DiseDiseñño de Experimentoso de ExperimentosEIQEIQ--344344

Profesor: David GuzmProfesor: David GuzmáánnAAñño 2013o 2013

Algunos ConceptosAlgunos Conceptos

1.1. Media: promedio numMedia: promedio numéérico.rico.

2.2. Mediana: refleja la tendencia central de la Mediana: refleja la tendencia central de la muestra.muestra.Dados las observaciones de la muestra Dados las observaciones de la muestra ordenados en forma creciente de magnitud.ordenados en forma creciente de magnitud.

si n es impar.si n es impar.si n es par.si n es par.

∑=

=n

i

i

nx

x1

∑=

=n

i

i

nx

x1

2/)1(~

+= nxx

2)(~ 1)2/()2/( ++

= nn xxx

EjemploEjemplo

¿¿CuCuáál es la media y mediana de la l es la media y mediana de la siguiente serie de datos?siguiente serie de datos?

108,116,122,110,195,126,125,131,118108,116,122,110,195,126,125,131,118

Media:Media: 127.9127.9Mediana:Mediana: 122122

Algunos ConceptosAlgunos Conceptos

1.1. DesviaciDesviacióón estn estáándar: es una medida de la ndar: es una medida de la dispersidispersióón de la muestra.n de la muestra.

2.2. Varianza: Varianza:

∑= −

−=

n

i

i

nxx

s1

2

)1()(

∑= −

−=

n

i

i

nxx

s1

22

)1()(

ProbabilidadesProbabilidades

Espacio Espacio muestrealmuestreal: es el conjunto de : es el conjunto de todos los resultados posibles de un todos los resultados posibles de un experimento estadexperimento estadíístico. Se denomina S.stico. Se denomina S.

Diagrama de Diagrama de áárbolrbol

Probabilidades (2)Probabilidades (2)

Evento: subconjunto de un espacio Evento: subconjunto de un espacio muestrealmuestreal..Complemento de A respecto a S: todos Complemento de A respecto a S: todos los elementos de S que no estlos elementos de S que no estáán en A. Se n en A. Se denomina denomina AA´́..IntersecciInterseccióón de dos eventos son los n de dos eventos son los elementos en comelementos en comúún.n.UniUnióón de dos eventos, es la totalidad de n de dos eventos, es la totalidad de ambos eventos.ambos eventos.

Conteo de puntos de la muestraConteo de puntos de la muestra

Si una operaciSi una operacióón se puede llevar a cabo n se puede llevar a cabo de n1 formas, y si para cada una de las de n1 formas, y si para cada una de las formas se puede realizar una segunda formas se puede realizar una segunda operacioperacióón en n2 formas, entonces las dos n en n2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar de n1*n2 operaciones se pueden ejecutar de n1*n2 formas.formas.

PermutaciPermutacióón: arreglo de todo o parte de n: arreglo de todo o parte de un conjunto de objetos.un conjunto de objetos.

PermutacionesPermutaciones

NNúúmero de permutaciones de n objetos distintos mero de permutaciones de n objetos distintos es n!es n!

NNúúmero de permutaciones de n objetos distintos mero de permutaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es:tomados de r a la vez es:

)!(!rn

nPrn −=

Permutaciones (2)Permutaciones (2)

El nEl núúmero de permutaciones de n cosas de las mero de permutaciones de n cosas de las que n1 son de una clase, n2 son de una segunda que n1 son de una clase, n2 son de una segunda clase, ..clase, ..nknk son de una son de una k_esimak_esima clase es:clase es:

El nEl núúmero de combinaciones (forma de mero de combinaciones (forma de seleccionar r objetos de n totales) de n objetos seleccionar r objetos de n totales) de n objetos distintos tomando r a la vez es:distintos tomando r a la vez es:

!!*...2!*1!

nknnn

)!!*(!

rnrn

rn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

EjercicioEjercicio

Si tengo 5 tipos de hornos de fusiSi tengo 5 tipos de hornos de fusióón de n de cobre y debo seleccionar 3, y ademcobre y debo seleccionar 3, y ademáás s tengo 3 tipos de convertidores de cobre y tengo 3 tipos de convertidores de cobre y debo seleccionarlos 2. debo seleccionarlos 2. ¿¿Cual es el nCual es el núúmero mero de combinaciones posibles?de combinaciones posibles?

Probabilidad de un eventoProbabilidad de un evento

La probabilidad de un evento A, es la suma de los La probabilidad de un evento A, es la suma de los pesos de todos los puntos pesos de todos los puntos muestrealesmuestreales en A. Por en A. Por lo tanto,lo tanto,

1)( =SP0)( =φP1)(0 ≤≤ AP

EjemploEjemplo

El espacio El espacio muestrealmuestreal S=(1,2,3,4,5,6). S=(1,2,3,4,5,6). Si asignamos 4x como probabilidad a los Si asignamos 4x como probabilidad a los nnúúmeros pares y 3x a los impares, meros pares y 3x a los impares, tenemos que 21x=1 o x=1/21. tenemos que 21x=1 o x=1/21. ¿¿CuCuáál es la probabilidad de obtener dos l es la probabilidad de obtener dos pares seguidos?pares seguidos?

Reglas AditivasReglas Aditivas

Si A y B son cualesquiera 2 eventos, entonces:Si A y B son cualesquiera 2 eventos, entonces:

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces:Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces:

Si A1, A2, Si A1, A2, ……, , AnAn es una particies una particióón del espacio n del espacio muestrealmuestreal S, entonces:S, entonces:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

)()()( BPAPBAP +=∪

1)(...)2()1()...21( =++=∪∪ AnPAPAPAnAAP

EjerciciosEjercicios

Encuentre los errores en cada una de las Encuentre los errores en cada una de las aseveraciones:aseveraciones:

La probabilidad de que un alumno apruebe el La probabilidad de que un alumno apruebe el ramo es 0,1 y la probabilidad de que no lo ramo es 0,1 y la probabilidad de que no lo apruebe es 0,95.apruebe es 0,95.La probabilidad de que una impresora cometa La probabilidad de que una impresora cometa 0;1;2;3 o 4 errores al imprimir es 0;1;2;3 o 4 errores al imprimir es 0,3; 0,4;0,3; 0,4;--0,3; 0,4; 0,3 respectivamente.0,3; 0,4; 0,3 respectivamente.

EjercicioEjercicio

En una clase de 120 estudiantes, 66 En una clase de 120 estudiantes, 66 estudiaron matemestudiaron matemááticas; 80 historia y 50 ticas; 80 historia y 50 matemmatemááticas e historia. Si se selecciona al ticas e historia. Si se selecciona al azar uno de estos estudiantes encuentre azar uno de estos estudiantes encuentre la probabilidad de que:la probabilidad de que:

El estudiante cursEl estudiante cursóó matemmatemááticas e historia.ticas e historia.El estudiante no cursEl estudiante no cursóó alguna de las alguna de las materias.materias.El estudiante cursEl estudiante cursóó matemmatemááticas, pero no ticas, pero no historia.historia.

Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional

Es la probabilidad de que un evento ocurra Es la probabilidad de que un evento ocurra cuando se sabe que ya ocurricuando se sabe que ya ocurrióó otro evento.otro evento.La probabilidad condicional de B, dado A, se La probabilidad condicional de B, dado A, se define como:define como:

Si Si P(AP(A) >0) >0)(

)()(AP

BAPABP ∩=

EjemploEjemplo

La probabilidad de que un doctor La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una diagnostique de manera correcta una enfermedad es 0,8. La probabilidad de enfermedad es 0,8. La probabilidad de que el paciente lo demande al mque el paciente lo demande al méédico por dico por un mal diagnun mal diagnóóstico es 0,4. stico es 0,4. ¿¿CuCuáál es la l es la probabilidad de que el doctor haga un probabilidad de que el doctor haga un diagnostico errdiagnostico erróóneo y el paciente lo neo y el paciente lo demande?demande?

ResoluciResolucióónn

P(eP(e--d) = 0,2*0,4 = 0,08d) = 0,2*0,4 = 0,08

P(eP(e--ndnd) = 0,2*0,6 = 0,12) = 0,2*0,6 = 0,12

Eventos IndependientesEventos Independientes

Evento independiente es un evento en que su Evento independiente es un evento en que su ocurrencia no impacta en la probabilidades de ocurrencia no impacta en la probabilidades de ocurrencia de otro evento.ocurrencia de otro evento.

Dos eventos A y B son independientes si y solo siDos eventos A y B son independientes si y solo sio o )()( BPABP = )()( APBAP =

Reglas MultiplicativasReglas Multiplicativas

Si en un experimento pueden ocurrir los Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonceseventos A y B, entonces

Dos eventos A y B son independientes si y solo Dos eventos A y B son independientes si y solo sisi

)()()( ABPAPBAP =∩

)()()( BPAPBAP =∩

Variable AleatoriaVariable Aleatoria

Variable aleatoria es una funciVariable aleatoria es una funcióón que n que asocia un nasocia un núúmero real con cada elemento mero real con cada elemento del espacio del espacio muestrealmuestreal..

Espacio Espacio muestrealmuestreal discreto es uno que discreto es uno que contiene un ncontiene un núúmero finito de posibilidades mero finito de posibilidades o una serie interminable con tantos o una serie interminable con tantos elementos como nelementos como núúmeros enteros existen.meros enteros existen.

Variable Aleatoria (2)Variable Aleatoria (2)

Si un espacio Si un espacio muestrealmuestreal contiene un contiene un nnúúmero infinito de posibilidades se llama mero infinito de posibilidades se llama espacio espacio muestrealmuestreal continuo.continuo.Variable aleatoria discreta es una que se Variable aleatoria discreta es una que se pueda contar su conjunto de resultados pueda contar su conjunto de resultados posibles.posibles.Variable aleatoria continua es cuando sus Variable aleatoria continua es cuando sus resultados pertenecen a un espacio resultados pertenecen a un espacio muestrealmuestreal continuo.continuo.

DistribuciDistribucióón Discreta de n Discreta de ProbabilidadesProbabilidades

La distribuciLa distribucióón de probabilidad de la variable n de probabilidad de la variable aleatoria discreta x (o funcialeatoria discreta x (o funcióón de probabilidad) n de probabilidad) es el conjunto de pares ordenados que es el conjunto de pares ordenados que representan todas las probabilidades de la representan todas las probabilidades de la variable mediante una fvariable mediante una fóórmula.rmula.AsAsíí,,

)()( xfxXP ==

1)( =∑ xfx

0)( ≥xf

EjemploEjemplo

Si una agencia de autos vende el 50% de Si una agencia de autos vende el 50% de su inventario de cierto vehsu inventario de cierto vehíículo equipado culo equipado con bolsas de aire, encuentre una fcon bolsas de aire, encuentre una fóórmula rmula para la distribucipara la distribucióón de probabilidad del n de probabilidad del nnúúmero de autos con bolsas de aire entre mero de autos con bolsas de aire entre los siguientes cuatro vehlos siguientes cuatro vehíículos que venda culos que venda la agencia.la agencia.

SoluciSolucióónn

P(conP(con BA)=0.5BA)=0.5Los 16 puntos del S tiene la misma Los 16 puntos del S tiene la misma probabilidad.probabilidad.Para vender x modelos con BA se tiene:Para vender x modelos con BA se tiene:

Para x=0,1,2,3,4Para x=0,1,2,3,416

4

)(⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=x

xf

DistribuciDistribucióón Acumuladan Acumulada

Si se desea que el valor de la variable aleatoria X Si se desea que el valor de la variable aleatoria X sea menor o igual que algsea menor o igual que algúún valor, se escribe n valor, se escribe

AsAsíí se define se define F(xF(x) como la distribuci) como la distribucióón acumulada n acumulada de la variable aleatoria x.de la variable aleatoria x.

para para --∞∞<x<x<<∞∞

)()( xXPxF ≤=

∑≤

=≤=xt

tfxXPxF )()()(

EjemploEjemplo

Encuentre la distribuciEncuentre la distribucióón acumulada de la n acumulada de la variable aleatoria X del ejemplo anterior. variable aleatoria X del ejemplo anterior. Mediante el uso de Mediante el uso de F(xF(x), verifique f(2)=3/8.), verifique f(2)=3/8.

f(0)=1/16f(0)=1/16f(1)=1/4f(1)=1/4f(2)=3/8f(2)=3/8f(3)=1/4f(3)=1/4f(4)=1/16f(4)=1/16

SoluciSolucióónn

F(0)=1/16F(0)=1/16F(1)=1/16+1/4F(1)=1/16+1/4F(2)=1/16+1/4+3/8F(2)=1/16+1/4+3/8F(3)=1/16+1/4+3/8+1/4F(3)=1/16+1/4+3/8+1/4F(4)=1/16+1/4+3/8+1/4+1/16=1F(4)=1/16+1/4+3/8+1/4+1/16=1

SoluciSolucióón (2)n (2)

Para x < 0Para x < 0Para 0 Para 0 ≤≤ x < 1x < 1Para 1 Para 1 ≤≤ x < 2x < 2Para 2 Para 2 ≤≤ x < 3x < 3Para 3 Para 3 ≤≤ x < 4x < 4Para x Para x ≥≥ 441

16/1516/1116/516/10

)( =xF

Por lo tanto,Por lo tanto,

f(2)=F(2)f(2)=F(2)--F(1) = 11/16 F(1) = 11/16 -- 5/16 = 3/85/16 = 3/8

DistribuciDistribucióón Continua de n Continua de ProbabilidadesProbabilidades

TambiTambiéén se llama funcin se llama funcióón de densidad de n de densidad de probabilidad o funciprobabilidad o funcióón de densidad de X.n de densidad de X.

Cuando X es continua, Cuando X es continua, P(a<xP(a<x≤≤bb)=)=P(a<x<bP(a<x<b)+)+P(XP(X=b)= =b)= P(a<x<bP(a<x<b))

Es decir, no importa si incluimos los Es decir, no importa si incluimos los extremos.extremos.Esto no es cierto cuando X es discreta.Esto no es cierto cuando X es discreta.

DistribuciDistribucióón Continua de n Continua de Probabilidades (2)Probabilidades (2)

La funciLa funcióón n f(xf(x) es una funci) es una funcióón de densidad de n de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de los ndefinida en el conjunto de los núúmeros reales si:meros reales si:

f(x)f(x)≥≥00 para todo x para todo x ϵϵ RR

∫∞

∞−

= 1)( dxxf

∫=<<b

a

dxxfbxaP )()(

EjemploEjemplo

Suponga que el error en la temperatura de Suponga que el error en la temperatura de reaccireaccióón, en n, en °°CC, para un , para un experiementoexperiemento de de laboratorio controlado es una variable aleatoria laboratorio controlado es una variable aleatoria continua X que tiene la funcicontinua X que tiene la funcióón de probabilidadn de probabilidad

--1<x<21<x<2en cualquier otro casoen cualquier otro caso

(a) Verifique la segunda condici(a) Verifique la segunda condicióón de la definicin de la definicióón n de funcide funcióón de densidad.n de densidad.(b) Encuentre P(0<X(b) Encuentre P(0<X≤≤1)1)

03/

)(2x

xf =

SoluciSolucióónn

(a) (a)

(b)(b)

19/19/893)( /2

1

32

1

2=+===

−−

∞

∞−∫∫ xdxxdxxf

9/193

)10(1

0

31

0

2

===≤< ∫xdxxxP