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Circuitos Lógicos – Prof. Daniel D. Silveira
Circuitos Lógicos Álgebra Booleana
Simplificação de circuitos lógicos
Prof.: Daniel D. Silveira
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Álgebra de Boole
• Variáveis booleanas são representadas através de letras e podem assumir dois apenas dois valores 0 e 1
• Expressão booleana é uma expressão matemática cujas variáveis são booleanas
• Através de postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades da álgebra de Boole é possível a simplificação das expressões que representam os circuitos lógicos
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• Postulado da complementação
Seja o complemento de A:
Através do postulado, estabelecemos a seguinte identidade:
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Postulados
A
0A 1ASe , logo
1A 0ASe , logo
0A 1ASe , logo
1A 0ASe , logo
, e se 1A , logo 0A
, e se , logo 1A0A
Assim sendo, podemos escrever: AA
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Postulados • Postulado da adição: As regras da adição na álgebra de Boole são:
Através do postulado podemos definir as seguintes identidades:
A+0=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+0=1
A+1=1, se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+1=1
A+A=A, se A=0=>0+0=0 ; se A=1=>1+1=1
, se A=0=>0+1=1 ; se A=1=>1+0=1
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1 AA
1o) 0+0=0
2o) 0+1=1
3o) 1+0=1
4o) 1+1=1
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Postulados
• Postulado da Multiplicação: As regras da multiplicação booleana são
Através do postulado, podemos estabelecer as identidades:
A.0=0, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 0.1=0
A.1=A, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.1=1
A.A=A, se A=0=>0.0=0; se A=1=> 1.1=1
=0, se A=0=>0.1=0; se A=1=> 1.0=0
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AA.
1o) 0.0=0
2o) 0.1=0
3o) 1.0=0
4o) 1.1=1
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Propriedades • Propriedade comutativa na adição:
A+B=B+A
• Propriedade comutativa na multiplicação:
A.B=B.A
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Propriedades
• Propriedade associativa na adição:
A + (B + C)=(A + B) + C=A + B + C
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Propriedades
• Propriedade associativa na multiplicação:
A . (B . C)=(A . B) . C= A . B . C
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Propriedades
• Propriedade distributiva:
A. (B + C)= A . B + A . C
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Teoremas de De Morgan
• O complemento do produto é igual a soma dos complementos
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BABA .
)...(..... NCBANCBA
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Teoremas de De Morgan • O complemento do a soma é igual ao produto dos complementos (extensão do primeiro teorema)
Seja o 1o. Teorema:
Reescrevendo assim:
E chamando de X e de Y
Tem-se o 2o teorema:
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BABA .
)(. BABA
A B
YXYX .
NCBANCBA .....)...(
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Identidades auxiliares
• A + AB=A => A(1+B)=A
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BAABAA
BABAA
..
.
Identidade: AA
BABAA
BA
BA
BAAA
BAA
BAABAA
.
.
)..(
).(
)..(. 2o Teorema de De Morgan
1o Teorema de De Morgan
Propriedade distributiva e identidade
1o Teorema de De Morgan
0. AA
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Identidades auxiliares
BCACABA
BCA
BCCBA
CBCBAA
CBCABAA
CBCABAAA
BACBAACABA
CBACABA
)).((
.1.
.)1.(
.).(
...
....
)()()).((
.)).(( Propriedades utilizadas:
Distributiva
Distributiva
A.A=A
1+A=1 e A.1=A
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Quadro Resumo
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Identidades
Complementação Adição Multiplicação
A+0=A A.0=0
A+1=1 A.1=A
A+A=A A.A=A
Postulados
Complementação Adição Multiplicação
0+0=0 0.0=0
0+1=1 0.1=0
1+0=1 1.0=0
1+1=1 1.1=1
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Simplificação de Expressões Booleanas
• Simplificações de expressões implicam em simplificações de circuitos
• São possíveis dois métodos para se realizar simplificações de expressões:
Álgebra de Boole
Mapas de Veitch-Karnaugh
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Simplificação de expressões booleanas
• Exemplo
Seja simplificar a expressão:
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BACAABCS
)( BCBCAS
)]([ BCBCAS
)]([ BCBCAS
)]([ BCBCAS
AYYAS ][
Evidenciando o termo A
De Morgan e, chamando BC de Y
Associativa
AA
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Simplificação de expressões booleanas
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Exercícios propostos
Simplifique as expressões abaixo:
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CBACBAS .1
ACDCDBACS 2
BCDCBAS .3
CBACBAS .4
CABABCCBABCACBAS ..5
BADCBAS .}].)([{6