Cinemática 111

TESTTESTTESTTESTTEST

1.- − Siempre que la aceleración tiene el mismo senti-do de la velocidad el movimiento es acelerado.

− Desplazamiento o trayectoria es lo mismo.− Siempre que el desplazamiento y la aceleración tie-

nen la misma dirección, el movimiento es acelerado.− Cuando el móvil tiene velocidad inicial y final

igual a cero, se puede asegurar que tuvo primeroM.R.U.V. acelerado y después M.R.U.V. retardado.

a) VFVF d) FFVVb) VVVV e) N.Ac) VFFV

2.- En el M.R.U.V. no se cumple que:

a) El movimiento es desacelerado cuando la acele-ración y la velocidad tienen sentidos contrarios.

b) El movimiento es acelerado cuando la aceleracióny velocidad tiene el mismo sentido.

c) Siempre que la aceleración es cero el móvil estádetenido.

d) Cuando la velocidad es cero no necesariamentela aceleración es cero.

e) N.A.

3.- Respecto a la velocidad y aceleración de un móvilen M.R.U.V. como se muestra podemos decir que escorrecto:

a) Está siempre acelerado.b) Está siempre frenando.c) Tienen el mismo sentido.d) Son de igual valor numérico.e) Se mantienen constantes.

4.- Respecto al M.R.U.V. para una partícula como mostra-mos en la figura y que tiene la velocidad inicial seña-lada, que podemos afirmar:

a) Tendrá 9 m/s de velocidad alos 8 s.

b) Tendrá 9 m/s a los 2 s.c) Habrá recorrido 20 m en 2 s.d) Tarda 8 s en recorrer 20 m.d) El movimiento es desacelerado.

5.- Respecto al M.R.U.V. de una par-tícula como se muestra no sepuede afirmar.

a) Lleva movimiento desacelerado y luego será ace-lerado.

b) La velocidad en un instante será cero.c) Se mueve hacia la derecha.d) Se mueve hacia la izquierda.e) Cuando la velocidad se hace cero la aceleración

se mantiene.

6.- Respecto al espacio recorrido en el M.R.U.V. podemosafirmar:

a) Es proporcional al tiempo.b) Es inversamente proporcional al cuadrado del

tiempo.c) Es proporcional al cuadrado del tiempo.d) Es independiente de la velocidad inicial.e) Es independiente de la aceleración.

7.- Respecto a la velocidad en el M.R.U.V. podemos afirmar:

a) Es proporcional al cuadrado del tiempo.b) Es proporcional al tiempo y depende de la velo-

cidad inicial.c) No depende de la velocidad inicial y si de la ace-

leración.d) Es función del cuadrado del espacio recorrido.e) No depende del espacio recorrido.

8.- En el M.R.U.V. la.................. se mantiene ........... y es acele-rado cuando tiene el mismo sentido que la velocidad.

a) Velocidad – constanteb) Aceleración – constantec) Velocidad – en direcciónd) Aceleración – la velocidade) Aceleración – variando

9.- Durante el desaceleramiento en el M.R.U.V. señalarverdadero o falso.

− La velocidad y aceleración tienen sentidos con-trarios.

− El espacio en el tiempo “t” viene dado por:

− Cuando se detiene, la aceleración siempre desa-parece.

a) VFF d) VFVb) VVV e) FFFc) VVF

10.- Si una partícula es acelerada desde el reposo con unaaceleración “a”, el espacio recorrido en el 4to segundoviene dada por:

a) d)

b) e)

c)

e t= 1

22a

3

2a

5

2a

7

2a

9

2a

1

2a

Jorge Mendoza Dueñas112

PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS

A problemas de aplicación

1.- Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/sacelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Quédistancia logró aumentar en dicha operación?

Solución:

2.- Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego fre-na, de tal modo que se logra detener por completo en6 s. ¿Cuál es su aceleración?

Solución:

Notamos que el movimiento es acelerado.

20 10 2 52 2b g b g b g= + d

d m= 30

3.- Una partícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V. si alpartir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidadtuvo al término del recorrido?

Solución:

Movimiento retardado

v km h m so = =108 60/ /

a a= − ⇒ = −v v

tF o 0 60

6

dv v

tvo F F= +F

HGIKJ ⇒ = +F

HGIKJ2

304

25

4.- Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia suvelocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar lue-go de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/sdespega?

Solución:

5.- Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelerauniformemente a razón de 2 m/s2 durante 5 segun-dos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to segundo de sumovimiento?

Solución:

Notamos que el movimiento es acelerado.

v m sF =160 /

Distancia recorrida hasta los 5 segundos

Distancia recorrida hasta los 4 segundos

v v dF o2 2 2= ± a

v v dF o2 2 2= + a

v v eF o2 2 2= ± a

v v dF o2 2 2= + a

vF2 0 2 8 1 600= + b gb g

a = −10 2m s/

v m sF = 8 /

Cinemática 113

La distancia recorrida en el 5to segundo será: x d d= −5 4

x v vo o= +LNM

OQP − +L

NMOQP5

1

25 4

1

24

2 2b g b g b g b ga a

x = + × ×LNM

OQP − + × ×L

NMOQP20 5

1

22 25 20 4

1

22 16b g b g b g b g

x m= 29

1.- Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimosegundo de su movimiento 20 metros más que lo re-corrido en el quinto segundo; determinar el espaciorecorrido desde que inicio el movimiento hasta el fi-nal del octavo segundo de su movimiento.

Solución:

B problemas complementarios

2.- Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h, aplica losfrenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cadasegundo, hasta detenerse. Determinar el espacio querecorrió en el último segundo de su movimiento.

Solución:

o Espacio recorrido en el quinto segundo.

o Espacio recorrido en el décimo segundo.

o Nos piden el espacio recorrido desde el inicio delmovimiento hasta el final del octavo segundo.

x d d= −5 4

Reposo: d v t to= + 1

22a

d t= 1

22a

08

x = −1

25

1

24

2 2a ab g b g

x = −25

28a a ..................... (1)

x d d+ = −20 10 9

x + = −201

210

1

29

2 2a ab g b g

x + = −20 5081

2a a

o De (1) y (2):

............ (2)

a = 4 2m s/

d v t to= + 1

22a

d= +01

24 8

2b gb g

d m=128

3.- Dos móviles que parten del reposo se dirigen al en-cuentro con movimiento uniformemente aceleradodesde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan10 s en cruzarse. Los espacios recorridos por estos mó-viles están en la relación de 4 a 5. Calcular las acelera-ciones de dichos móviles.

o Calculando el tiempo que demora en detenerse .

o El espacio que recorrió en el último segundo.

v v tF o= ± a

x d d= −15 14

0 60 4 15= − ⇒ =t t s

x v vo o= −LNM

OQP − −L

NMOQP15

1

215 14

1

214

2 2b g b g b g b ga a

x = − × ×LNM

OQP − − × ×L

NMOQP60 15

1

24 15 60 14

1

24 14

2 2b g b g b g b g

216 60km h m s/ /=

x m= 2

Jorge Mendoza Dueñas114

v m sB = 12 /

4 20 01

2100 1 62 2

2b gb g b g= + ⇒ =a a , /m s

5 20 01

2100 21 1

2b gb g b g= + ⇒ =a a m s/

Solución:

4.- Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2

se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marchacon velocidad constante de 8 m/s. ¿Después de cuantotiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m?

Solución:

o Distancia total:

o Con el móvil (1):

o Con el móvil (2):

180 5 4= +x x

x = 20

d vo= +101

2101

2b g b ga

d vo= +101

2102

2b g b ga

5.- Un automóvil está esperando en reposo que la luz delsemáforo cambie. En el instante que la luz cambia averde, el automóvil aumenta su velocidad uniforme-mente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 se-gundos, después de los cuales se mueve con veloci-dad uniforme. En el instante que el automóvil empe-zó a moverse después del cambio de luz, un camiónlo sobrepasa en la misma dirección, con el movimien-to uniforme a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo y cuánlejos del semáforo el automóvil y el camión volverána estar juntos?

Solución:

o Con el auto (vo = 0)

o Con el camión (v = 8 m/s = cte)

20 64 01

22 2+ + = +x tb g

84 2+ =x t ...... (1)

o De (1) y (2):

x vt=

x t= 8

t s=14

.............. (2)

o Con el camión:

o Con el automóvil:

Entre A y B :

Entre A y C :

o (1) = (2)

Finalmente:

e x y T= + =10 .......................... (1)

v v tF o= + a

vB = +0 2 6b g

x y v TB+ = + −1

22 6 6

2b gb g b g

x674 84

y674 84

x y T+ = + −36 12 6b g .............. (2)

10 36 12 6T T= + −b g10 36 12 72T T= + −

T s=18

e x y T= + = =10 10 18b ge m=180

d v t to= + 1

22a

Cinemática 115

x t d= − + −5 252b g

x t t d= − +2 10

10 2t t x d= − +

10 2t d t x= + −e j

6.- Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan envías paralelas en sentidos opuestos y cuando se encuen-tran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleracio-nes constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempoque demoran los trenes en cruzarse completamente.

Solución:

7.- Un conductor viaja por una autopista recta con unavelocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la acelera-ción mínima que puede asegurar la parada del vehí-culo justamente antes de golpear al venado si el cho-fer demora 0,30 s en reaccionar?

Solución:

o Cuando los trenes están a punto de cruzarse

o Momento en que “A” cruza a “B” completamente.

e v t tA o= = +6001

22a

600 301

26 2= +t tb g

t t2 10 200 0+ − =

t s=10

8.- Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separa-dos una distancia “d” (B detrás de A). Si ambos se mue-ven en el mismo sentido “B” con velocidad constantede 10 m/s y “A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2.Después de que tiempo de iniciado el movimiento ladistancia de separación es mínima. (Ambos móvilesno se encuentran).

Solución:

o Antes que el conductor reaccione su velocidadsigue siendo constante

Cuando el conductor reacciona, éste presiona los fre-nos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya veloci-dad final es cero (para no atropellar al venado).

e vAB = =0 30 20 0 30, ,b g b ge mAB = 6

e mBC = − =50 6 44

o Entre B y C :

0 20 2 442= −b g b ga

De donde:

o

o

o (2) y (3) en (1):

Para que x sea mínimo:

e d e xB A= + −b g .............. (1)

e v t tA o= + 1

22a

e t tA = + ⋅ ⋅01

22 2

e tA = 2 .............. (2)

e v tB B=

e tB =10 .............. (3)

t − =5 0

t s= 5

9.- Un pasajero desea subir a un microbús que se encuen-tra detenido y corre tras él con una velocidad uniformede 5 m/s y cuando estaba a 6 m del microbús, éste par-te con aceleración constante de 2 m/s2. Hallar el tiem-po que demora el pasajero en alcanzar al microbús. (Silo alcanza).

v v eF o BC2 2 2= − a

88 400 4 55 2a a= ⇒ = , /m s

(mov. retardado)

Jorge Mendoza Dueñas116

Solución:

o Suponiendo que lo alcanza: Para ello en el instantede alcance la velocidad del microbús no deberá sermayor que la del pasajero (5 m/s).

e eH M− = 6

10.- Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h,luego de 10 minutos sale otro también hacia el norte ycon la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/hconstante venía un tren desde el norte, si se cruzó conel primer tren en cierto instante y luego de 4 minutoscon el segundo tren?

Solución:

51

262t v t to− +F

HGIKJ =a

t t2 5 6 0− + =

o Analizando:

De donde: t s ó t s= =2 3

Si: t s v v tM o= ⇒ = +2 a

vM = +0 2 2b gb gv m s m sM = <4 5/ /

Si: t s vM= ⇒ = +3 0 2 3b gv m s m sM = >6 5/ / (no cumple)

t s= 2

1.- Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2?

Rpta. 4 m/s2

2.- Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/sy 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m.¿Qué tiempo empleó en el recorrido?

Rpta. 10 s

o Cálculo del tiempo de encuentro entre “B” y “C”

o De la figura:

tx

v= =

+4

60 30............ (1)

x t t= − −FHG

IKJ30 30

10

60

o (2) en (1):4

60

5

30=

+v

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

A problemas de aplicación

3.- Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una acelera-ción de 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tendrá luego de 5 s?

Rpta. 40 m/s

4.- Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incre-mentada su velocidad por una aceleración de 5 m/s2.¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los2 primeros segundos de este movimiento variado?

Rpta. 30 m

5 01

22 6 5 62 2t t t t t− + ⋅F

HGIKJ = ⇒ − =

o Finalmente:

x km= 5

v km h= 45 /

Cinemática 117

5.- Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m de-moró 8 s. Si por el primer punto pasa con una veloci-dad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa porel segundo punto (en m/s).

Rpta. 25 m/s

6.- Un móvil parte del reposo con una aceleración cons-tante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minu-to (en metro).

Rpta. e = 3 600 m

7.- Un móvil parte del reposo con una aceleración cons-tante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio querecorre en los 4 s siguientes.

Rpta. x = 96 m

8.- Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 srecorre 50 m. Calcular el espacio que recorre en el ter-cer segundo de su movimiento.

Rpta. 10 m

9.- Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s,desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su ve-locidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo másdebe transcurrir para lograr detenerse?

Rpta. 6 s

10.- Durante el 6to segundo de su desplazamiento unapelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio erade 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniforme-mente su movimiento?

Rpta. – 4 m/s2

1.- Durante que segundo de movimiento, un móvil queparte del reposo y tiene M.R.U.V. recorrerá el triple delespacio recorrido en el quinto segundo.

Rpta. N = 14avo segundo

2.- Un auto corre una pista horizontal con una acelera-ción de 2 m/s2, después de 5 s de pasar por el punto A,posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad te-nía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar a A?

Rpta. 8 m/s

3.- Dos móviles que parten del reposo en la misma direc-ción y sentido, están separados 200 m, si se observaque el alcance se produce 10 s después de iniciadolos movimientos. Determinar sus aceleraciones si es-tas están en la relación de 3 a 1.

Rpta. a2 = 2 m/s2 ; a1 = 6 m/s2

B problemas complementarios

4.- Un tren va frenando y lleva un movimiento uniforme-mente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilóme-tro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse.

Rpta. 602,08 m

5.- Un bote inicialmente en reposo acelera a razón de 2 m/s2

durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidadconstante. En el instante que el bote parte, una lancha quese mueve en la misma dirección y sentido con velocidadconstante de 10 m/s lo pasa. ¿Después de qué tiempo y aqué distancia se encontrarán nuevamente?

Rpta. 18 s ; 180 m

6.- Un ratón de regreso a su agujero, a la velocidad cons-tante de 1 m/s, pasa al lado de un gato, despertándo-lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s2 y el agujeroestá a 5 m. ¿Atrapa el gato al ratón?. Si lo atrapa, ¿a quédistancia del agujero lo hace?

Rpta. Lo atrapa a 1 m del agujero

7.- Un auto que se mueve describiendo un M.R.U.V. en cier-to instante, pasó con una rapidez de 15 m/s por un pun-to “A” situado entre dos montañas como se muestra. Sien este instante toca el claxón, con que aceleracióndeberá moverse a partir de ese instante, para escucharlos ecos simultáneamente (vsonido

= 320 m/s).

Rpta. 10 m/s2

8.- Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuen-tra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m dela liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidadmínima constante de la zorra de tal modo que puedaatrapar a la liebre ¿y comérsela?

Rpta. 6 m/s

9.- Dos móviles se encuentran en una recta, inicialmenteen reposo, separados por una distancia de 400 m. Siparten al mismo instante acercándose mutuamentecon aceleraciones de 3 m/s2 y 5 m/s2. Calcular despuésde qué tiempo vuelven a estar separados por segun-da vez una distancia de 200 m.

Rpta. 13,10 s

10.- Una partícula parte del origen hacia la derecha con unavelocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2

hacia la izquierda. ¿Cuáles son los instantes en que sudistancia desde el origen es 1 m?

Rpta. t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s