ck i izvijanje

7/28/2019 CK I Izvijanje

1/77

1

IZVIJANJE TLANO OPTEREENIH VITKIH TAPOVA

Pri projektiranju konstrukcije potrebno je osigurati njenu:

vrstou

krutost

stabilnost


2/77

2

Pretpostavke kod analize naprezanja i deformacije aksijalno (tlano) optereenog pravocrtnogprizmatinog tapa, prema linearnoj teoriji (teorija prvoga reda):

materijal je homogen i izotropan

veza izmeu normalnog naprezanja z i duljinske deformacije z je

linearna, tj. vrijedi Hookeovzakon (linearno-elastian materijal):

z zE = (a)

ravnotene se jednadbe uspostavlju na nedeformiranoj geometriji nosaa

pravocrtni tap pri optereenju ne mijenja oblik, tj. uzduna se os tapasamo skrauje i ostaje pravocrtna pravocrtna ravnotena deformacijskaforma tapa je stabilna

z

F


3/77

3

tap male vitkosti:

Duktilni materijal Krhki materijal

kr TF F A = = kr MF F A = =

DIMENZIONIRANJE:Kriterij vrstoe:

T Mz dop

T M

iliF

A f f

= = (b)

Kriterij krutosti:

dop F l

l lA E

= (c)


4/77

4

Kod vitkih tapova aksijalna tlana sila moe uzrokovati i savijanje IZVIJANJEtapa (engl. buckling) pravocrtna deformacijska ravnotena forma tapa je nestabilna.

Kritina sila izvijanja sila kod koje dolazi do pojave nestabilnih deformacijskih formi.


5/77

5

Vitki tap:

Elastino izvijanje

(elastic buckling)

2min

kr 20

EI

F F l= =

Fkr Eulerova kritinasila izvijanja

l0slobodna duljina izvijanja


6/77

6

Slobodna (efektivna) duljina izvijanja:

l0 = l l0 = 0,7l l0 = 0,5l l0 = 2l l0 = l l0 = 2l


7/77

7

Srednje vitki tap:

Plastino izvijanje

(plastic buckling)

( )kr krF F A A a b = = =

FkrTetmajerova kritinasila izvijanja


8/77

8

1. Stabilna, nestabilna i neutralna ravnotea

Problem odreivanja stabilnosti ravnotenih formi deformabilnih tijela analogan jeodreivanju stabilne ravnotee krutih tijela:

STABILNARAVNOTEA

NESTABILNARAVNOTEA

NEUTRALNARAVNOTEA


9/77

9

Kod tlano optereenog tapa:

STABILNARAVNOTEA

NESTABILNARAVNOTEA

NEUTRALNARAVNOTEA

F

F

z

F= Fkrz

F

z

F

F< Fkr

z

F> Fkr

F

F

z z


10/77

10

LEONARD EULER (1744) analiza elastine stabilnosti tlano optereenog konzolnog stupa

stup zglobno vezan na oba kraja EULEROV STUP

Fkr Eulerova kritina sila izvijanja

TEORIJA STABILNOSTI KONSTRUKCIJA


11/77

11

2. Izvijanje tapa u elastinom podruju(Eulerova kritina sila izvijanja)

Pretpostavke:

materijal je homogen, izotropan i linearno elastian

vrijedi EulerBernoulliNavierova teorija savijanjaravnotene se jednadbe uspostavljaju na deformiranoj geometriji tapa nelinearnateorija(teorija drugog ili treeg reda).

pomaci su mali linearizacija zakrivljenosti elastine linije izvijena tapa:

2

2x

3 22x

d1 d

d1

d

M z

r EI

z

= =

+

v

v

(teorija treeg reda) (1)

2

x2

x

1 d

d

M

r EI z=

v

(teorija drugog reda) (2)


12/77

12

Metode rjeavanja:

statike

dinamike

energijske


13/77

13

a) tap zglobno vezan na oba kraja

Statika metoda

Moment savijanja u presjekuz izvijena tapa:

x kr , ( )M F z= =v v v (3)

Diferencijalna jednadba elastine linije izvijena tapa prema

teoriji drugoga reda (statika metoda):2

x x kr2

d

dEI M F

z= =

v

v

2kr

2x

d 0d

F

z EI+ =

v

v (4)

z

z

y

Fkr

Fkr

v

l = l0


14/77

14

Zamjena:

2 kr

x

Fk

EI= (5)

Iz izraza (4):

22

2

d0

dk

z+ =

v

v (6)

Ope rjeenje izraza (6) pretpostavka:

( ) sin cosz A kz B kz= + v (7)


15/77

15

Rubni uvjeti:0, (0) 0

, ( ) 0

z

z l l

= = =

= = =

v v

v v

(8)

Na osnovi prvog rubnog uvjeta, iz izraza (7) slijedi:

(0) 0 1 0A B B= + =v (9)

( ) sinz A kz= v (10)

Na osnovi drugog rubnog uvjeta, iz izraza (10) slijedi:

( ) sin 0l A kl= = v sin 0kl =

, 0,1,2,...kl n n= = (11)


16/77

16

Izraz (11) izrazi (5) i (10):

kritina sila izvijanja:

2

2 2 xkr x 2

EIF k EI n l= = (12)

elastina linija izvijana tapa:

( ) sin n zz A l= v (13)


17/77

17

Iz izraza (12) i (13):

Fkr 4Fkr 9FkrFkr= 0

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3

Fkr= 0Fkr 4Fkr 9Fkr


18/77

18

Od praktinog znaenja n = 1 i Ix = I2 = Imin:

kl = 2

minkr 02

EIF l l

l= = (14)

sinz

Al

= v (15)

l0 slobodna (efektivna) duljina izvijanja

Izrazom (15) odreena je deformacijska forma izvijanja.

Elastina linija prema priblinom izrazu (2) v iAneodreeni!


19/77

19

v

F

F Fkr= bifurkacija

idealnitap

plastifikacije

realnitap

v0

0

poetak

z

y

Fkr

Fkr

vl

z


20/77

20

b) tap zglobno vezan na jednom kraju, a uklijeten na drugom kraju


( )x krM F Q l z= v (16)

Diferencijalna jednadba elastine linije izvijena tapa:

( )2

x x kr2

d

dEI M F Q l z

z

= = + v

v

( )2

kr2

x x

d

d

F Ql z

z EI EI+ =

v

v (17)

z

y

z

Fkr

Fkr

v

l

l0 = 0,7l

Q

Q

lQM =


21/77

21

Zamjena iz izraza (5):

2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (17):

( )2

2 22

kr

d

d

Qk k l z

z F+ =

v

v (18)

Ope rjeenje izraza (18):

( )kr

( ) sin cosQ

z A kz B kz l zF

= + + v (19)


22/77

22

Rubni uvjeti:

0

d d0, (0) 0, 0

d d

, ( ) 0

z

zz z

z l l

=

= = = = =

= = =

v v

v v

v v

(20)

Izraz (20) izraz (19):

kr kr

(0) 0 1 0Ql Ql

A B BF F

= + + = = v (21)

0 kr kr

d1 0 0

d z

Q QAk Bk A

z F kF=

= = =

v

(22)

( ) sin cos 0l A kl B kl= + =v

(23)


23/77

23

Vrijednosti iz izraza (21) i (22) izraz (23):

kr kr

( ) sin cos 0 tanQ Ql

l kl kl kl klkF F

= = =v (24)

Grafiko rjeenje transcedentne jednadbe iz izraza (24):

y = kl

y

kl

1,50,5

kl = 4,493

2

y = tan kl

0


24/77

24

4,493kl =

( )

2 22

22

4,493

0,7k

l l=

Iz izraza (5):

( )

2min

kr 02

0,7

0,7

EIF l l

l= = (25)


25/77

25

c) tap uklijeten na oba kraja


x krM F M= v (26)

Diferencijalna jednadba elastine linije izvijena tapa:

2

x x kr2

d

d

EI M F M

z

= = +v

v

2kr

2x x

d

d

F M

z EI EI+ =

v

v (27)

z

y

z

Fkr

Fkr

vll0 = 0,5l

M

M


26/77

26


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (27):

22 2

2

kr

d

d

Mk k

z F

+ =v

v (28)


kr

( ) sin cosM

z A kz B kzF

= + +v (29)


27/77

27

Rubni uvjet na donjem kraju:

0

d d0, (0) 0, 0

d d zz

z z=

= = = = =

v v

v v (30)


kr kr

(0) 0 1 0M M

A B BF F

= + + = = v (31)

0

d1 0 0 0

d zAk Bk A

z=

= = =

v

(32)


28/77

28


( )kr

( ) 1 cosM

z kzF

= v (33)

Rubni uvjet na gornjem kraju:

, ( ) 0z l l= = =v v (34)


( )

kr

( ) 1 cos 0 cos 1 0, 2, 4,...M

l kl kl klF

= = = =v (35)

Od praktinog znaenja samo sluaj kl= 2.


29/77

29

2

0,5kl = =

( )

22

2

0,5k

l=

Iz izraza (5):

( )

2min

kr 02

0,5

0,5

EIF l l

l= = (25)


30/77

30

d) tap na jednom kraju uklijeten, a na drugom kraju slobodan (konzolni stup)


( )x krM F = v (37)

Diferencijalna jednadba elastine linije izvijena stupa:

( )2

x x kr2

d

dEI M F

z= =

v

v

2kr kr

2x x

d

d

F F

z EI EI+ =

v

v (38)

z

y

zFkr

v

20ll =

FkrkrFM =


31/77

31


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (38):2

2 22

d

dk k

z+ =

v

v (39)


( ) sin cosz A kz B kz = + +v (40)


32/77

32


0

d d0, (0) 0, 0

d d zz

z z=

= = = = =

v v

v v (41)


(0) 0 1 0A B B = + = + = v (42)

0d 1 0 0 0d z

Ak Bk Az

=

= = = v

(43)


( )( ) 1 cosz k z= v (44)


33/77

33

Rubni uvjet na gornjem kraju:, ( )z l l = = =v v

Iz izraza (44):

( ), 1 cosz l kl = = (45)

Izraz (45) bit e zadovoljen samo onda ako je:

( ) cos 0 2 1 , 0,1,2,...2

kl kl n n == = + (46)

Od praktinog znaenja samo sluaj n= 0.


34/77

34

2kl =

( )

22

2

2k

l=

Iz izraza (5):

( )

2min

kr 02

2

2

EIF l l

l== (47)


35/77

35

e) Obostrano uklijeten tap s jednim pominim ukljetenjem


x kr 2M F

=

v

(48)


2

x x kr2dd 2EI M F

z = =

v

v

2kr kr

2

x x

d

d 2

F F

z EI EI

+ =

v

v (49)

z

y

z

v

0ll =

Fkr 2krFM =

Fkr

2kr

FM =


36/77

36


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (49):

22 2

2

d

d 2k k

z

+ =

v

v (50)


( ) sin cos 2z A kz B kz = + +v (51)


37/77

37


0

d d0, (0) 0, 0

d d zz

z z=

= = = = =

v v

v v (52)


(0) 0 1 02 2

A B B

= + + = = v (53)

0

d1 0 0 0

d zAk Bk A

z=

= = =

v

(54)


( )( ) 1 cos2

z kz

= v (55)


38/77

38

Rubni uvjet na gornjem kraju:

, ( )z l l = = =v v

Iz izraza (55) zaz = l:

( )1 cos2

kl

= (56)

Izraz (56) bit e zadovoljen samo onda ako je:

cos 1 , 1,3,5,...kl kl n n= = = (57)



39/77

39

kl =

22

2

k

l=

Iz izraza (5):

2min

kr 02

EIF l ll = = (58)


40/77

40

f) tap zglobno oslonjen na jednom kraju i uvren na drugom kraju s pominim

ukljetenjem


x krM F= v (59)


2

x x kr2ddEI M F

z= =

v

v

2kr

2

x

d0

d

F

z EI+ =

v

v (60)

z

y

z

v

20l

l =

Fkr

Fkr

krFM =


41/77

41


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (49):

22

2

d0

dk

z+ =

v

v (61)


( ) sin cosz A kz B kz= + v

(62)


42/77

42


0, (0) 0z = = =v v (63)


(0) 0 1 0 0A B B= = + =v (64)

Vrijednosti iz izraza (64) izraz (62):

( ) sinz A kz= v (65)


43/77

43

Rubni uvjet na gornjem kraju:d d, ( ) , 0d d z l

z l lz z

=

= = = = =

v v

v v (66)


( ) sinl A kl = =v (67)

dcos 0

d z lAk kl

z =

= =

v

(68)

Iz uvjeta (68):

( )

cos 0 2 1 , 0,1,2,...2kl kl n n == = + (57)



44/77

44

2kl =

( )

22

2

2k

l=

Iz izraza (5):

( )

2

minkr 02 22EIF l l

l== (58)


45/77

45

g) Konzolni stup optereen tangentnom silom (follower force)

Moment savijanja u presjekuz izvijena tapa (statika metoda):

( ) ( )x kr krsin cosM F l z F = v

sin , cos 1

( ) ( )x kr krM F l z F v (71)


( ) ( )2

x x kr kr2

d

dEI M F F l z

z = =

v

v

( )

2

kr kr2

x xdd

F F l zz EI EI

+ = v

v (72)

z

y

z

Fkr

v

l


46/77

46


2 kr

x

Fk

EI=

Iz izraza (72):

( )2

2 22

d

dk k l z

z + =

v

v (73)


( )( ) sin cosz A kz B kz l z = + + v (74)


47/77

47

Rubni uvjeti:

0

d d0, (0) 0, 0

d d

d d, ( ) ,

d d

z

z l

zz z

z l lz z

=

=

= = = = =

= = = = =

v v

v v

v v

v v

(75)


0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

sin cos 0 sin cos 0 0 0

cos sin 0 cos sin 0 0 0

B l l A

Ak k B

A kl B kl kl kl

A kl B kl kl kl

+ = + = =

+ = =

(76)

Uvjet je netrivijalnosti izraza (76) deteminanta sustavajednaka nuli


48/77

48

Determinanta sustava iz izraza (76):

0 1 1

0 0 11

sin cos 0 0

cos sin 0 0

l

k

kl kl

kl kl

=

Statika metoda ne daje rjeenje za silu F = Fkr za koju e se stup nalaziti u blagoizvijenom poloaju!

Prilikom djelovanja tangentne sile ne moe se ostvariti statiko izvijanje stupa.


49/77

49

Dinamika metoda: problem izvijanja rjeava se kao problem malih oscilacijaodgovarajueg zamjenskog dinamikog modela

m zamjenska koncentrirana masa

t vrijeme

progib:v

=v

(z, t)Inercijalna sila:

2

in 2

d

dF ma m

t

= = (77)

Dodatni moment savijanja zbog sile inercije:

( ) ( )2

inx in 2

d

d

M F l z m l z

t

= = (78)

m

Fin

z

y

z

F

v

l


50/77

50

Diferencijalna jednadba malih oscilacija:( )

2 2in

x x x2 2( ) ( ) ( )EI M M F F l z m l z

z t

= + =

v

v

( )2 2

2 2x x

( )x

F F ml z l z

z EI EI EI t

+ =

v

v (79)

Zamjena:

2

x

F

k EI= (80)

Iz izraza (79):

( )

2 2

2 22 2 ( )x

mk k l z l zz EI t

+ =

v

v (81)


51/77

51

Pretpostavljeno rjeenje izraza (79):

( ) , ( ) , ( )i t i t i t V z e t e t e = = = v (82)

gdje je:

kruna frekvencija

V(z) amplituda oscilacija

i nepoznate konstante


[ ]2 2

2 22

x

d ( ) ( )d

V mk V k l z l zz EI

+ = + (83)


52/77

52

Ope rjeenje izraza (83):2

2x

( ) sin cos ( ) ( )m

V z A kz B kz l z l zk E I

= + + + (84)

Rubni uvjeti:

0

d d0, (0) 0, 0

d dd d

, ( ) ,d d

z

z l

V Vz V V

z zV V

z l V V lz z

=

=

= = = = =

= = = = =

(85)


53/77

53


2

2

2

2x

2

2

x

0 1 1

0

0 1 00

sin cos 0 00

cos sin 0

x

m ll

k EIA

m

k Bk EI

kl kl

mk kl k kl

k EI

+

=

(86)

Uvjet je netrivijalnosti izraza (86) deteminanta sustavajednaka nuli


54/77

54

Determinanta sustava iz izraza (86):2

2

2

2x

2

2x

0 1 1

0 10

sin cos 0 0

cos sin 0

x

m ll

k EI

mk

k EI

kl kl

mk kl k kl

k EI

+

=

Rjeenje determinante:

sin cos

F kl

ml kl kl kl=

(87)

Kritino stanje:

sin cos 0 tankl kl kl kl kl = = (88)


55/77

55

4,493kl =

( )

2 22

22

4,493

0,7k

l l=

Iz izraza (80):

( )

2 xkr 02

0,70,7

EIF F l ll

= = = (89)

Kod ove vrijednosti tangentne sile moe doi do pojave dinamikog izvijanja stupa.Nestabilnost stupa manifestira se u obliku pojave njegova podrhtavanja (engl.instability by flutter).


56/77

56

h) Metoda potencijalne energije (Timoshenkova metoda)

Pripada klasi energetskih metoda.

Pretpostavke:

sustav je konzervativan

statikouvoenje sile

Prirast potencijalne energije sustava:

= + U VU VU VU V (90)

UUUU prirast potencijalne energije unutarnjih sila

VVVV prirast potencijalne energije vanjskih sila


57/77

57

Stabilna ravnotea:0 > (91)

Nestabilna ravnotea:

0 < (92)

Neutralna ravnotea:

0 = (93)

t l b b k j


58/77

58

tap zglobno vezan na oba kraja

Prirast potencijalne energije unutarnjih sila:

2z

z z

0

1 1 d d d

2 2

l

V A

V A zE

= = UUUU

xz

x

My

I =

2 22x x

2x x0 0

1 1 d d d

2 2

l l

A

M My A z z

EI EI

= = UUUU (94)


x krM F= v

z

yFkr

Fkr

vdz

s

ds

B

A

Iz izraza (94):


59/77

59

Iz izraza (94):2 2kr

x0

d2

l

F zEI

= v

UUUU (95)

Prirast potencijalne energije vanjskih sila:

kr B F= VVVV

22 2 dd d d d d d d 1 d

ds z z z z z

z

= = + = +

v

w v

2 21 d 1 d

d d 1 d d2 d 2 d

z z zz z

+ =

v v

w

2 2

kr

B0 0

1 1 d d

d d d2 2 d 2 d

l lF

z zz z

= = =

v v

w wVVVV

(96)


60/77

60

Izrazi (95) i (96) izraz (93):

2

0kr 2

x0

dd

d

d

l

l

zz

F

zEI

=

v

v

(97)

Izraz (97) Timoshenkov kvocijent,

Izborom funkcije za elastinu liniju izvijena tapa, ( )z=v v , dobiva se vrijednost kritinesile izvijanja krF .

Funkcija ( )z=v v mora zadovoljavati rubne uvjete!

Obostrano zglobno oslonjen tap:


61/77

61

Obostrano zglobno oslonjen tap:1. sluaj:

( ) ( )2d

, 2d

C lz z C l zz

= = v

v (98)

proizvoljna konstantaC

2x

kr 2

1,013 1,3% greka

EIF

l= (99)

2. sluaj:

( ) ( )3 4 3 2 3 3d

2 , 6 212 d

Clz z l z C lz z l

z= =

v

v (100)

2

xkr 2

1,00014 0,014% greka

EIF l = (101)

Konzolni stup


62/77

62

Konzolni stup


x krM F= v (102)

Prirast potencijalne energije unutarnjih sila:

2

2

2 2x x

x1 x10

1 1 d d

2 2

ll

l

M Mz z

EI EI= + UUUU

( ) ( )2

2

2 22 2kr kr

x1 x20 d d2 2

ll

l

F F

z zEI EI

= +

v v

UUUU

(103)

Prirast potencijalne energije vanjskih sila prema izrazu (96)iznosi:

2

kr

0

d d

2 d

lF

zz

=

v

VVVV (104)

Fkr

z

y

v

l

l2

l1

FkrkrM F =

EIx1

EIx2

Izrazi (103) i (104) izraz (97) Timoshenkov kvocijent:


63/77

63

Izrazi (103) i (104) izraz (97) Timoshenkov kvocijent:

( ) ( )2

2

2

0kr 2 2

x1 x 20

d dd

d d

l

ll

l

zz

F

z zEI EI

=

+

v

v v

(105)

Za konzolni stup konstantnog poprenog presjeka, izrazi (44) i (46):

1 cos

2

z

l

=

v (106)

Izraz (106) izraz (105) kritina sila izvijanja:

( )

2x2

kr 22 1 x2 x2 2

x1 x1

1

121 sin

EI

F l l I I ll

l l I I l

= +

(107)

i) Kritino naprezanje


64/77

64

i) Kritino naprezanje

Opi oblik izraza za Eulerovu kritinu silu izvijanja:2

minkr 2

0

EIF

l= (108)

Naprezanje u trenutku izvijanja kritino naprezanje:2

kr minkr 2

0

F EI

A l A

= = (109)

Polumjer inercije:


65/77

65

j j

2 minmin Ii

A=

Iz izraza (109):

2 22 min

kr 20

i EE

l

= =

(110)

vitkost tapa (bezdimenzijska karakteristika tapa)

0

min

l

i= (111)

Kod vrlo vitkih tapova je vrlo veliki broj kr 0

Izraz (110) u dijagramu ( )kr moemo prikazati u obliku hiperbole


66/77

66

( ) j g ( )kr p p

(Eulerova hiperbola)

kr P const.E =

P Eulerova hiperbola

kr

P

P naprezanje na graniciproporcionalnosti


67/77

67

Granina vitkost tapa:

kr P

PP min P

E

= =

= =

(112)

Izrazi (108) (110) vrijede samo za P >

3. Izvijanje tapa u neelastinom (plastinom) podruju


68/77

68

j j p (p ) p j

P const.E >

tE tangentni modul elastinosti

t

d

dE

= (113)

1

1

E

P

tE

Engesser(1889) je predloio da se i u plastinom podruju ( P < ) zadri izraz (110)


69/77

69

za kritino naprezanje, stim da se modul elastinosti zamijeni s tangentnim modulomelastinosti:

2t

kr 2

E

= (114)

Engesserov postupak se rijetko primjenjuje u praksi zbog njegove sloenosti, jer je zanjega potrebno imati precizan dijagram , a i analiza je tog dijagrama dostasloena.

Izraz (114) zanemaruje injenicu da se plastifikacija poprenog presjeka pri izvijanjuodvija postupno, tj. postoji dio poprenog presjeka koji je plastificiran i diopoprenog presjeka koji se jo uvijek ponaa elastino.


70/77

70

Stoga je Engesser uveo modificirani izraz (114):

2r

kr 2

E

= (115)

rE reducirani modul elastinosti

Vrijednost reduciranog modula elastinosti ovisi o veliini kritinog naprezanja kr i

obliku poprenog presjeka.

Do izraza (115), neovisno o Engesseru, doao je i Theodore von Karman(1909), pa sereducirani modulesto naziva i Engesser-Karmanov modul.


71/77

71

U praksi se vrlo esto koriste empirijski obrasci za kritino naprezanje, a kod kojihse krivulja ( )kr u plastinome podruju aproksimira:

pravcem(Tetmajer,Jasinski)

parabolom(Tetmajer,Johnson)

hiperbolom(Rankine, Gordon)


72/77

72

Tetmajerov izraz za kritino naprezanje:

pravac:

kr

kr

F

a bA = =

(116)

parabola:

2krkr

Fa b c

A

= = + (117)

a, b, c koeficijenti dobiveni eksperimentalnim putem


73/77

73

MaterijalTetmajerov izraz

kr (MPa)

.0360 310 1,14

.0460 335 0,62 .0560 470 2,3

krom-molibdenelik

1000 5,4

duraluminij 380 2,185

sivi lijev 2776 12 0,053 +

drvo 40 0,203

4. Dimenzioniranje


74/77

74

I. podruje: T <

tapovi se proraunavaju na tlanuvrstou, a izvijanje se ne uzima u obzir.

II. podruje: T P < <

tapovi se proraunavaju na izvijanje spomou Tetmajerova izraza ili nekogdrugog empirijskog izraza.

III. podruje: P >

tapovi se proraunavaju na izvijanje spomou Eulerova izraza.

Temajerov pravac

I II III

P Eulerova hiperbola

kr

P

T

T

Pri tome mora biti zadovoljen uvjet:


75/77

75

Pri tome mora biti zadovoljen uvjet:

krz kr, dop

kr

F

A f

= = (118)

F stvarno optereenje tapa

krf faktor sigurnosti protiv izvijanja (koeficijent stabilnosti)

kr 1f

U praksi se esto koristi i tzv. omega postupak, kod kojeg se proraun izvijanja tapasvodi na proraun tlanog optereenja prema kriteriju vrstoe uvoenjem faktora


76/77

76

svodi na proraun tlanog optereenja prema kriteriju vrstoe, uvoenjem faktora

( )M , 1 = , tj.

T Mz dop

M

iliF

A f f

= = (119)

dop doputeno tlano naprezanje

T granica teenja (granica plastinosti)

M granica vrstoe (vlana vrstoa)

f faktor sigurnosti u odnosu na granicu teenja

Mf faktor sigurnosti u odnosu na granicu vrstoe

elik M= 370 MPa elik M= 520 MPa Drvo Sivi lijev

0 1 00 1 00 1 00 1 00


77/77

77

0 1,00 1,00 1,00 1,0010 1,01 1,01 1,09 1,0120 1,02 1,03 1,20 1,0530 1,05 1,07 1,33 1,1140 1,10 1,13 1,47 1,2250 1,17 1,22 1,65 1,39

60 1,26 1,35 1,87 1,6770 1,39 1,54 2,14 2,2180 1,59 1,85 2,49 3,5090 1,88 2,39 2,95 4,43

100 2,36 3,55 3,60 5,45110 2,86 4,29 4,43 -

120 3,40 5,11 5,36 -130 4,00 5,99 6,39140 4,63 6,95 7,53 -150 5,32 7,98 8,78 -160 6,05 9,08 - -170 6,83 10,25 - -

180 7,66 11,49 - -190 8,53 12,80 - -200 9,46 14,18 - -

ck i izvijanje

Documents