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Ondas ElectromagnΓ©ticasClase 12
18-Julio-2014
Ondas ElectromagnΓ©ticas
Como la mayorΓa de las regiones de interΓ©s son libres de carga, se supone que π =0. Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrΓ³picos de tal manera queπ· = ππΈ, π΅ = ππ» π¦ π½πΆ = ππΈ.
IsotrΓ³pico quiere decir que no depende de la elecciΓ³n de los ejes. no importa paraque lado estΓ©s midiendo cierta propiedad o magnitud fΓsica siempre va a medir lomismo.
Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrΓ³pico, es decir, medir un metro haciaarriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un ejemplo en donde no secumple la isotropΓa, si tu tienes un material, y es mas difΓcil estirarlo de izquierda aderecha que de arriba abajo, pues se dice que dicha propiedad de estirarlo(rigidez) es anisotropΓa.
Ondas ElectromagnΓ©ticas
En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son:conductividad, susceptibilidad magnΓ©tica, susceptibilidad elΓ©ctrica, resistividad, etc.Si esas propiedades no dependen de la direcciΓ³n (u orientaciΓ³n de los ejes) se diceque el cuerpo es isotrΓ³pico.
Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la corriente loatraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en general de todas lasposibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo isotrΓ³pico con respecto a laconductividad.
Ecuaciones de Onda
Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto πΈ ππππ π» sondependientes del tiempo ππππ‘, las ecuaciones de Maxwell se transforman en:
Ahora aplicamos la identidad vectorial
π» Γ π» = π + πππ πΈ 1π» Γ πΈ = βππππ» 2π» β πΈ = 0 3π» β π» = 0 (4)
π» Γ π» Γ π΄ β‘ π» π» β π΄ β π»2π΄
Ecuaciones de Onda
Donde, tan solo en coordenadas cartesianas
Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)
Ahora sustituyendo π» Γ πΈ π¦ π» Γ π» de (2) y (1), se obtienen las ecuacionesvectoriales
π»2π΄ = π»2π΄π₯ ππ₯ + π»2π΄π¦ ππ¦+ π»2π΄π§ ππ§
π»2π» = πΎ2π» π»2πΈ = πΎ2πΈ
βπ»2π» = π + πππ π» Γ πΈβπ»2πΈ = βπππ π» Γ π»
Ecuaciones de Onda
Donde πΎ2 = πππ π + πππ . La constante de propagaciΓ³n, πΎ, es la raΓz cuadrada deπΎ2 cuyas partes real e imaginaria son positivas:
con
Ξ³ = πΌ + ππ΅
πΌ = πππ
21 +
π
ππ
2
β 1
π½ = πππ
21 +
π
ππ
2
+ 1
Ecuaciones de Onda
La constante πΌ se llama factor de atenuaciΓ³n y π½ se llama constante de crecimientode fase. πΎ (Gamma) tiene unidades πβ1 , sin embargo, es costumbre dar
πΌ π¦ π½ ππππ
ππ¦
πππ
π, respectivamente, donde el neper (Np) es una unidad
adimensional como el radiΓ‘n.
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
La familiar ecuaciΓ³n escalar de onda en una dimensiΓ³n
Tiene soluciones de la forma πΉ = π π§ β ππ‘ π¦ πΉ = π π§ + ππ‘ , donde π π¦ π sonfunciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad π en lasdirecciones +π§ π¦ β π§, respectivamente, de acuerdo a la siguiente figura.
π2πΉ
ππ§2=
1
π2
π2πΉ
ππ‘2
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
π π§π
ππ‘1
π π§1 β π1π‘1
π‘ = π‘1π‘ = 0
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
En particular, si se supone una variaciΓ³n armΓ³nica de tiempo ππππ‘, la ecuaciΓ³n deonda se convierte en
Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma
O en las partes real o imaginaria de estas.
π2πΉ
ππ§2= βπ½2πΉ π½ =
π
π
πΉ = πΆππ ππ‘βπ½π§ πΉ = π·ππ ππ‘+π½π§
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
πΆπ‘ = 0
π‘ =π
2π
π
πΉ
π§
πΉπππ’ππ 2
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
La figura 2 muestra una de estas soluciones, πΉ = π ππ ππ‘ β π½π§ , ππ π‘ = 0 π¦ ππ π‘ =π
2π;
durante este intervalo de tiempo la onda se ha movido una distancia π =ππ
2π
= π/2π½ a
la derecha. Para cualquier π‘ fijo, la forma de onda se repite cuando π§ cambia a 2π/π½. Ladistancia
Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzado un cuartode longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y la frecuencia π = π/2π,guardan entre si la relaciΓ³n conocida
TambiΓ©n, π = ππ donde π =1
π= 2π/π es el periodo
π =2π
π½
ππ = π
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las ya discutidas
anteriormente. Como los vectores unidad ππ₯, ππ¦ π¦ ππ§ en coordenadas cartesianastienen direcciones fijas, la ecuaciΓ³n de onda para π» puede reescribirse bajo laforma
De especial interΓ©s son las soluciones (ondas planas) que dependen solo de una
coordenada espacial, digamos π§.
π2π»
ππ₯2+π2π»
ππ¦2+π2π»
ππ§2= πΎ2π»
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
La ecuaciΓ³n se convierte entonces en
Dando
Las soluciones correspondientes para el campo elΓ©ctrico son
π2π»
ππ§2= πΎ2π»
π» = π»ππΒ±π¦π§ππ» Γ³ π» π§, π‘ = π»ππ
Β±π¦π§ππππ‘ππ»
πΈ = πΈππΒ±π¦π§ππΈ Γ³ πΈ π§, π‘ = πΈππ
Β±π¦π§ππππ‘ππΈ
Soluciones en Coordenadas Cartesianas
AquΓ ππ» π¦ ππΈ son vectores unitarios. La cantidad compleja πΎ se definiΓ³ anteriormente
Se demuestra que
Es decir que ningΓΊn campo tienen componente en la direcciΓ³n de propagaciΓ³n.
Siendo esto asΓ se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de los campos,digamos πΈ a lo largo del eje π₯. Entonces se demuestra que π» yace a lo largo del eje π¦.
La soluciΓ³n de onda plana que se acaba de obtener depende, vΓa πΎ, de las propiedadesdel medio π, π π¦ π
ππ» β ππ§ = ππΈ β ππ§ = 0
Soluciones para medios parcialmente conductores
Para una regiΓ³n de poca conductividad (ej.: suelo hΓΊmedo, agua de mar), lasoluciΓ³n de la ecuaciΓ³n de onda E es
La razΓ³n πΈ/π» es caracterΓstica del medio (tambiΓ©n dependen de la frecuencia). Mas
especΓficamente, para ondas πΈ = πΈπ₯ππ₯ , π» = π»π¦ππ¦ que se propaga en la direcciΓ³n+ π§, la impedancia intrΓnseca, π, del medio se define por:
De esta manera
πΈ = πΈππβπΎπ§ππ₯
π =πΈπ₯π»π¦
π =πππ
π + πππ
Soluciones para medios parcialmente conductores
Donde la raΓz cuadrada puede escribirse en forma polar π β π con
(Si la onda se propaga en la direcciΓ³n βπ§,πΈπ₯
π»π¦= βπ. En efecto, πΎ se reemplaza por
β πΎ y se usa la otra raΓz cuadrada).
π =π/π
4
1 +πππ
2π‘ππ2π =
π
πππ¦ 0π < π < 45π
Soluciones para medios parcialmente conductores
Al introducer el factor tiempo ππππ‘ y al escribir πΎ = πΌ + ππ½ se obtiene las siguientesecuaciones para campos en una regiΓ³n parcialmente conductora:
El factor πβπΌπ§ atenΓΊa las magnitudes de πΈ π¦ π» cuando se propagan en direcciΓ³n +π§. LaexpresiΓ³n para πΌ,esto demuestra que existe atenuaciΓ³n a menos que la conductividad πsea cero, lo que solo es el caso de dielΓ©ctricos perfectos o de espacio vacΓo.
πΈ π§, π‘ = πΈππβπΌπ§ππ ππ‘βπ½π§+π ππ₯ o πΈ π§, π‘ = πΈππππ ππ‘ β π½π§ + π ππ₯
π» π§, π‘ =πΈπ
ππβπΌπ§ππ ππ‘βπ½π§+π ππ¦ o π» π§, π‘ =
πΈπ
ππππ ππ‘ β π½π§ + π ππ¦
Soluciones para medios parcialmente conductores
De la misma manera, la diferencia de fase temporal π, πππ‘ππ πΈ π§, π‘ π¦ π»(π§, π‘)desaparece solo cuando π es cero. La velocidad de propagaciΓ³n y la longitud deonda estΓ‘n dadas por:
Si se conoce la velocidad de propagaciΓ³n ππ = π puede usarse para determinar lalongitud de onda π.
π =π
π½=
1
ππ2 1 +
πππ
2+ 1
π =2π
π½=
2π
π 1 +πππ
2+ 1
Soluciones para medios parcialmente conductores
El termino π/ππ 2 reduce tanto el valor de la velocidad como el de la longitud deonda, de lo que serΓan en el espacio vacΓo o dielΓ©ctricos perfectos, donde π = 0.ObsΓ©rvese que el medio es dispersivo, es decir, ondas con frecuencias diferentes πtienen diferentes velocidades π.
Problemas
Problema 1
Una onda viajera estΓ‘ descrita por π¦ = 10π ππ π½π§ β ππ‘ . Dibuje en π‘ = 0 π¦ ππ π‘ = π‘1
cuando ha avanzadoπ
8, si la velocidad es de 3 Γ 108 π/π y la frecuencia angular es
π = 106πππ
π , π)π = 2 Γ 106 πππ/π y el mismo π‘1
Problemas
SoluciΓ³n Inciso a
La onda avanza π en un periodo, π = 2π/π. Por tanto tenemos que
π‘1 =π
8=
2π/π
8=
π
4π
π
8= ππ‘1 = 3 Γ 108
π
4 106= 236m
π‘ = 0
π‘ = π‘110
π = 106
π§
π¦
π/2 π
236π
Problemas
SoluciΓ³n inciso b
La onda avanza π en un periodo, π = 2π/π. Por tanto tenemos que
π‘1 =π
8=
2π/π
8=
π
4π
π
8= ππ‘1 = 3 Γ 108
π
4 2Γ106= 118m
π‘ = 0
π‘ = π‘110
π = 2 Γ 106
π§
π¦
π/2 π
118π
Soluciones para dielΓ©ctricos perfectos
Para un dielΓ©ctrico perfecto, π = 0 y asΓ
Como β= 0 no hay atenuaciΓ³n de las ondas πΈ π¦ π». El angula cero sobre π produceun π» que esta en fase temporal con πΈ en cada localizaciΓ³n fija. Suponiendo πΈ enππ₯ y la propagaciΓ³n en ππ§ , las ecuaciones de campo pueden obtenerse comolimites, como se denota a continuaciΓ³n:
πΌ = 0 π½ = π ππ π =π
πβ 00
πΈ π§, π‘ = πΈπππ(ππ‘βπ½π§)ππ₯
π» π§, π‘ =πΈππππ(ππ‘βπ½π§)ππ¦
Soluciones para dielΓ©ctricos perfectos
La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:
Para espacio vacΓo
π =π
π½= 4π Γ 10β7
π»
ππ = ππ = 8.854 Γ
10β12πΉ
πβ10β9
36ππΉ/π
π = ππ β 120π Ξ© π¦ π = π β 3 Γ 108 π/π
Problemas
Problema 2
En el espacio vacΓo, πΈ π§, π‘ = 103π ππ ππ‘ β π½π§ ππ¦ (π/π). Obtenga π»(π§, π‘)
Problemas
SoluciΓ³n
Un examen de la fase, ππ‘ β π½π§, revela que la direcciΓ³n de la propagaciΓ³n es +π§, π»debe tener direcciΓ³n βππ₯. Por tanto
πΈπ¦
βπ»π§= ππ = 120π Ξ© Γ³ π»π₯ = β
103
120ππ ππ ππ‘ β π½π§ ππ₯ π΄/π
π¦ π»π§ π§, π‘ = β103
120ππ ππ ππ‘ β π½π§ ππ₯ π΄/π
Problemas
Problema 3
Sea la onda, en el espacio vacΓo, πΈ π§, π‘ = 103π ππ ππ‘ β π½π§ ππ¦ (π/π). Determine laconstante de propagaciΓ³n πΎ sabiendo que la frecuencia es que la frecuencia es π =95.5πβπ§
Problemas
Solucion
En general, πΎ = πππ π + πππ En el espacio vacΓo, π = 0, asΓ que:
πΎ = ππ π0π0 = π 2ππ/π = π2π 95.5Γ106
3Γ108= βπ2πβ1
ObsΓ©rvese que este resultado demuestra que el factor de atenuaciΓ³n es πΌ = 0 y laconstante de defasaje es π½ = 2 πππ/π
Problemas
Problema 4
El campo elΓ©ctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la direcciΓ³n +π§ en aire
apunta en la direcciΓ³n π₯. Si el valor pico de πΈ es de 1.2πππ
πy πΈ es mΓ‘ximo
cuando π‘ = 0 π¦ π§ = 50π, obtenga expresiones para πΈ π§, π‘ π¦ π» π§, π‘ y luego traceuna grafica de estas variaciones en funciΓ³n de π§ πππ π‘ = 0.
Problemas
SoluciΓ³n
Con π = 1ππ»π§, la longitud de onda en el aire es:
π =π
π=
3Γ108
1Γ106= 300 π
Y el numero de onda correspondiente es π½ =2π
π=
2π
300πππ/π. La expresiΓ³n general
para un campo elΓ©ctrico dirigido hacia π₯ que viaja en la direcciΓ³n de +π§ aparece enla ecuaciΓ³n como
πΈ π§, π‘ = πΈππππ ππ‘ β π½π§ + π ππ₯ β πΈ π§, π‘ = 1.2ππππ 2π Γ 106π‘ β2π
300π§ + π ππ₯
ππ
π
El campo πΈ π§, π‘ es mΓ‘ximo cuando el argumento de la funciΓ³n coseno es igual acero o a mΓΊltiplos de 2π. Con π‘ = 0 π¦ π§ = 50π, esta condiciΓ³n es
Problemas
SoluciΓ³n
β2πΓ50
300+ π = 0 π π =
π
3
πΈ π§, π‘ = 1.2ππππ 2π Γ 106π‘ β2π
300π§ +
π
3ππ₯
ππ
π
Y de acuerdo con
π» π§, π‘ =πΈπ
ππππ ππ‘ β π½π§ + π ππ¦ βΉ
π» π§, π‘ =1.2πΓ10β3
120ππππ 2π Γ 106π‘ β
2ππ§
300β
π
3ππ¦ ππ΄/π
π» π§, π‘ = 10πππ 2π Γ 106π‘ β2ππ§
300β
π
3ππ¦ ππ΄/π
Donde se utilizo la aproximaciΓ³n ππ β 120π Ξ© πππ π‘ = 0 tenemos que
Problemas
SoluciΓ³n
πΈ π§, 0 = 1.2ππππ 2ππ§
300β
π
3ππ₯ ππ/π
πΈ π§, 0 = 10πππ 2ππ§
300β
π
3ππ¦ ππ/π
Variaciones espaciales de
πΈ π¦ π» πππ π‘ = 0 para la ondaPlana del ejemplo