QUIZa)(2x 3)(2x + 3) x(x 1) = 5*b)

DESIGUALDADES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO: Definicin de intervalos. Definicin de desigualdad. Definicin de inecuacin. Resolucin de inecuaciones de primer grado. Solucin para el como para el para dos o ms inecuaciones. Sistemas de inecuaciones con una incgnita.*

Se llama intervalo al conjunto de nmeros reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo. Concepto de Intervalos:Intervalo cerrado:a,b = { x IR / a x b }Intervalo abierto:a,b = { x IR / a < x < b }Otros intervalos:a,b = { x IR / a x < b }a,b = { x IR / a < x b }

a,+ = { x IR / x a }b= { x IR / x b }a,+ = { x IR / x > a },b = { x IR / x < b }Ejercicios:1) Escriba en forma conjuntista y represente en la recta:

(a) 3,7 = { x IR / }(b) 5,9 = { x IR / }(c) -2,4 = { x IR / } (d) -5,3 = { x IR / } 3 x 7(e) 4,+ = { x IR / }(f) 3 = { x IR / }(g) 2,+ = { x IR / }(h) ,5 = { x IR / }

(a) 3,7 = { x IR / }(b) 5,9 = { x IR / }(c) -2,4 = { x IR / } (d) -5,3 = { x IR / } 3 x 75 < x < 9-2 x < 4-5 < x 3(e) 4,+ = { x IR / }(f) 3 = { x IR / }(g) 2,+ = { x IR / }(h) ,5 = { x IR / }x 4x 3x > 2x < 5

2) Escriba en forma conjuntista y como intervalo:(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)-1,4{ x IR / -1 x 4 }

2) Escriba en forma conjuntista y como intervalo:(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)-1,42,7 -3,5-6,07,+-1,+-,-3,5{ x IR / -1 x 4 }{ x IR / 2 < x < 7 }{ x IR /-3 x < 5 }{ x IR / -6 < x 0 }{ x IR / x > 7 }{ x IR / x -1 }{ x IR / x < -3 }{ x IR / x 5 }

Desigualdades:Una desigualdad es toda expresin en la que se encuentran los smbolos > , < , , .Al ser > o < la desigualdad es absoluta , a diferencia de ser o donde la desigualdad ser relativa.Ejemplos:>

Propiedades de las desigualdades:1) Al sumar o restar un mismo nmero real a ambas partes de una desigualdad, esta conserva su sentido.Ejemplos: 7 > -3 /+5 -8 < 6 /-37+5 -3+512 2>-8-3 6-3-11 3

2) Al multiplicar o dividir ambas partes de una desigualdad por un mismo real positivo, la desigualdad conserva su sentido.Ejemplos: 4 > -5 /.6 -9 < 15 /:346 -5624 -30>-9:3 15:3-3 5

4) Al tener una desigualdad entre dos cantidades de igual signo, sus valores recprocos son desiguales en sentido contrario.Ejemplos: 4 3 Valor reciproco: Valor reciproco: -8 -45) Al tener una desigualdad entre dos cantidades de distinto signo, sus valores recprocos son desiguales en el mismo sentido.Ejemplos: 6 > -2 Valor reciproco: Valor reciproco: -5 < 8>

Inecuaciones:Una inecuacin es una desigualdad en la que hay una o ms cantidades desconocidas llamadas incgnitas, desigualdad que se cumple slo para determinados valores de tal(es) incgnita(s).Ejemplo:Sea x + 3 > 5 ; esta es una inecuacin de incgnita x, la que posee por solucin { x IR / x > 2 } o bien 2,+.

Para resolver toda inecuacin de primer grado con una incgnita, se procede de igual forma que para resolver una ecuacin de primer grado, mantenindose el sentido de la desigualdad, a no ser que se multiplique o divida esta por una cantidad negativa, donde cambia el sentido de la desigualdad por el contrario.Resolucin de una inecuacin:Ejemplos: 1) Resolver las siguientes inecuaciones, indicando su solucin empleando intervalos:a) 5x - 12 > 2x - 35x - 2x > -3 + 123x > 9x > 3Sol. = { x IR /x > 3 }Sol. = 3,+

(b) 3x - 14 7x - 2(c) 3(2x - 1) < 9x - 2(x - 1)

(b) 3x - 14 7x - 2(c) 3(2x - 1) < 9x - 2(x - 1)3x - 7x -2 + 14-4x 12x -3Sol. = { x IR / x -3 }Sol. = - , -36x - 3 < 9x - 2x + 26x - 9x + 2x < 2 + 3-x < 5-1x > -5Sol. = { x IR / x > -5 }Sol. = -5 , +

(d) 2(3x-4)(2x+1) (12x+5)(x-1)

(d) 2(3x-4)(2x+1) (12x+5)(x-1)2(6x2 + 3x - 8x - 4) 12x2 - 12x + 5x - 512x2 + 6x - 16x - 8 12x2 - 12x + 5x - 5-10x - 8 -12x + 5x - 5 -10x + 12x - 5x -5 + 8-3x 3x -1Sol. = { x IR / x -1 }Sol. = -1 , +

30610301512x - 10(2x - 17) < 300 - 15(2x - 6)12x - 20x + 170 < 300 - 30x + 9012x - 20x + 30x < 300 + 90 - 17022x < 220x < 10Sol. = { x IR / x < 10 }Sol. = - , 10

369418949(x + 3) - 4(x - 4) 18 - 9(x + 1) + 4(2x + 1)9x + 27 - 4x + 16 18 - 9x - 9 + 8x + 45x + 43 13 - x5x + x 13 - 436x -30x -5Sol. = { x IR / x -5 }Sol. = - , -5

2) Resolver las siguientes inecuaciones literales. Al momento de multiplicar o dividir por una expresin literal, es necesario saber si tal expresin literal es positiva o negativa.

2) Resolver las siguientes inecuaciones literales. Al momento de multiplicar o dividir por una expresin literal, es necesario saber si tal expresin literal es positiva o negativa.ab; con ab IR+aba(x - a) + b(x - b) < 2ababax - a2 + bx - b2 < 2abax + bx < a2 + 2ab + b2x(a + b) < (a + b)21con a + b IR+; luego:x < a + b

abc; con abc IR-abcabca2x + b2x + c2x < abcx(a2 + b2 + c2) < abccon a2 + b2 + c2 IR+

Solucin para el "" como para el "" entre dos o ms inecuaciones:Se debe resolver por separado cada una de estas inecuaciones, representando preferentemente sus soluciones en la recta numrica, para facilitar la obtencin de la solucin pedida, teniendo presente que:La solucin para el "": queda determinada por la interseccin de las soluciones parciales.La solucin para el "": queda determinada por la unin de las soluciones parciales.

Ejemplos:Dados los siguientes pares de inecuaciones, determine la solucin para el "" como para el "" entre ellas:(a) Sean (1) x - 8 < 12 y (2) x - 6 4; sus soluciones son:x < 12 + 8x < 20x 4 + 6x 10La solucin para (1) (2) =La solucin para (1) (2) =20 10,+ = 10,20 20 10,+ =IR

(b) Sean (1) 29 - (5x - 6) 5 y (2) 7x > 59 - (12x + 21)La solucin para (1) (2) =La solucin para (1) (2) =

(b) Sean (1) 29 - (5x - 6) 5 y (2) 7x > 59 - (12x + 21)29 - 5x + 6 5-5x 5 - 29 - 6-5x -30x 67x > 59 - 12x - 217x + 12x > 59 - 2119x > 38x > 2La solucin para (1) (2) =La solucin para (1) (2) =2,+ 6,+ =2,+ 6,+ =2,+6,+

La solucin para (1) (2) =La solucin para (1) (2) =(c) (1) (x+2)(x+5) < x(x+1)+16 y (2) (x-8)(x-7) > x(x-5)-14

x2 + 5x + 2x + 10 < x2 + x +16x2 - 7x - 8x + 56 > x2 - 5x -147x + 10 < x + 16-15x + 56 > -5x - 147x - x < 16 - 10-15x + 5x > -14 - 566x < 6-10x > -70x < 7x < 1La solucin para (1) (2) =La solucin para (1) (2) =-,1 -, 7=-,1 -, 7=-, 7-,1(c) (1) (x+2)(x+5) < x(x+1)+16 y (2) (x-8)(x-7) > x(x-5)-14

La solucin para (1) (2) =La solucin para (1) (2) =(d) Sean (1) 3(x+2)+5(x-1) 25 y (2) 2(5x-1)-4(1-x) > 64

3x + 6 + 5x - 5 2510x - 2 - 4 + 4x > 643x + 5x 25 - 6 + 5 10x + 4x > 64 + 2 + 48x 2414x > 70x 3 x > 5La solucin para (1) (2) =La solucin para (1) (2) =-, 3 5,+=-, 3 5,+=IR -3,5(d) Sean (1) 3(x+2)+5(x-1) 25 y (2) 2(5x-1)-4(1-x) > 64

Hay veces donde dadas dos o ms inecuaciones, para pedir la solucin del "" entre ellas, se presentan estas en forma de sistemas, quedando la solucin de este determinada por la interseccin de la solucin de cada inecuacin.Ejemplos:Resolviendo cada inecuacin por separado:(1) 3x - 2(x - 1) > 0(2) 9x - 4(x + 2) < 4x - 5

Representando sus soluciones en la recta numrica:La solucin del sistema; es decir para (1) (2) =

3x - 2x + 2 > 0x > -29x - 4x - 8 < 4x - 59x - 4x - 4x < -5 + 8x < 3Representando sus soluciones en la recta numrica:La solucin del sistema; es decir para (1) (2) == -2,+ 3 = -2 , 3

Ejercitacin:1) La solucin comn a las inecuaciones y 5 x < 4 ; es:2) Si a los dos quintos de mi dinero le agrego $1000 tendra ms de la mitad de mi dinero y si a los cinco octavos de este le agrego $1000 tendra menos de los tres cuartos de mi dinero. Si slo tengo billetes de $1000.Cunto dinero poseo?

A) { x IR / x < 3 }B) { x IR / x > 1 }C) { x IR / x < 1 }D) { x IR /-1 < x < 3 }E) { x IR / 1 < x < 3 }3 + x > 2xx - 2x > -3-x > -3/-1x < 35 x < 4-x < 4 - 5-x < -1/-1x > 1Solucin comn = { x IR / 1 < x < 3 }

2) Si a los dos quintos de mi dinero le agrego $1000 tendra ms de la mitad de mi dinero y si a los cinco octavos de este le agrego $1000 tendra menos de los tres cuartos de mi dinero. Si slo tengo billetes de $1000.Cunto dinero poseo?Cantidad de dinero: $ x 10164x + 10.000 > 5x4x - 5x > -10.000-x > -10.000/-1x < 10.00010x + 16.000 < 12x10x - 12x < -16.000-2x < -16.000/:-2x > 8.000 Si 8.000 < x < 10.000 ; teniendose slo billetes de $1.000 luego la cantidad de dinero que tengo es: $9.000A) $6.000B) $7.000C) $8.000D)$9.000E) $10.000

DESIGUALDADES E INECUACIONES DE PRIMER GRADO: Definicin de intervalo. Definicin de desigualdad. Definicin de inecuacin. Resolucin de inecuaciones de primer grado. Solucin para el como para el para dos o ms inecuaciones. Sistemas de inecuaciones con una incgnita. Problemas de planteo sobre inecuaciones.