clase 4 ind miller

MICROCLINAKAlSi3O8

Sistema de cristal: Pinacoide Triclínico 1

EUCLASABeAlSiO4(OH)Sistema de cristal: Monoclínico 2/m

La Materia Cristalina es un medio ordenado periódicamente

ANISOTROPIA

HOMOGENEIDAD

SIMETRIA

En una ordenación periódica todos los puntos son idénticos entre sí es decir son homólogos. La distribución alrededor de un punto es siempre la misma

Una propiedad es anisótropa cuando varia segun la dirección en que se considere(la magnitud de las traslaciones y ladensidad de puntos no es la misma)

Propiedad que hace que un objeto mediante una operacion coincida consigo mismo

Las propiedades físicas de un cristal de una substancia depende de las direcciones cristalográficas en la que se toma las medidas.

Así, el modulo de elasticidad, conductividad eléctrica, y el índice de refracción pueden tener diferentes valores en las direcciones [100] y [111]

La direccionalidad de las propiedades se llama anisotropía y se asocia con el espaciamiento atómico.

E (diagonal) = 273 GPa

E (edge) = 125 GPa

6

7 sistemas de cristales

14 redes de cristales

Celda UnidadEl volumen repetitivo mas pequeño que contiene el patrón completo de la red de un cristal.

a, b y c son las constantes de la red

Sistemas de Cristales

Red de la Epidota

Tipos de Celdas Unidad

Primitiva Cara Centrada

Cuerpo Centrado Dos Caras Centradas

Una celda unidad es el componente mas pequeño del cristal que reproduce el cristal completo cuando se agrupan juntas.

Primitiva (P) la celda unidad contiene solo un punto de red. Interna (I) la celda unidad contiene un atomo en el centro del cuerpo. Cara (F) la celda unidad contiene atomos en todas las caras de los planos que componen

la celda. Centrada (C) la celda unidad contiene atomos centrados en los lados de la celda unidad

Combinando 7 Clases de Cristales (cubico, tetragonal, ortorombico, hexagonal, monoclinico, triclinico, trigonal) con 4 celdas unidad tipos (P, I, F, C) permite solo 14 tipos de red en 3-D.

Los 14 tipos de redes de Bravais agrupadas en 7 sistemas.

MICROFOTOGRAFIA CON EL MICROSCOPIO ELECTRÓNICO DE UN MINERAL, puede apreciarse la disposición periódica de las agrupaciones atómicas

Crystallographic Image Processing (CIP) of a high-resolution electron microscopy (HREM) image of α-Ti2Se recorded with a 300 kV TEM (JEOL 3010UHR, point resolution 1.7 Å) along the [001] zone axis. In the first step the Fourier transform of the HREM image is calculated (only the amplitudes are shown). The position of the white ring marks the first crossover of the contrast transfer function (CTF) which is used to determine the defocus value (Δf = -650 Å). The reciprocal lattice is then indexed and amplitudes and phases are extracted. The amplitudes and phases can be used to calculate the averaged image for one unit cell via Fourier synthesis. The pseudo-potential map (p2gg symmetry) for determining 2D atomic co-ordinates was obtained after correction of the phase-shifts imposed by the CTF. The average agreement of atomic co-ordinates determined from the pseudo-potential map and the superimposed model from X-ray diffraction is about 0.2 Å.

Un medio ordenado periódicamente puede ser

representado por una red.

Monodimensionales: Repetición periódica de un nudo en una dirección

aPuede definirse conociendo el

valor del vector de traslación a Bidimensionales: Repetición periódica de puntos en un plano

Puede definirse conociendo losvalores de dos vectores y el ángulo que forman entre ellos

3 Tipos de RED: Mono, Bi y Tri dimensionales

RED: Ordenación periódica infinita de nudos o puntos en una, dos o tres direcciones del espacio

b

a

Tridimensionaleso espaciales:

Repetición periódicade puntos en elespacio

Puede definirse conociendo el valor de los tres vectores y los ángulos que forman entre ellos

b

a

c

Multiplicidad

ELEMENTOS DE LA REDCELDA ELEMENTALPorción de la red que por repetición o traslación genera la red completa (sus aristas son traslaciones de la red)

MULTIPLICIDADNumero de puntos (nudos o nodos) que hay por celda elemental

1

2

1

6

4

Tipos deceldaelemental

Primitiva

Múltiple

ELEMENTOS DE LA RED

CELDA PRIMITIVALimitada por vectores primitivos. Tienen multiplicidad 1

CELDA MULTIPLELimitada por vectores no primitivos. Tienen multiplicidad mayor a 1

Volumen y MultiplicidadEl volumen o área de una celda es proporcional a su multiplicidad.Todas las celdas primitivas tienen el mismo volumen o área.

TRASLACIONIntervalos con que se repiten las unidades que componen una red o medio periódico.

VECTORES PRIMITIVOSSon los vectores que definen una celda primitiva

Vectores primitivos

Vector no primitivomúltiple

ELEMENTOS DE LA RED

FILA RETICULAR

Sucesión de puntos o nudos de la red. Los puntos están alineados y equidistantes entre si. Para definirlos se utilizan los índices [uvw]

FilasFunda-mentales

Las que están definidas por las traslaciones mas racionales de la red. La densidad de nudos suele ser la máxima.

Filas Fundamentales Filas no Fundamentales

ELEMENTOS DE LA RED

PLANO RETICULAR Es un plano de la red cristalina

PLANOS FUNDAMENTALES

Son los planos delimitados por las filas fundamentales

FAMILIA DE FILAS O PLANOS RETICULARES Es una serie de filas o planos paralelos entre si.Hay infinitas familias de filas o planos.

Filafundamental

Fila fundamental

Plano reticular fundamental

Familia de filas reticulares

ELEMENTOS DE LA RED

MOTIVOUnidad material que se repite periódicamente (átomos, o moléculas contenidos en la celda elemental)

REDEsquema de repetición del motivo

(Mismo motivo, diferente red)

MOTIVO Y RED

MOTIVO Y RED

Misma red, diferente motivo

MOTIVO + RED = CRISTAL

CristalMOTIVO

+RED

=

La diferencia fundamental entre cristal y red consiste en queel cristal es un medio continuo mientras que la red esdiscontinua

(Los nudos corresponden a repeticiones sucesivas de elementos del cristal)

Espaciado

Valor constante

ESPACIADO

D hkl

Se llama espaciado a la distancia que existe entre los planos de una familia. Es un valor constante y característico de cada familia de planos (hkl) y se simboliza por dhkl

Dos familias deplanos perpendicularesal plano de la diapositiva

Se puede determinar experimentalmente por rayos x o neutrones

t = 1a + 1b, [110]t = -1a + -1b, [-1-10]

t = 0a + 1b, [010 ]t = 0a + -1b, [0-10]

t = 1a + 0b, [100]t = -1a + 0b, [-100]

t = -1a + 1b, [-110]t = 1a + -1b, [1-10]

SIMBOLO DE LAS FILAS RETICULARES

Filas reticulares, en las que los nudos están alineados y equidistantesSe utilizan los indices [uvw] que son los componentes de traslación que unen dos nudos consecutivos de la fila o dirección.

(Se sitúa el origen del par de vectores sobre uno de los nudos)

u vector a

v vector b

w vector c

a

ba

b

Indices de Miller Una notación corta que describe ciertas direcciones cristalográficas y planos en un material. Denotado por [ ], <>, ( ). Un número negativo se representa por una barra sobre el número

Puntos, Direcciones y Planos en la Celda Unidad

De la ley de racionalidad de los índices desarrollado por el físico y mineralogista francés

Abbé René Just Haüyy popularizado por

William Hallowes Miller

La orientación de planos o caras en un cristal se describe en términos de sus interceptos (o cortes) en los 3 ejes.Miller introdujo un sistema para designar un plano en un cristal. Introdujo un conjunto de 3 números para especificar un plano en un cristal. Este conjunto de 3 números se conocen como ‘Indices de Miller ’ del plano en mención.

Indices de Miller

Los Indices de Miller se definen como los recíprocos (inversos) de los interceptos (cortes) hechos por el plano en los tres ejes.

Coordenadas de puntos seleccionados en la celda unidad

El número se refiere a la distancia del origen en términos de los parámetros de la celda

Coordenadas de Puntos

Indices de Miller de las direcciones A, B, y C

Indices de Direcciones

Los índices de direcciones son los componentes del vector de dirección, reducidos a mínimos enteros

Se representan por tres números enteros u, v, w entre corchetes, separados sin comas, y en caso de que haya un numero negativo se denota con una línea sobre el índice

[ u v w ]

Indices de Miller de Direcciones

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Elegir el origen de coordenadas2. Restar las coordenadas para obtener la longitud

en las tres coordenadasdestino - origen

3. Estos tres números se multiplican o dividen por un factor común para eliminar fracciones y además se simplifican

4. Finalmente se escriben juntos los índices enteros dentro de corchetes, sin separar por comas y poniendo los negativos indicados por una línea sobre ese índice: [ u v w ]

Indices de Miller de Direcciones


y

z

x

1/2

Ubicar la dirección de la figurax y z Destino:Origen:Resta:Dirección:


y

z

x

1/2

Ubicar la dirección de la figurax y z Destino: 1 1

1/2Origen:Resta:Dirección:


y

z

x

1/2


1/2Origen: 0 0

0Resta:Dirección:


y

z

x

1/2


1/2Origen: 0 0

0Resta: 1 1

1/2Dirección:


y

z

x

1/2


1/2Origen: 0 0

0Resta: 1 1

1/2Dirección: [2 2

1]


y

z

x

Ubicar la dirección de la figurax y z Destino:Origen:Resta:Dirección:


y

z

x


0Origen:Resta:Dirección:


y

z

x


0Origen: 0 1

0Resta:Dirección:


y

z

x


0Origen: 0 1

0Resta: 1 -1

0Dirección:


y

z

x


0Origen: 0 1

0Resta: 1 -1

0Dirección: [1 1

0]


Dibujar la dirección [0 3 1]x y z Dirección:Cortes:


Dibujar la dirección [0 3 1]x y z Dirección: 0 31Cortes:


Dibujar la dirección [0 3 1]x y z Dirección: 0 31Cortes: 0 1-1/3


yz

xDibujar la dirección [0 3 1]

x y z Dirección: 0 31Cortes: 0 1-1/3Elegir el origen de coordenadasRepresentar los cortes en la celda

Indices de Miller de PlanosLos pasos a seguir son los siguientes:

1. Elegir el origen de coordenadas. Si el plano pasa por el origen, se traza otro plano paralelo con una adecuada traslación dentro de la celda unidad o se escoge un nuevo origen en otro vértice de esa celda o de otra celda unidad.

2. El plano cristalográfico o corta o es paralelo a cada uno de los tres ejes. La longitud de los segmentos de los ejes se determina en función de los parametros la celda unidad h, k, l.

3. Se escriben los números inversos de estos valores. Un plano paralelo a un eje se considera que lo corta en el infinito y por lo tanto el índice es cero.

4. Estos tres números se multiplican o dividen por un factor común para eliminar fracciones.

5. Finalmente se escriben juntos los índices enteros dentro de un paréntesis y sin separar por comas y poniendo los negativos indicados por una línea sobre ese índice; (hkl). NUNCA SE SIMPLIFICAN, ya que no es los mismo el plano (222) que el (111). No tienen la misma densidad atómica, ni el espaciado interplanar es el mismo.

y

z

x

Ubicar los índices del plano de de la figura

x y z Cortes:

Inverso:

Quitar fracciones:

Plano:

Indices de Miller de Planos

y

z

x


x y z Cortes:

∞ -1

∞Inverso:

Quitar fracciones:

Plano:


y

z

x


x y z Cortes:

∞ -1

∞Inverso:0-10Quitar fracciones:

Plano:


y

z

x


x y z Cortes:

∞ -1

∞Inverso:0-10Quitar fracciones:0-10Plano:


y

z

x


x y z Cortes:

∞ -1

∞Inverso:0-10Quitar fracciones:0-10Plano:(110)


y

z

x


x y z Cortes:

Inverso:

Quitar fracciones:

Plano:


1/2

y

z

x


x y z Cortes:-1 1 -1/2Inverso:

Quitar fracciones:

Plano:


1/2

y

z

x


x y z Cortes:-1 1 -1/2Inverso:-11-2Quitar fracciones:

Plano:


1/2

y

z

x


x y z Cortes:-1 1 -1/2Inverso:-11-2Quitar fracciones:-11-2Plano:


1/2

y

z

x


x y z Cortes:-1 1 -1/2Inverso:-11-2Quitar fracciones:-11-2Plano:(112)


1/2

y

z

x

Dibujar el plano(0 3 1)Se deben seguir los pasos al revés

x y z Plano:Inverso:

Elegir el origen de coordenadasRepresentar los cortes en la celda


y

z

x

Dibujar el plano(0 3 1)Se deben seguir los pasos al revés

x y z Plano: 0 31Inverso: 0 1/3-1

Elegir el origen de coordenadasRepresentar los cortes en la celda


(2,0,0)

(0,3,0)

(0,0,1)



x y z Cortes:

Inverso:

Quitar fracciones:

Plano:

(2,0,0)

(0,3,0)

(0,0,1)



x y z Cortes:2 3 1Inverso:1/21/31Quitar fracciones:326Plano:(326)

z

x

ya b

c

4. Indices de Miller (110)

Ejemplo a b cz

x

ya b

c


1. Cortes 1 1 2. Inversos 1/1 1/1 1/

1 1 03. Reducción 1 1 0

1. Cortes 1/2 2. Inversos 1/½ 1/ 1/

2 0 03. Reducción 2 0 0

Ejemplo a b c

Planos Cristalográficos

61

z

x

ya b

c


Ejemplo1. Cortes 1/2 1 3/4

a b c

2. Inversos 1/½ 1/1 1/¾2 1 4/3

3. Reducción 6 3 4

Planos Cristalográficos

Problema:Un cristal tiene como parámetros de red 4.24, 10 y 3.66 Å en los ejes X, Y, Z respectivamente. Determinar los Indices de Miller de un plano que tiene los interceptos de 2.12, 10 y 1.83 Å en los ejes X, Y y Z Los parámetros de la red son = 4.24, 10 y 3.66 ÅLos interceptos del plano dado = 2.12, 10 y 1.83 ÅEntonces, los interceptos son 0.5, 1 y 0.5.Paso 1: Los interceptos son 1/2, 1 y 1/2.Paso 2: Los recíprocos son 2, 1 y 2.Paso 3: El menor común denominador es 2.Paso 4: Multiplicando el mcd por cada reciproco se tiene, 4, 2 y 4.Paso 5: Escribirlos en paréntesis, (4 2 4)

Por lo tanto los índices de Miller del plano dado es (4 2 4) o (2 1 2)

Problema:Calcular los índices de Miller para el plano con interceptos 2a, - 3b y 4c a lo largo de los ejes cristalográficos.

Los interceptos son 2, - 3 y 4

Paso 1: Los interceptos son 2, 3 y 4 a lo largo de los 3 ejes

Paso 2: Los recíprocos son 1/2, -1/3 y 1/4

Paso 3: El menor común denominador (mcd) es 12.

Multiplicando cada reciproco por mcd, se tiene 6 -4 y 3

Paso 4: Los índices de Miller para el plano es (6 4 3)

clase 4 ind miller

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