ČÍSELNÉ SÚSTAVY

2

2

Obsah

Číselné sústavy Delenie číselných sústav

Desiatková čís. sústava Dvojková Osmičková Šestnástková

Prevody sústav Základné operácie (+, -, :, *)

3

Cieľ

- vysvetliť pojem binárna sústava- ukázať ako prepíšeme číslo z desiatkovej do binárnej číselnej sústavy- ... a z binárnej do desiatkovej

4

Základné pojmy

Číselná sústava je systém jednoznačných pravidiel pre zobrazenie číselných hodnôt pomocou konečného počtu znakov (číslic, cifier)

Číslo je reprezentované v danej číselnej sústave postupnosťou číslic

Číselnú sústavu charakterizuje z vonkajšieho pohľadu použitá množina znakov - číslic

5

Delenie číselných sústav

Polyadické (pozičné) – význam číslice vždy závisí od jej pozície v zápise Dvojková Osmičková Desiatková šestnástková

Nepolyadické (nepozičné) – význam číslice nemusí vždy závisieť od jej pozície v zápise Rímska „pivná“

Vo výpočtovej technike sa používajú len pozičné sústavy

6

Decimálna Binárna Trojková Oktálová Hexadecimálnaz=10 z=2 z=3 z=8 z=16

0 0 0 0 01 1 1 1 12 10 2 2 23 11 10 3 34 100 11 4 45 101 12 5 56 110 20 6 67 111 21 7 78 1000 22 10 89 1001 100 11 910 1010 101 12 A11 1011 102 13 B12 1100 110 14 C13 1101 111 15 D14 1110 112 16 E15 1111 120 17 F16 10000 121 20 1017 10001 122 21 11

7

Číselné sústavy v informatike

V súvislosti s programovaním a výpočtovou technikou vôbec sa najčastejšie stretneme s číslami v sústave desiatkovej(dekadickej), osmičkovej (oktálovej), šestnástkovej(hexadecimálnej) a dvojkovej (binárnej),

preto sa ďalej budeme zaoberať prevodmi čísel:

8

Desiatková sústava

Používame 10 číslic ( prečo ? ) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Hodnota číslice závisí od jej pozície v čísle ( napr. číslica 3 má na pozícii jednotiek inú hodnotu ako na pozícii stoviek )

V minulosti sa používali číselné sústavy, ktoré neboli pozičné ani desiatkové ...

... príkladom takej číselnej sústavy sú rímske číslice

9

Dvojková sústava

2 cifry: 0 a 1 0 znamená nepravda, 1 – pravda

10

Osmičková

8 cifier: 0 – 7

11

Šestnástková

16 cifier: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

10 – A 11 – B 12 – C 13 – D 14 – E 15 - F

Prevod čísla z desiatkovej do dvojkovej sústavy

prečítaj číslo opakuj číslo deľ dvoma zapíš zvyšok až kým podiel nebude 0 zvyšky zapíš od posledného po prvý

Príklad : Prepíšte číslo 78 do dvojkovej sústavy !

78:2=39 zv.0

39:2=19 zv.1

19:2= 9 zv.1

9:2= 4 zv.1

4:2= 2 zv.0

2:2= 1 zv.0

1:2= 0 zv.1 koniec

Výsledok je 1001110

Prevod čísla z binárnej sústavy do desiatkovej :

na začiatku je výsledok 0 opakuj výsledok vynásob dvoma oddeľ jednu číslicu zľava a pripočítaj ju k výsledku až kým nebudeš na konci čísla

Príklad :Číslo 1001110 je zapísané v binárnej sústave. Prepíšte ho do desiatkovej číselnej sústavy !

Riešenie :((((((0.2+1).2+0).2+0).2+1).2+1).2+1).2+0=78

Tento postup je vhodný ako algoritmus pre počítač – na ručný prepočet honeodporúčam !

Príklad :Číslo 1001110 je zapísané v binárnej sústave. Prepíšte ho do desiatkovej číselnej sústavy !

Iný spôsob riešenia :

1001110=

=1.26+0.25+0.24+1.23+1.22+1.21+0.20=

=64+0+0+8+4+2+0=78

17

Kalkulačky online

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/kalkulacka-online.htm

18

OPERÁCIE

19

Súčet

0 + 0 = 0 0 + 1=1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 1 + 1 + 1 = 11

20

Súčin

1 . 0 = 00 . 1 = 0 0 . 0 = 0

1 . 1 = 110 . 1 = 10

21

ROZDIEL

1- 0 = 10 – 0 = 0

1 – 1 = 0 10 - 1 = 111 – 10 = 111 – 1 = 10

22

Podiel

1 : 1 = 1 10 : 1 = 10 11 : 1 = 11

http://matematika-online-a.kvalitne.cz/kalkulacka-online.htm

Načo je to dobré ? Ak je informácia zapísaná ako binárne

číslo, tak ju nazývame digitálna informácia

Počítače a moderné komunikačné systémy spracúvajú a šíria digitálne informácie oveľa rýchlejšie ako analógové informácie

Text

TextText

Text

Text Text

Ak ste nepochopili predchádzajúce prepočty, nezúfajte !

Vedecká kalkulačka umožňuje prevod čísla do binárnej ( Bin ), osmičkovej ( Oct ) aj šestnástkovej = hexadecimálnej ( Hex ) sústavy

Šestnástková sústava okrem bežných číslic používa číslice s nasledovnou hodnotou :

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F =15

• Vyskúšajte si prácu s vedeckou kalkulačkou !

Nájdete ju na každom počítači

25

Zdroje

www.gymzv.sk/~prezentacie/matematika/novaky/ciselne_sustavy.pps

www.spseke.sk/web/copko/download/3_rocnik/vyt/2/sustavy.ppt

www.infovek.sk/predmety/inform/projekty/msp/.../ciselnesustavy.ppt

26

PRÍKLADY

27

Prevod z desiatkovej do dvojkovej sústavy

Preveďte číslo 39 z desiatkovej do dvojkovej sústavy.

Násobok Nci zvyšok

0 39 39/2=19 1

1 19 19/2=9 1

2 9 9/2=4 1

3 4 4/2=2 0

4 2 2/2=1 0

5 1 1/2=0 1

VÝZNAM

(39)10 = (100111)2

28

Prevod z dvojkovej do desiatkovej sústavy

Príklad: Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:S6=0, z=2a5=1,a4=0,a3=0,a2=1,a1=1,a0=1Nc=S0=?

Vzťahy:Si = Si+1*z+ai

i zvyš

ok

Si+1*z Si

5 1 0*2=0 0+1=1

4 0 1*2=2 2+0=2

3 0 2*2=4 4+0=4

2 1 4*2=8 8+1=9

1 1 9*2=18 18+1=19

0 1 19*2=38 38+1=39

(100111)2 = (39)10

30

PRE ZÁUJEMCOV

31

Prevod celých čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej

sústavy

Nech A je celé číslo v sústave s nedesiatkovým základom a jeho jednotlivé cifry sú ai (i=n,n-1,...0)

Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať

Nech Nc je hľadané číslo Potom

Si = Si+1*z+ai Nc=S0

Sn+1=0

Alebo

n

i

ii zaNc

0

Hornerova schéma

32

PríkladPríklad:

Preveďte číslo 100111 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:z=2a5=1,a4=0,a3=0,

a2=1,a1=1,a0=1

Nc=?

Vzťahy:

(100111)2 = (39)10

n

i

ii zaNc

0

Riešenie:

Nc = a5*25 + a4*24 + a3*23 + a2*22 + a1*21 + a0*20

Nc = 1*32 + 0*16 + 0*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 Nc = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1Nc = 39

33

Prevod desatinných čísel zo sústavy s nedesiatkovým základom do desiatkovej

sústavy

Nech A je desatinná časť čísla v sústave s nedesiatkovým základom a jej jednotlivé cifry sú ai (i=-1,-2,...-m)

Nech z je základ číselnej sústavy, z ktorej ideme prevádzať

Nech Nd je desatinná časť hľadaného čísla Potom

S-i = S-i-1/z+a-i Nd=S-1/z S-m-1=0

Alebo

m

i

ii zaNd

1

34

PríkladPríklad:

Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:S-7=0, z=2a-6=1,a-5=1,a-4=0,a-3=0,a-2=1,a-1=0Nd=S-1/z=?

Vzťahy: S-i = S-i-1/z+a-i

i a-i S-i-1/z S-i

6 1 0/2=0 0+1=1

5 1 1/2=0,5 0,5+1=1,5

4 0 1,5/2=0,75 0,75+0=0,75

3 0 0,75/2=0,375 0,375+0=0,375

2 1 0,375/2=0,1875 0,1875+1=1,1875

1 0 1,1857/2=0,59375 0,59375+0=0,59375

S-1/z =0,296875

(0,010011)2 = (0,296875)10

35

PríkladPríklad:

Preveďte číslo 0.010011 z dvojkovej do desiatkovej sústavy.

Dané:z=2a-6=1,a-5=1,a-4=0,a-3=0,a-2=1,a-1=0Nd=?

Vzťahy:

(0,010011)2 = (0,296875)10

Riešenie:

Nd = a-6*2-6 + a-5*2-5 + a-4*2-4 + + a-3*2-3 + a-2*2-2 + a-1*2-1

Nd = 1*0,015625 + 1*0,03125 + 0*0,0625 + + 0*0,125 + 1*0,25 + 0*0,5

Nd = 0,015625 + 0,03125 + 0 + + 0 + 0,25 + 0

Nd = 0,296875

m

i

ii zaNd

1

36

Prevod medzi sústavami so základom rovným mocnine čísla 2

Nech A je číslo v sústave, z ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú ai

Nech P je číslo v sústave, do ktorej ideme prevádzať a jeho cifry sú pi

Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k

37

Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j=2 a k>2

Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m

Postup:1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby

počet číslic bol násobkom k2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava

tak, aby počet číslic bol násobkom k3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom

prevádzame na cifry pi

38

Príklad

Príklad:Preveďťe číslo 1110011.1101 z dvojkovej do osmičkovej sústavy

Riešenie:Základ dvojkovej sústavy je 2=21, teda j=1. Základ osmičkovej sústavy je8=23, teda k=3.

1. K celej časti pridáme nuly zľava tak, aby počet číslic bol násobkom k.Počet číslic celej časti je 7. Najbližší násobok čísla 3 je 9. Teda celá časťčísla bude mať 9 číslic => 001110011

2. K desatinnej časti pridáme nuly sprava tak, aby počet číslic bol násobkom k.

Počet číslic desatinnej časti je 4. Najbližší násobok čísla 3 je 6. Tedadesatinná časť čísla bude mať 6 číslic => 110100

39

Príklad

3. Z cifier ai vytvoríme k-tice, ktoré potom prevádzame na cifry pi. Teda z cifier čísla 001110011.110100 vytvoríme trojice, ktoré potom prevádzame.

001 | 110 | 011 . 110 | 100

1 6 3 . 6 4

(1110011,1101)2 = (163,64)8

40

Prevod medzi sústavami so základmi 2j a 2k ak j>2 a k=2

Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m

Postup:1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na j-tice

41

PríkladPríklad:Preveďťe číslo 163.64 z osmičkovej do dvojkovej sústavy

Riešenie:Základ osmičkovej sústavy je 8=23, teda j=3. Základ dvojkovej sústavy je2=21, teda k=1.

1. Jednotilvé číslice ai prevádzame na trojice

1 6 3 . 6 4

001 110 011 . 110 100

(1110011,1101)2 = (163,64)8

42

Prevod medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j>2

Číslo A je v tvare anan-1...a1a0.a-1a-2...a-m

Postup:1. Číslo A prevedieme do dvojkovej sústavy,

podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i>2 a j=2

2. Nové A v dvojkovej sústave prevedieme podľa postupu prevodu medzi sústavami so základmi 2i a 2j ak i=2 a j>2