1. 1. Ingeniera Industrial Circuitos elctricos Antonio Pastor Gutirrez Jess Ortega Jimnez Volumen II unidad didctica
2. 2. Antonio Pastor Gutirrez Jess Ortega Jimnez CIRCUITOS ELCTRICOS Volumen II UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA
3. 3. CIRCUITOS ELCTRICOS. Volumen II Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ellas mediante alquiler o prstamo pblicos. Universidad Nacional de Educacin a Distancia Madrid, 20 Antonio Pastor Gutirrez y Jess Ortega Jimnez ISBN : 978-84-362- dicin : febrero de 20
4. 4. NDICE Presentacin.........................................................................................................................15 UNIDAD DIDCTICA 4 Captulo 15 RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 1. Introduccin ....................................................................................................................21 2. Escritura de la ecuacin diferencial ................................................................................21 3. Resolucin directa de la ecuacin diferencial .................................................................24 4. Circuitos de segundo orden .............................................................................................34 5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos .................................47 6. Simulacin de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes ..52 Problemas ............................................................................................................................65 Soluciones de los problemas ...............................................................................................69
5. 5. 8 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) Captulo 16 ANLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Introduccin ....................................................................................................................95 2. Definiciones y propiedades fundamentales de la transformada de Laplace ...................95 2.1 Propiedades de la transformada de Laplace............................................................99 2.1.1 Teorema del valor inicial .............................................................................99 2.1.2 Teorema del valor final ..............................................................................100 2.1.3 Teorema de la traslacin en el campo complejo ........................................101 2.1.4 Teorema de la traslacin en el tiempo .......................................................102 2.1.5 Teorema de la derivacin compleja ...........................................................103 2.1.6 Teorema de la integracin compleja ..........................................................104 2.1.7 Teorema del cambio de escala ...................................................................104 3. Anlisis de circuitos lineales mediante la transformada de Laplace .............................107 3.1 Escritura de las ecuaciones ..................................................................................107 3.2 Conversin del circuito al dominio de Laplace ...................................................114 3.3 Transformada inversa de Laplace. Descomposicin en fracciones simples ........119 3.3.1 Polos simples .............................................................................................120 3.3.2 Polos mltiples ...........................................................................................128 4. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ...............................131 5. Maniobra de interruptores .............................................................................................135 Problemas ..........................................................................................................................145 Soluciones de los problemas .............................................................................................149 Captulo 17 ANLISIS DE CIRCUITOS MEDIANTE VARIABLES DE ESTADO 1. Introduccin ..................................................................................................................167 2. Anlisis de circuitos propios por inspeccin ................................................................173 2.1 Circuitos RLC ......................................................................................................174 2.1.1 Formulacin por superposicin .................................................................177
6. 6. NDICE 9 2.1.2 Mtodo del rbol propio ............................................................................178 2.2 Circuitos con acoplamientos magnticos .............................................................181 2.3 Circuitos con fuentes dependientes ......................................................................181 3. Anlisis de circuitos impropios por inspeccin ............................................................184 3.1 Circuitos impropios RLC .....................................................................................185 3.2 Formulacin por superposicin ...........................................................................189 3.3 Ecuacin de estado en forma normal ...................................................................191 4. Conceptos de estado y orden de complejidad ...............................................................199 5. Solucin de la ecuacin de estado ...............................................................................201 Problemas ..........................................................................................................................209 Soluciones de los problemas .............................................................................................211 Captulo 18 CIRCUITOS LINEALES EN RGIMEN TRANSITORIO. MTODOS NUMRICOS 1. Introduccin ..................................................................................................................233 2. Mtodos numricos de integracin ...............................................................................233 3. Anlisis de circuitos lineales en rgimen transitorio por mtodos numricos ..............238 3.1 Equivalentes Thvenin y Norton de bobinas y condensadores ............................251 3.2 Equivalentes Thvenin y Norton de bobinas acopladas ......................................257 3.3 Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos ......................264 4. Integracin numrica de las ecuaciones de estado de circuitos lineales .......................274 Problemas ..........................................................................................................................279 Soluciones de los problemas .............................................................................................283 UNIDAD DIDCTICA 5 Captulo 19 CUADRIPOLOS 1. Introduccin ..................................................................................................................323 2. Parmetros de los cuadripolos ......................................................................................324
7. 7. 10 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 2.1. Impedancias a circuito abierto ............................................................................324 2.2. Admitancias en cortocircuito ..............................................................................330 2.3. Parmetros hbridos ............................................................................................335 2.4. Matriz de cadena y matriz de cadena inversa .....................................................338 2.5. Relaciones entre parmetros ...............................................................................341 3. Cuadripolo entre dipolos terminales .............................................................................344 4. Asociaciones de cuadripolos .........................................................................................350 4.1. Asociacin en cascada ........................................................................................350 4.2. Asociacin serie ..................................................................................................353 4.3. Asociacin paralelo .............................................................................................359 4.4. Asociacin serieparalelo ...................................................................................363 4.5. Asociacin paraleloserie ...................................................................................366 4.6. Aplicaciones ........................................................................................................369 Problemas ..........................................................................................................................375 Soluciones de los problemas .............................................................................................379 Captulo 20 CUADRIPOLOS ELEMENTALES 1. Cuadripolos recprocos .................................................................................................403 2. Cuadripolos simtricos ..................................................................................................407 3. Dipolo en serie y dipolo en paralelo .............................................................................408 3.1. Dipolo en serie ....................................................................................................408 3.2. Dipolo en paralelo ...............................................................................................409 4. Cuadripolos en L (en ) y en L (en ) invertida ..........................................................410 4.1. Cuadripolos en L y en .....................................................................................410 4.2. Cuadripolos en L invertida y en invertida .......................................................411 5. Cuadripolos en y en T ...............................................................................................411 6. Cuadripolo en celosa ....................................................................................................420 7. Cuadripolos en T puenteada y en doble T ....................................................................425 8. Cuadripolo en escalera ..................................................................................................427 9. Circuitos equivalentes de cuadripolos no recprocos ....................................................437 10. Cuadripolos con fuentes independientes .....................................................................441 11. Teorema de Bartlett......................................................................................................447 Problemas ..........................................................................................................................451
8. 8. NDICE 11 Soluciones de los problemas .............................................................................................455 Captulo 21 ANLISIS DE CIRCUITOS RESISTIVOS NO LINEALES 1. Introduccin ..................................................................................................................477 2. Resistencias no lineales de dos terminales ....................................................................478 3. Circuitos con una sola resistencia no lineal de dos terminales .....................................480 3.1 Solucin grfica ...................................................................................................481 3.2 Solucin numrica ...............................................................................................483 3.3 Anlisis mediante linealizacin por tramos de la caracterstica ..........................496 4. Caso general de circuitos resistivos con resistencias no lineales de dos terminales .....499 4.1 Solucin numrica ...............................................................................................499 4.1.1 Mtodo de la tabla ........................................................................................499 4.1.2 Mtodo nodal modificado ............................................................................500 4.2 Anlisis mediante linealizacin por tramos de la caracterstica ..........................504 5. Circuitos resistivos con resistencias no lineales multiterminales .................................508 5.1 Anlisis de circuitos con resistencias multiterminales ........................................509 5.2 Circuitos con transistores bipolares .....................................................................513 5.3 Circuitos con amplificadores operacionales ........................................................524 Problemas ..........................................................................................................................535 Soluciones de los problemas .............................................................................................541 Captulo 22 CIRCUITOS NO LINEALES CON BOBINAS Y CONDENSADORES 1. Introduccin ..................................................................................................................571 2. Anlisis de circuitos no lineales con bobinas y condensadores lineales .......................571 3. Anlisis de circuitos con bobinas y condensadores no lineales ....................................576 3.1. Definiciones .........................................................................................................576 3.2. Planteamiento de las ecuaciones ..........................................................................578 3.2.1. Condensadores no lineales ..........................................................................578 3.2.2. Bobinas no lineales .....................................................................................586
9. 9. 12 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 3.3. Equivalentes de bobinas y condensadores no lineales .........................................594 4. Anlisis de pequea seal .............................................................................................600 4.1. Elementos de dos terminales ................................................................................602 4.2. Elementos de cuatro terminales ...........................................................................608 Problemas ..........................................................................................................................617 Soluciones de los problemas .............................................................................................619 UNIDAD DIDCTICA 6 Captulo 23 RESONANCIA 1. Anlisis de circuitos en el dominio de la frecuencia .....................................................641 2. Funciones de red ...........................................................................................................641 3. Conversin de circuitos equivalentes de bobinas y condensadores reales ...................644 4. Resonancia en un circuito serie RLC ............................................................................649 5. Resonancia en un circuito paralelo RLC........................................................................666 6. Circuito paralelo RLC (prctico) de dos ramas .............................................................667 Problemas ..........................................................................................................................675 Soluciones de los problemas .............................................................................................679 Captulo 24 BOBINAS ACOPLADAS EN RGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL 1. Bobinas acopladas en rgimen estacionario sinusoidal ................................................697 2. Transformador ideal ......................................................................................................700 3. Transformador real con ncleo de aire .........................................................................707 4. Transformador real con ncleo de hierro ......................................................................716 Problemas ..........................................................................................................................725 Soluciones de los problemas .............................................................................................731
10. 10. NDICE 13 Captulo 25 CIRCUITOS LINEALES CON ONDAS PERIDICAS NO SINUSOIDALES 1. Introduccin ..................................................................................................................749 2. Series de Fourier. Armnicos .......................................................................................750 3. Valores y factores caractersticos ..................................................................................758 4. Anlisis de circuitos lineales .........................................................................................767 5. Resonancia ....................................................................................................................773 6. Potencias activa, reactiva y aparente. Factor de potencia .............................................778 7. Potencias reactiva y de distorsin .................................................................................786 8. Mejora del factor de potencia con elementos reactivos ................................................797 9. Armnicos en sistemas trifsicos equilibrados .............................................................807 Problemas ..........................................................................................................................823 Soluciones de los problemas .............................................................................................827 Captulo 26 SENSIBILIDAD 1. Introduccin ..................................................................................................................843 2. Clculo de sensibilidades de forma directa ...................................................................843 3. Determinacin de sensibilidades en un circuito resistivo mediante la red adjunta .......846 4. Sensibilidades en circuitos resistivos con fuentes dependientes ...................................854 5. Sensibilidades respecto de las fuentes independientes .................................................859 6. Aplicacin de la red adjunta a la determinacin de los equivalentes Thvenin y Norton de un dipolo ......................................................................................................864 7. Clculo de sensibilidades mediante el vector adjunto ..................................................869 8. Sensibilidades en circuitos lineales en rgimen estacionario sinusoidal ......................874 Problemas ..........................................................................................................................879 Soluciones de los problemas .............................................................................................883
11. 11. PRESENTACIN La actualizacin de los planes de estudios, que sitan a la asignatura de Electrotecnia en los cursos segundo y tercero de la carrera de Ingeniero Industrial, ha hecho necesario la escritura de un texto para cubrir los programas de las asignaturas Electrotecnia I y Electrotecnia II, en sustitucin del utilizado en el plan de 1976. Se presenta aqu el volumen II de este texto, Circuitos Elctricos, orientado principalmente a la asignatura Electrotecnia II. Se supone, por tanto, que el lector conoce la materia presentada en el volumen I. La asignatura Electrotecnia II aparece en los planes de estudios de algunas Universidades como una asignatura comn en tercer curso para las especialidades de Ingeniera Elctrica y de Ingeniera Electrnica y Automtica. Por ello, el contenido del libro se ha estructurado en tres Unidades Didcticas, de forma que las dos primeras (Unidades 4 y 5, siguiendo la numeracin iniciada en el volumen I) se pueden considerar como fundamentales para la asignatura, mientras que la ltima (Unidad 6) deja un cierto grado de libertad para adaptar el libro a la especialidad correspondiente. Por ejemplo, para los alumnos de la especialidad de Ingeniera Elctrica se pueden seleccionar los captulos 23, Resonancia, y 24, Bobinas acopladas en rgimen estacionario sinusoidal, y para los alumnos de la especialidad de Electrnica y Automtica, los captulos 25, Circuitos con ondas peridicas no sinusoidales, y 26, Sensibilidad. En todo caso, deber ser el criterio del profesor el que seleccione la materia. Adems, es necesario incluir en Electrotecnia II, si no ha dado tiempo a verlo en Electrotecnia I, el mtodo de anlisis nodal modificado y completar el estudio de circuitos de primer orden en rgimen transitorio (ambos en el volumen I). Por la materia tratada y por el tipo de alumnos a que va dirigido el libro, se presentan un gran nmero de problemas al final de cada captulo, totalmente resueltos. Se pretende con ello que el alumno compruebe que ha comprendido la teora y adquiera la capacidad necesaria para ponerla en prctica. Se ha buscado, en general, que los problemas correspondan a casos prcticos que se presentan en Ingeniera Elctrica y en Electrnica. A continuacin se indica, de forma resumida, la materia cubierta por cada captulo.
12. 12. 16 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) La Unidad Didctica 4 se dedica al estudio de los mtodos de anlisis de circuitos en rgimen transitorio. En el captulo 15 se desarrolla un mtodo basado en la escritura de las ecuaciones diferenciales del circuito y su posterior resolucin. Es una continuacin del mtodo seguido para los circuitos de primer orden en el captulo 14 del volumen I y, aunque no se lleva hasta sus ltimas consecuencias, puede decirse que es un esbozo del mtodo operacional para el estudio de los circuitos en el dominio del tiempo, iniciado por Heaviside y continuado posteriormente por Carson. Tal como se presenta, tiene aplicacin, sobre todo, para circuitos de segundo orden. El captulo 16 se dedica al mtodo basado en la transformada de Laplace, con el que se pueden analizar circuitos de cualquier orden pasando del dominio del tiempo al de la variable compleja s. En el captulo 17 se estudia el mtodo de las variables de estado, que adems de ser una alternativa a los mtodos anteriores, abre nuevos horizontes para la aplicacin a los circuitos de conceptos de la Teora de Sistemas. Finaliza la Unidad Didctica 4 con el captulo 18 dedicado a los mtodos numricos de anlisis de circuitos lineales en rgimen transitorio. Las tcnicas presentadas en l constituyen la base de programas de ordenador disponibles hoy da para el anlisis de circuitos electrnicos y de los sistemas de energa elctrica en rgimen transitorio. Con algunos problemas del final del captulo se hace ver la potencia de estos mtodos, con los que se pueden abordar circuitos de gran complejidad. En la Unidad Didctica 5 se presenta la teora bsica de cuadripolos y las tcnicas de anlisis de circuitos con elementos no lineales. El captulo 19 contiene las distintas formas de caracterizar un cuadripolo y las asociaciones de cuadripolos, con algunas ideas prcticas importantes para el estudio de cuadripolos que conectan dos dipolos, uno de ellos considerado como transmisor y el otro como receptor. El captulo 20 desarrolla an ms la teora de cuadripolos con las condiciones de reciprocidad y simetra. Se estudian asimismo diferentes formas de cuadripolos equivalentes de uno dado, que permiten simplificar considerablemente el estudio de una parte de un circuito por reduccin del resto a uno de stos cuadripolos equivalentes. El captulo 21 desarrolla las tcnicas de anlisis de circuitos resistivos no lineales, basadas en mtodos grficos, en los equivalentes Newton o en las tcnicas de linealizacin por tramos. Se tratan tanto los elementos de dos terminales (diodos, resistencias variables con la tensin, etc.) como los de cuatro terminales (transistores, amplificadores operacionales, etc.). El captulo 22 se dedica al estudio de circuitos no lineales que contienen bobinas y/o condensadores. Se presentan mtodos numricos que combinan las tcnicas ya expuestas en los captulos 18 y 21. Se finaliza con el anlisis de pequea seal de circuitos no lineales. La Unidad Didctica 6 comprende: El captulo 23 con una introduccin al anlisis de circuitos en el dominio de la frecuencia y, sobre todo, a los circuitos en condiciones de resonancia por sus importantes repercusiones de tipo prctico. El captulo 24 que desarrolla la teora de bobinas acopladas y del transformador ideal en rgimen estacionario sinusoidal para llegar al circuito equivalente del transformador real. El captulo 25 se dedica al estudio de circuitos lineales en rgimen permanente con formas de onda no sinusoidales. Es un tema de gran actualidad en el que se amplan algunos de los conceptos estudiados en los circuitos en rgimen estacionario sinusoidal. El captulo 26 trata el anlisis de Sensibilidad, es decir la variacin producida en las respuestas de un circuito por la variacin de los parmetros de los elementos constituyentes del mismo.
13. 13. UNIDAD DIDCTICA 4 Captulo 15. Rgimen transitorio. Circuitos de segundo orden o superior Captulo 16. Anlisis de circuitos mediante la transformada de Laplace Captulo 17. Anlisis de circuitos mediante variables de estado Captulo 18. Circuitos lineales en rgimen transitorio. Mtodos numricos
14. 14. Captulo 15 RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 1. Introduccin 2. Escritura de la ecuacin diferencial 3. Resolucin directa de la ecuacin diferencial 4. Circuitos de segundo orden 5. Circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos 6. Simulacin de las maniobras de cierre o apertura de un interruptor mediante fuentes Problemas Soluciones de los problemas
15. 15. 1. INTRODUCCIN En este captulo se va a estudiar el mtodo de anlisis de circuitos en rgimen transitorio, mediante la escritura y resolucin directa de la ecuacin diferencial de una determinada respuesta, aplicado, sobre todo, a los circuitos de segundo orden. En los circuitos de orden superior este procedimiento tiene una dificultad importante a la hora de determinar las constantes de integracin a partir de las condiciones iniciales, por lo que no se suele emplear y se sustituye por otros ms cmodos, como el basado en la transformada de Laplace. En general, se va a suponer que el transitorio se inicia en t = 0, y que la respuesta buscada se determina para t > 0, mediante la escritura de su ecuacin diferencial (vlida para t > 0) y su posterior resolucin, con la aplicacin de condiciones de contorno correspondientes a t = 0+ . Esto significa que no aparecern en la solucin posibles impulsos debidos a cambios bruscos en tensiones (cargas) de condensadores o en intensidades (enlaces de flujo) de bobinas, al pasar de t = 0- a t = 0+ . Para obtener estos impulsos, se realizar un estudio particular de la transicin entre estos dos instantes, como se hizo con los circuitos de primer orden al estudiar circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos. 2. ESCRITURA DE LA ECUACIN DIFERENCIAL Para obtener la ecuacin diferencial correspondiente a una determinada respuesta, de un circuito dado, se trabaja en el dominio del tiempo con los elementos pasivos caracterizados por sus impedancias o admitancias operacionales, sin tener en cuenta las fuentes de tensin o de intensidad correspondientes a las condiciones iniciales de bobinas y condensadores. Es decir, se considera el circuito a estado inicial cero al escribir la ecuacin diferencial de la variable en estudio. En un paso posterior, cuando se resuelve la ecuacin diferencial, se tienen en cuenta las condiciones iniciales para determinar las constantes de integracin.
16. 16. 22 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) Si se aplica el mtodo de anlisis nodal modificado, se puede hacer que la respuesta buscada aparezca como una incgnita del sistema de ecuaciones que resulta. As, si es la intensidad de una rama del circuito, se pone esta rama en el grupo 2 y, si es la tensin entre dos puntos del circuito se toma uno de ellos como nudo de referencia, con lo que la tensin buscada es una de las tensiones de nudo. De esta forma, al despejar del sistema de ecuaciones [T ][x] = [w] [15.1] la variable en estudio, xj, se obtiene una expresin del tipo p jpj2j1 j ''' wwwx 21 [15.2] donde es el determinante de la matriz de coeficientes, [T ] y 'jk es el adjunto del elemento situado en la fila k de la columna j de . Tanto como los 'jk , en general, son funciones del operador D. La expresin [15.2] se puede poner en la forma equivalente xj = 'j1w1 + 'j2w2 + ... + 'jpwp [15.3] donde el signo algebraico de multiplicacin () tiene el significado de "aplicado sobre", ya que se trata de funciones del operador D que se aplican sobre determinadas funciones del tiempo. Una ventaja de emplear el mtodo de anlisis nodal modificado, adems de su generalidad, es que se puede hacer que el operador D aparezca siempre como factor y nunca como divisor, si se toman las ramas del circuito que contienen bobinas como del grupo 2. De esta forma, los determinantes de la ecuacin [15.3] son polinomios del operador D, con lo que se tiene P(D)xj = Pj1(D)w1 + Pj2(D)w2 + ... + Pjp(D)wp [15.4] o bien, de forma abreviada, P(D)xj = g(t) [15.5] donde g(t) es una funcin conocida, ya que las funciones w1(t), w2(t), ... , wp(t), son, en general, sumas algebraicas de las excitaciones del circuito. La ecuacin [15.5] es la ecuacin diferencial buscada. Como se ver ms adelante, en circuitos con fuentes de continua o con fuentes sinusoidales, no es necesario conocer la funcin g(t) para determinar la respuesta xj(t), por lo que solo hay que obtener el determinante de la matriz de coeficientes, , esto es, el polinomio P(D).
17. 17. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 23 El procedimiento descrito puede seguirse con cualquier otro mtodo de anlisis. Si, en este caso, el operador D aparece como divisor en alguno de los trminos de los determinantes de la ecuacin [15.2], habr que realizar las operaciones algebraicas que sean necesarias para llegar finalmente a la forma indicada en la ecuacin [15.5]. Es muy importante recordar, cuando se manejan expresiones con el operador D, que no hay conmutatividad entre este operador y las funciones temporales sobre las que se aplica. En todo caso ser conveniente elegir un mtodo de anlisis en el que la respuesta buscada aparezca como incgnita en el sistema de ecuaciones que se plantee. Ejemplo 15.1 Obtener la ecuacin diferencial de la variable i(t) en el circuito de la figura 15.1. Figura 15.1 Puesto que i = uB /1 se va a determinar la expresin de uB mediante el mtodo de anlisis por nudos. La tensin del nudo A, uA, es conocida uA = Us por lo que basta escribir las ecuaciones de los nudos B y C: Nudo B: 0 2 1 2 11 2 1 2 1 CBA 1DD uuu Nudo C: 0 11 2 11 CBA D 2DD uuu De aqu se obtiene i L1 = 1 H Us = 10 V A B C 0 L2 = 2 H R1 = 1 R2 = 2 C = 1 F
18. 18. 24 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) sCB DD Uuu 2 1 2 1 2 3 2 1 sCB D D 2D Uuu 111 2 1 y, en forma matricial, s s C B 2 D D 2D 2DD2 2 1 - 2 1 - 2D D U U u u . 2 2 2 131 [15.6] Si se multiplican por 2D ambos miembros de la ecuacin [15.6] (se tratan las ecuaciones diferenciales como si fueran algebraicas), se obtiene s s C B 2 2DD2D- D-D U U u u . 2 31 y, de aqu, se despeja la tensin del nudo B 22 s 2 2 2 s s B D2)DDD)(( 2)DD( 2DD2D- D-D 2DD2 D- 231 32 31 2 UU U u La ecuacin diferencial correspondiente a uB y, por tanto, a i, es (6D 3 + 4D 2 + 7D + 2)i = (2D 2 + 3D + 2)Us Si se sustituye en el segundo miembro Us por la constante 10 se obtiene finalmente (6D 3 + 4D 2 + 7D + 2)i = 20 que es la ecuacin diferencial buscada de la variable en estudio. 3. RESOLUCIN DIRECTA DE LA ECUACIN DIFERENCIAL En un circuito lineal e invariable con el tiempo, la ecuacin diferencial [15.5] es una ecuacin diferencial lineal de coeficientes constantes. Por consiguiente, la respuesta buscada est formada por dos trminos xj(t) = x'j(t) + x''j(t) [15.7]
19. 19. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 25 donde x'j(t) es la solucin de la ecuacin diferencial homognea, y x''j(t) es una solucin particular de la ecuacin diferencial completa. La solucin de la ecuacin diferencial homognea es de la forma x'j(t) = A1. tr e 1 + A2. tr e 2 + A3. tr e 3 + ... [15.8] donde r1, r2, r3, etc., son las races de la ecuacin caracterstica P(r) = 0 [15.9] que se han supuesto distintas y reciben el nombre de frecuencias naturales del circuito. P(r) es el polinomio P(D) de la ecuacin diferencial [15.5], en el que se ha sustituido el operador D por r. Es de destacar que, al ser el determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones correspondiente al mtodo de anlisis seguido, el polinomio P(D) es el mismo para cualquier variable y, por tanto, en la mayor parte de los casos, todas las respuestas del circuito tienen las mismas frecuencias naturales (excepto en algunos circuitos particulares, o que alguna de las constantes, Ak, se anule al imponer condiciones iniciales posteriormente). La solucin particular de la ecuacin diferencial completa, x"j(t), que, en circuitos reales estables, es la respuesta de rgimen permanente, xj (t), se obtiene siguiendo el procedimiento ya estudiado en los circuitos de primer orden: Si las fuentes son de continua, se sustituyen las bobinas por cortocircuitos y los condensadores por circuitos abiertos, respectivamente, y se analiza el circuito resultante. Si las fuentes son sinusoidales, se pasa el circuito al campo complejo, se determina el complejo correspondiente a la variable en estudio y se vuelve al dominio del tiempo. Si las fuentes son de forma de onda diferente a las anteriores se aplica el mtodo de coeficientes indeterminados. Es importante observar que, en este mtodo de resolucin de la ecuacin diferencial, cuando las fuentes son de continua o sinusoidales, no se utiliza el segundo miembro, ya que ste solo afecta a la solucin particular que, en estos casos, se obtiene de manera directa por anlisis de circuitos derivados del original. Una vez hallada la respuesta de rgimen permanente, si se sustituyen los resultados anteriores en la ecuacin [15.7], se tiene xj(t) = xj (t) + A1. tr e 1 + A2. tr e 2 + A3. tr e 3 + ... [15.10]
20. 20. 26 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) Para finalizar, hay que determinar las constantes de integracin Ak a partir de las condiciones iniciales del circuito. La informacin disponible de forma inmediata en t = 0+ son las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas, ya que son las mismas que en t = 0 (o se pueden determinar a partir de stas, como ya se ha visto en los circuitos de primer orden, cuando hay lazos capacitivos o conjuntos de corte inductivos). Figura 15.2 En general, para determinar las condiciones de contorno de la ecuacin diferencial, se puede seguir el procedimiento que se indica a continuacin. En primer lugar, se sustituyen las bobinas y condensadores por fuentes de intensidad y de tensin, respectivamente, como se indica en la figura 15.2. A continuacin, cualquier variable del circuito resistivo resultante, por ejemplo, iR, se puede obtener por superposicin mediante la expresin iR(t) = ku1,R.us1 +... + k i1,R.is1 +... + kC1,R.uC1 +... + kL1,R.iL1 +... [15.11] donde los coeficientes k son nmeros reales (no contienen el operador D), ya que en la parte del circuito que queda en el interior del rectngulo no hay bobinas ni condensadores. Esta expresin permite determinar la variable iR en cualquier instante, supuesto que en dicho instante se conocen iL1, iL2, ... y uC1, uC2,... Para t = 0+ las tensiones en los condensadores y las intensidades en las bobinas, son conocidas, ya que son las mismas que en t = 0 (o se pueden determinar a partir de stas, como ya se ha visto, cuando hay lazos capacitivos o conjuntos de corte inductivos). Por tanto, se puede escribir iR(0+ ) = ku1,R.us1(0+ ) + ... + ki1,R.is1(0+ ) + ... + kC1,R.uC1(0+ ) +... + kL1,R.iL1(0+ ) +... [15.12] donde el segundo miembro es conocido. Esto constituye la primera condicin de contorno para la ecuacin diferencial. b) us1 is1 C.P. Resistivo iR R uC1 iL1 a) us1 is1 C1 C.P. Resistivo iR R L1 uC1 iL1
21. 21. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 27 Como segunda condicin de contorno se utiliza la derivada de la variable en estudio, particularizada para t = 0+ . Para calcularla, basta derivar en la expresin [15.11], con lo que se obtiene ... t i ... t u t i t u t i L RL C RCRiRu R d d k d d k... d d k... d d k d d ,, s1 1, s1 1, 1 1 1 1 = ... L )t(u ... C )t(i t i t u L RL C RCRiRu 1 1 1 1 1 1 ,, s1 1, s1 1, kk... d d k... d d k [15.13] donde las derivadas de las excitaciones son conocidas en cualquier instante y los valores iC1(t) y uL1(t) se obtienen con una expresin anloga a la [15.11], es decir, se determinan mediante el anlisis del circuito de la figura 15.2b iC1(t) = ku1,C1.us1 +... + k i1,C1.is1 +... + kC1,C1.uC1 +... + kL1,C1.iL1 +... [15.14] uL1(t) = ku1,L1.us1 +... + k i1,L1.is1 +... + kC1,L1.uC1 +... + kL1,L1.iL1 +... [15.15] Si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.13] se tiene )),...(),...(,...),(,...),(,..., d d ,..., d d f( d d s1s1 s1s1 titutitu t i t u t i LC R 11 [15.16] y para t = 0+ )),...(0),...(0,...),(0,...),(0,..., d d ,..., d d f( d d 1s1s1 0 s1 0 s1 0 LC ttt R iuiu t i t u t i 1 [15.17] donde el segundo miembro es conocido para t = 0+ , lo que permite determinar la segunda condicin de contorno para la ecuacin diferencial. Ejemplo 15.2 Figura 15.3 El circuito de la figura 15.3 se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Se pide: C = 0,2 F R1 = 1 R2 = 2 L = 3 H is = 10sent A us = 20cost V S i
22. 22. 28 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) a) Hallar la ecuacin diferencial de la intensidad i(t) para t > 0. b) Hallar i(0+ ) y (di/dt) t = 0+ a) Para obtener la ecuacin diferencial de i(t) se emplean las impedancias operacionales de los elementos del circuito, como se muestra en la figura 15.4a. En la figura 15.4b se ha sustituido la fuente real de intensidad por la fuente real de tensin equivalente y se ha utilizado la impedancia de la asociacin serie del condensador y de la resistencia R1. Figura 15.4 Al aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 15.4b, se obtiene 10179 515 3 1 2 1 2011 1 32011 20 2 1 2 1 DD D)(D DD),( DD),( D),( 2 ss ss AB ui / u / /i ui y, de aqu, se deduce la ecuacin diferencial buscada (9D 2 + 17D + 10)i = 15Dis + (5 + D)us donde, al sustituir las funciones temporales correspondientes a is y us, se obtiene finalmente (9D 2 + 17D + 10)i = 250cost 20sent b) Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de tensin, con lo que se obtiene el circuito resistivo de la figura 15.5a. En ste se deduce inmediatamente 1 2 1 2 iu i R iRu ii C L C L y, al despejar la intensidad i, resulta ZR1 = 1 ZL = 3D is usZC = 1/(0,2D) ZR2 = 2 a) b) ZR1C = 1 + 1/(0,2D) ZL = 3D is/(0,2D) usZR2 = 2 i A B
23. 23. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 29 )( LC iui 3 1 [15.18] y, para t = 0+ , )()()( 00 3 1 0 LC iui [15.19] Figura 15.5 Para obtener las condiciones iniciales en la bobina y en el condensador, se pasa el circuito correspondiente a t < 0 (con el interruptor abierto), que se encuentra en rgimen estacionario sinusoidal, al campo complejo, como se indica en la figura 15.5b. Los valores complejos de las fuentes, si se refieren a la funcin coseno, son Is = j10 A y Us = 20 V. De forma inmediata se obtiene UC = ZCIs = j5 (j10) = 50 V 13 1320 13 60 13 40 32 20 2 j j s RL L ZZ U I /56,31 A y, por consiguiente, en el rgimen permanente previo al cierre del interruptor, se tiene uC(t) = 50cost ) , cos()( 180 3156 13 1320 ttiL y, de aqu, resulta uC(0 ) = 50cos(0) = 50 V A 13 40 ) , cos()( 180 3156 0 13 1320 0Li b) Is ZC = j5 ZR1 = 1 ZR2 = 2 ZL = j3 UsUC IL a) R1 = 1 is usR2 = 2uC iL uL iC i
24. 24. 30 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) Es interesante observar que una funcin temporal g(t) = Gmcos( t + ), que se ha obtenido del complejo Gm / = Gmcos + jGmsen , tiene un valor en t = 0 que coincide con la parte real de dicho complejo g(0) = Gmcos(0 + ) = Gmcos De manera anloga, una funcin temporal g(t) = Gmsen( t + ), que se ha obtenido del complejo Gm / = Gmcos + jGmsen , tiene un valor en t = 0 que coincide con la parte imaginaria de dicho complejo g(0) = Gmsen(0 + ) = Gmsen Puesto que uC (0+ ) = uC (0 ) e iL(0+ ) = iL(0 ), se tiene uC (0+ ) = 50 V, iL(0+ ) = 40/13 A y, al sustituir valores en la ecuacin [15.19], se obtiene la primera condicin de contorno i(0+ ) = (50 + 40/13 )/3 = 15,641 A Para obtener la segunda condicin de contorno se deriva la ecuacin [15.18] respecto del tiempo, con lo que se tiene 000 3 1 3 1 t LC t LC t L u C i t i t u t i d d d d d d [15.20] Los valores de iC (0+ ) y uL(0+ ) se obtienen del circuito de la figura 15.5a como A, )(, )( s 7218 1 5064152 00 01 2 t C C R uiR ii uL(0+ ) = us(0+ ) R2i(0+ ) = 20 2(15,64) = 51,28 V y, al sustituir estos valores en la ecuacin [15.20], resulta A/s, , , , d d 9036 3 2851 20 7218 3 1 0tt i Para ecuaciones de orden superior al segundo, se imponen como condiciones de contorno derivadas sucesivas de iR para las cuales se obtienen expresiones similares a la [15.13]. Por ejemplo, para la derivada segunda, resulta de [15.16] ),... d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d (f d d s1s1s1 2 s1 22 t i t u t i t u t i t u t i LCR 11 222 =
25. 25. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 31 ),... )( ,..., )( ,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d (f s1s1s1 2 s1 2 1 1 1 1 22 L tu C ti t i t u t i t u LC [15.21] De nuevo, si se sustituyen las ecuaciones [15.14] y [15.15] en [15.21] resulta )),...(,...,)(,...),(,...),(,..., d d ,..., d d ,..., d d ,..., d d (g d d 11s1s1 s1s1s1 2 s1 22 titutitu t i t u t i t u t i LC R 222 [15.22] donde el segundo miembro es conocido para t = 0+ . Ejemplo 15.3 Resolver la ecuacin diferencial correspondiente a i(t) (6D 3 + 4D 2 + 7D + 2)i = 20 obtenida en el ejemplo 15.1, con las condiciones iniciales siguientes: uC(0+ ) = 0 V, iL1(0+ ) = iL2(0+ ) = 0 A En primer lugar se determinan las races de la ecuacin caracterstica 6r 3 + 4r 2 + 7r + 2 = 0 Son las siguientes: r1 = 0,3157 r2 = 0,1755 + j1,0125 r3 = 0,1755 j1,0125 La solucin buscada, de acuerdo con la expresin [15.10], es de la forma i(t) = i (t) + A1e 0,3157t + e 0,1755t [A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.23] La respuesta de rgimen permanente, al tratarse de un circuito de continua, se obtiene fcilmente despus de sustituir las bobinas por cortocircuitos y el condensador por un circuito abierto en la figura 15.1. El resultado es i (t) = 10 A con lo que la ecuacin [15.23] queda i(t) = 10 + A1e 0,3157t + e 0,1755t [A2.cos(1,0125t) + A3.sen(1,0125t)] [15.24]
26. 26. 32 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) Se puede obtener una expresin del tipo indicado en la ecuacin [15.11], a partir del circuito de la figura 15.1, si se sustituyen en l las bobinas por fuentes de intensidad y el condensador por una fuente de tensin, con lo que resulta el mostrado en la figura 15.6. Figura 15.6 Si se aplica el mtodo de anlisis por lazos bsicos, elegido el rbol representado con trazo ms grueso, se tienen las ecuaciones siguientes: Lazo a: 2ic +(2 + 1)ia = uC [15.25] Lazo b: ib = iL1 Lazo c: ic = iL2 Como, adems, i = ia, se puede despejar i de la ecuacin [15.25], con lo que resulta i(t) = 3 2 )()( 2 titu LC [15.26] La primera condicin de contorno es i(0+ ) = 3 2 )(0)(0 2LC iu = 0 [15.27] Para la segunda condicin de contorno se deriva respecto de t la expresin [15.26] 2 2 13 12 3 1 2 3 1 2 )()()()( d d d d d d 222 tuti L tu C ti t i t u t i LCLCLC [15.28] Adems, del circuito de la figura 15.6 se obtiene iC = iL1 + iL2 i [15.29] i 2 uC1us A B C 0 iL1 iL2 ia ib ic iC uL1 uL2
27. 27. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 33 uL1 = us uC [15.30] uL2 = us 1.i [15.31] Si se sustituyen [15.29] y [15.31] en [15.28] dan como resultado )()())()()(( d d s21 titutititi t i LL 3 1 Aqu, en este ejemplo, se puede sustituir i(t) en funcin uC e iL2, para llegar a una expresin del tipo dado por la ecuacin [15.16], o bien, se puede dejar sin sustituir: )(2)()()( d d s21 titutiti t i LL 3 1 [15.32] Particularizando para t = 0+ , se tiene la segunda condicin de contorno 3 10 0000 3 1 0 )(2)()()( d d s21 iuii t i LL t A/s [15.33] Para la tercera condicin de contorno se deriva respecto de t la expresin [15.32] d d 2 )()( d d 2 d d d d d d d d 21s21 2 t i L tu L tu t i t u t i t i t i LLLL 0 3 1 3 1 21 2 [15.34] y, si se sustituyen [15.30] y [15.31] en [15.34], se obtiene d d 2 )( )()( d d 2 )()( )()( d d s s s 2 t iti tutu t ititu tutu t i CC 22 3 3 1 23 1 2 La tercera condicin de contorno resulta 9 25 2 0 00 2 3 3 1 00 2 d d 2 )( )()( d d s 2 t C t t ii uu t i A/s 2 [15.35] Para calcular las constantes de integracin se imponen las condiciones de contorno, dadas por las ecuaciones [15.27], [15.33] y [15.35], a la variable en estudio, definida por la ecuacin [15.24], y a sus derivadas primera y segunda, particularizadas todas ellas para t = 0+ . Despus de operar, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente
28. 28. 34 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) A1 + A2 = 10 0,3157A1 0,1755A2 + 1,0125A3 = 10/3 0,0997A1 0,9944A2 0,3554A3 = 25/9 cuya solucin es: A1 = 6,3282, A2 = 3,6718 y A3 = 0,6826. Con estos resultados se obtiene, finalmente, la expresin buscada de i(t) i(t) = 10 6,3282e 0,3157t + e 0,1755t [3,6718cos(1,0125t) + 0,6826sen(1,0125t)] A que tiene la representacin grfica mostrada en la figura 15.7. Figura 15.7 4. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Son circuitos de segundo orden aquellos cuyas variables estn caracterizadas por ecuaciones diferenciales de segundo orden. Un circuito que tiene dos elementos almacenadores de energa de distinto tipo (una bobina y un condensador) es, normalmente, un circuito de segundo orden. A veces hay circuitos con ms de dos elementos almacenadores de energa que son de segundo orden. Por ejemplo, cuando se pueden agrupar elementos del mismo tipo en uno equivalente. En los circuitos de segundo orden la ecuacin caracterstica [15.9] es un polinomio de segundo grado, por lo que las races pueden ser 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 i(t) t [s]
29. 29. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 35 a) Reales y distintas: m y n. La respuesta tiene la forma xj(t) = xj (t) + A1e m.t + A2e n.t [15.36] y se dice que es sobreamortiguada. b) Real doble: r. En este caso la respuesta es del tipo xj(t) = xj (t) + (A + Bt) e rt [15.37] y recibe el nombre de crticamente amortiguada. c) Complejas conjugadas: a jb. La respuesta es ahora del tipo xj(t) = xj (t) + e at (Acos(bt) + Bsen(bt)) [15.38] Adems del trmino exponencial, la respuesta contiene oscilaciones de pulsacin b. Se dice que es una respuesta subamortiguada. Si el circuito no contiene resistencias, las races complejas carecen de parte real, por lo que la respuesta es una oscilacin de amplitud constante y pulsacin b, superpuesta a la componente xj (t). En este caso, la respuesta xj (t) no llega a ser nunca la respuesta de rgimen permanente, ya que las oscilaciones correspondientes a la solucin de la ecuacin homognea no se amortiguan. Normalmente, los exponentes m, n, r y a son nmeros negativos, por lo que los trminos exponenciales se hacen muy pequeos al cabo de un cierto tiempo, de forma que solo queda con un valor significativo el trmino xj (t), que es la respuesta de rgimen permanente. Si alguno de los exponentes citados es positivo, la respuesta crecera indefinidamente, haciendo el circuito inestable. A continuacin se van a estudiar tres ejemplos, correspondientes a los casos crticamente amortiguado (ejemplo 15.4), subamortiguado (ejemplo 15.5) y sobreamortiguado (ejemplo 15.6), con el fin de mostrar el aspecto de las formas de onda que resultan en cada uno de estos casos y, tambin, la manera de obtener las constantes de integracin a partir de las condiciones iniciales. Ejemplo 15.4 El circuito de la figura 15.8 lleva en la situacin indicada un tiempo suficientemente grande, de forma que se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado, que se
30. 30. 36 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) tomar como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Determinar la intensidad i(t) para t > 0. Figura 15.8 Antes de cerrar el interruptor no circula corriente por la bobina, luego iL(0 ) = 0. Adems, en el circuito que queda a la derecha del interruptor, que est en un rgimen permanente de continua, el condensador se puede sustituir por un circuito abierto, por lo que no circula corriente por la resistencia. La tensin en el condensador, es u(0 ) = 4 V. Figura 15.9 Una vez cerrado el interruptor se tiene el circuito de la figura 15.9a, en el que los elementos pasivos se han caracterizado por sus impedancias operacionales. La tensin en la resistencia se puede determinar mediante el teorema de Millmann 1DD D D 4D D 4D 1/D14D 1/D4D 2 s2 2 s1 s2 s1s2s1 A0 44 4 1 1111 UU U UUU u De aqu se puede obtener la ecuacin diferencial correspondiente a uA0, que coincide con la de la intensidad i, ya que uA0 = 1i: (4D 2 + 4D + 1)i = Us1 + 4D 2 Us2 Us1 = 6 V R = 1 i L = 4 H Us2 = 4 V uC iL S C = 1 F a) S Us1 = 6 V ZR = 1 i ZL = 4D Us2 = 4 V ZC = 1/D A 0 b) Us1 R = 1 i Us2 uCiL u iCAS 0
31. 31. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 37 Para t > 0, las tensiones de las fuentes son constantes: Us1 = 6 V y Us2 = 4 V, por lo que D 2 Us2 = 0 y el segundo miembro de la ecuacin diferencial se reduce al valor constante 6. La ecuacin diferencial queda en la forma (4D 2 + 4D + 1)i = 6 La ecuacin caracterstica 4r 2 + 4r + 1 = 0 tiene una raz real doble: r = 1/2, luego la solucin buscada se puede escribir como i(t) = i (t) + (A + Bt).e t/2 [15.39] En primer lugar se va a determinar la respuesta de rgimen permanente, i (t). Al tratarse de un circuito de corriente continua, en rgimen permanente la bobina se comporta como un cortocircuito y el condensador como un circuito abierto. Por ello, la fuente de 4 V queda aislada del resto del circuito y la tensin de la fuente de 6 V queda aplicada directamente a la resistencia. Es decir, i (t) = 6 A. A este mismo resultado se llega aplicando el mtodo de coeficientes indeterminados. Se supone una solucin de la forma i (t) = K. Se sustituye esta solucin en la ecuacin diferencial (4D 2 + 4D + 1)K = 6 con lo que resulta K = 6. Con este resultado, la solucin dada por [15.39] se puede escribir como i(t) = 6 + (A + Bt).e t/2 [15.40] Para determinar las condiciones de contorno, de acuerdo con el mtodo general expuesto, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de tensin, tal como se muestra en la figura 15.9b. En este circuito, la tensin en la resistencia queda definida por las dos fuentes de tensin que quedan a su derecha u = uC + Us2 y, de aqu, resulta R tUtu ti C )()( )( s2 [15.41]
32. 32. 38 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) RC ti t u RR t U t u t i CC C )( d dd d d d d d s2 1 [15.42] Se ha tenido en cuenta que, para t > 0, Us2 es constante y, por consiguiente, su derivada es nula. La intensidad en el condensador se obtiene en el circuito de la figura 15.9b al aplicar la primera ley de Kirchhoff al nudo A: iC(t) = i(t) iL(t) y, si se sustituye este resultado en la ecuacin [15.42], se tiene RC titi t i L )()( d d [15.43] Por ltimo se hace t = 0 en las ecuaciones [15.41] y [15.43], con lo que se determinan las condiciones de contorno, con uC(0+ ) = uC(0 ) = 4 V, iL(0+ ) = iL(0 ) = 0 A, 0 1 4400 0 R Uu i C )()( )( s2 0 00 0 RC ii t i L t )()( d d Al imponer estas condiciones de contorno a la solucin de la ecuacin diferencial, dada en [15.40], se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente: i(0+ ) = 0 = 6 + A 2 A -BB.0)(A. 2 1 -B. d d 0-0- ee t i t 0 0 Una vez resuelto se tiene: A = 6, B = 3, con lo que la solucin buscada es i(t) = 6 (6 + 3t).e t/2 A [15.44] Este resultado se muestra grficamente en la figura 15.10.
33. 33. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 39 Figura 15.10 Ejemplo 15.5 El circuito de la figura 15.11 se encuentra en rgimen permanente, con el condensador descargado. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Determinar u(t), para t 0: Figura 15.11 Antes de cerrar el interruptor el circuito est en un rgimen permanente de alterna. Para calcular la corriente que circula por la bobina, se pasa el circuito al campo complejo, segn se muestra en la figura 15.12a. Mediante divisores de intensidad se tiene A 41 j 4141 )j( j s 2002504550 10 45 5 21 21 I ZZZ ZZ I LRR RR L de donde se deduce iL(0 ) = 250/41 = 6,098 A Adems, al estar el condensador descargado hasta t = 0, se tiene uC (0 ) = 0. 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 i(t) t [s] is = 10 cos 2t C = 0,5 F u R1 = 3 L = 2 H iL uC S R2 = 2
34. 34. 40 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) Con esto quedan determinadas las condiciones iniciales: iL(0+ ) = iL(0 ) = 6,098 A y uC (0+ ) = uC (0 ) = 0 V. Figura 15.12 La ecuacin diferencial se obtiene a partir del circuito de la figura 15.12b, donde cada elemento pasivo viene caracterizado por su impedancia operacional. Se tiene: u = ZR1i = 3i, y, mediante divisores de intensidad, se puede escribir directamente ss 2/D2 22/D D D . ii ZZ ZZ ZZ Z Zu CR CR RL L R 32 2 3 2 2 1 1 = = s s 42D)2D)(2(3 2)D(2D 4/D2/D)2D)(2(3 2/D)D(2 i i 66 [15.45] y de aqu resulta (4D 2 + 10D + 10) u = 6D(2D + 2)is = 480.cos2t + 240.sen2t que es la ecuacin diferencial buscada. La ecuacin caracterstica es 4r 2 + 10r + 10 = 0 que tiene como races r1 = 1,25 j0,968 r2 = 1,25 + j0,968 es decir, se trata de un circuito subamortiguado. La solucin buscada es de la forma a) Is = 10/0 A ZL = j4 IL ZC = j1 ZR1 = 3 ZR2 = 2 b) is ZL = 2D iL ZC = 2/D ZR1 = 3 ZR2 = 2 u i
35. 35. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 41 u(t) = u (t) + e 1,25t [ Acos(0,968t) + Bsen(0,968t)] [15.46] La respuesta de rgimen permanente, u (t), se obtiene pasando al campo complejo el circuito vlido para t > 0 (con el interruptor cerrado), como se muestra en la figura 15.13a. La tensin compleja U se obtiene mediante una expresin anloga a la [15.45], sustituyendo D por j e is por Is , U = s 4)2j)(22j(3 2)(2jj I 6 donde, a su vez, = 2 rad.s 1 e Is = 10 + j0. Esto es U = 10 22 226 4)2j)(22j(3 2)(2jj = 25,7/133,26 V y, por tanto u (t) = 25,7cos(2t 133,26 /180) V La funcin u(t) se puede escribir como u(t) = 25,7.cos(2t 133,26 /180) + e 1,25t [ A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.47] Figura 15.13 Para obtener las condiciones de contorno de la ecuacin diferencial, se sigue el procedimiento general de sustituir la bobina por una fuente de intensidad, iL, y el condensador por una fuente de tensin, uC, tal como se muestra en la figura 15.13b. De manera inmediata se obtiene u(t) = R1[iL(t) is(t)] [15.48] que, para t = 0+ , es u(0+ ) = R1[iL(0+ ) is(0+ )] = 3.(6,098 10 ) = 11,706 V a) Is ZL = j4 IL ZC = j1 ZR1 = 3 ZR2 = 2 U b) R2 = 2 u R1 = 3 iL uC uL iC is
36. 36. 42 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) Si se derivan ambos miembros de la expresin [15.48] se obtiene )sen(2 )( d d d d . d d s t L tu R t i t i R t u LL 21011 [15.49] donde, uL se determina en el circuito de la figura 15.13b como uL(t) = uC(t) u(t) Si se sustituye este resultado en la ecuacin [15.49] y se particulariza para t = 0+ se tiene 559170 2 706110 3020 00 1 0 , ),( )(sen. )()( d d L uu R t u C t V/s A continuacin, se imponen estas condiciones de contorno a la solucin dada en [15.47] u(0+ ) = 11,706 V = 25,7cos( 133,26 /180) + e 0 [ Acos(0) + Bsen(0)] = = 17,615 + A 0,968B1,25A37,433s(0))0,968BcoAsen(0),( Bsen(0))Acos(0)(.,)/,sen(2,, d d 0 0 9680 25118026133725255917 0 0 e et t u t t de donde A = 11,706 + 17,615 = 5,909 B = (17,559 37,433 + 1,25A)/0,968 = 12,901 con lo que se tiene finalmente u(t) = 25,7cos(2t 133,26 /180) + e 1,25t [ 5,909cos(0,968t) 12,901sen(0,968t)] V En la figura 15.14 se representa grficamente la funcin u(t).
37. 37. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 43 Figura 15.14 Ejemplo 15.6 El circuito de la figura 15.15 se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, la fuente de tensin pasa, bruscamente, a un valor de 0 V. Hallar las intensidades i1(t) e i2(t) para t > 0. DATOS: L1 = 1 H, L2 = 4 H, M = 1,5 H. Figura 15.15 Las ecuaciones circulares de las dos partes en que queda dividido el circuito son Us R1i1 = L1Di1 MDi2 R2i2 = MDi1 + L2Di2 y, despus de sustituir valores, queda Us 1i1 = 1Di1 1,5Di2 [15.50] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 20 10 0 10 20 30 u(t) t [s] 1' R2 = 2 i11 i2 2 2' u2u1Us = 5 V R1 = 1
38. 38. 44 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 2i2 = 1,5Di1 + 4Di2 [15.51] En el rgimen permanente de continua, previo al cambio de valor de la fuente, Us = 5 V, i1 e i2 son constantes por lo que Di1 = Di2 = 0. Al sustituir este resultado en las ecuaciones [15.50] y [15.51] se tiene i1(0 ) = 5 A i2(0 ) = 0 A Para t > 0, Us = 0 V, las ecuaciones [15.50] y [15.51] se convierten en las siguientes i1 = 1.Di1 1,5Di2 [15.52] 2.i2 = 1,5Di1 + 4Di2 [15.53] es decir, (1 + D)i1 1,5Di2 = 0 1,5Di1 + (2 + 4D)i2 = 0 De aqu se pueden despejar las intensidades 26751 0 512112 00 510 21 DD,D,)D)(D( 4D21,5D- 1,5D-D1 4D2 D, )( 22 ti 26751 0 512112 0051 01 22 DD,D,)D)(D( 4D21,5D- 1,5D-D1 D, D )( 22 ti y, por tanto, las ecuaciones diferenciales correspondientes son (1,75D 2 + 6D + 2)i1 = 0 (1,75D 2 + 6D + 2)i2 = 0 Al no haber fuentes independientes en el circuito, se obtienen ecuaciones diferenciales homogneas, y, al tener todas las variables la misma ecuacin caracterstica, las ecuaciones
39. 39. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 45 diferenciales tienen la misma forma. No obstante, las soluciones sern diferentes porque las condiciones iniciales son distintas. Las races de la ecuacin caracterstica 1,75r 2 + 6r + 2 = 0 son las siguientes: r1 = 3,0544 y r2 = 0,3742 Son dos races reales y distintas. Se trata de un caso sobreamortiguado. En general, cuando un circuito de segundo orden tiene los dos elementos almacenadores de energa del mismo tipo (dos bobinas o dos condensadores), las respuestas son de tipo sobreamortiguado. La solucin buscada es de la forma i1(t) = A1e 3,0544t + B1e 0,3742t i2(t) = A2e 3,0544t + B2e 0,3742t Como condiciones de contorno se tiene, para las intensidades, los valores siguientes: i1(0+ ) = i1(0 ) = 5 A i2(0+ ) = i2(0 ) = 0 A Para calcular las derivadas de las variables en t = 0+ , se hace uso de las ecuaciones [15.52] y [15.53], en las que se despejan dichas derivadas 751 34 451 511 42 51 212 1 1 , )()( , , , D titii i i 751 251 451 511 251 1 212 1 2 , )()(, , , , D titii i i y para t = 0+ 751 20 751 0304 21 01 ,, )()( D ii i t = 11,429 A/s
40. 40. 46 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 751 57 751 02051 21 02 , , , )()(, D ii i t = 4,286 A/s Al aplicar las condiciones de contorno a la expresin de i1 y su derivada, particularizadas para t = 0+ , se tiene el sistema de ecuaciones siguiente: A1 + B1 = 5 3,0544A1 0,3742B1 = 11,429 que tiene como soluciones: A1 = 3,566 , B1 = 1,434. De forma anloga, para la intensidad i2 se tiene el sistema de ecuaciones A2 + B2 = 0 3,0544A2 0,3742B2 = 4,286 que tiene como soluciones: A2 = 1,599, B2 = 1,599. Figura 15.16 Por consiguiente, las respuestas buscadas son i1(t) = 3,566.e 3,0544t + 1,434.e 0,3742t A i2(t) = 1,599.e 3,0544t 1,599.e 0,3742t A cuya representacin grfica se da en la figura 15.16. 0 5 10 15 1 0 1 2 3 4 5 6 [A] t [s] i1 i2
41. 41. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 47 5. CIRCUITOS CON LAZOS CAPACITIVOS Y/O CONJUNTOS DE CORTE INDUCTIVOS El tratamiento de los circuitos con lazos capacitivos y/o conjuntos de corte inductivos se realiza de acuerdo con el procedimiento establecido en el captulo 14 (volumen I) al estudiar los circuitos de primer orden. A continuacin, se presenta, como ejemplo, un circuito de segundo orden con un lazo capacitivo, en el que se produce un cambio brusco de la tensin (carga) en los condensadores que constituyen dicho lazo capacitivo y, por consiguiente, con la aparicin de un impulso de corriente en t = 0. Ejemplo 15.7 El circuito de la figura 15.17 lleva en la posicin indicada un tiempo suficientemente grande para considerar que se encuentra en rgimen permanente. En un instante, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Hallar la intensidad i(t) para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuacin diferencial correspondiente y su posterior resolucin. Figura 15.17 Antes de cerrar el interruptor, el circuito est dividido en dos subcircuitos independientes entre s, que se encuentran en un rgimen permanente de continua. Por simple inspeccin se deduce que uC1(0 ) = 6 V, uC2(0 ) = 4 V, iL(0 ) = 0 A. Al cerrar el interruptor se forma un lazo capacitivo con los dos condensadores, como se muestra en la figura 15.18. Para t > 0, se cumple la condicin uC1(t) = uC2(t) y, en particular, para t = 0+ uC1(0+ ) = uC2(0+ ) Sin embargo, las tensiones en los condensadores no son iguales para t = 0 . Por tanto, en el intervalo (0 , 0+ ) hay un cambio brusco de las tensiones uC1 y uC2, lo que lleva a una R1 = 2 Us1 = 6 V i L = 2 H C1 = 1 F uC1 uC2 iL Us2 = 4 V S R2 = 1 C2 = 2 F
42. 42. 48 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) circulacin de corriente infinita a travs de los mismos. Si se escribe la primera ley de Kirchhoff al recinto cerrado indicado con lnea de trazo discontinuo en la figura 15.18, se obtiene i + iL = iC1 + iC2 Figura 15.18 En el intervalo (0 , 0+ ) las intensidades iC1 e iC2 son infinitas, pero las restantes intensidades se mantienen en valores finitos. Por ejemplo, iL mantiene el valor nulo que tiene en t = 0 y la intensidad i viene dada por la expresin 1 11 R uU i Cs donde Us1 = 6 V y uC1 pasa de 6 V en t = 0 al valor que corresponda en t = 0+ , uC1(0+ ), pero se mantiene acotada, y lo mismo sucede con i. De acuerdo con este razonamiento, al ser despreciables las corrientes i e iL frente a las iC1 e iC2 en el intervalo (0 , 0+ ), se tiene iC1 + iC2 = 0 Esto equivale a la circulacin de una corriente infinita, iC, (un impulso de corriente) por todo el lazo capacitivo, en el intervalo (0 , 0+ ), como se indica en la figura 15.18, de forma que se cumple iC1 = iC2 = iC Para calcular de forma sistemtica las tensiones en t = 0+ , se plantean las ecuaciones siguientes: 0 0 0 01 0 01 1 0 1 00 1 111 d)( 1 1 6d)()(d)()()( CCCCCC ii C ui C uu iC1 iC2 iC R1 = 2 Us1 = 6 V i L = 2 H C1uC1 uC2 iL Us2 = 4 V R2 = 1 C2 uL
43. 43. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 49 0 0 0 02 0 02 1 0 1 00 2 222 d)( 2 1 4d)()(d)()()( CCCCCC ii C ui C uu uC1(0+ ) = uC2(0+ ) donde QiC 0 0 d)( es la carga transferida entre los condensadores del lazo capacitivo en el intervalo (0 , 0+ ), por el impulso de corriente iC. Resuelto este sistema de ecuaciones se tiene: uC1(0+ ) = uC2(0+ ) = 14/3 V = 4,67 V y Q = 4/3 C. A partir de t = 0 se pueden sustituir los dos condensadores conectados en paralelo por uno equivalente, de capacidad: C ' = C1 + C2 = 3 F, como se muestra en la figura 15.19a, con la tensin inicial uC '(0+ ) = 4,67 V, recientemente calculada. Se trata, por tanto, de un circuito de segundo orden. Figura 15.19 Para obtener la ecuacin diferencial de la variable i(t) se puede analizar el circuito por mallas, y tener en cuenta, de acuerdo con la figura 15.19a, que i = ia. Las ecuaciones que resultan son las siguientes: s2 s1 b . D D D DD U U i i 3 1 21 3 1 3 1 3 1 2 y, si se despeja la variable en estudio, se tiene a) Us1 2i 1 2 H 3 F iL iC' Us2ia ib b) 2 Us1 i 1 uC' iL uL iC' Us2
44. 44. 50 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 2 3 1 3 1 21 3 1 2 3 1 3 1 21 3 1 21 3 1 3 1 3 1 2 3 1 21 3 1 ) D () D D)( D ( D ) D D( D D D DD D D D s2s1s2 s1 UUU U i 3DDD)D)(D( )D)D)(( 2 s2s1 812 2 23342 1321 UU donde, en el numerador, se ha tenido en cuenta que tanto Us1 como Us2 son constantes, para t > 0. La ecuacin diferencial es, por tanto, para t > 0, (12D 2 + 8D + 3)i = 2 cuya ecuacin caracterstica 12r 2 + 8r + 3 = 0 tiene como races: 6 5 3 1 j . La solucin buscada es, por consiguiente, de la forma i(t) = i (t) + e t/3 (Acos t 6 5 + Bsen t 6 5 ) [15.54] La respuesta de rgimen permanente (de continua) se deduce fcilmente como i (t) = 2/3 A. Para determinar las condiciones de contorno de la ecuacin diferencial, se sustituye el condensador equivalente por una fuente de tensin, uC ', y, la bobina, por una fuente de intensidad, iL, tal como se indica en la figura 15.19b. Si se aplica la segunda ley de Kirchhoff a la malla de la izquierda, se tiene Us1 = 2i(t) + uC'(t) y, de aqu, se despeja la variable en estudio
45. 45. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 51 1R tuU ti C )( )( 's1 [15.55] Su derivada respecto del tiempo es ' )( d d d d d d ''s1 C ti Rt u t U Rt i CC 0 11 11 [15.56] Por otra parte, del circuito de la figura 15.19b se obtiene la intensidad en el condensador iC'(t) = iL(t) + i(t) que, sustituida en la ecuacin [15.56], da como resultado ' )()( d d C titi Rt i L 1 1 [15.57] Al hacer t = 0+ , y sustituir valores en las ecuaciones [15.55] y [15.57], se tiene A,)( )( )( C's1 66670 3 2 3 14 6 2 10 0 1R uU i [15.58] 11110 9 1 3 666700 2 1001 10 , , ' )()( d d L C ii Rt i t A/s [15.59] El paso siguiente es calcular las constantes A y B de la expresin [15.54], a partir de las condiciones de contorno dadas en [15.58] y [15.59]. Se obtiene i(0+ ) = 2/3 = 2/3 + e 0 [Acos(0) + Bsen(0)] = 2/3 + A 111,0 d d 0tt i 1 = 1/3 e 0 [Acos(0) + Bsen(0)] + 6 5 e 0 [Asen(0) + Bcos(0)] = = (1/3)A + 6 5 B Si se resuelve este sistema de ecuaciones se obtiene: A = 0, B = 53 2 = 0,2981. Con estos valores, la ecuacin [15.54] se convierte finalmente en
46. 46. 52 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) i(t) = 53 2 3 2 e t/3 sen t 6 5 A En la figura 15.20 se muestra la grfica correspondiente a esta funcin i(t). Figura 15.20 6. SIMULACIN DE LAS MANIOBRAS DE CIERRE O APERTURA DE UN INTERRUPTOR MEDIANTE FUENTES Por su aplicacin en el anlisis en rgimen transitorio de dos situaciones de gran importancia prctica, como la determinacin de la corriente de cortocircuito en un punto de una red elctrica y de la tensin de restablecimiento entre los contactos de un interruptor, se va a presentar, a continuacin un procedimiento en el que se simulan las maniobras de cierre o apertura de un interruptor, en un instante dado, mediante la conexin en el circuito, en ese instante, de fuentes de tensin o de intensidad, respectivamente. En la figura 15.21a se muestra un circuito con un interruptor abierto, que se ha destacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento del circuito en estas condiciones (con el interruptor abierto) y, por tanto, en este circuito, se conoce la tensin entre los contactos del interruptor, u0(t), as como las tensiones en los condensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t). El interruptor se cierra en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura 15.21b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un cortocircuito, que se puede tratar como una fuente ideal de tensin de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dos fuentes de tensin en serie, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes se aplican en t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a u0(t)U(t), como se 0 5 10 15 20 25 30 0,58 0,6 0,62 0,64 0,66 0,68 i(t) t [s]
47. 47. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 53 indica en la figura 15.21c. Con U(t) se representa el escaln unidad. Tambin se considera que las excitaciones se aplican en t = 0, por lo que se aaden las fuentes de condiciones iniciales en bobinas y condensadores. Figura 15.21 En el paso siguiente se aplica superposicin, tal como se indica en la figura 15.22. Cualquier respuesta viene dada por la suma de las respuestas correspondientes del circuito de la figura 15.22a y del circuito de la figura 15.22b. Por ejemplo, la intensidad i que circula entre los contactos del interruptor, cuando este se cierra, viene dada por las componentes i' e i", tales que a) uC0(t) us1 is1 iL0(t) L C C.P. Resistivo u0(t) S b) 0 V uC(t) us1 is1 iL(t) L C C.P. Resistivo i c) 0 V uC0(0)U(t) iL0(0)U(t) uC(t) us1U(t) is1U(t) iL(t) L C C.P. Resistivo u0U(t) u0U(t) i
48. 48. 54 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) i = i' + i" [15.60] El primero de los circuitos (figura 15.22a) contiene todas las fuentes internas (tanto las de excitacin como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuente externa de valor u0(t) y referencia coincidente con la tensin entre contactos del interruptor abierto. Esto corresponde a la situacin del circuito previa al cierre del interruptor, por lo que la componente de las respuestas aportada por este circuito coincide con la obtenida con el circuito de la figura 15.21a. En el segundo circuito (figura 15.22b) solo acta la fuente de tensin externa restante. Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es la respuesta, a estado inicial cero, debida a la excitacin con una fuente de valor u0(t) y referencia opuesta a la tensin entre contactos del interruptor abierto, aplicada en t = 0. Si la variable en estudio es la intensidad que circula por el interruptor cuando se han cerrado los contactos, la primera componente es cero, ya que por la fuente de tensin u0 del circuito de la figura 15.22a no circula corriente. Esta fuente se puede considerar que procede de aplicar la regla de sustitucin al circuito abierto (contactos abiertos del interruptor) de la figura 15.21a. Por tanto, para esta variable, i, basta estudiar el circuito de la figura 15.22b, ya que, por la ecuacin [15.60], i = 0 + i" = i" Este caso tiene inters prctico, si el cierre del interruptor est simulando la aparicin de un cortocircuito en un punto de una red elctrica. Entonces, la intensidad a travs del interruptor es la intensidad de cortocircuito en el punto donde se ha producido ste. Figura 15.22 b) L C C.P. Resistivo u0U(t)i" a) + uC0(t)uC0(0)U(t) iL0(0)U(t) us1U(t) is1U(t) iL0(t) L C C.P. Resistivo u0U(t)i'
49. 49. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 55 Ejemplo 15.8 Determinar la tensin u1 en el circuito de la figura 15.23 (ya analizado en el ejemplo 15.5) a partir de t = 0, instante en el que se produce el cierre del interruptor S. El estudio se va a realizar simulando mediante fuentes el cierre del interruptor. Figura 15.23 En la figura 15.23b, se muestra el circuito a partir del instante en el que se cierra el interruptor, t = 0. Se supone que las fuentes de excitacin, is y u0, se aplican en t = 0 a un circuito con unas condiciones iniciales definidas por las fuentes iL0(0) y uC0(0). Figura 15.24 A continuacin, se aplica superposicin en la forma indicada por los circuitos de las figuras 15.24a y b. La tensin buscada viene dada por u1 = u'1 + u"1 La primera componente, u'1, se obtiene del circuito de la figura 15.24a, que evoluciona como lo hara el circuito original si no se hubiera cerrado el interruptor. Se tiene por tanto, un rgimen estacionario sinusoidal, que se estudia con el circuito de la figura 15.25a. De l se obtiene a) C = 0,5 F u'1 R1 = 3 L = 2 HiL0(0) uC0(0) R2 = 2is u0 b) C = 0,5 F u"1 R1 = 3 L = 2 H R2 = 2 u0 u1 C R1 LiL0(0) uC0(0) R2is u0 u0 b) a) C = 0,5 F u1 R1 = 3 L = 2 H iL0 uC0 S R2 = 2is = 10 cos 2t u0
50. 50. 56 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 75698057 32 2 45 45 0 ,j, j j sIU 12,494/51,34 V 010 2 3 UU 18,741/51,34 V y, de aqu, resulta u0 = 12,494cos(2t + 51,34. /180) V u10 = u'1(t) = 18,741cos(2t + 51,34. /180) V El paso siguiente es hallar u''1(t). Para ello se analiza el circuito de la figura 15.25b, que es el circuito pasivo del circuito original, a estado inicial cero, al que se aade la fuente de tensin de valor u0, en el lugar donde estaba el interruptor (con la referencia opuesta a la tensin u0 del circuito original). Figura 15.25 La ecuacin diferencial correspondiente a u''1 se obtiene mediante el teorema de Millman y divisores de tensin 2D)(32D)D( 2D)(32D, D 2D3 1 D, D, D )("1 23 50 23 3 2 1 50 50 23 3 00 uu tu 5DD D 2 52 3 0u [15.61] La ecuacin diferencial es, por tanto, (2D 2 + 5D + 5)u''1(t) = 3Du0 y su ecuacin caracterstica tiene como races 1,25 j0,968, por lo que la solucin es de la forma j1 U10 3 j4Is U0 a) 2 b) ZC = 1/(0,5D) u''1 ZR1 = 3 ZL = 2D u0 ZR2 = 2 u''1 R1 = 3 u0 uC iL uL c) R2 = 2
51. 51. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 57 u''1(t) = u''1 (t) + e 1,25t [A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] [15.62] Para obtener la componente de rgimen permanente, u''1 (t), se puede hacer D = j2 en la ecuacin operacional del circuito (ecuacin [15.61] ). Esto es U''1 = j4,081907,5 j10-3 6j 5(j2)5(j2)2 (j2)3 0 2 0 UU = 7,180/145,36 V Por tanto, u''1 (t) = 7,180.cos(2t 145,36 /180) V u''1 (0+ ) = 5,907 V y la expresin [15.62] adopta la forma u''1(t) = 7,180.cos(2t 145,36 /180) + e 1,25t [A.cos(0,968t) + B.sen(0,968t)] V [15.63] Para determinar las condiciones de contorno, se sustituye la bobina por una fuente de intensidad iL y el condensador por una fuente de tensin uC, con lo que resulta el circuito de la figura 15.25c. En ste se tiene u''1(t) = R1iL(t) [15.64] L tu R t i R t u LL )( d d d "d 11 1 [15.65] A su vez, la tensin en la bobina, uL, se obtiene sin ms que aplicar la segunda ley de Kirchhoff uL = uC u0 u''1 Si se sustituye este resultado en la ecuacin [15.65], se tiene )(")()( d "d 10C tututu L R t u 11 [15.66] y si, a continuacin, se hace t = 0+ en las ecuaciones [15.64] y [15.66], y se tiene en cuenta que el circuito se encuentra a estado inicial cero: iL(0 ) = uC(0 ) = 0, resulta u''1(0+ ) = R1iL(0+ ) = R1iL(0 ) = 0
52. 52. 58 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 707,110805,70 2 3 )0('')0()0( d "d 10C 1 0 1 uuu L R t u t V/s Si se aplican estas condiciones de contorno a la solucin dada en [15.63] se tiene el sistema de ecuaciones siguiente u''1(0+ ) = 0 = 5,907 + A 0,968B1,25A-/180),(sen,, d "d 361451807270711 0 1 tt u 0,968B1,25A-24,081 cuya solucin es: A = 5,907, B = 12,898 La respuesta u''1(t) es, por tanto, u''1(t) = 7,180.cos(2t 145,36 /180) + e 1,25t [5,907.cos(0,968t) 12,898.sen(0,968t)] V Por el principio de superposicin, la respuesta buscada, u1(t), es u1(t) = u'1(t) + u''1(t) = = 18,741.cos(2t + 51,34. /180) + 7,180.cos(2t 145,36 /180) + + e 1,25t [5,907.cos(0,968t) 12,898.sen(0,968t)] = = 25,701.cos(2t 133,26 /180) + e 1,25t [5,907.cos(0,968t) 12,898.sen(0,968t)] V que coincide, salvo errores de redondeo, con el resultado del ejemplo 15.5. De forma dual se estudia el transitorio debido a una maniobra de apertura de un interruptor. En la figura 15.26a se muestra un circuito con un interruptor cerrado, que se ha destacado como una rama externa. Se va a suponer conocido el comportamiento del circuito en estas condiciones (con el interruptor cerrado) y, por tanto, en este circuito, se conoce la intensidad que circula por los contactos del interruptor, i0(t), as como las tensiones en los condensadores, uC0(t), y las intensidades en las bobinas, iL0(t). El interruptor se abre en un instante t = 0, con lo que se tiene el circuito de la figura 15.26b, para t > 0. La rama externa es, ahora, un circuito abierto, que se puede tratar como una fuente ideal de intensidad de valor cero y, por consiguiente, se puede sustituir por dos fuentes de intensidad en paralelo, siempre que sean iguales y opuestas. Estas fuentes se aplican en t = 0 y su valor puede ser cualquiera, pero se va a tomar igual a i0(t)U(t) como
53. 53. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 59 se indica en la figura 15.26c. Tambin se considera que las excitaciones se aplican en t = 0, por lo que se aaden las fuentes de condiciones iniciales en bobinas y condensadores. Figura 15.26 En el paso siguiente se aplica superposicin, tal como se indica en la figura 15.27. Cualquier respuesta viene dada por la suma de los valores correspondientes del circuito de la figura 15.27a y del circuito de la figura 15.27b. Por ejemplo, la tensin u que aparece entre los contactos del interruptor, cuando ste se abre, viene dada por las componentes u' y u", tales que a) uC0(t) us1 is1 iL0(t) L C C.P. Resistivo i0(t) S b) uC(t) u us1 is1 iL(t) L C C.P. Resistivo 0 A c) 0 A uC0(0)U(t) iL0(0)U(t) uC(t) us1U(t) is1U(t) iL(t) L C C.P. Resistivo i0U(t) i0U(t) u
54. 54. 60 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) u = u' + u" [15.67] El primero de los circuitos (figura 15.27a) contiene todas las fuentes internas (tanto las de excitacin como las de condiciones iniciales, correspondientes a t = 0) y la fuente externa de valor i0(t) y referencia coincidente con la intensidad que circula entre los contactos del interruptor cerrado. Esto corresponde a la situacin del circuito previa a la apertura del interruptor, por lo que la componente de las respuestas aportada por este circuito coincide con la obtenida con el circuito de la figura 15.26a. En el segundo circuito (figura 15.27b) solo acta la fuente de intensidad externa restante. Es decir, la componente de las respuestas aportada por este segundo circuito, es la respuesta a estado inicial cero, debida a la excitacin con una fuente de valor i0(t) y referencia opuesta a la intensidad entre contactos del interruptor cerrado, aplicada en t = 0. Si la variable en estudio es la tensin entre los contactos del interruptor cuando stos se han abierto, la primera componente es cero, ya que en la fuente de intensidad i0 del circuito de la figura 15.27a la tensin es nula. Esta fuente se puede considerar que procede de aplicar la regla de sustitucin al cortocircuito (contactos cerrados del interruptor) de la figura 15.26a. Por tanto, para esta variable, u, basta estudiar el circuito de la figura 15.27b, ya que, por la ecuacin [15.67], u = 0 + u" = u" Este caso tiene inters prctico, para determinar la tensin entre los contactos de un interruptor real durante la maniobra de apertura de los mismos. Esta tensin, conocida como tensin de restablecimiento, puede dar lugar a que se mantenga un arco entre los contactos del interruptor, de forma que siga circulando corriente a travs de ellos con el interruptor abierto (mecnicamente). Figura 15.27 a) + uC0(0)U(t) iL0(0)U(t) uC0(t) us1U(t) is1U(t) iL0(t) L C C.P. Resistivo i0U(t) u' i0U(t) L C C.P. Resistivo u" b)
55. 55. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 61 Ejemplo 15.9 El circuito de la figura 15.28a se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar la intensidad i1(t), para t > 0, sustituyendo el interruptor abierto por fuentes. Figura 15.28 En la figura 15.28b, se muestra el circuito a partir del instante en el que se abre el interruptor, t = 0. Se supone que las fuentes de excitacin, Us e i0, se aplican en t = 0 a un circuito con unas condiciones iniciales definidas por las fuentes iL0(0) y uC0(0). Figura 15.29 A continuacin, se aplica superposicin en la forma indicada por los circuitos de las figuras 15.29a y b. La intensidad buscada viene dada por i1 = i'1 + i"1 [15.68] La primera componente, i'1, se obtiene del circuito de la figura 15.29a, que evoluciona como lo hara el circuito original si no se hubiera abierto el interruptor. Se tiene por tanto, un rgimen permanente de continua, que se estudia con el circuito de la figura 15.30a, despus de sustituir la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto. De l se obtiene a) SR1 = 1 Us = 10 V i1 L = 2 H i0 R2 = 2C = 3 F b) R1 Us i1 L i0 R2 C uC0(0) i0 iL0(0) a) i'1 uC0(0) i0 iL0(0) R1 = 1 L = 2 H R2 = 2 C = 3 F Us = 10 V i"1 b) ZR1 = 1 ZL = 2D ZC = 1/(3D) i0 ZR2 = 2
56. 56. 62 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) i0(t) = 10 A i'1(t) = i0(t) = 10 A Esta intensidad i0(t) seguira circulando a travs del interruptor si no abrieran los contactos en t = 0. Figura 15.30 El paso siguiente es hallar i''1(t). Para ello se analiza el circuito de la figura 15.29b, que es el circuito pasivo del circuito original, a estado inicial cero, al que se aade la fuente de intensidad de valor i0, en el lugar donde estaba el interruptor (con la referencia opuesta a la intensidad i0 del circuito original). Los elementos pasivos se han caracterizado por sus impedancias operacionales. En primer lugar se determina la ecuacin diferencial aplicando divisores de intensidad 00 1 1 1 2 2 1 3 1 1 3 1 3 1 1 3 1 1 22 2 ii ZZ Z ZZ ZZ ZZ Z i CR C CR CR LR R D D D DD " = 386 20 1122 2 0 DD)D)(3D( 2 i La ecuacin diferencial es (6D 2 + 8D + 3)i"1 = 20 cuya ecuacin caracterstica 6r 2 + 8r + 3 = 0 tiene como races 6 2 3 2 j . a) R1 = 1 Us = 10 V i'1 i0 R2 = 2 S i"1 R2 = 2 i0iL uC iC R1 = 1 b)
57. 57. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 63 La solucin buscada para i"1 tiene la forma i"1(t) = i"1 (t) + e 2t/3 (A.cos t 6 2 + B.sen t 6 2 ) [15.69] La respuesta de rgimen permanente, i"1 (t), se obtiene por simple inspeccin, despus de sustituir en el circuito de la figura 15.29b la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto, i"1 (t) = 3 20 10 21 2 0 21 2 i RR R A Para establecer las condiciones de contorno se sustituye, en el circuito de la figura15.29b, la bobina por una fuente de intensidad y el condensador por una fuente de tensin, con lo que se obtiene el mostrado en la figura 15.30b. Se deduce inmediatamente i"1(t) = 1R tuC )( [15.70] C ti Rt u Rt i CC )( d d d "d 11 1 11 [15.71] Por otra parte, se tiene iC(t) = iL(t) i"1(t) que, sustituido en la ecuacin [15.71], da como resultado C titi Rt i L )(")( d "d 1 1 1 1 [15.72] De las ecuaciones [15.70] y [15.72], particularizadas para t = 0+ , se obtienen las condiciones de contorno, teniendo en cuenta que el circuito se encuentra a estado inicial cero, i"1(0+ ) = 0 0 1R uC )( 0 001 1 10 1 C ii Rt i L t )(")( d "d
58. 58. 64 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) que, impuestas a la solucin dada por la ecuacin [15.69], dan lugar al sistema siguiente i"1(0+ ) = 0 = 20/3 + A 0 1 tt i d "d 0 = B 6 2 A 3 2 Se obtiene como soluciones: A = 20/3, B = 23 80 , con lo que, al sustituir valores en dicha ecuacin [15.69], resulta tteti t 6 2 23 80 6 2 3 20 3 20 32 1 sencos)(" / A Finalmente, la respuesta buscada, i1(t), de acuerdo con la ecuacin [15.68], es i1(t) = 10 + tte t 6 2 23 80 6 2 3 20 3 20 32 sencos/ = tte t 6 2 23 80 6 2 3 20 3 10 32 sencos/ A
59. 59. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 65 Problemas P15.1 El circuito de la figura P15.1 est en rgimen permanente, con el condensador C2 descargado. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Se pide: a) Hallar la ecuacin diferencial de la intensidad i(t). b) Hallar i(0+ ) y di/dt t = 0+ Figura P15.1 P15.2 El circuito de la figura P15.2 est en rgimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar u(t), para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuacin diferencial correspondiente y su posterior resolucin. Figura P15.2 P15.3 En el circuito de la figura P15.3, que se encuentra a estado inicial cero, se cierra el interruptor S en t = 0. Hallar la intensidad i(t), para t > 0, mediante la escritura de la ecuacin diferencial correspondiente y su posterior resolucin. Figura P15.3 S C = 2 FR1 = 1 R2 = 2L1 = 2 H Is = 5 A Us = 4 V L2 = 1 H u L2 = 2 H L1 = 1 H C = 1 FUs = 100 V R = 2 iS R1 = 2 C2 = 1 F i Us = 8 V R2 = 4 R3 = 1C1 = 2 F S
60. 60. 66 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) P15.4 El circuito de la figura P15.4 se encuentra en rgimen estacionario con el interruptor S1 abierto y el S2 cerrado. En el instante t = 0 se cierra S1 y, simultneamente, se abre S2. Calcular, por escritura de la ecuacin diferencial y su posterior resolucin, la intensidad i(t) para t > 0. Figura P15.4 DATOS: Us1 = 200 V; R1 = 30 ; L = 0,1 H; R2 = 10 ; C = 1 mF; Us2 = 100 V; R3 = 5 . P15.5 El circuito de la figura P15.5 lleva en la posicin indicada un tiempo suficientemente grande para considerar que se encuentra en rgimen permanente. En un instante, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S1. Al cabo de 1 s se abre el interruptor S2. Hallar la tensin u(t), para t > 0, mediante la escritura directa de la ecuacin diferencial correspondiente y su posterior resolucin. Figura P15.5 P15.6 En el circuito de la figura P15.6, que se supone en rgimen estacionario sinusoidal, se cierra el interruptor S en un instante que se toma como origen de tiempos (t = 0). Al cabo de 2 /10 s se vuelve a abrir el interruptor. Tomando este instante como nuevo origen de tiempos, determinar la tensin, u, que aparece desde ese momento, entre los contactos del interruptor. C = 2,5 F R = 1 L = 1 H Us1 = 10 V S2 u Us2 = 4 V S1 Us1 R1 L R2 u(t)C i(t) R3 Us2 S1 S2
61. 61. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 67 Figura P15.6 P15.7 Repetir el anlisis del primer transitorio del problema P15.6, simulando con fuentes la maniobra de cierre del interruptor S. P15.8 El circuito de la figura P15.8 se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor S. Hallar la tensin u(t), para t > 0, sustituyendo el interruptor abierto por fuentes. Figura P15.8 P15.9 El circuito de la figura P15.9 est en rgimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se abre el interruptor, y se vuelve a cerrar al cabo de 1 s. Hallar i(t) para t 1 s. Figura P15.9 NOTA. Las bobinas no estn acopladas entre s. C = 1 F R = 0,2L = 0,1 H us = 2cos20t V u S R1 = 1 L = 2 H us = 1000cos10t V Su R2 = 2 C = 1 F R1 = 3 Us = 6 V i(t) R2 = 1L1 = 1 H L2 = 2 HS
62. 62. 68 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) P15.10 El circuito de la figura P15.10 se encuentra en rgimen permanente. En un instante dado, que se toma como origen de tiempos, se cierra el interruptor S. Hallar la expresin de i(t), para t > 0. Figura P15.10 us = 6cos(10t) R1 = 1 C = 0,1 F S R2 = 1 L = 0,1 H i
63. 63. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 69 Soluciones de los problemas SP 15.1 a) En la figura SP 15.1a se representa el circuito en estudio, despus de cerrar el interruptor S, con los elementos pasivos caracterizados por sus impedancias operacionales. Figura SP 15.1 Si se aplica el mtodo de anlisis por mallas, la intensidad de circulacin de malla, ib, coincide con la intensidad i cuya ecuacin diferencial se quiere determinar. Las ecuaciones que resultan son Malla a: sba DD Uii 2 1 2 1 2 Malla b: 015 D2 1 D2 1 cba iii Malla c: 0 D 1 11 cb ii Si se eliminan de este sistema de ecuaciones las intensidades ia e ic y se tiene en cuenta que ib = i, se obtiene la expresin s 14D 1 1D D D D 1)DD( Ui 2 110 42 1 donde, despus de operar, resulta la ecuacin diferencial [16D 2 + 26D + 7]i = (1 + D)Us = 8 b) En la figura SP 15.1b se representa el circuito en estudio, con el interruptor cerrado, en el que se han sustituido los condensadores por fuentes de tensin. De l se deduce inmediatamente que la intensidad i se puede expresar en la forma ZR1 = 2 i Us a) ZR2 = 4 ZC1 = D2 1 ZR3 = 1 ZC2 = 1/D ia ic ib S
64. 64. 70 CIRCUITOS ELCTRICOS (II) 2 21 R uu i CC [15.73] Figura SP 15.1 En el rgimen permanente de continua previo al cierre del interruptor, se tiene el circuito de la figura SP 15.1c, en el que se obtiene V)( s 7 40 8 142 14 0 321 32 1 U RRR RR uC Adems, al estar descargado el condensador C2, uC2(0 ) = 0 V. Se tiene, por tanto, uC1(0+ ) = 40/7 V y uC2(0+ ) = 0 V. Si se sustituyen estos valores en la expresin [15.73], se obtiene la primera condicin de contorno A 7 10)0()0( )0( 2 21 R uu i CC Si se deriva la citada expresin [15.73], se obtiene 2 C2 1 C1 20 C2C1 20 )0()0(1 d d d d1 d d C i C i Rt u t u Rt i tt [15.74] Para calcular iC1(0+ ) e iC2(0+ ) se determinan estas variables en el circuito de la figura SP 15.1b, en el que se tiene, para cualquier instante, t, i R uU iii C RC 1 1 11 s 3 2 32 R u iiii C RC y, para t = 0+ , c) C2Us uC1(0 ) R1 = 2 R2 = 4 R3 = 1 b) i Us = 8 V uC1 uC2 R1 = 2 R2 = 4 R3 = 1 iR1 iC1 iC2iR3
65. 65. RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR 71 A / )( )( )( s 7 2 7 10 2 7408 0 0 0 1 1 1 i R uU i C C A )( )()( 7 10 0 7 100 00 3 2 2 R u ii C C Si, ahora, se sustituyen valores en la expresin [15.74], se obtiene la segunda condicin de contorno A/s0,3929- // d d 28 11 1 710 2 72 4 1 0tt i SP 15.2 Figura SP 15.2 En el rgimen permanente de continua, correspondiente a t < 0, se tiene el circuito de la figura SP 15.2a, despus de sustituir las bobinas por cortocircuitos y el condensador por un circuito abierto. De manera inmediata se tiene As 6 21 21 4 21 21 1 RR RR U iL A26 21 1 1 21 1 2 LL i RR R i esto es, iL1(0 ) = 6 A, iL2(0 ) = 2 A, uC(0 ) = RL2iL2(0 ) = 4 V. Al abrirse el interruptor, para t = 0, queda la fuente de intensidad en serie con dos dipolos, como se muestra en la figura SP 15.2b, que pueden analizarse por separado, ya que, segn se vio en el apartado 2.2.2 del volumen I, al prescindir de uno de ellos (sustituyndolo por un cortocircuito), el otro no nota el cambio. Se tienen, por tanto, los dos circuitos de las figuras SP 15.2c y d, en los que las tensiones u1 y u2 coinciden con las del circuito de la figura SP 15.2b. La tensin buscada es b) R1 = 1 R2 = 2L1 = 2 H