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Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática
Agustín Álvarez Marquina
Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid
- Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia.
“Circuitos de Corriente Continua”
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Consideremos el siguiente circuito. El interruptor S se encuentra en una posición
intermedia desde hace mucho tiempo.
2 ETSIINF, U.P.M.
Figura. Circuito formado por una resistencia R y una capacidad C.
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. En el instante t=t1 se procede a conectar el interruptor
al punto . El circuito resultante es el indicado por la Figura.
3 ETSIINF, U.P.M.
Figura. Circuito RC durante el proceso de carga de la capacidad.
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Para dicho instante se verifica (condiciones iniciales):
Para cualquier instante t, la ecuación del circuito será:
donde,
4 ETSIINF, U.P.M.
( ) 01 =tVC
( ) max11 IRVtiI ===
CR VVV +=
( )RtiVR =
( )tqC
VC1
=
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Derivando la ecuación del circuito ecuación respecto al
tiempo, obtenemos:
La anterior expresión puede rescribirse, si tenemos en cuenta que:
Quedando por tanto:
5 ETSIINF, U.P.M.
( ) ( )tiCdt
tdiR 1−=
( ) ( )tiCdt
tdiR 10 +=
( )dtdqti =
( )dtdq
CdttdiR 10 +=
;
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Separando variables en esta última expresión,
tenemos:
Integrando desde t=t1 (instante inicial del proceso de carga) hasta t, queda:
Resolviendo la integral se obtiene por tanto:
6 ETSIINF, U.P.M.
( ) ( )11
1ln ttRCI
ti−−=( ) ( )11
1lnln ttRC
Iti −−=−
( )( )
( )
∫∫ −=t
t
ti
I
dtRCti
tdi
11
1
( )( ) dt
RCtitdi 1
−=
;
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Por último, despejando el término i(t) se obtiene la
expresión definitiva:
siendo:
la constante de tiempo o de relajación.
7 ETSIINF, U.P.M.
RC=τ
( ) τ11
11
ttRC
tt
eIeIti−
−−
−==
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Gráficamente, la corriente en función del tiempo es la
mostrada en la Figura:
8 ETSIINF, U.P.M.
Figura. Representación de la corriente i(t) en función del tiempo.
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Como puede comprobarse la anterior gráfica es una
función exponencial cuya pendiente en el punto inicial (t=t1) es τ=RC. Esto puede comprobarse fácilmente si se deriva la expresión de i(t) respecto al tiempo:
Si ahora personalizamos la última expresión para t=t1, tenemos:
9 ETSIINF, U.P.M.
( ) ατ
tgIRCI
dttid
tt
−=−=−==
11
1
( ) RCtt
eIRCdt
tid 1
11 −
−−=
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Un último aspecto relevante es que para una vez
transcurrido un lapso de tiempo mayor o igual a 4τ, el proceso de carga se considera completado, en efecto para t=t1 +4τ , tenemos:
Esto es lo mismo que decir que la corriente es menor
que el 2% de su valor inicial.
10 ETSIINF, U.P.M.
( ) 1
4
11 018,04 IeIti ≅=+−ττ
τ
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Así mismo, partiendo de la misma expresión podemos
determinar la evolución de la carga del condensador:
11 ETSIINF, U.P.M.
−=
−−τ
1
1tt
eCVq
−=
−−
RCtt
eRCIq1
11
∫∫−
−=
t
t
RCttq
eIdq1
1
10
( ) RCtt
eIdtdqti
1
1
−−
==
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. La representación gráfica de la variación de la carga
es:
12 ETSIINF, U.P.M.
Figura. Representación gráfica de la carga q.
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. De manera similar podemos determinar Vc(t) si
tenemos en cuenta que está relacionada con i(t) por medio de:
En este caso el signo negativo indica que Vc(t)
aumenta a lo largo del tiempo mientras que el valor de la corriente i(t) va disminuyendo.
13 ETSIINF, U.P.M.
( ) ( )tidt
tVdC C −=
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Reordenando la expresión e integrando respecto al
tiempo t, obtendremos:
14 ETSIINF, U.P.M.
( ) ( )dttiC
tVd C1
−=
( )( )
∫∫−
−−=
t
t
RCtttV
C dteIC
tVdC
1
1
10
1
( )
−−=
−−
11
1RC
tt
C eRItV
( )t
t
RCtt
C eRCCItV
1
11
−−
−=
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. Sustituyendo el valor de I1, queda:
y simplificando:
15 ETSIINF, U.P.M.
( )
−=
−−
RCtt
C eRRVtV
1
1
( )
−=
−−
τ1
1tt
C eVtV
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. La representación gráfica de dicha tensión puede verse
en la Figura.
16 ETSIINF, U.P.M.
Figura. Representación gráfica de la tensión VC(t).
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de carga del condensador. La pendiente de la curva en el punto inicial (t=t1) puede
obtenerse evaluando la derivada de VC(t) en dicho punto:
17 ETSIINF, U.P.M.
( )
1
1
1 tt
tt
tt
C eVdt
tdV
=
−−
=
= τ
τ
( )α
τtgV
dttdVC ==1
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Ahora en un instante posterior t=t2 (siendo t2>>t1 para
poder asegurar que el condensador se haya cargado completamente) se procede a conectar el interruptor al punto
18 ETSIINF, U.P.M.
R
C
Vc − +
−
VR
i(t)
Figura. Circuito RC durante el proceso de descarga de la capacidad.
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. En dicho instante se verifica (condiciones iniciales):
Para cualquier instante t del proceso de descarga, se cumplirá que:
donde:
19 ETSIINF, U.P.M.
( ) VtVC =2
( )RV
RV
Iti C === max22
( ) ( ) 0=+ tVtV RC
( )RtiVR =( )tqC
VC1
=
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Sustituyendo los términos VC(t) y VR(t) por sus
expresiones y derivando respecto al tiempo, obtenemos:
20 ETSIINF, U.P.M.
( ) ( ) 0=+dt
tdVdt
tdV RC
( ) 01=+
dttdiR
dtdq
C
( ) ( ) 01=+
dttdiRti
C
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Separando variables en la última expresión, tenemos:
Integrando desde t=t2 (instante inicial del proceso de descarga) hasta t, queda:
21 ETSIINF, U.P.M.
( )( ) dt
RCtitdi 1
−=
( )( )
( )
∫∫ −=t
t
ti
I
dtRCti
tdi
22
1
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Si ahora resolvemos la integral se obtiene por tanto:
Por último, despejando el término i(t) se consigue la expresión definitiva:
siendo: la constante de tiempo o de relajación.
22 ETSIINF, U.P.M.
( ) ( )221lnln tt
RCIti −−=−
( ) ( )22
1ln ttRCI
ti−−=
RCτ =
( ) τ22
22
ttRC
tt
eIeIti−
−−
−==
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Gráficamente, la corriente en función del tiempo es la
mostrada en la Figura.
23 ETSIINF, U.P.M.
Figura. Representación de la corriente i(t) en función del tiempo.
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Como puede comprobarse la anterior gráfica es una
función exponencial cuya pendiente en t=t2 es τ=RC.
En efecto, derivando la ecuación que describe la evolución de la corriente, obtenemos:
Ahora si personalizamos la última expresión para t=t1, tenemos:
24 ETSIINF, U.P.M.
( ) τ
τ
2
21 tt
eIdt
tid −−
−=
( ) ατ
tgIdt
tidtt
−=−==
2
1
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Un último aspecto relevante es que para una vez
transcurrido un lapso de tiempo mayor o igual a 4τ, el proceso de descarga se considera prácticamente terminado, puesto que para t=t2 +4τ , tenemos:
Esto equivale a decir que la corriente será menor que el
2% de su valor máximo inicial.
25 ETSIINF, U.P.M.
( ) 2
4
22 018,04 IeIti ≅=+−ττ
τ
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Para establecer el nivel de carga del condensador a lo
largo de todo este proceso partimos del resultado anterior y de la relación existente entre carga presente en el condensador y corriente que circula por éste:
donde el nivel de carga inicial q(t2)= Qmax= CV
26 ETSIINF, U.P.M.
( ) RCtt
eIdtdqti
2
2
−−
==
dteIdq RCtt 2
2
−−
=
( )∫∫
−−
=t
t
RCttq
tq
dteIdq2
2
2
2
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Operando, llegamos al resultado final.
27 ETSIINF, U.P.M.
−=−
−−
12
2RC
tt
eRCICVq
τ2tt
CVeq−
−=
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. La representación gráfica de dicha carga puede verse
en la Figura.
28 ETSIINF, U.P.M.
Figura. Representación gráfica de la carga q.
τ
CV
q
t
CV
t=t2
4τ
α e
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Por su parte, la tensión VC(t) puede estimarse también
a partir de su relación con la corriente i(t):
Integrando la anterior expresión, queda:
29 ETSIINF, U.P.M.
( ) ( )dttiC
tVd C1
=
( )( )
∫∫−
−=
t
t
RCtttV
VC dte
CItVd
C
2
22
( )t
t
RCtt
C eRIVtV2
2
2
−−
=−
( )
−=−
−−
12
2RC
tt
C eRIVtV
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. Por último, sustituyendo el valor de I2, queda:
y simplificando:
30 ETSIINF, U.P.M.
( ) VeVtV RCtt
C +
−=
−−
12
( ) τ2tt
C eVtV−
−=
Carga y descarga de una capacidad a través de una resistencia
Proceso de descarga del condensador. La representación gráfica de dicha tensión puede verse
en la Figura.
31 ETSIINF, U.P.M.
τ
I2R=V
VC(t)
t
V
t=t2
4τ
α e
Figura. Representación gráfica de la tensión VC(t).