clase 3 derivada
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INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE
Bibliografía
Competencia
Tema
INICIO
3.1 Concepto de derivada de una función“La recta tangente y su relación con la derivada
de una función”
El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México
Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de
Ingeniería
Introducción a la Derivada
Dónde estoy, y a dónde voy?
Posición actualDónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidaddistracciones, etc.
Fuerzas externas que atacan
Antes de iniciar, es importante reflexionar…
Recordemos el camino trazado…
1. Funciones de una variable
2. Limites y continuidad
3. La derivada
4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…
Introducción a la Derivada
Ya analizamosfunciones…También limites de funciones…
Y el tema que iniciamos hoy es….
“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)
Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…”Si tenemos una función definida por
2xy
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Introducción a la Derivada
xy 2
Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en términos geométricos
Recta secanteRecta tangente
“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”
“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”
Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en una funciónFunción original
Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en una funciónFunción original
Recta secante
Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada
La recta secante y la recta tangente
en una funciónFunción original
Recta tangente
Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada
Sabemos que una de las característicasprincipales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y ymx x
Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!
Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada
Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y ymx x
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada
Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y2 1
2 1
?y ymx x
Algo de historia.Introducción a la Derivada
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1
Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x ytanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x ytanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y2 2( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acercamás al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Atajo
Volver amostrar
Continuar
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.tanm secm Procedemos
a sustituir: 12
12sec xx
yym2 1
2 1
y yx x
tanm
12
12sec xx
yym
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
y yx x
Considerando:
( )y f x
2 1
2 1
( ) ( )f x f xx x
)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemosa sustituir:
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f xx x 2 1x x x Ahora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f xx
2 1x x x
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f xx
Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f xx
Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
2 1x x x
2 1( ) ( )f x f xx
Podemos expresar lo anterior así:lim
0x 0x Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Finalmente considerando lo siguiente:
lim 2 1( ) ( )f x f xx0x
2 1x x x La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f xx
2 1x x x
tanm
1 1( ) ( )f x x f xx
La derivada.Introducción a la Derivada
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim
0x 2 1x x x
La expresión nos queda así:
2 1x x x
tanm
La derivada.Introducción a la Derivada
tanm lim0x
1 1( ) ( )f x x f xx
Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagráfica de una función…..Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dxdy
Por su origen basado enincrementos
=
La derivada de en está dada por siempre que ese límite exista. Ese resultado también es una función de y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
El proceso de calcular la derivada se llama derivación y se dice que una función es derivable en si su derivada en existe. Decimos que la función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.
Además de , que se lee “ prima de ”, se usan otras notaciones para la derivada de .las más usuales están dadas por:
Veamos unos ejemplos:
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Derivada de una funciónConceptos básicos sobre derivadas
La derivada.Introducción a la Derivada
lim
0x
1 1( ) ( )f x x f xx
dx
dy=
Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdxdy 2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
Aplicación del límite obtenido….Introducción a la Derivada
Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:
2)( xxfy
xxfxxf
dxdy
x
)()(lim0
Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:
Al evaluar el término)( xxf
se puede observar que:
2)()( xxxxfy
Al sustituirlo obtenemos:
Aplicación del límite obtenido….Introducción a la Derivada
xxxx
dxdy
x
22
0
)(lim
)( xxf )(xf
Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:
xxxxxx
dxdy
x
222
0
))()(2(lim Reduciendo términos:
xxxx
dxdy
x
2
0
)()(2lim Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:
Aplicación del límite obtenido….Introducción a la Derivada
x
xxxdxdy
x
2
0
)()(2lim xxxx
00lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por 2xy
Entonces su derivada es: xdxdy 2
0
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy 2
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy 2
1xAl sustituiren la derivadael valor de X:
2)1(2tan dxdym
Observe que:
?tan m
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy 2
2tan m
Representación gráfica de:
2xy La función querepresenta suderivada es:
xdxdy 2
Ejemplos: 1) Calcule la derivada de Solución:
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Derivada de una función Conceptos básicos sobre derivadas
𝑓 ′ (𝑥 )=limh→0¿¿ ¿
¿ limh→0¿¿¿
Evaluamos la función en y
¿ limh→0
3 (𝑥2+2 h𝑥 +h2 )+4 𝑥+4 h−5−3 𝑥2−4 𝑥+5h
Elevamos el binomio al cuadrado y realizamos los productos indicados
¿ limh→0
3𝑥2+6 h𝑥 +3h2+4 𝑥+4 h−5−3 𝑥2−4 𝑥+5h Simplificamos términos
semejantes
¿ limh→0
6 h𝑥 +3h2+4 hh Dividimos cada término del trinomio del
numerador entre
¿ limh→0
(6 𝑥+3h+4 ) Calculamos el límite cuando
¿6 𝑥+4
Aplicamos la definición de la derivada
Tomada de “El Cálculo”por Louis Leithold
Primeros ejemplosVamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan
deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.
xxf 3)(
3dxdf
3)(
3xxf 512)( xxf
26)( xxf
2xdxdf
xdxdf 2
52
dxdf
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Regla para encontrar derivadas
dxdf
)x(f c x n
1n
dxdf 1ncnx
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Derivadas especiales
dxdf
)x(f c x 1
11
dxdf 0cx
cdxdf
Sea la función:
Derivadas especiales
0dxdf
cxf )(
La derivada de esta función es:
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 5 x 3
13
dxdf 215x
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 3 x 4
14
dxdf 312x
Sea la función:
La derivada de esta función es:
Ejemplos de derivadas
dxdf
)x(f 32 x 5
1
151
dxdf 5
4
152
x
Derivada de una suma y diferencia de funciones
)()()( xhxgxf
Sea la función:
dxdh
dxdg
dxdf
La derivada de la suma o diferencia es:
- Derivada de un productoEn general
Si )(...)()()( 321 xfxfxfxfy n
Entonces)(...)()()( 321 xfxfxfxf n
dxdy
Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la derivada de cualquier función polinomial en x.
Ej: Hallar la derivada de 52723)( 245 xxxxxf
Solución:
214815)( 34 xxxxf
Ejemplos
675)( 2 xxxf
Sean las funciones:
710 xdxdf
1651034)( 256 xxxxxf
5201524 45 xxxdxdf
Ejercicios propuestos
421
438)( xxxf
Deriva las siguientes funciones:
521
)4(43
21)8(
xx
dxdf
xxxf 103)( 4
xxdxdf 512
5
534xxdx
df
1)854
745
3512125)(
53112)(
xxxxf
xxxxxf
2)
3)
30308456)(
)57()66()62(7)(
)57()62()(
23
23
3
xxxxf
xxxxxf
xxxxf
52
43
833)(
23)(
xxxf
xxxxf
Derivada de un producto de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada
de esta función.
)x(h)x(g)x(f
dxdhxgxh
dxdg
dxdf )()(
- Derivada de un producto
Si y y
entonces,
)(xuu )(xvv ,)()()( xvxuxf
)()()()()( xvxuxvxuxf
Ej: Hallar la derivada de )62()23()( 232 xxxxxxf
y evaluar para 2x
Solución: )62()32()643()23()( 2322 xxxxxxxxxf
Si 4)2(2 fx
EjemploConsideremos el siguiente producto de funciones
dxdhg)x(h
dxdg
dxdf
)413)(58()( 22 xxxxfClaramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
)26)(58()413)(516( 22 xxxxxdxdf
2323 130208206564208 xxxxx
2064195416 23 xxx
Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
)3)(4()( 2xxxf
)2)(4()3)(1( 2 xxxdxdf
22 283 xxx
383 2 xx
Deriva este otro producto de funciones:
)2)(3()( 2132 xxxxxf
)4)(3()2)(36( 232214 xxxxxxxxdxdf
253253 412363126 xxxxxx
34224 523 xxx
Ejercicios propuestos
Derivada de un producto de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
)()()()( xhxgxexf
dxdhxgxexh
dxdgxexhxg
dxde
dxdf )()()()()()(
su derivada será:
EjemploDerivemos la siguiente expresión:
)5)(2)(3()( xxxxf
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( xxxxxxdxdf
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx
)236()32)(5( 2xxxxxx
)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx
31203 2 xx
Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
)x(h)x(g)x(f
2)()(
xhdxdhgxh
dxdg
dxdf
- Derivada de un cuociente
Si )(xf ,)()(xvxu 0)( xvcon
entonces, )(xf 2)(
)()()()(xv
xvxuxuxv
Ej: Determinar la derivada de )(xf332
2
2
xxx
Solución: )(xf
22
2
22
2323
22
22
)3(9123
)3(6493124
)3(2)32()34()3(
xxx
xxxxxx
xxxxxx
)(xf
)(xf
EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones
2354)(xxxf
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones
tenemos que
223)3)(54()23)(4(
xxx
dxdf
2)()(
xhdxdhgxh
dxdg
dxdf
Ejemplo
223)1512(812
xxx
dxdf
2237
x
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.
Ejercicio propuestoSea
11168)(
2
xxxxf
2
2
)1()1)(1168()1)(616(
xxxxx
dxdf
2
22
)1(1168161616
xxxxxx
2
2
)1(10168
xxx
Ejercicio propuestoSea
11)( 3
3
xxxf
23
2332
)1()3)(1()1(3
xxxxx
dxdf
23
2525
)1(3333
xxxxx
23
2
)1(6
xx
Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la
derivada de esta función.
nxhxf )()(
dxdhxhn
dxdf n 1)(
EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones
2)45()( xxf
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena
tenemos que
)5)(45(2 xdxdf
dxdhxhn
dxdf n 1)(
)45(10 x
4050 x
EjemploSea
367)( 2 xxxf
61436721
21
2
xxxdxdf
21
2 367
37
xx
x
36737
2 xx
x
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
21
2 367)( xxxf
y
367)( 2 xxxf
21
2 367)( xxxf
EjemploSea
23
2
)6(63)(xx
xxf
223
2322321
23
2
)6()63)(6(2)63()6)(6(
)6(63
21
xxxxxxxxx
xxx
dxdf
43
223321
2
23
)6()63()6(6)6(
63)6(
21
xxxxxxxx
xxx
43
24243
2
23
)6()36369(366)6(
63)6(
21
xxxxxxxx
xxx
Ejemplo
43
24243
2
3
)6()36369366)(6(
63)6(
21
xxxxxxxx
xxx
43
423
2 )6()363()6(
631
21
xxxxx
x
23
4
2 )6(363
631
21
xxx
x
63)6(363
21
223
4
xxx
x
En los siguientes cinco ejercicios escoja solo una de las siguientes cuatro opciones planteadas:
1) Al derivar la función obtenemos:
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Derivada de una función
Actividad de retroalimentación
𝑥4+2𝑥3+8 𝑥2−16 𝑥+3(𝑥2+𝑥−1 )2
𝑥4+2𝑥3−5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2
a)
b)
𝑥4+2𝑥3+5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2
𝑥4−2𝑥3+5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2
c)
d)
2) Dada la función tenemos que:
Derivada de una función Actividad de retroalimentación
𝑔 ′ (𝑦 )= 𝑦−2√𝑥+ 𝑦2−4 𝑦+4a) 𝑔 ′ (𝑦 )= 2 𝑦−3
√𝑥+2 𝑦 2−6 𝑦+4b)
𝑔 ′ (𝑦 )= 3 𝑦2+12√5𝑥+𝑦 3+𝑦+4c) 𝑔 ′ (𝑦 )= 2−𝑦
√3 𝑥− 𝑦2+4 𝑦+7d)
3) El valor de la primera derivada de la función es:
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Derivada de una función
Actividad de retroalimentación
− 3(𝑥−2 ) (𝑥+1 )a)
4(𝑥−2 ) (𝑥+2 )b)
c)
− 4(𝑥−1 ) (𝑥+3 )d)
4) Al encontrar dado que tenemos:
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Derivada de una función Actividad de retroalimentación
a)
b)
c)
d)
18 𝑥𝒆−3 𝑥2− 2
12𝑥𝒆− 2𝑥2−1
−12 𝑥𝒆2𝑥2+4
−12 𝑥𝒆3𝑥2+2
5) El resultado de donde está dado por:
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Derivada de una función Actividad de retroalimentación
a)
b)
c)
d)
−18 𝑥 cos (6 𝑥 )−3 sen (6 𝑥 )
−12 𝑥cos (6 𝑥 )−2 sen (6 𝑥 )
12𝑥 sen (6 𝑥 )−2cos (6 𝑥 )
18 𝑥 sen (6 𝑥 )−3 cos (6 𝑥 )
DEFINICIÓN DE DERIVADA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y• Continuidad• Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS
La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:
m=0
m=0
m<0
m>0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la
recta tangente es horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de crecimiento la recta
tangente tiene pendiente positiva, en los de
decrecimiento la tiene negativa.
Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1,2x+1,5
y=-1,3x+13
La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0 f’(4)=0
f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3
88
LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES
89
TEOREMA
f ’(c) = 0Si c es un punto de extremo local de f, entonces
90
PUNTOS CRITICOSDefinición:Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.
91
1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en
2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo.
Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]
92
TEOREMASea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces:
Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]
>
93
Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c entonces c es un punto de MÁXIMO local de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local de f
94
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = carriba
>
+
95
TEOREMASea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = cabajo
<-
96
Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces,
Si f ’’(c) > 0, c es un punto demínimo local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto demáximo local
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Punto de inflexiónLa gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente enel punto
sentido en c3 La concavidad cambia de
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PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR Los PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero
ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical)• Si f ’’ cambia de signo