Číselné soustavy a vzájemné převody

Střední odborná škola Otrokovice

www.zlinskedumy.cz

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Miloš ZatloukalDostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Charakteristika DUM 2

Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice

Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /4

Autor Ing. Miloš Zatloukal

Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-PE-CT/1-EL-4/1

Název DUM Číselné soustavy a vzájemné převody

Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání

Kód oboru RVP 26-41-L/52

Obor vzdělávání Provozní elektrotechnika

Vyučovací předmět Číslicová technika

Druh učebního materiálu Výukový materiál

Cílová skupina Žák, 15 – 16 let

Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce s doplňujícím výkladem vyučujícího; náplň: přehled číselných soustav a převody čísel mezi nimi

Vybavení, pomůcky Dataprojektor

Klíčová slova Číslo, číslice, číselná soustava, základ číselné soustavy, kód, dvojkový, čtyřkový, osmičkový, šestnáctkový, převody čísel.

Datum 1. 7. 2013

Obsah tématuČíselná soustava

Tvoří ji- základ soustavy- váhy – řády – mocniny základu- symboly – vyjadřovací prvky

Desítková číselná soustavaObecná číselná soustava (převod z desítkové do obecné a zpět)Dvojková (binární) číselná soustavaČíselné soustavy odvozené z dvojkovéPřevody mezi soustavami

Číselné soustavy a vzájemné převody

Číselná soustavaUmožňuje vyjadřovat informaci jako číslo složené z jednotlivých symbolů – vyjadřovacích prvků.

Číselnou soustavu charakterizují tyto vlastnosti:

- Základ soustavy: Z – je obsažen v názvu soustavy

- Váhy (jednotlivé řády) – Zn …Z3,Z2,Z1 ,Z0, Z-1, Z-2, …Z-m

- Symboly (jakási „číslicová abeceda“ – vyjadřovací prvky)

Místo pojmu číselná soustava se často používá pojem číselný kód (desítkový, dvojkový…)

Nejznámější číselnou soustavou je v našem světě soustava desítková. Proč? Historické souvislosti, 10 prstů člověka…

Číselná soustava – pokračováníDesítková soustava- Základ soustavy: Z = 10- Váhy (jednotlivé řády): 10n …103, 102, 101 , 100, 10-1, 10-2, …, 10-m

- Symboly: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Z příkladu je vidět, že ze základu je odvozeno vše potřebné: - váhy

– mocniny základu – (hraniční mezi celými a necelými čísly je nultá mocnina 100 = 1)

- symboly - jejich počet (je rovný základu soustavy – tedy 10), - hodnota nejvyššího symbolu (o 1 menší než je základ soustavy – tedy 9)

Příklad čísla vyjádřeného v desítkové soustavě: 549,286Číslo má velikost: 5 stovek + 4 desítky + 9 jednotek+2 desetiny + 8 setin + 6 tisícin(půjde vlastně o rozklad typu součet součinů (tvořených prvkem a příslušným řádem).

Desítková číselná soustava – pokračování549,286Pro desítkovou soustavu lze číslo 5439,286

zapsat jako 5*100 + 4*10 + 9*1 + 2*0,1+8*0,01+6*0,001

nebo 5*102 + 4*101 + 9*100 +2*10-1+ 8*10-2+ 6*10-3

Obdobným způsobem bude později řešen převod čísla v některé z číselných soustav do desítkové soustavy.

Obecná číselná soustava

Slouží k vyjádření čísla určité velikosti, využívá k tomu základ Z, z něj je pak odvozeno vše ostatní:

- Název soustavy (např. dvojková, trojková…)- Prvky – symboly

- jejich počet (=Z)- největší z nich (= Z - 1) – začíná se vždy nulou

- Řády zvané také jako váhy jde o mocniny základu - s indexy 0, 1, 2, …, n) – pro čísla >= 1 … Z0, Z1, Z2, Z3 , …, Zn

- s indexy -1, -2, …, -m) – pro čísla < 1 … Z-1, Z-2, Z-3, …, Z-m

Zde je namístě vysvětlit jak převést desítkové číslo na číslo jiné soustavy (obecné – ale v příkladu bude upřesněna)

Obecná číselná soustava – převod z desítkové – pokračování

Jak se převede desítkové číslo do číselné soustavy o základu Z? Lze použít několik metod, např. metodu postupného odečítání čísla Z nebo postupného dělení číslem Z. Příklad: číslo (46)10 převeďte do trojkové soustavy postupným dělením

Řešení: 46 : 3 = 15 zbytek 115 : 3 = 5 zbytek 0 5 : 3 = 1 zbytek 2 1 : 3 = 0 zbytek 1

Výsledek: (46)10 = (1201)3

Zbytky po celočíselném dělení zapsané pozpátku (tedy nejprve zbytek po posledním dělení, kdy je výsledek nula) pak vytvoří žádané číslo v trojkové soustavě

Obecná číselná soustava – zkouška – převod do desítkové(převod z obecné soustavy do desítkové)Předchozí příklad: (46)10 = (1201)3

Zkouška Postup:

- Pod jednotlivé číslice zprava doleva zapíšeme mocniny základu (zde čísla 3). Mocniny začínají od indexu 0 – tedy Z0 = 1.

- Pak je můžeme vypočítat (provést umocnění)

- Poté vytvoříme dílčí součiny (číslice převáděného čísla krát příslušná mocnina)

- Nakonec dílčí součiny sečteme

( 1 2 0 1 )3 33 32 31 30

27 9 3 1

(1201)3 = 1*27 + 2*9 + 0*3 + 1*1 = 27 + 18 + 0 +1 = 46

Obecná číselná soustava – převod z desítkové – zobecnění

Jak se převede desítkové číslo do číselné soustavy o základu Z? Metoda postupného dělení Zadané číslo vydělíme základem soustavy do které převádímeV dílčím kroku převodu (dělení) získáme

- podíl (ten bude dále dělen v dalším kroku)- zbytek (ze zbytků nakonec vznikne výsledek)

Kdy dělení končí? Tehdy, když je podíl nulový ( dělené číslo je menší než číslo kterým dělíme (základ Z).

Zbytky zapsané pozpátku (tedy nejprve zbytek po posledním dělení, kdy je podíl nula), pak vytvoří žádané číslo v zadané soustavě. Pro ověření správnosti převodu lze provést zkoušku – jde zároveň o postup převodu z nějaké číselné soustavy do soustavy desítkové.

Číselná soustava dvojková- Základ soustavy: Z = 2- Váhy (jednotlivé řády): 2n …23, 22, 21, 20, 2-1, 2-2, …, 2-m

- Symboly: 0, 1 Použití dvojkových čísel: informatika, počítače, programování

Z dvojkové soustavy jsou odvozeny některé další soustavy – čtyřková, osmičková, šestnáctková – praktické využití má např. soustava šestnáctková (např. v oblasti mikropočítačů).

Převod z desítkové do dvojkové soustavyLze sice použít metodou postupného dělení (základem, tedy dvojkou) ale menší možnost chyby poskytuje metoda rozkladu do vah (řádů) – mocnin čísla 2 – tedy metoda postupného odečítání.

Číselná soustava dvojková – pokračování

Příklad : Desítkové číslo 29 převeďte do dvojkové soustavy

Postup: na pravou stranu rovnice napíšeme mocniny dvojky – od nejnižších (20)zprava doleva až po nejvyšší ještě potřebnou mocninu (vyšší už svojí hodnotou přesahuje zadané číslo)16, 8, 4, 2, 1 32 je už příliš velké číslo

Nyní zkoumáme, zda je daná mocnina v čísle 29 obsažena – pokud ano, zapíšeme jedničku, pokud ne tak nulu. Po zapsané jedničce od zadaného čísla odečteme hodnotu příslušné mocniny (abychom věděli, kolik ještě zbývá k dalšímu rozdělení)

16 je ve 29, píšeme 1, 29-16=13 8 je ve 13, píšeme 1, 13-8=5, 4 je v 5, píšeme 1, 5-4 = 1, 2 v 1 není (dvojka je větší) – píšeme nulu, 1 v 1 je, píšeme 1 (1-1=0)převod končí(29)10 = (1 1 1 0 1)2

16 8 4 2 1Zkouška: 1*16 + 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 16+8+4+0+1= 29

Číselné soustavy odvozené z dvojkové

1) Převod z dvojkové do odvozenéZdrojovou číselnou soustavou bude soustava dvojková, cílovou soustavou je taková, která je odvozená z dvojkové – tj. čtyřková, osmičková, šestnáctková… Příklady:(1110010)2 = (1302)4

(1110010)2 = (162)8

(1110010)2 = (72)16

(1110010)2 = (3I)32 - slovy 3 í

(I odpovídá číslu 18, kdy 10 = A, Bé 11, …, 15=F, 16=G, 17=H, 18=I)

Postup: zdrojové číslo rozdělíme zprava do skupin po tolika číslicích (bitech), kolik jich je potřeba pro zápis nejvyššího symbolu (číslice) dané soustavy – 2, 3, 4, 5 … bity pro čtyřkovou, osmičkovou, šestnáctkovou , 32-ovou … soustavu a každou skupinu bitů převedeme na desítkové číslo – pozor u čísel větších než 9, tam je pak ve výsledku použít písmena A, B…(1110010)2 = (162)8

(1110010)2 = (001 110 010)2 (pokud chybí u nejvyšší jedničky bity – doplníme nulami) 1 6 2 - tedy výsledek je (162)8

Číselné soustavy odvozené z dvojkové – pokračování

Tabulka

2) Převod ze soustavy odvozené z dvojkové (čtyřková, osmičková, šestnáctková…) do dvojkové soustavy.Příklady: (23)4 = (1011)2

(74)8 = (111100)2

(6C)16 = (1101100)2

Číselná soustava základ nejvyšší prvek bitů ve skupině

Čtyřková 4 3 = 11 2

Osmičková 8 7 = 111 3

Šestnáctková 16 15 = 1111 4

32 – ová 32 31 = 11111 5

Číselné soustavy odvozené z dvojkové - pokračování

Postup převodu: Každou číslici vstupního čísla převedeme samostatně na tolikabitové dvojkové číslo, na kolik bitů zapíšeme nejvyšší symbol dané soustavy – - pro čtyřkovou jde o trojku (11 = 2 jedničky), - pro osmičkovou o 7 (111 = 3 jedničky)- pro šestnáctkovou o 15 (1111 = 4 jedničky)- Pro 32-ovou o 31 (11111 = 5 jedniček), atp.

Tedy u čtyřkové každou číslici na dvoubitové dvojkové číslo,u osmičkové každou číslici na tříbitové dvojkové číslo,u šestnáctkové každou číslici na čtyřbitové dvojkové číslo, u 32-ové na pětibitové dvojkové číslo, atp.

Kontrolní otázky

1. Počet symbolů = prvků = znaků určité číselné soustavy o základu Z je:a) Z + 1b) Z - 1c) Z

2. Jakou váhu jednotek mají celá čísla v jakékoli číselné soustavě o základu Z:

a) Z0 = 1b) Z-1 = 1/Zc) Z1 = Z

3. Záporná mocnina základu Z – např. Z-2 určuje číslo:

a) menší než nulab) záporné čísloc) menší než jedna

Kontrolní otázky – správné odpovědi – červeně

1. Počet symbolů = prvků = znaků určité číselné soustavy o základu Z je:a) Z + 1b) Z - 1c) Z

a) Z0 = 1b) Z-1 = 1/Zc) Z1 = Z

3. Záporná mocnina základu Z – např. Z-2 určuje číslo:

a) menší než nulab) záporné čísloc) menší než jedna

2. Jakou váhu jednotek mají celá čísla v jakékoli číselné soustavě o základu Z:

Seznam obrázků:

Seznam použité literatury:

[1] Matoušek, D.: Číslicová technika, BEN, Praha, 2001, ISBN 80-7232-206-0

[2] Blatný, J., Krištoufek, K., Pokorný, Z., Kolenička, J.: Číslicové počítače, SNTL, Praha, 1982

[3] Kesl, J.: Elektronika III – Číslicová technika, BEN, Praha, 2003, ISBN 80-7300-075-X

Děkuji za pozornost