clase 2 algebra lineal
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Primera parte de cinco, sobre conceptos básicos de algebra lineal dirigido a ingenieros, este tema contiene sistemas de ecuaciones lineales, sistemas matriciales, eliminacion de Gauss y Gaus-Jordan, Universidad nacional de ColombiaTRANSCRIPT
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .
EJEMPLOS: El vector x =
510−35
es un vector de R4 y su primera,
segunda, tercera y cuarta componentes son 5, 0,−3 y 5, en eseorden.
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .EJEMPLOS: Los vectores
e1 =
10...0
, e2 =
01...0
, · · · , en =
00...1
son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores
canonicos de Rn
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x .¿Cuando dos vectores son iguales?
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
Aquı los llamaremos vectores libres.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Aquı los llamaremos vectores libres.
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
[SUMA] Dados u =
u1u2...un
y v =
v1v2...vn
, definimos
u + v =
u1 + v1u2 + v2
...un + vn
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
[PRODUCTO POR ESCALAR] Dados u =
u1u2...un
y λ ∈ R , definimos
λu =
λu1λu2...
λun
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
[RESTA] Definimos u − v
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos numeros reales. Entonces
1 u + v ∈ Rn. Ley clau para +.
2 (u + v) + w = u + (v + w). Ley asoc para +
3 u + v = v + u. Ley conm. para +
4 Existe un unico vector z ∈ Rn tal que u + z = z + u = u(z = 0).
Ley mod para la suma
5 Para cada u, existe un unico vector p ∈ Rn tal que
u + p = p + u = 0 (p = -u). Existencia del opuesto para suma.
6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar
7 α(u + v) = αu + αv. Ley dist del producto por escalar resp +
8 (α+ β)u = αu + βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.
9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto porescalares
10 αu = 0, si y solo si, α = 0 o u = 0.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacionlineal.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacionlineal.
EJEMPLO: Sean u =
(
−12
)
y v =
(
25
)
y w =
(
3−2
)
. Calculemos la
combinacion lineal de ellos dada por 3u − v + 2w .
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A losescalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacionlineal.
EJERCICIO ¿los vectores
−1340
y
20−1
son combinaciones lineales
de
10−2
y
−52−3
?.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; ademas, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; ademas, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V
EJEMPLO: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u +√5v , 0, u, 3v , u − v son
vectores de V .
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectoresv1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := {v |v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , λi ∈ R} = Gen{v1, v2, . . . , vk}
V es generado por v1, v2, . . . , vk ; ademas, a {v1, v2, . . . , vk} lo llamamosconjunto generador de V
EJERCICIO ¿El vector
302
pertenece a Gen
101
,
00−1
?.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Conj. linealmente independiente)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Conj. linealmente independiente)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJERCICIO: Demostremos que
13−2
,
−1−54
,
1−20
, es un conj
linealmente indepependiente
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Conj. linealmente independiente)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente silos unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJERCICIO: Demostremos que
13−2
,
−123
,
21−5
, es un conj
linealmente dependiente.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJERCICIO: Dados
21−5
,
130
,
−2−1−1
, Calcule
u · v , u · w , v · w , (3u) · v , (u + v) · w y v · u.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...un
y v =
v1...vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1 u · v = v · a. Ley conm para ·.2 u · (v + w) = u · v + u · w. Ley dist
3 α(u · v) = (αu) · v = u(αv). ·4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la raız cuadrada de
u · u; es decir,‖u‖ =
√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la raız cuadrada de
u · u; es decir,‖u‖ =
√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
EJERCICIO: Dados u =
21−5
, y los puntos P =
523
, Q =
1−13
,
Calcule ‖u‖ y ‖PQ‖,
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como la raız cuadrada de
u · u; es decir,‖u‖ =
√u · u =
√
u21+ · · ·+ u2
n
Teorema
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que
(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
(e) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λvcon λ ≥ 0. Desigualdad triangular.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
(c) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
(c) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)
= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
(c) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)
= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la grafica de p(x) es una parabola concava hacıa arriba convertice en el semiplano superior (por encima del eje X ). Recordando que
el vertice de p(x) es(
− b
2a, c − b
2
4a
)
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
(c) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)
= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la grafica de p(x) es una parabola concava hacıa arriba convertice en el semiplano superior (por encima del eje X ). Recordando que
el vertice de p(x) es(
− b
2a, c − b
2
4a
)
entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)
4‖u‖2
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
(c) |u · v | ≤ ‖u‖‖v‖DEM: para todo x ∈ R tenemos que ‖xu + v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖xu + v‖2 = (xu + v) · (xu + v)
= x2(u · u) + x(2u · v) + (v · v) = p(x)
donde p(x) = ax2 + bx + c es un polinomio cuadratico con a = u · u,b = 2u · v y c = v · v .Como a ≥ 0, la grafica de p(x) es una parabola concava hacıa arriba convertice en el semiplano superior (por encima del eje X ). Recordando que
el vertice de p(x) es(
− b
2a, c − b
2
4a
)
entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)
4‖u‖2
Ademas, si u = λv entonces
|u · v | = |λv · v | = |λ||v · v | = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriangulo como el de la siguiente figura
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entoncescos θ =
u · v‖u‖‖v‖
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u − v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v + ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entoncescos θ =
u · v‖u‖‖v‖
EJEMPLO: Calcule el angulo de u =
1−1−11
y v =
1−1−1−1
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal Basica
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · u‖u‖2
)
u
Llamamos a vc = v − proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
EJEMPLOS: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal au (Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:
(a) u =
1−1−1
y v =
1−11
(b) u = e1 y v =
2−103
Algebra lineal Basica
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Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de la
matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesion(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Algebra lineal Basica
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Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de la
matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesion(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Definicion
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,
y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.
Definimos el producto matricial Ax como la combinacion lineal
Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.
Algebra lineal Basica
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Producto Ax
Las columnas de las matrices son vectores de Rm, m son las filas de la
matriz, es decir, que las matrices las podemos ver como una sucesion(finita y ordenada) de vectores, lo cual denotamos como
A = [a1 a2 . . . an] ai son las columnas de A.
Definicion
Sea A una matriz, cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an de Rm,
y sea x un vector de Rn, cuyas componentes son x1, x2, . . . , xn.
Definimos el producto matricial Ax como la combinacion lineal
Ax = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan.
EJEM: Dado A =
−1 0 32 1 13 5 −2
y x =
013
, tenemos
Ax = 0
−123
+ 1
015
+ 3
31−2
=??
Algebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a)
Algebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y
por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn).
Algebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y
por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
Algebra lineal Basica
![Page 45: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/45.jpg)
Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y
por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan
Algebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y
por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan
=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
Algebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y
por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan
=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Algebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y
por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan
=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Observe que el sistema lineal
{
3x − 2y + z = −2x − 3z = 1
Algebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del producto Ax)
Dados A, una matriz cuyas columnas son los vectores a1, a2, . . . , an deR
m, λ un escalar e x, y vectores de Rn, entonces
a) A(x + y) = Ax + Ay
b) A(λx) = λ(Ax)
DEM: (a) Como x , y ∈ Rn entonces x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn) y
por tanto x + y = (x1 + y1, · · · , xn + yn). Luego,
A(x + y) = (x1 + y1)a1 + (x2 + y2)a2 + · · ·+ (xn + yn)an
= x1a1 + y1a1 + x2a2 + y2a2 + · · ·+ xnan + ynan
=(
x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan)
+(
y1a1 + y2a2 + · · ·+ ynan)
= Ax + Ay
Observe que el sistema lineal
{
3x − 2y + z = −2x − 3z = 1
⇔ x
(
3
1
)
+y
(−2
0
)
+z
(
1
−3
)
=
(−2
1
)
⇔(
3 −2 11 0 −3
)
xyz
=
(
−21
)
Algebra lineal Basica
![Page 50: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/50.jpg)
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Algebra lineal Basica
![Page 51: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/51.jpg)
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
Algebra lineal Basica
![Page 52: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/52.jpg)
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.
Algebra lineal Basica
![Page 53: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/53.jpg)
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R
n, tal que Ax = b.
Algebra lineal Basica
![Page 54: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/54.jpg)
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R
n, tal que Ax = b.
El vector b es combinacion lineal de las columnas de A.
Algebra lineal Basica
![Page 55: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/55.jpg)
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R
n, tal que Ax = b.
El vector b es combinacion lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Algebra lineal Basica
![Page 56: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/56.jpg)
Observe que
[A|b], Ax = b, x1a1 + x2a2 + . . .+ xnan = b
son distintas formas de representar un sistema de ecuaciones lineales
Teorema (Equivalencia de conceptos)
Dada una matriz A, cuyas n columnas son vectores de Rm y b un vector
de Rm, las siguientes proposiciones son equivalentes:
El sistema cuya matriz aumentada es [A|b] es consistente.Existe al menos un vector x de R
n, tal que Ax = b.
El vector b es combinacion lineal de las columnas de A.
El vector b pertenece al conjunto generado por las columnas de A.
Definicion (Espacio nulo)
El espacio nulo de una matriz A esta dado por
NA = {x ∈ Rn : Ax = 0}
Algebra lineal Basica
![Page 57: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/57.jpg)
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
12−3
se encuentran en NA.
Algebra lineal Basica
![Page 58: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/58.jpg)
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
12−3
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.
Algebra lineal Basica
![Page 59: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/59.jpg)
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
12−3
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM
Algebra lineal Basica
![Page 60: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/60.jpg)
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
12−3
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0;
Algebra lineal Basica
![Page 61: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/61.jpg)
Dada A =
−1 0 32 1 13 5 −2
determinemos si los vectores u =
(
−27
)
,
v =
12−3
y w =
12−3
se encuentran en NA.
OBS NA = {0}, si y solo si, Ax = 0 tiene solucion unica, i.e. x = 0.
Teorema (Propiedades del espacio nulo)
Dada una matriz A, si x, y son vectores de NA y λ es un escalar,tenemos que:
(a) x + y ∈ NA (b) λx ∈ NA
DEM Puesto que x , y ∈ NA, Ax = 0 y Ay = 0; entonces,
(a) A(x + y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0, por tanto, x + y ∈ NA.
(b) A(λx) = λ(Ax) = λ0 = 0, de donde, concluimos que λx ∈ NA.
Algebra lineal Basica
![Page 62: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/62.jpg)
Definicion (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R
n}.
Algebra lineal Basica
![Page 63: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/63.jpg)
Definicion (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R
n}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
Algebra lineal Basica
![Page 64: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/64.jpg)
Definicion (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R
n}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
Algebra lineal Basica
![Page 65: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/65.jpg)
Definicion (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R
n}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
M.Aum =
−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4
M.Esc =
−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1
Algebra lineal Basica
![Page 66: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/66.jpg)
Definicion (Espacio columna)
Dada A, una matriz con n vectores columna de Rm, definimos el espacio
columna de A como el conjunto
CA = {b ∈ Rm : Ax = b, para algun x ∈ R
n}.
OBS CA esta formado por todas las combinaciones lineales de lascolumnas de A; es decir,
CA = Gen{a1, a2, . . . , an}
donde a1, a2, . . . , an son las columnas de A.
EJEM Dada A =
−1 22 11 −1
determinemos si
47−1
,
504
se
encuentran en CA.
M.Aum =
−1 2 4 52 1 7 01 −1 −1 −4
M.Esc =
−1 2 4 50 5 15 100 0 0 −1
Entonces 1ro SI, 2do NOAlgebra lineal Basica
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Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
Algebra lineal Basica
![Page 68: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/68.jpg)
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c .
Algebra lineal Basica
![Page 69: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/69.jpg)
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.
Algebra lineal Basica
![Page 70: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/70.jpg)
Teorema (Propiedades del espacio columna)
Dada una matriz A, los vectores b y c de CA y λ un escalar, entonces:
(1) b + c ∈ CA (2) λb ∈ CA
DEM Puesto que b, c ∈ CA, existen vectores x y y tales que Ax = b yAy = c . Entonces,
(1). b + c = Ax + Ay = A(x + y), por tanto, b + c ∈ CA.
(2). λb = λ(Ax) = A(λx), de donde concluimos que λb ∈ CA.
Corolario (1)
si el vector u es solucion del sistema Ax = b y el vector v es solucion delsistema homogeneo asociado (Ax = 0), entonces (u + v) es solucion delsistema Ax = b.
DEMA(u + v) = Au + Av = b + 0 = b.
Algebra lineal Basica
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Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Basica
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Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.
Algebra lineal Basica
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Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.
DEM Sea v una solucion del sistema Ax = b, entonces h = v − u essolucion del sistema homogeneo asociado (Coro 2) y por tantov = h + u. La otra implicacion es el resultado del Coro 1.
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Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.
Corolario
Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.
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Corolario (2)
Si los vectores u y v son soluciones del sistema Ax = b, entonces u − ves solucion del sistema homogeneo asociado Ax = 0.
Corolario (3)
Sea u solucion del sistema Ax = b, entonces v es solucion del sistemaAx = b, si y solo si, v = h + u, donde h es una solucion del sistemahomogeneo asociado Ax = 0.
Corolario
Un sistema Ax = b que tiene mas de una solucion, tiene infinitassoluciones.
DEM Sean u y v dos soluciones diferentes del sistema Ax = b. Por elCoro 2, h = u − v 6= 0 es solucion del sistema homogeneo asociadoAx = 0. Por el Propiedades de NA, αh, ∀α ∈ R, tambien es solucion delsistema homogeneo, lo que nos indica que el sistema homogeneo tieneinfinitas soluciones. Por el Coro 3, w = αh + u es tambien solucion delsistema Ax = b. Ası que, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones.
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Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d .
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Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d . Al vector d lo llamamos vector director de la recta.
x − p = td ⇒ x = p + td
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
Algebra lineal Basica
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
2 Determine si R =
(
3−1−2
)
y S =
(
4−10
)
pertenecen a la recta L.
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = p + td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d ,
x1 − p1d1
=x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique
que el vector PQ, de (a), es paralelo a d .
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
Algebra lineal Basica
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
3−21
y Q =
530
y
L2 es la recta con ecuacion vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal Basica
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
3−21
y tiene vector
direccion v =
23−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal Basica
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Rectas iguales y ortogonales
DEF Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
Algebra lineal Basica
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Rectas iguales y ortogonales
DEF Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal Basica
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Rectas iguales y ortogonales
DEF Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
321
y Q =
130
y L2
es la recta con ecuacion vectorial
xyz
=
5−41
+ t
22−2
Algebra lineal Basica
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Rectas iguales y ortogonales
DEF Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
0−20
y tiene vector
direccion v =
13−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
1−21
y R =
23−1
Algebra lineal Basica
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Ejercicios
Halle las ecuacion vectorial y la ecuacion simetricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Algebra lineal Basica
![Page 92: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/92.jpg)
Ejercicios
Halle las ecuacion vectorial y la ecuacion simetricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
2 L2 es la recta con ecuacion vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal Basica
![Page 93: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/93.jpg)
Ejercicios
Halle las ecuacion vectorial y la ecuacion simetricas de las rectas:
1 La recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
2 L2 es la recta con ecuacion vectorial
xyz
=
0−43
+ t
410−2
3 L2 es la recta que pasa por los puntos Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal Basica
![Page 94: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/94.jpg)
PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .
Algebra lineal Basica
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PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c , d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d , es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d .
Observe que PX = tc + sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP ,entonces para t, s ∈ R
x − p = tc + sd x = p + tc + sd
Esta es la ecuacion vectorial del plano.Algebra lineal Basica
![Page 96: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/96.jpg)
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
Algebra lineal Basica
![Page 97: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/97.jpg)
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
Algebra lineal Basica
![Page 98: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/98.jpg)
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t + sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.
Algebra lineal Basica
![Page 99: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/99.jpg)
Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t + sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
Algebra lineal Basica
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t + sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
Algebra lineal Basica
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = p + tc + sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t + sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
4 ¿Los puntos M =
221−2
N =
64−9−2
se encuentran en el plano P?.
Algebra lineal Basica
![Page 102: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/102.jpg)
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
Algebra lineal Basica
![Page 103: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/103.jpg)
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .
Algebra lineal Basica
![Page 104: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/104.jpg)
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Algebra lineal Basica
![Page 105: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/105.jpg)
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Teorema (Planos iguales)
Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto comun
Algebra lineal Basica
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Algebra lineal Basica
![Page 107: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/107.jpg)
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Algebra lineal Basica
![Page 108: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/108.jpg)
Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta esta totalmente incluida en un plano de Rn, si y solo si, la
recta es paralela al plano y la recta y el plano tienen al menos un puntoen comun.
Algebra lineal Basica
![Page 109: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/109.jpg)
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal Basica
![Page 110: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/110.jpg)
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1, d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal Basica
![Page 111: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/111.jpg)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.
.
Algebra lineal Basica
![Page 112: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/112.jpg)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
.
Algebra lineal Basica
![Page 113: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/113.jpg)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal Basica
![Page 114: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/114.jpg)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
Algebra lineal Basica
![Page 115: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/115.jpg)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)
donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.
Algebra lineal Basica
![Page 116: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/116.jpg)
Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente l1x1 + l2x2 + · · ·+ lnxn = d (2)
donde con d = l1p1+ l2p2+ · · ·+ lnpn = n ·p.A esta ecuacion la llamamosecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal Basica
![Page 117: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/117.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
Algebra lineal Basica
![Page 118: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/118.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
Algebra lineal Basica
![Page 119: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/119.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
Algebra lineal Basica
![Page 120: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/120.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
Algebra lineal Basica
![Page 121: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/121.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.
Algebra lineal Basica
![Page 122: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/122.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?
Algebra lineal Basica
![Page 123: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/123.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
Algebra lineal Basica
![Page 124: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/124.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
Algebra lineal Basica
![Page 125: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/125.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
.
Algebra lineal Basica
![Page 126: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/126.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
Algebra lineal Basica
![Page 127: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/127.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?
Algebra lineal Basica
![Page 128: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/128.jpg)
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1u2u3
y v =
v1v2v3
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
Algebra lineal Basica
![Page 129: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/129.jpg)
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1u2u3
y v =
v1v2v3
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal Basica
![Page 130: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/130.jpg)
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1u2u3
y v =
v1v2v3
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Teorema (Propiedades)
Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:
1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w
3) u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)
Algebra lineal Basica
![Page 131: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/131.jpg)
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1u2u3
y v =
v1v2v3
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
Algebra lineal Basica
![Page 132: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/132.jpg)
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
u1u2u3
y v =
v1v2v3
de R3, definimos u × v , el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
·
u1u2u3
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3
= 0
De manera analoga u× v · v = 0
Algebra lineal Basica
![Page 133: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/133.jpg)
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 =
Algebra lineal Basica
![Page 134: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/134.jpg)
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
Algebra lineal Basica
![Page 135: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/135.jpg)
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2
Algebra lineal Basica
![Page 136: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/136.jpg)
Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)
= ‖u‖2‖v‖2 sin2 θ
Algebra lineal Basica
![Page 137: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/137.jpg)
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Algebra lineal Basica
![Page 138: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/138.jpg)
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0
.
Algebra lineal Basica
![Page 139: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/139.jpg)
Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ ahora, como u, v 6= 0 entonces sin θ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Algebra lineal Basica
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Corolario
El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por losvectores u y v de R
3 esta dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, u× v.
Algebra lineal Basica
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Corolario
El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por losvectores u y v de R
3 esta dada por la magnitud del producto vectorial deellos, es decir, u× v.
DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, esta dada porh = ‖u‖ sin θ y el area del paralelogramo, es base por altura, tenemos
A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖Algebra lineal Basica
![Page 142: Clase 2 Algebra lineal](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042504/563db8f4550346aa9a9897ee/html5/thumbnails/142.jpg)
Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R
3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v ×w)|.
DEM:
Algebra lineal Basica
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Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R
3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v ×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Algebra lineal Basica
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Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R
3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v ×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
DEM: Observemos que h, la altura del paralelepıpedo, esta dada porh = ‖u‖| cosα| (h es paralela a v×w) ademas el area de la base es‖v× ‖, por lo tanto tenemos
V = ‖v×w‖h = ‖v×w‖‖u‖| cosα| = |‖v×w‖‖u‖ cosα| = |u · (v×w)|.
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Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas porlos vectores u, v y w de R
3 esta dado por el valor absoluto del productomixto de ellos, es decir, por |u · (v ×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Corolario
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0
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QUIZ 1
1 Deduzca una formula para determinar la distancia mas corta delpunto P(x0, y0) a la recta L cuya ecuacion es ax + by + d = 0
2 Determine si los siguientes planos son ortogonales o paralelos alhiperplano H : x1 + x2 − 2 = x4
x = 1 + t − 2sy = −3s + 2tz = 1− t + s
w = 2 + t
x =
1−150
+ s
−2010
+ t
−201−4
x = 2− ty = −2s + 1z = 1 + t + sw = −t − 2s − 2
3 Teniendo en cuenta la siguiente propiedad x · (y × z) = z · (x × y)demuestre la identidad de Lagrange. Es decir,
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)
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