32 Análise de Circuitos em Engenharia Cap. 2

Suponhamos agora que o resistor variável R, é mudado de 10 � para 0,4 �. Então

Repare que o uso da Equação 2.11 é equivalente a determinar a corrente I e, então, usar a lei de Ohm para calcular V2- Note que a maior das tensões está sobre o maior valor de resistência. Esse conceito de divisor de tensão e o circuito simples que empregamos para descrevê-lo são consideravelmente úteis, porque, como será mostrado mais adiante, circuitos mais complicados podem ser reduzidos a essa mesma forma.

Consideremos agora o relacionamento de potência que exisie no circuito da Figura 2.11. A potência instantânea dissipada pela fonte de tensão é

p(t) = v(t)i(t)

e a potência instantânea absorvida pelos resistores R1 e R2 é

respectivamente. Agora repare que

Essa análise ilustra a conservação de potência no circuito, já que a potência fornecida pela fonte de tensão é completamente absorvida pelos dois resistores.

Exemplo 2.11

� � íDetermine a potência instantânea absorvida no resistorfí2 do Exemplo 2.10 quando R1 = 10 � e quando R1 = 0,4 �

Para R1 = 10 � ,

e para R1 = 0,4 �

Cap. 2 Circuitos resistivos 33

A esta altura desejamos estender nossa análise para incluir múltiplas fonles de tensão e resistores. Por exemplo, consideremos o circuito da Figura 2.13a. Assumimos aqui que a corrente flui no sentido horário, e definimos a variável i(t) de acordo. Isto pode ou não ser o caso, dependendo do valor das fontes de tensão. A lei de Kirchhoff para tensão para esse circuito é

ou, usando a lei de Ohm,

que pode ser escrita como

onde

de modo tal que sob as definições acima, a Figura 2.13a é equivalente à Figura 2.13b. Em outras palavras, a soma de diversas fontes de tensão em série pode ser substituída por uma fonte cujo valor é a soma algébrica das fontes individuais. Essa análise pode, com certeza, ser generalizada para um circuito com N fontes em série

Figura 2.13 Circuitos equivalentes com fontes múltiplas.

Consideremos agora o circuito com Wresistores em série como mostrado na Figura 2.14a. Aplicando a lei de Kirchhoff para tensão a esse circuito, obtemos

e, portanto,

onde

e então

Repare também que para qualquer resistor RÁ no circuito, a tensão sobre i?; é dada pela expressão

(2.15)

i é a propriedade de divisão de tensão para múltiplos resistores em série.

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Análise de Circuitos em Engenharia Cap. 2

A Equação 2.13 indica que a resistência equivalente de N resistores em série é simplesmente a soma das resistências individuais. Portanto, usando-se as equações 2.13 e 2.14, podemos desenhar o circuito da Figura 2.14b, que é equivalente ao mostrado na Figura 2.14a.

Figura 2.14 Circuitos equivalentes.

A potência instantânea dissipada pela combinação cie N resistores em série é

que é a potência fornecida pela fonte de tensão.

Exemplo 2.12Dado o circuito da Figura 2.15, queremos determinar a corrente /. a potência dissipada pelo resistor R% e um circuito equivalente.

Figura 2.15 Exemplo de circuito com múltiplas fontes e resistores.

Se assumirmos que a corrente flui no sentido anti-horário e definirmos a variável de corrente de acordo, a lei de Kirchhoff para tensão produz a equação

-36-71 -31 + 12-2/ = 0

Cap. 2 Circuitos resistivos 35

ou

Portanto, a magnitude da corrente é de 2 A, porém ela flui no sentido horário. A potência dissipada pelo resistor R2 é

O circuito equivalente é mostrado na Figura 2.14b, onde

Exemplo 2.13Dada a rede da Figura 2.16, determine a corrente / e as tensões V)fb e Vbe.

De início assumimos que a corrente flui no senlido horário. Se começarmos no ponto/e percorrermos o circuito no sentido horário, a lei de Kirchhoff para tensão determina que

OU

Figura 2.16 Circuito em série com múltiplos componentes.

Poderíamos ter escrito essa equação por inspeção. O procedimento é simplesmente colocar as fontes de tensão no lado direito da equação e darmos um sinal positivo a elas, caso contribuam com o sentido do fluxo da corrente, e um sinal negativo, caso se oponham ao sentido assumido para a corrente. O lado esquerdo da equação é simplesmente a tensão sobre os resistores. Resolvendo a equação acima para /, obtemos

Fazendo uso desse valor de /, a tensão V,b pode ser obtida usando-se o caminho/aí'/ou bcdefb. No primeiro caso.

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Análise de Circuitos em Engenharia Cap. 2

No segundo caso,

De forma semelhante, Vhe pode ser obtido usando-se o caminho bcdeb ou befub ou o caminho através da tensão Vjx, agora conhecida. No primeiro caso,

Os outros caminhos produzirão o mesmo resultado.

Exemplo 2.14A tensão VA sobre o resistor de 2 ÍJ da Figura 2.17 é 8 V. Vamos determinar as tensões Vl e Vo.

Usando-se a lei de Ohm, a corrente no resistor de 2 Q será

Desde que VA é positiva do lado esquerdo do resistor de 2 O, a corrente flui da esquerda para a direita nesse resistor. A corrente / flui através do resistor de 3 íl e então

Figura 2.17 Circuito simples em série.Aplicando-se a lei de Kirchhoff para tensão por todo o laço, tem-se

ou, de maneira equivalente.

Exercícios

E2.7 Determine Vg tia rede da Figura E2.7.

Figura E2.7

Cap. 2 Circuitou resistivos 37

E2.8 DadaarededaFiguraE2.8, determine a corrente /, a potência dissipada pelo resistor de 5-Q, V/,,/e Vhl,.

Figura E2.8

Resp.: I = 2 A, P5n = 20 W, Vbd = 28 V, Vhe = 20 V. E2.9 Determine V na rede da Figura E2.9.

Resp.: Vo = 4 V. E2.10 Voê 4 V na rede da Figura E2.10. Determine W

Resp.: V2 = 4 V.

2.4 Circuitos com Único Par de NósUm importante circuito é o de um único par de nós. Nesse caso, os elementos têm sobre si a mesma tensão e, portanto, estão em paralelo. Aplicaremos, no entanto, a fei de Kirchhoff para corrente e a lei de Ohm para determinar os valores desconhecidos no circuito.

Seguindo o mesmo procedimento usado no circuito de laço único, começaremos com a situação mais simples possível e então generalizaremos nossa análise. Consideremos o circuito mostrado na Figura 2.18. Aqui temos uma fonte independente de corrente em paralelo com dois resistores.

Já que todos os componentes do circuito estão em paralelo, a tensão v(t) aparece sobre cada um deles. As correntes i^t) e i2(t) são arbitrariamente designadas como mostrado na figura. Agora, aplicando-se a lei de Kirchhoff para corrente no nó do alto, obtemos . .

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Análise cie Circuitos em Engenharia Cap. 2

Figura 2.18 Circuito simples em paralelo.

E, empregando-se a lei de Ohm, temos

onde

(2.16)

(2.17)

Portanto, a resistência equivalente de dois resistores conectados em paralelo é igual ao produto das respectivas resistências dividido pela soma. Note também que essa resistência equivalente R é sempre menor que ou ií, ou R2. Vemos daí que se conectarmos resisiores em paralelo, reduziremos a resistência total. No caso especial de R^ = R2, a resistência equivalente é igual à metade do valor dos resistores individuais.

A maneira como a corrente i(t) da fonte se divide entre os dois ramos é chamada divisão de corrente e pode ser calculada a partir das expressões a seguir. Por exemplo,

(2.18)

(2.19)

(2.20)

As equações 2.19 e 2.20 descrevem matematicamente a regra de divisão de corrente.Portanto, a corrente se divide na proporção inversa das resistências. Em outras palavras, para se

determinar a corrente no ramo contendo /i j, multiplicamos a corrente de entrada ífí) pela resistência oposta R2 e dividimos tal produto pela soma dos dois resistores. Repare que essa regra se aplica ao caso especial de dois resistores em paralelo,

Cap. 2 Circuitos resislivos 39

Se empregarmos a condutáncia G; = 1/R: em vez da resistência na análise, podemos mostrar que

(2.21)

e, dessa forma, que

(2.22)

(2.23)

A corrente se divide na proporção definida pela razão entre a condutância do ramo e a condutáncia total. Essa formulação é mais genérica e mais adiante a estenderemos para manipular qualquer número de resistores em paralelo.

' Exemplo 2.15Consideremos o circuito mosirado na Figura 2.19a. O circuito equivalente é mostrado na Figura 2.19b. Dada a informação do circuito, desejamos determinar as correntes e a resistência equivalente.

A resistência equivalente para o circuito é

Agora V pode ser calculado como

Figura 2.19 Exemplo de circuito em paralelo.

Uma vez que a tensão V è conhecida, a lei de Ohm pode ser usada para calcular as correntes /j e /2

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40 Análise de Circuitos em Engenharia Cap. 2

Observe como essas correntes satisfazem a lei de Kirchhoff para corrente tanto no nó inferior como no superior.

Repare que a maior corrente flui através do menor resistor, e vice-versa. Além disso, deve ser notado que se Rl e R2 são idênticos, a corrente se dividirá igualmente entre eles.

A potência fornecida pela fonte de corrente na Figura 2.18 ép(t) = v(t)i(t)

A potência dissipada pelos dois resistores é

que é, sem dúvida, a potência fornecida pela fonte de corrente.

Exemplo 2,16Determine a potência instantânea fornecida pela fonle e absorvida por cada resistor no circuito analisado no Exemplo 2.15. |

A potência fornecida é

A potência dissipada em, R1 e R2 é, respectivamente,

Cap. 2 Circuitos resistivos 41

Vamos estender agora nossa análise para incluir várias fontes de corrente e vários resistores em paralelo. Por exemplo, consideremos o circuito mostrado na Figura 2.20a. Assumimos que o nó superior é v(t) volts positivo em relação ao nó inferior. Aplicando-se a lei de Kirchhoff para corrente ao nó superior temos

ou

que é equivalente a

onde

de lal forma que, de acordo com as definições acima, o circuito na Figura 2.20b é equivalente àquele na Figura 2.20a. Obviamente, podemos estender essa análise a um circuito com N fontes de correnie.

Consideremos agora o circuito com N resistores em paralelo como mostrado na Figura 2.21a. Aplicando-se a lei de Kirchhoff para corrente aos nós superiores tem-se

(2.24)

(2.25)

Hgura 2.20 Circuitos equivalentes.