1831-1879
2 2 2 2
2 2 2 2
1
t
E E E E
x y z c
+ + = -
Las ecuaciones de Maxwell en espacio vacío sin fuentes son:
Usando transformaciones de Galileo y aplicando la regla de la cadena para derivar:
´
E E
x x
´ ´
E E Ev
t x t
X=X’ +vtV=V’+v
22
0 0 20 0
0 00
0 tt t
E BE
B BBE B
2 2 2
2 2 2
2 2
2
1´ ´ ´
2 1
´ ´ ´
( )E v E E
x c y z
v E E
c x t c t
NO ES INVARIANTE BAJO TRANSFORMACIONES DE GALILEO
E
2
¡¡ LOS FENÓMENOS ELECTROMAGNÉTICOS NO SON INVARIANTES BAJO TRANSFORMACIONES DE
GALILEO !!
• El Principio de relatividad es válido sólo para mecánica pero no para el electromagnetismo
• Son incorrectas las ecuaciones de maxwell
Mediante experimentos deberían encontrarse desviaciones de la teoría maxweliana.
• Existe un solo principio de relatividad y las ecuaciones de Maxwell son correctas, pero algo falla en la mecánica clásica (ecuciones de Newton y transformaciones de Galileo)
Mediante experimentos deberían encontrarse desviaciones de la teoría newtoniana y se debe reformular.
BUSQUEMOS EL ETER
1887- Michelson- Morley
(Nobel 1907)
¿Qué se espera en el interferómetro?
Fuente
Espejo
EspejoSeparador
Interferómetro
corrimiento de las franjas que depende de la velocidad v del interferómetro respecto del éter
Si los dos rayos llegan al tiempo al interferómetro:
patrón de interferencia constructiva.
Si los dos rayos NO llegan al tiempo al interferómetro:
// 2
2 /
1 ( / )
L L L c
C v C v v Ct
Tiempo para recorrer 2L en dirección paralela:
2
2 2 /
´ 1 ( / )
L L c
V v Ct
Tiempo para recorrer 2L en dirección perpendicular:
Y se espera ver un corrimiento de las franjas que depende de v (velocidad relativa entre éter e interferómetro).
t t //>
Características del Experimento Michelson-Morley
1-Loza de piedra flotando en Hg
2-Sensibilidad: 1/100 franja
3-Observaciones: día y noche
interferómetro girado 90º
diferentes épocas del año
diferentes alturas sobre el mar
4-Corrimiento esperado 1/25 franja
5-Corrimiento obtenido: 0
NO EXISTE EL ETER!!!!
C es igual en cualquier SIR
Intentos por preservar el éter:
• Fitzgerald:1892- contracción de longitudes en dirección del movimiento.
Problema: teoría artificiosa con otras predicciones que no se comprobaron experimentalmente.
• Arrastre del éter: el éter está pegado a los cuerpos y se desplaza con ellos. Por eso no se puede medir velocidad relativa.
Problema: no explica aberración estelar.
La situación después del experimento de Michelson-Morley:
- No existe el éter
- ¿Qué ocurre con las ecuaciones de transformación de Galileo y las ecuaciones de Maxwell?
- Nueva Teoría: Albert Einstein (1905) “Sobre la electrodinámica de los medios en movimiento”
Postulados de la Teoría Especial de la Relatividad:
-Las leyes de la física tienen la misma forma en todos los SIR
-La velocidad de la luz es la misma medida desde cualquier
SIR
Consecuencias de los Postulados de la Teoría Especial de la
Relatividad:•Un observador pensará que el reloj de otro observador que se mueve respecto a él avanza más lentamente (dilatación del tiempo)
•Longitudes a lo largo del movimiento se contraen (contracción de Lorentz - Fitzgerald)
•El concepto de simultaneidad no es universal
•La velocidad está limitada por la velocidad de la luz
•Las longitudes en direcciones perpendiculares al movimiento se mantienen.
Dilatación del tiempo
(c t)2 = (c t´) 2 + (v t)2
(c2-v2 ) t 2 = c t´ 2
t = t´/ (1-v2 /c2 )1/2
Contracción de longitudes paralela al movimiento
t´= 2L´/c
En S´L´
c ti= L + v tiLEn S
L c tr= L - v tr
t = ti + tr = 2Lc/ (c2- v2)
t = t’
L = L’/
Demostración:
Dos eventos 1 y 2, que ocurren en X1 y X2 son simultáneos EN UN SISTEMA S si una señal luminosa emitida en el punto medio entre X1 y X1, llega a X1 en t1 y a X2 en t2 siendo t1 = t2
X1 X2
t1 t2
t1 = t2
C1 O C2
Durante el tiempo t que la luz va de C1 a O, el sistema S’ se desplaza una distancia vt
O’ C’2 C’1vt
O’ recibe primero el destello que viene de C2 ya que O´ se acerca al punto de donde salió el destello.En S´ estos dos eventos NO son
simultáneos.
Dilatación del tiempo y contracción de longitudes
Desintegración de los mesones µ
Se producen en la alta atmósfera (8-10 Km) y se detectan al nivel del mar. Se desintegran en 2× 10-6 s y tienen una velocidad media de 2.994× 108 m/s,
Por que se pueden observar si en t = 2× 10-6 s y teniendo una v= 2.994× 108 m/s, sólo recorren
h = v . t = 600 m ?
¿Desde el sistema fijo al mesón µ, a que distancia se ve la tierra?
Para el mesón, la tierra se ‘acerca’ con v = 2.994× 108 m/s, así que para el, la distancia entre la alta atmosfera y el nivel del mar se verá contraída (longitud propia).
Tiempo propio = Tµ= 2× 10-6 sLongitud propia = Lµ =600 m
Distancia que alcanza a recorrer en su tiempo de vida
L = Lt /
= 15.87
L = 9500/15.87 590 m
¿Desde el sistema fijo a la tierra: Cuanto tiempo vive el mesón?
Desde la tierra, el mesón se ‘acerca’ con v = 2.994× 108 m/s, así que el tiempo de vida del mesón se dilatará: (tiempo propio)
En este tiempo y con v= 2.994× 108 m/s, alcanza a recorrer 9500 m y se explica que se detecte al nivel del mar.
Tt = T = 15.87Tt = 15.87*2× 10-6 s 31.74* 10 -6 s m
Ambas interpretaciones conducen a una interpretación correcta desde el punto de vista experimental, pero que son radicalmente diferentes en cuanto al razonamiento empleado:
El mesón tiene una percepción de su tiempo propio de vida, y si logra llegar a la Tierra sólo puede interpretarlo diciendo que la distancia a recorrer se ha acortado.
El observador terrestre tiene una percepción de la distancia a recorrer, y si ve llegar al mesón al suelo sólo puede interpretarlo diciendo que éste ha alargado su tiempo de vida.
Busquemos nuevas Transformaciones
Características:
-Para 1 deben aproximarse a las de Galileo
-Deben ser consecuentes con los postulados de la TER
-A partir de ellas deben deducirse la contracción de longitudes y la dilatación del tiempo.
Tomemos una onda esférica de luz (cuando O=O’ t = t’ =0)
Para ser consecuentes con TER proponemos nuevas transformaciones:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
:
' : ' ' ' '
S x y z c t
S x y z c t
' ' ' '
' '
x vt y y z z
t t Bx
x A
A
Se demuestran la transformación de Lorentz:
2
' '
''' '
x x vt
y yz z
vt t xc
Ejercicio:
A partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz, obtener las expresiones para la contracción de longitudes y dilatación del tiempo.
Suma relativista de velocidades
2
' ' '
' ' '
x x vt y yvt t x z zc
2
''
1
xx
x
v vvv
c
v 2
'
'1
yy
x
v
vv
c
v
2
''
1
zz
x
vvv
c
v
Velocidad máxima
c=Velocidad máxima
v(Km/s)
¿Qué sucede si v ≥ c?
2
21 1vc
0 1si v
si v c
C + C = 2 C ?En un sistema S´ que se mueve con v = C, se envía un haz de luz (Vx´= C). Con que velocidad Vx se vé el haz en un sistema S?
21
x
C CV C
CC
C
2
''
1
xx
x
v vvv
c
v
Una nave N1 se mueve a una velocidad V1= 0.6C. Otra nave N2, la quiere adelantar con una velocidad relativa entre ellas v= 0.6C. Que velocidad V2 debe adquirir N2?
Clásicamente:V2 = V1 + v = 0.6C + 0.6C = 1.2C
En T.E.R
2 2
V1+V 0.6C+0.6CV2= 0.882
V1*V 0.6C*0.6c1+ 1+
C C
C
Con sólo 0.882C, N2 aventaja a N1 en 0.6c
Cinemática Clásica Vs. Cinemática Relativista
Clásica RelativistaEcuaciones de Transformación
Galileo Lorentz
Espacio – Tiempo
Absolutos velocidad relativa
Longitudes (v) Iguales Se contraenIntervalos de tiempo (t)
Iguales Se dilatan
Velocidad límite Ninguna CAplicabilidad V pequeñas V grandes
La paradoja de los gemelos