cinemÁtica de la partÍcula contenido
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B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 1 1/24
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
• Sistemas de coordenadas
• Ecuación de la trayectoria
• Vectores posición, velocidad y aceleración
• Componentes intrínsecas de la aceleración
• Movimiento circular
• Sistemas de referencia
• Movimiento relativo: transformaciones de Galileo
CONTENIDO
B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 1 2/24
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
BIBLIOGRAFÍA
• SUSAN M. LEA, J.R. BURKE. La naturaleza de las cosas
Cap. 2 y 3.1-3.2 (excepto rotación de un cuerpo rígido)
• SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA UNIVERSITARIA Pearson-Addison Wesley, 1998
Cap. 2 y 3
• TIPLER, PA. FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Ed Reverté 2005
Cap. 2 y 3
• MARCELO ALONSO Y EDWARD J. FINN “Física”, Volumen I. 1ª edición
Cap. 6. Movimiento relativo: 6.1-6.5
• MARCELO ALONSO “FÍSICA”, 1ª Edición
Cap. 3. Movimiento rectilíneo: 3.9
Cap. 4. Movimiento curvilíneo: 4.6
Cap. 5. Movimiento circular: 5.5 y 5.6
• DOUGLAS C. GIANCOLI, “FÍSICA PARA UNIVERSITARIOS”, Volumen I, 3ª edición.
Cap. 3.Cinemática en dos dimensiones; vectores: 3.10
Cap. 11.Rotación general: 11.9 y 11.10
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
SISTEMA DE COORDENADAS
Describir el movimiento de una partícula consiste en indicar su posición en función del tiempo.
El primer paso es expresar la posición de una manera inequívoca utilizando un sistema de coordenadas
concreto, y especificando la posición del origen de coordenadas. Un sistema de coordenadas es el
conjunto de parámetros necesarios para expresar la posición de cualquier objeto en el espacio.
SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS
SISTEMA DE COORDENADAS
POLARES
x
y
z S P(x,y,z)
ij
kx
y
( ) t
R
0
( ) cos ( )
( ) sin ( )
( )
x t R t
y t R t
z t z
P(R,)
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
VECTOR DE POSICIÓN, TRAYECTORIA
Lugar del espacio donde se encuentra un objeto. Se designa por . En coordenadas cartesianas se
describe a partir del valor de sus 3 coordenadas: x, y, z
ktzjtyitxtr
)()()()(
r
Trayectoria: lugar geométrico de los puntos del espacio por donde pasa la partícula en movimiento. Se describe por
medio de las ecuaciones paramétricas: x(t), y(t) y z(t), o relacionando x, y, z entre sí eliminando la variable t
S
x
y
z
ij
k
1( )r t
2( )r t
3( )r t
Ejemplo: Una partícula se mueve tal que su vector de posición es: 22 6( )r t t i t j t k
Su trayectoria se puede expresar como:
2
2
6
( )
( )
( )
x t t
y t t
z t t
2
3
4( )
y x
xz t
o
1 1
2 2
( )
( )
r t r
r t r
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )r t x t y t z t
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
VECTOR DESPLAZAMIENTO
S
x
y
z
k
1r
2r
3r
P
P’
12r
23r
P’’
Indica la variación de la posición de una partícula cuando se desplaza de un punto a otro.
12 2 1r r r r
En general es distinto que la distancia recorrida ∆S, que se mide sobre la trayectoria
2 1
2 1
2 1
x x x
y y y
z z z
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
VECTOR VELOCIDAD MEDIA
2rSi un punto se desplaza desde la posición inicial , en el tiempo t1, a la posición final , en el tiempo t2, el
vector velocidad media entre esos dos puntos se define como: 1r
2 1
2 1
M
r r r mv
t t t s
Cuando se habla de velocidad media (sin nombrar la palabra vector), se refiere al cociente entre la
distancia recorrida y el tiempo transcurrido
La velocidad media entre dos puntos (por
ejemplo en el dibujo entre los puntos A y C), es
la pendiente de la recta que une esos dos
puntos
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( )
t t
r t t r t r t dr tv t Lim Lim
t t dt
VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Corresponde al vector velocidad media cuando el intervalo entre los puntos es infinitésimo, e indica la
velocidad en cada instante de tiempo.
( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k Como:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )x y z
dr t dx t dy t dz tv t i j k v t i v t j v t k
dt dt dt dt
Ejemplo de la componente x
Gráficamente, corresponde a la
pendiente de la recta tangente en cada
punto de la curva
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
Generalizando a 3 dimensiones:
VECTOR VELOCIDAD INSTANTÁNEA
El vector velocidad instantánea tiene SIEMPRE la dirección tangente a
la trayectoria y sentido el del movimiento
S
x
y
z
1r
2r
3r
P
P’ P’’
v
v v
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y zv t v t v t v t
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
VECTOR ACELERACIÓN
Magnitud que da información del cambio del VECTOR VELOCIDAD. Nos informa tanto del cambio
del módulo del vector velocidad, como del cambio de dirección del vector velocidad
VECTOR ACELERACIÓN MEDIA 2 1
2
2 1
M
v v v ma
t t t s
VECTOR ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( )
t t
v t t v t v t dv ta t Lim Lim
t t dt
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
yx zx y z
dv tdv t dv tdv ta t i j k a t i a t j a t k
dt dt dt dt
2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y za t a t a t a t
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
Q
P
P Q
R
VECTOR ACELERACIÓN
La dirección de es tangente en
cada punto a la curva que representa
frente a t
( )a t
v
2(entre P y Q)
Q P
M
Q P
v v v ma
t t t s
Esa dirección es, en general, distinta de la tangente
a la trayectoria. Solo es igual cuando el movimiento
es rectilíneo.
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
tantan tan t
( )( ) ( ) ( )g N
d v dudv t da t v u u v a t a t
dt dt dt dt
Si ahora calculamos a teniendo en cuenta que tan( )v t v u
t tan( )g
d va t u
dt atg (aceleración tangencial) mide el cambio en el módulo de v. Tiene dirección
tangente a la trayectoria y sentido el de la variación de v
aN (aceleración normal) mide el cambio en la
dirección de v. Tiene dirección perpendicular a la
tangente a la trayectoria, y sentido hacia el interior
de la curva
2
tan( ) ;N N
vdua t v a
dt
donde = radio de
curvatura instantáneo
z
x
y
( )r t
O
( )Na t
( )Ta t
( )a t
Componentes intrínsecas de la aceleración
2 2
t( ) ( ) ( )g Na t a t a t
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
TRANSFORMACIONES INVERSAS
Determinación de la velocidad y la posición de una partícula a partir de su aceleración.
0 0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t t
x y z
t t t t
v t v t a t dt a t dt i a t dt j a t dt k
( )( ) ( ) ( )
df xg x f x g x dx
dx Si recordamos:
( ) ( ) ( ) ( )x y za t a t i a t j a t k Sea:
0 0 0 0
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t t
x y z
t t t t
r t r t v t dt v t dt i v t dt j v t dt k
0
0( ) ( ) ( )
t
t
S t S t v t dt Distancia recorrida
0
0( ) ( ) ( )
t
tg
t
v t v t a t dt
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
TIPOS DE MOVIMIENTO
Se clasifican en diversos tipos dependiendo de los módulos de las aceleraciones
tangenciales y normales.
dt
vdatg
indica cambio de módulo de la velocidad 222
)()()( tatata tgn
( ) ( ) ( )N tga t a t a t indica cambio de dirección de la velocidad
2v
an
0na
MOVIMIENTO RECTILÍNEO
0Si 0, ( ) ( )tga v t v t
0Si tga
)()()()()(Si 000000
0
ttatvdtatvtvata
t
t
tg
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
dttftvtvtfta
t
t
tg
0
)()()()()(Si 0
Movimiento rectilíneo variado
Movimiento rectilíneo uniforme
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
0na
MOVIMIENTO
CURVILÍNEO
0Si cte
( )Si cte t
0Si 0, ( ) ( )tga v t v t
0Si tga
)()()()()(Si 000000
0
ttatvdtatvtvata
t
t
tg
Movimiento circular uniformemente acelerado
dttftvtvtfta
t
t
tg
0
)()()()()(Si 0
Movimiento circular variado
0Si 0, ( ) ( )tga v t v t
0Si tga
)()()()()(Si 000000
0
ttatvdtatvtvata
t
t
tg
Movimiento curvilíneo uniformemente acelerado
dttftvtvtfta
t
t
tg
0
)()()()()(Si 0
Movimiento curvilíneo variado
Movimiento circular
Movimiento curvilíneo
Mov. Circular uniforme
Mov. Curvilíneo uniforme
TIPOS DE MOVIMIENTO
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
MOVIMIENTO CIRCULAR
La trayectoria de la partícula es una circunferencia
Se describe fácilmente por medio de las coordenadas polares:
r
x
y
v
a
Na
ta
x
y
v
a
Na
ta
( ) tR
0( ) cos ( ) sin ( )r t R t i R t j z k
Como:
Podemos caracterizar el movimiento estudiando como cambia con el tiempo.
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
( )( )
d tt u
dt
Si llamamos:
VELOCIDAD ANGULAR rad
s
y ( )
( )d t
tdt
ACELERACIÓN ANGULAR
2
rad
s
Siendo un vector perpendicular al plano del movimiento y sentido dado por la regla de la mano derecha
v
De dirección la misma que
0
0
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t
t
t
t
t t t dt
t t t dt
MOVIMIENTO CIRCULAR
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
MOVIMIENTO CIRCULAR
RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES
( ) ( )
( )
t
S t R t
dS dv R R
dt dt
d va R
dt
Siendo la relación entre vectores:
( ) ( ) ( )v t t r t
( ) ( )dr d
a t v v r r rdt dt
taNa
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
SISTEMA DE REFERENCIA
Consiste en definir el lugar (origen de coordenadas) desde el que se toman las medidas, y la
dirección y sentido de los ejes de coordenadas.
El valor de una medida depende del sistema de referencia utilizado, y por tanto es necesario
detallar siempre qué sistema de referencia estamos utilizando.
r según el sistema de referencia S) 2i 3 j 2k
r según el sistema de referencia S') 3 i 3 j k
(
'( ' ' '
x(t)
y(t)
z(t)
i(t) →
k(t) →
j(t) →
S
x’(t)
y’(t)
z’(t)
i’(t) →
k’(t) →
j’(t) →
S’
P
r
r '
0r
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
Los vectores de velocidad y de aceleración de un objeto también dependen del sistema de
referencia escogido.
ES IMPRESCINDIBLE
APRENDER A CALCULAR Y A RELACIONAR ESTAS MAGNITUDES EN DIFERENTES
SISTEMAS DE REFERENCIA
SISTEMA DE REFERENCIA
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
María, Juan y Carlos miden la velocidad de Pablo. Los valores de los vectores velocidad de color verde
están medidos por María (es decir medidos en el sistema de referencia centrado en María).
Nos preguntamos: ¿ Se puede decir que hay un único valor de la velocidad del corredor?
La respuesta es que no, que la velocidad de Pablo depende del sistema de referencia del observador que
la mide. Así:
Según el sistema de referencia centrado en María: vPablo= 5 m/s
Según el sistema de referencia centrado en Juan: vPablo= 0 m/s
Según el sistema de referencia centrado Carlos: vPablo= -10 m/s
¿Medirá cada uno de ellos la misma aceleración del avión?
Ejemplo
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
TIPOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA
SISTEMA DE REFERENCIA
Podemos clasificarlos como:
• SISTEMAS INERCIALES: Aquellos sistemas que o bien están fijos o se mueven respecto a
otro fijo con vector velocidad constante. Ejemplo: un tren que se mueve a velocidad
constante.
• SISTEMAS NO INERCIALES: Los que se mueven con aceleración respecto a un sistema
fijo. Ejemplo: un tiovivo
Estudiaremos como se transforman los valores de los vectores posición, velocidad y
aceleración entre un sistema de referencia fijo, que designaremos como S, y un sistema de
referencia general, que denotaremos como S’.
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
SISTEMA DE REFERENCIA. SISTEMAS INERCIALES
SISTEMAS INERCIALES
)()(')( 0 trtrtr
0
( )
'( )
( )
r t
r t
r t
lo mide el sistema de referencia S
lo mide el sistema de referencia S’
lo mide el sistema de referencia S
0
0
0
x t i x t i x t i
y t j y t j y t j
z t k z t k z t k
( ) '( ) ' ( )
( ) '( ) ' ( )
( ) '( ) ' ( )
S’ se mueve respecto a S en línea recta y con módulo de velocidad constante, con velocidad
Los vectores unitarios i’, j’ y k’ no cambian en el tiempo.
Si una partícula P se mueve, la relación entre las magnitudes medidas por ambos observadores
se calcula por medio de:
x
y
z
i →
k →
j →
S
x’
y’
z’
i’ →
k’ →
j’ →
S’ r
r '
0r
P
𝑣 0
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
SIST. INERCIALES: TRANSFORMACIONES DE GALILEO
i i
j j
k k
'
'
'
0
0
0
x t i x t x t i
y t j y t y t j
z t k z t z t k
( ) '( ) ( )
( ) '( ) ( )
( ) '( ) ( )
Si además, para t = t’=0, los sistemas coinciden. Entonces: 0 0r t v t( )
0 0r t r t v t o r t r t v t( ) '( ) '( ) ( )
Si además los ejes de ambos sistemas son paralelos, las relaciones anteriores se simplifican
mucho. Se las conoce por las transformaciones de Galileo.
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CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA FÍSICA I
00
dr tdr t dr tv t v t v
dt dt dt
( )( ) '( )( ) '( )
La relación entre las velocidades que miden ambos observadores se obtiene:
Y la relación entre las aceleraciones:
0dv tdv t dv ta t a t
dt dt dt
( )( ) '( )( ) '( )
IMPORTANTE: dos observadores moviéndose entre sí con movimiento uniforme,
ven moverse a una partícula con la misma aceleración
SIST. INERCIALES: TRANSFORMACIONES DE GALILEO