Théorème des restes

chinois

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<< Une oeuvre où il y a des théories est comme un objet sur

lequel on laisse la marque du prix >>

Marcel Proust

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Dans un premier temps, nous présenterons la résolution mathématique du problème des congruences simultanées avec des différents Méthodes , d’abord dans la situation la plus simple où les modules sont premiers entre eux deux à deux, puis dans un cadre général.

Dans un seconde temps, nous établirons une résolution informatique du problème des congruences simultanées dans des différents langages (C++, JAVA, JAVA SCRIPT).

Sommaire

PARTIE MATHEMATIQUE

PARTIE INFORMATIQUE

I) BREF INTRODUCTION

II) DEMONSTRATION DU

THEOREME

III) QUELQUES APPLICATIONS

IV) ASTUCES ET METHODES

V) COMPARAISON DES DIFFERENTS METHODES

VI) CAS PARTICULIER

I) Base de Java

II) Algorithme

III) Langage Java

IV)Exécution Des Exemple à partir du Langage Java

V) Exécution Des Exemple à partir du Langage C++

VI) Exécution Des Exemple à partir du Langage JavaScript

I II

I) Bref Introduction

Par son histoire et sa religion, la chine a toujours mis l’accent sur l’astronomie. Ainsi, dans le but de prévoir des dates ou événements astronomiques, les astronomes chinois ont découverts le théorème des restes chinois. D’après certains textes, on peut évaluer l’apparition du théorème au 3ème siècle.

Le théorème a évolué au cours du temps sous diverses formes et avec l’apparition de nouveaux, dérivés du théorème initial.

Ce théorème, permettant de calculer des systèmes de congruences

Rappelons le Théorème de reste chinois

Théorème : Prenons m1, ..., mn des entiers supérieurs à 2 deux à deux premiers entre eux, et a1,...,an des entiers. Le système d'équations :

x=a1 mod m1 ... x=an mod mn

admet une unique solution modulo M=m1×...×mn donnée par la formule : x=a1M1y1+...+anMnyn mod Moù Mi=M/mi, et yi=Mi

-1 mod mi pour i compris entre 1 et n.

II)Démonstration du Théorème Prouvons d’abord l’existence d’une solution.

Pour tout 1< i < n, on pose Mi = M/mi

On pose x = a1*M1*x1 + a2*M2* x2 + . . + an*Mn*xn

Montrons que x constitue une solution du système de congruences

Prouvons ensuite l’unicité de la solution modulo M.

Soient x et x′ deux solutions du système de congruences

Montrons que x ≡ x′ mod M.

Quelques Applications

SYSTEME PROBLEME

X ≡ 3 mod 11

X ≡ 6 mod 8

X ≡ -1 mod 15

Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?

III) Les Différents Méthodes Soit le Système :

X ≡ 3 mod 11X ≡ 6 mod 8X ≡ -1 mod 15

Pour résoudre ce système utilisons les Méthodes A et B

Application direct

X ≡ 1 mod 11

X ≡ 0 mod 8

X ≡ 0 mod 15

Avec l’identité de Bézout

On obtient donc X1 =-120X ≡ 0 mod 11

X ≡ 1 mod 8

X ≡ 0 mod 15

Avec x2 = -495

X ≡ 0mod 11

X ≡ 0 mod 8

X ≡ 1 mod 15

AVEC X 3= 616

Finalement on obtient

X = 3 x1 +6 x2 –x3 = - 3946

On rajoute a – 3946 des multiples de M= 8*11*15 = 1320

D’où : X’ = - 3946+

3*1320 =

Première Méthode : A

14

Seconde Méthode :B

X ≡ 3mod 11

X ≡ 6mod 8

En Cherchant T et U tels que :

3+11T= 6+8U

OU

11T-8U = 3

On peut résoudre ceci par l algorithme d’Euclide et par Bézout mais ici, on

constate que T=U= 1 est une solution

Par le même procède on obtient donc la solution recherche

Avec X=

14 mod 1320

Pour résoudre le problème utilisons la méthode c Combien l'armée de Han Xing

comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?

Le problème des soldats se réduit donc a :

X=2 mod 3X=3 mod 5X=2mod 7

Application direct

ZERO METHODE

Règle : « En comptant par trois, il en reste deux » : poser 140. « En comptant par cinq, il en reste trois » : poser 63. « En comptant par sept, il en reste deux » : poser 30.

Faire la somme de ces trois nombres, obtenir 233. Soustraire 210 de ce total, d’où la réponse.

Reponse : 23

En général, pour chaque unité restante d’un décompte par trois, poser 70 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 5, poser 21 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 7, poser 15. Si [la somme ainsi obtenue] vaut 106 ou plus, ôter 105 pour trouver la réponse

TROISIEME METHODE : C

On a donc M=m1×...×mn D’ou M=3*5*7=105 Mi = M/mi

M1=105/3 =35 M2= 105/5 =21 M3 =105/7=15

On sait que Yi Mi ≡ 1 mod mi ou

Yi ≡ Mi -1 mod mi on a donc

d’après Euclide étendue : Y1=U1=2  , Y2=U2=1 , Y3=U3=1

Finalement on obtient donc :

X=(a1M1Y1 + a2M2Y2 +

a3M3Y3) modulo 105

X=(2*35*2+ 3*21*1+ 2*15*1) modulo 105

X= 233 modulo 105

X = 23 mod 105

Parmi ces 3 Méthodes laquelle est la plus fiable

Quelles chemin faut’il

prendre ?

COMPARAISON DES DIFFERENTS METHODES A SAVOIR 3 méthodes

Méthode: C

Méthode :AMéthode : B

Cas particulier

Si les Mi ne sont pas premier entre eux ???????

Soit l’exemple suivant :

X=8 mod 12 X= 0 mod 4X=11 mod 15 X= 2 mod 3

X=1 mod 5

Algorithme

PROGRAMMER EN JAVA

PROGRAMMER C++

Programmer en Java Script

Clôture