clase 2 aplicaciones numéricas en investigación de operaciones
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Clase 2 de Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones, Prof. Gonzalo Müller, [email protected], Facultad de Ingeniería, UCVTRANSCRIPT
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Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones2
Prof. Gonzalo Müller
Postgrado de Investigación de Operaciones
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
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Clase anterior
� Pautas de curso.� Matlab
� Ambiente de trabajo Matlab� Funciones Matemáticas� Variables
Definición de nombre
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 2
� Definición de nombre� Asignación
� Arreglos� acceder a un elemento o submatriz específica
� Operadores Aritméticos� por elemento entre matrices: .*, ./, .^
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Clase anteriorClase anterior
� Definición de Funciones
� Encabezado
� Cuerpo
� Variable de Retorno
� Nombre del archivo y de función deben coincidir.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 3
� Nombre del archivo y de función deben coincidir.
� ; se coloca al final de una instrucción para evitar lapresentación en pantalla del resultado.
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Bits y BytesBits y Bytes
El computador solo es capaz de almacenar un conjunto de 0s y 1s.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 4
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Bits y Bytes
El computador sólo es capaz de almacenar un conjunto de 0s y 1s.
� Bit: es la localidad de almacenamiento más pequeña.
� Físicamente constituye un elemento biestable queesta encendido o apagado.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 5
esta encendido o apagado.
� Es capaz de almacenar un 1 ó un 0.
Bit Almacena
Apagado 0
Encendido 1
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Bits y Bytes
� Aislado sirve de poco por lo que se trabaja enforma conjunta.
Ejemplo: 2 bits puede representar 4 situaciones:
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Bit 1 Bit 2 Almacena
00
01
10
11
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Bits y BytesBits y Bytes
Ejemplo: 3 bits puede representar 8 situaciones:
Bit 1 Bit 2 Bit 3 Almacena
000
001
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 7
001
010
011
100
101
110
111
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Bits y Bytes
� Byte: es un conjunto de 8 bits.
� En los computadores la localidad de menor tamañoes un byte.
LocalidadTamaño: 8 bits
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 8
LocalidadTamaño: 8 bits
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Sistemas de Numeración
� El computador sólo es capaz de almacenar unconjunto de 0s y 1s, por lo tanto si se desea almacenarun valor como 524 es necesario realizar la conversióna 0s y 1s, lo que lleva a utilizar diferentes sistemas denumeración.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 9
� Sistema Binario.
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Sistemas de Numeración
� Sistema numeración Decimal.
� Alfabeto: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
� Cardinalidad del alfabeto: 10
� Cada dígito tiene un valor relativo según la posiciónque ocupa.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 10
que ocupa.
Ejemplo:
8 x 102 + 7 x 101 + 6 x 100 = 876
Posición 2 1 0Digito 8 7 6
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Sistemas de Numeración
� Sistema numeración Binario.
� Alfabeto: 0 1
� Cardinalidad del alfabeto: 2
� Cada dígito tiene un valor relativo según la posiciónque ocupa.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 11
que ocupa.
� Notación : NÚMERO2
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Sistemas de NumeraciónSistemas de Numeración
Ejemplo: Obtener la representación decimal de 1012:
Posición 2 1 0Digito 1 0 1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 12
1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 5
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Sistemas de Numeración
� En general, para obtener la representación decimal de un número:
∑−
=
1
*Dígitos
kk BaseDígitoNÚMERO
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 13
∑=
=
0
*k
k BaseDígitoNÚMERO
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Números
� Representación de los números:
� Punto fijo.
� Punto flotante.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 14
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Números
� Punto Fijo.
� Se especifica una cantidad de fija de dígitos antes ydespués del punto decimal.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 15
0 1 2 3 4 5 0 012.345
n1 n2
punto decimal
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Números
� Punto flotante: el punto decimal no esta fijo.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 16
punto decimal
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Números
� Punto flotante: el punto decimal no esta fijo.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 17
punto decimal
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Números
� Se rige según la norma IEEE 754.
� La forma como es almacenado un número realestaba basado en la notación científica:
5.67x1056
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 18
5.67x1056
5.67→ mantisa
56→ exponente
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Números
�Mantisa normalizada
0.1 ≤ Mantisa normalizada < 1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 19
0.567x1057
0.567→ mantisa normalizada
57→ exponente
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Números
� Solo sería necesario almacenar:
567
57
� Existe un ahorro en memoria:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 20
0
.
x
10
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Números
� En general:
Exponente Mantisa
s n bits m bits
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 21
� La Mantisa es un número binario.
� El Exponente es un número entero sin signo.
� La Base es 2, no 10:
(-1)Signo x 1.Mantisa x 2 Exponente – Bias
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Números
� Real de 4 bytes, Precisión Sencilla:
� En el exponente se puede almacenar:
Exponente Mantisa
s 8 bits 23 bits
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 22
0 … 255 (1 … 254)
� 6 cifras significativas.
� 16777216 puntos en el rango.
(-1)Signo x 1.Mantisa x 2 Exponente – 127
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Números
� El mayor número que se puede representar:
1.11111111...12 x 2 127
3.4028234663852886 x 10 38
� En número más pequeño que se puede representar:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 23
1.17549435 x 10 -38
� La separación entre un número y otro:
1.1920929 x 10 -7
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Números
� Real de 8 bytes , Precisión Doble:
Exponente Mantisa
s 11 bits 52 bits
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 24
� En el exponente se puede almacenar:
0 … 2047(1 … 2046)
� 15 cifras significativas.
� 9007199254740992 puntos en el rango.
(-1)Signo x 1.Mantisa x 2 Exponente – 1023
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Números
� El mayor número que se puede representar:
1.11111111...12 x 2 1023
1.7976931348623158 x 10 308
� En número más pequeño que se puede representar:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 25
2.2250738585072014 x 10 -308
� La separación entre un número y otro:
2.2204460492503131 x 10 -16
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NúmerosNúmeros
Real de 4 Byte
03.4028234663852886 x 10 38-3.4028234663852886 x 10 38
1.17549435 x 10-38- ∞ ∞
1.1920929 x 10-7
Dos número consecutivos de subconjunto finito
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 26
Real de 8 Byte
01.7976931348623158 x 10 308-1.7976931348623158 x 10 308
2.2250738585072014 x 10-308- ∞ ∞
2.2204460492503131 x 10-16
Dos número consecutivos de subconjunto finito
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Números
� Un número que no puede ser representado se redondea, esto quiere decir:
0.d d d … d Si 0 ≤ d ≤ 4
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 27
0.d1 d2 d3 … dt Si 0 ≤ dt+1 ≤ 4
0.d1 d2 d3 … dt + 10-t Si dt+1 ≥ 5n =
0.d1 d2 d3 … dt Si dt+1 = 0
0.d1 d2 d3 … dt + 2-t Si dt+1 = 1n =
![Page 28: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/28.jpg)
NúmerosNúmeros
n = 0.d1 d2 d3 … dt dt+1 dt+2 dt+3 dt+4 dt+5
información perdida
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 28
t = 5
1.234567
1.234568
Son iguales
1.23457
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Limitaciones computacionales
� El conjunto de número que se puede representar en el computador es finito.
� Esto ocasiona problemas:
� Al ingresar los datos de entrada.
� Al representar resultados intermedios resultados
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 29
� Al representar resultados intermedios resultadosde las operaciones matemáticas.
� Aunque los datos de entrada pertenezcan alconjunto de números, el resultado de las operacionespuede no pertenecer.
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Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales
Ejemplo:
a = 7.35e+210
b = 9.01e+201
c = a*b
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 30
who lista las variables definidas
![Page 31: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/31.jpg)
Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales
Ejemplo:
a = 7.35e+210
b = 9.01e+201
c = a*b Overflow Error: Número más grande de lo que puede ser representado
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 31
who lista las variables definidas
representado
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Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales
Ejemplo:
a = 7.35e-210
b = 9.01e-201
c = a*b
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 32
whos lista las variables definidas, sus tipos y sus tamaños
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Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales
Ejemplo:
a = 7.35e-210
b = 9.01e-201
c = a*b Underflow Error: Número más pequeño de lo que puede ser representado
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 33
whos lista las variables definidas, sus tipos y sus tamaños
representado
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Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales
Ejemplo:
c = 0.5 – 0.1 – 0.1 - 0.1 – 0.1 – 0.1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 34
![Page 35: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/35.jpg)
Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales
Ejemplo:
c = 0.5 – 0.1 – 0.1 - 0.1 – 0.1 – 0.1
Debería ser 0!
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 35
![Page 36: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/36.jpg)
Limitaciones computacionalesLimitaciones computacionales
Ejemplo:
c = 0.5 – 0.1 – 0.1 - 0.1 – 0.1 – 0.1
Debería ser 0!
La representación binaria de 0.1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 36
0.000110011001100110011001100110011...
Requiere un número infinito de dígitos por lo tanto el computador trabaja con un aproximación de 0.1.
![Page 37: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/37.jpg)
Errores
� Establecer la certeza de los resultados obtenidos.
� Básicamente dos factores afectan ésta certeza:
� errores de redondeo
� errores de aproximación.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 37
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Errores
� Errores de redondeo:
� Debido a la representación de valores con elconjunto finito de números que maneja elcomputador.
� Omnipresente
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 38
� Omnipresente
� Siempre existirá una incertidumbre en el últimodigito decimal obtenido
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Errores
� Errores de truncamiento:
� Error obtenido como resultado de la discretizaciónde un problema real.
� Método que obtiene soluciones aproximadas per separa un problema real.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 39
para un problema real.
� Esta diferencia entre la solución aproximada y la realse conoce como error de truncamiento.
Ejemplo: el calculo de una integral definida.
� No se debe confundir con el truncamiento que seproduce en el redondeo.
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Errores
� Estos errores se propagan a medida que se realizan operaciones
� Errores pequeños al comienzo se propagan y seconvierte errores muy grandes a medida que serealizan operaciones
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 40
realizan operaciones
error error error ...
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Errores
� Recomendación:
� Utilizar la precisión adecuada que garantice lacantidad de dígitos que requiere el problema.
� De igual manera se debe tener cuidado al presentarlos resultados colocar la cantidad adecuada de
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 41
los resultados colocar la cantidad adecuada dedecimales, ya que se pueden establecer conclusioneserradas.
Inevitablemente siempre habrá un error presente
sin importar cuantas precauciones se tomen
![Page 42: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/42.jpg)
Errores
� En líneas generales siempre :
� Se expresará un resultado con una precisión igual omenor a la menor de las precisiones de los númerosutilizados.
#.###
#.##
#.##
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 42
� Sin la precisión obtenida en el resultado es menorque la precisión de los números utilizados elresultado es exacto.
#.##
#.###
#.##
#.# Exacto!
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Números en Matlab
� Matlab representa los números de las 2 maneras:
� Punto Fijo.
� Punto Flotante.
Para construir una constante en punto flotante:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 43
9.88426x10-45→ 9.88426E-45 ó 9.88426e-45
Mx10N
MeN
MENM: Punto Fijo
N: Entero con o sin signo
![Page 44: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/44.jpg)
Números en Matlab
� Mantisa:
� 0 ≤ M < 10
� Contiene p dígitos conoce precisión.
� Exponente:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 44
� min ≤ N ≤ max
![Page 45: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/45.jpg)
Números en Matlab
� Generalmente Matlab presenta la información con 7 cifras significativas, punto fijo:
� 3 dígitos antes del punto decimal.
� 4 dígitos después del punto decimal.
###.####
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 45
###.####
� En caso de que se superen los 3 dígitos lo presenta con punto flotante con:
� 4 dígitos después del punto decimal.
#.####e###
![Page 46: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/46.jpg)
Números en Matlab
� Se puede llamar a la función format para cambiar la presentación de la información
format tipo
short 3 y 4
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 46
long 3 y 14
short e 1 y 4 + exponente
long e 1 y 14 + exponente
bank * y 2
+ +, – y 0
![Page 47: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/47.jpg)
Gráficas
� Matlab permite graficar curvas y superficies en 2D y 3D.
Las principales funciones para graficar son:
� plot
� plot3
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 47
� plot3
� surf
� mesh
![Page 48: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/48.jpg)
Gráficas de Líneas
� plot: Realiza graficas de curvas en 2D.
Se puede emplear de diferentes maneras:
1.
plot(Y)
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 48
produce un gráfico de líneas tal que:
x índice del elemento de Y
y elemento de Y
![Page 49: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/49.jpg)
Gráficas de LíneasGráficas de Líneas
2.
plot(X,Y)
produce un gráfico de líneas tal que:
x elemento de X
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 49
x elemento de X
y elemento de Y
![Page 50: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/50.jpg)
Gráficas de LíneasGráficas de Líneas
3.
plot(X1,Y1, X2, Y2,..., XN, YN)
produce N gráficos de líneas en una misma imagen tal que:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 50
que:
...
x elemento de X1
y elemento de Y1
x elemento de XN
y elemento de YN
![Page 51: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/51.jpg)
Gráficas de LíneasGráficas de Líneas
4.
plot3(X1,Y1,Z1,..., XN, YN, ZN)
produce N gráficos de líneas 3D en una misma imagen tal que:
x elemento de X1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 51
x elemento de X1
y elemento de Y1
z elemento de Z1
x elemento de XN
y elemento de YN
z elemento de ZN
...
![Page 52: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/52.jpg)
Gráficas de Líneas
� Es posible establecer colores y estilos diferentes a los por defecto.
� Luego de cada curva se indica el estilo y color.
plot(X1,Y1,‘estilocolor1’,
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 52
plot(X1,Y1,‘estilocolor1’,
...,XN,YN,‘estilocolorN’)
� Estilo y color es una combinación de:
color+estilo+marcador
![Page 53: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/53.jpg)
Gráficas de Líneas
� colores, estilos y marcadores:color estilo marcador
c
m
y
r
cyan
mangenta
amarillo
rojo
-
- -
:
-.
+
o
x
*
+
o
x
*
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 53
r
g
b
w
k
rojo
verde
azul
blanco
negro
-. *
s
d
^
>
<
p
*
![Page 54: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/54.jpg)
Gráficas 3D
� En graficas 3D, la superficie se levanta sobre una malla de puntos en plano X-Y:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 54
X-Y
![Page 55: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/55.jpg)
Gráficas 3D
� En graficas 3D, la superficie se levanta sobre una malla de puntos en plano X-Y:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 55
X-Y
![Page 56: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/56.jpg)
Gráficas 3D
� En graficas 3D, la superficie se levanta sobre una malla de puntos en plano X-Y:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 56
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
0
5
10
15
20
X-Y
X-Y
X-Y-Z
![Page 57: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/57.jpg)
Gráficas 3D
� meshgrid: define la malla de puntos.
� Dados el rango de X y de Y en 2 vectores
� Construye dos matrices, una con filas iguales para Xy otra con columnas iguales para Y que define lamalla.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 57
malla.[XS,YS] = meshgrid(X, Y)
XS YS
X1 Xn
X1 Xn
Y1
Yn
Y1
Yn
![Page 58: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/58.jpg)
Gráficas 3D
� meshgrid: define la malla de puntos.
� Dados el rango de X y de Y en 2 vectores
� Construye dos matrices, una con filas iguales para Xy otra con columnas iguales para Y que define lamalla.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 58
malla.[XS,YS] = meshgrid(X, Y)
XS YS
X1 Xn
X1 Xn
Y1
Yn
Y1
Yn
Grid
![Page 59: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/59.jpg)
Gráficas 3D
� mesh: Realiza graficas 3D como una malla de líneas que definen la superficie.
mesh(X,Y,Z)
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 59
� surf: Realiza graficas 3D como una malla de cuadriláteros coloreados que definen la superficie.
surf(X,Y,Z)
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Gráficas
� En general para graficar en 2D y en 3D, es necesario:
1. Definir el dominio de la función
� Se define el vector (2D) o las matrices (3D) con losvalores del domino en orden.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 60
![Page 61: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/61.jpg)
Gráficas
� En general para graficar en 2D y en 3D, es necesario:
1. Definir el dominio de la función
� Se define el vector (2D) o las matrices (3D) con losvalores del domino en orden.
2. Definir el rango de la función
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 61
2. Definir el rango de la función
� Se define un vector (2D) o matriz (3D) con losvalores del rango en orden.
� Cada elemento del vector de dominio tendrá sucorrespondencia en el vector o matriz de rango.
![Page 62: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/62.jpg)
Gráficas
� En general para graficar en 2D y en 3D, es necesario:
1. Definir el dominio de la función
� Se define el vector (2D) o las matrices (3D) con losvalores del domino en orden.
2. Definir el rango de la función
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 62
2. Definir el rango de la función
� Se define un vector (2D) o matriz (3D) con losvalores del rango en orden.
� Cada elemento del vector de dominio tendrá sucorrespondencia en el vector o matriz de rango.
3. Graficar utilizando la función adecuada.
![Page 63: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/63.jpg)
GráficasGráficas
Ejemplo: Realizar grafica 2D.
1. Definir el vector de valores de x.X = –3:0.5:3
2. Definir el vector de valores de y.
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 63
2. Definir el vector de valores de y.
Y = sin(X)
3. Graficar.
plot(X, Y)
clf limpia la ventana de gráfica
![Page 64: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/64.jpg)
GráficasGráficas
Ejemplo: Realizar grafica 2D.
1. Definir el vector de valores de x.X = –3:0.5:3
2. Definir el vector de valores de y.
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 64
2. Definir el vector de valores de y.
Y = sin(X)
Y1 = cos(X)
3. Graficar.plot(X, Y, X, Y1)
plot permite colocar más de una gráfica
![Page 65: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/65.jpg)
GráficasGráficas
Ejemplo: Realizar grafica 3D.
1. Definir las matrices de la malla.x = –3:0.5:3
y = –3:0.25:3
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
2
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 65
y = –3:0.25:3
[X,Y] = meshgrid(x, y)
2. Definir el vector de valores de z.Z = sen(X) + cos(Y)
3. Graficar.
mesh(X,Y,Z)
![Page 66: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/66.jpg)
GráficasGráficas
Ejemplo: Realizar grafica 3D.
1. Definir las matrices de la malla.
[X,Y] = meshgrid(–3:0.5:3, –3:0.25:3)
2. Definir el vector de valores de z.
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
2
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 66
2. Definir el vector de valores de z.
Z = sen(X) + cos(Y)
3. Graficar.
surf(X,Y,Z)
clc limpia la ventana de comandos
![Page 67: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/67.jpg)
Ajustando la Gráfica
� axis: ajusta los ejes a un rango dado
axis([xmin xmax ymin ymax]) Ajusta eje en 2Daxis([xmin xmax ymin ymax
zmin zmax])Ajusta eje en 3D
axis auto Auto ajusta
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 67
� grid: muestra u oculta malla.
grid on/off
axis auto Auto ajustaaxis equal Marcas de ejes igualesaxis square Ejes del mismo tamaño
![Page 68: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/68.jpg)
Documentando la Gráfica
� xlabel: coloca un titulo en el eje x
xlabel(‘titulo’)
� ylabel: coloca un titulo en el eje y
ylabel(‘titulo’)
� zlabel: coloca un titulo en el eje z
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 68
� zlabel: coloca un titulo en el eje z
zlabel(‘titulo’)
� title: coloca el titulo principal de la gráfica
title(‘titulo’)
� legend: agrega una leyenda a la gráfica
legend(‘leyenda1’, ..., ‘leyendaN’)
![Page 69: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/69.jpg)
Construir la siguiente gráfica en Matlab:
1/x-sen(x)*xy 3=
![Page 70: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/70.jpg)
Construir la siguiente gráfica en Matlab:
Tramo 1
Tramo 2
Tramo 3
La función text permite agregar un texto ala gráfica en un posición especifica X, Y
Tramo 1
Tramo 4
![Page 71: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/71.jpg)
La trayectoria de una partícula en el espacio estadescrita por las siguientes ecuaciones:
x = t
y = t * cos(t)y = t * cos(t)
z = e0.2t
construir una gráfica en Matlab de la trayectoriadescrita por la partícula hasta un tiempo de 4π
![Page 72: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/72.jpg)
Construir la siguiente gráfica en Matlab:
10
15
20
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
0
5
22 y+x=z
![Page 73: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/73.jpg)
Construir la siguiente gráfica en Matlab:
2 222 22 yx)/yxsen(z ++=
![Page 74: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/74.jpg)
Gráficas
� scatter: gráfica de conjunto de puntos en el plano X-Y.
scatter(X,Y)
� hist: histograma.
hist(Y,N)
N: tamaño del grupo
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 74
N: tamaño del grupo
� stem: gráfica de errores.
stem(X,Y)
X: posición X
Y: tamaño del error
![Page 75: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/75.jpg)
Gráficas
� stairs: gráfica de errores continua.
stairs(X,Y)
X: posición X
Y: tamaño del error
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 75
� bar, barh: gráfica de barras.
bar(X,Y)
X: posición X
Y: alto de la barra
![Page 76: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/76.jpg)
Gráficas
� pie: gráfica de torta.
pie(X)
X: datos
� scatter3: gráfica de conjunto de puntos en el plano X-Y-Z.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 76
Y-Z.
scatter3(X,Y,Z)
� pie3: gráfica de torta.
pie(X)
X: datos
![Page 77: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/77.jpg)
Gráficas Múltiples
� Matlab permite presentar múltiples gráficas en una misma imagen, esto se logra con el comando subplot.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 77
![Page 78: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/78.jpg)
Gráficas Múltiples
� subplot: divide la imagen en una matriz de imágenes independientes y establece cual es la subventana activa
subplot(m,n,a)
m: cantidad de filas.
n: cantidad de columnas.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 78
n: cantidad de columnas.
a: número de la subventana activa.
1 ≤ a ≤ m*n
1 2 ... n
n+1 n+2 ... ...
... ... ... m*n
![Page 79: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/79.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 79
![Page 80: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/80.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 80
subventana....
![Page 81: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/81.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 81
subventana....
3. Se selecciona la siguiente subventanasubplot(m,n,a2)
...
![Page 82: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/82.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 82
subventana....
3. Se selecciona la siguiente subventanasubplot(m,n,a2)
4. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
...
![Page 83: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/83.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 83
subventana....
3. Se selecciona la siguiente subventanasubplot(m,n,a2)
4. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
... ...
![Page 84: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/84.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
Subventana1
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 84
subventana....
3. Se selecciona la siguiente subventanasubplot(m,n,a2)
4. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
... ...
![Page 85: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/85.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 85
subventana....
3. Se selecciona la siguiente subventanasubplot(m,n,a2)
4. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
... ...
Subventana2
![Page 86: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/86.jpg)
Gráficas Múltiples
� Uso de subplot:
1. Se selecciona la subventana a utilizar:subplot(m,n,a1)
2. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 86
subventana....
3. Se selecciona la siguiente subventanasubplot(m,n,a2)
4. Se realizan todas las operaciones gráficas de esa subventana.
... ...
más Subventanas
![Page 87: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/87.jpg)
La trayectoria de una partícula en el espacio estadescrita por las siguientes ecuaciones:
x = t
y = t * cos(t)y = t * cos(t)
z = e0.2t
Construir una gráfica en Matlab de la trayectoriadescrita por la partícula hasta un tiempo de 4π , en elespacio, en el plano x, en el plano y en el plano z.
![Page 88: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/88.jpg)
Gráficas de una función
� fplot: gráfica una función dada en un rango específico.fplot(funcion,rango)
funcion: función a graficar
� Texto con la función o funciones separadas por
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 88
� Texto con la función o funciones separadas porcomas
‘[funcion1(x), funcion2(x), …]’
rango: vector con lo limites del intervalo de x a graficar.
[xmin xmax]
Debe ser x Debe ser x
![Page 89: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/89.jpg)
Gráficas de una funciónGráficas de una función
Ejemplo:
X = [-3 3];
fplot(‘sin(x)’, X);
fplot(‘[sin(x), cos(x)]’, X);
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 89
fplot(‘[sin(x), cos(x)]’, X);
![Page 90: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/90.jpg)
Apuntador a una función
� Matlab ofrece otro tipo de dato:
function_handle
Contiene toda la información para encontrar yejecutar una función.
� Su principal utilidad es pasar como parámetros
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 90
� Su principal utilidad es pasar como parámetrosfunciones.
� Un function_handle consiste del carácter arrobaseguido del nombre de la función (Sólo el nombre):
@funcion
![Page 91: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/91.jpg)
Apuntador a una funciónApuntador a una función
Ejemplo:
fplot también recibe un function_handle comoparámetro para la función.
X = [-3 3];
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 91
X = [-3 3];
fplot(@sin, X);
![Page 92: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/92.jpg)
Construir una función en Matlab para evaluar:
y = x3*sen(x) – 1/x
� Utilizar la función fplot con un function_handlepara graficar la función en para valores de x entre0.5 y 5.
![Page 93: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/93.jpg)
Resumen
� Bits y Bytes
� Sistemas de Numeración
� Sistema Binario de Numeración
� Números:
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 93
� Punto Fijo.
� Punto flotante
� Precisión Sencilla
� Precisión Doble
� Redondeo
![Page 94: Clase 2 Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022020206/5469eed0b4af9f1c348b4c06/html5/thumbnails/94.jpg)
Resumen
� Limitaciones computacionales
� Overflow Error
� Underflow Error
� Errores
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 94
� de redondeo
� de truncamiento(discretización de un problema real)
� Números en Matlab
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Resumen
� Gráficas de Línea: plot, plot3
� Gráficas 3D: surf, mesh, meshgrid
� Ajustando la gráfica: axis, grid.
� Documentando la gráfica: *label, title, legend.
�
Aplicaciones Numéricas en Investigación de Operaciones – Prof. Gonzalo Müller – Clase 2 – GM – 95
� Otras gráficas: scatter, hist, stem, stairs, bar, pie, scatter3
� Gráficas Múltiples: subplot
� Gráfica de una función: fplot
� Apuntador a función: function_handle