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RENT S CONST NTES

MATEMÁTICAS FINANCIERASFEBRERO 2012

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RENTAS CONSTANTES

DEFINICIÓN

Una anualidad o renta es

una serie de pagos iguales aintervalos iguales detiempo, para reunir un

capital o amortizar unadeuda.

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RENTAS CONSTANTES

DIAGRAMA TEMPORAL

R: Cuota Periódica n: Número de Cuotas

R R R R

0 1 2 n-1 n

VA VF


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RENTAS CONSTANTES

ELEMENTOSCuota (R): Cada uno de los pagos periódicos.

Período de Pago: Tiempo que transcurre entredos pagos consecutivos.

Duración de la Renta: Tiempo que transcurreentre el inicio del primer período y el final delúltimo período de pago.


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RENTAS CONSTANTES

ELEMENTOS

Fecha de la Valoración: Momento en que secalcula el valor de la renta.

Valor Actual (VA): Valor al inicio del primerperíodo.

Valor final (VF): valor al término del últimoperíodo.


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RENTAS CONSTANTES

EJEMPLO

in = 20% Anual, Capitalizable Anualmente.

VA = 100 x (1+0,2)-1+ 100 x (1+0,2)-2+ 100 x(1+0,2)-3 +100 x (1+0,2)-4 = 258,87

100 100 100 100

0 1 2 3 4

VA VF


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RENTAS CONSTANTES

EJEMPLO

in = 20% Anual, Capitalizable Anualmente.

VF = 100 x (1+0,2)3+ 100 x (1+0,2)2+ 100 x(1+0,2)1 +100 = 536,80

100 100 100 100

0 1 2 3 4

VA VF


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RENTAS CONSTANTES

FÓRMULAS – RENTA VENCIDA

VF = R(1+i)n-1+ R(1+i)n-2+ ...+R(1+i)1+ R VF = R ( 1 + (1+i) + (1+i)2 +...+ (1+i)n-1 )

R R R R

0 1 2 n-1 n

VA VF


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RENTAS CONSTANTES

FÓRMULAS – RENTA VENCIDAR R R R

0 1 2 n-1 n

VA VF

= (+)−

= (+)− (+)

n: Número de Cuotas o Períodos.

R: Monto de la Cuota. i: Interés del Período.


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RENTAS CONSTANTES

FÓRMULAS – RENTA ANTICIPADA

=

(+)−

(

+

)

=

(+)− (+)

(

+

)

n: Número de Cuotas o Períodos.

R: Monto de la Cuota. i: Interés del Período.

R R R R

0 1 2 n-1 n

VA VF


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RENTAS CONSTANTES

CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS

Ciertas: Las fechas de los pagos estánestipuladas en forma concreta.

Eventuales o Contingentes: Dependen dealgún suceso previsible pero la fecha derealización no puede fijarse.

SEGÚN EL TIEMPO


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RENTAS CONSTANTES


Ordinarias o Vencidas: El pago de la renta sehace al final del período de pago.

Anticipadas: El pago se efectúa al principio delperíodo de pago.

SEGÚN EL MOMENTO DE P GO


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RENTAS CONSTANTES


Constantes: Todos los pagos son iguales.

Variables: Todos los pagos no son iguales.

SEGÚN EL MONTO DEL P GO

PROBLEM BÁSICO

Valorar la Renta (VA n – VFn).Cálculo del Monto de la Renta (R).


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RENTAS CONSTANTES

EJEMPLO

¿Cuál es el valor final de una renta de Bs. 5.000

anuales durante 7 años, si durante los primerostres años se gana un interés del 5,5 % efectivoanual y durante el resto del tiempo el interés es

del 6 % efectivo anual?


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RENTAS CONSTANTES

EJEMPLO

5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

0 1 2 3 4 5 6 7

i1 = 5,5% Año i2 = 6% Año

=

.

(+ ,) −

, =

.

,

= ., (+ ,) + . (+ ,) − , = .,


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RENTAS CONSTANTES

EJERCICIO 1

Un Se depositan anualmente 250.000 en un banco que abona intereses del 48% anual.

¿Cuál será el monto acumulado al cabo de 5años? Si transcurridos los dos primeros años baja la tasa de interés 36,64% nominal anual

capitalizado semestralmente ¿Cuál será el montoacumulado a final del año 5?

R: 3.177.511 y 2.791.280


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RENTAS CONSTANTES

EJERCICIO 2

Una persona desea reunir 5.000.000 en 6 años ypara lograrlo se propone depositar en un banco

una cantidad fija de dinero todos los años a unatasa de 36% anual. Si el banco aumentara la tasaa 45% anual una vez realizado el 4º depósito.

¿Qué cantidad deberá depositar los dos últimosaños para reunir los cinco millones?

R: 90.911,90


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RENTAS CONSTANTES

EJERCICIO 3

Se ha obtenido un préstamo por 3.000.000 auna tasa de 54% anual con capitalización

mensual, para ser amortizado en 24mensualidades vencidas. Al cancelar la 10ª cuotase desea amortizar el préstamo en su totalidad.

Determine la cantidad que cancelará elpréstamo.

R: 2.115.727,06


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RENTAS CONSTANTES

EJERCICIO 4Se depositan 2.000.000 a una tasa de 24% anualcon capitalización trimestral, con el fin de que al

cabo de 5 años se pueda disfrutar de una rentatrimestral por un lapso de 7 años. Cuando hantranscurrido 8 años, la tasa de interés disminuyea 16% anual con capitalización trimestral. ¿Qué

cantidad adicional habrá que colocar al final del8º año para disfrutar de la misma renta?

R:739.885,81


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RENTAS CONSTANTES

EJERCICIO 5

Para reunir un capital se coloca una rentaadelantada de 500.000 anuales durante 5 años.

Cuatro años después del quinto pago se decideretirar del fondo 800.000 anual durante cuatroaños. Hallar el monto al final del año 12 si la tasa

de interés fue de 18% efectivo anual

R: 8.522.465,80


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RENTAS CONSTANTES

EJERCICIO 6

Durante cuatro años se depositan 20.000 alprincipio de cada mes en una cuenta de ahorros

que gana el 30% nominal anual capitalizablemensualmente. Además, se retiran 15.000 alfinal de cada trimestre. ¿Cuál es el valor al final

de los cuatro años y cuál es la renta anualequivalente?

R: 1.419.459,16 y 215.518,50


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RENTAS CONSTANTES

SOLUCIÓN 1

250.000 250.000 250.000 250.000 250.000

0 1 2 3 4 5

= . (+ ,) − , = ..,

�1 + 0,36642 2 = (1 + )1 Despejando i: = 0,4 = . (+ ,) − , (+ ,) + .

(+ ,) − , = ..,


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RENTAS CONSTANTES

SOLUCIÓN 2

.

.

=

(+ ,) −

,

= .,

.. = (+ ,) − , (+ ,) + (+ ,) −

,

= .,


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RENTAS CONSTANTES

SOLUCIÓN 3

.. = (+ ,) − , (+ ,)

= ., = ., (+ ,) − , (+ ,) = ..,

VA10 = Saldo al Cancelar la Cuota 10.

VA10 = Deuda Inicial en el Mes 10 – VF (Cuotas Canceladas)

= .. (+ ,) − ., (+ ,) − , = ..,


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RENTAS CONSTANTES

SOLUCIÓN 4 = .. (+ ,) = ..,

.., = (+ ,) − , (+ ,)

= ., SALDO AL FINAL DEL AÑO 8 = VALOR ACTUAL DE LAS CUOTAS POR COBRAR

= ., (+ ,) − , (+ ,) = .., PARA TENER LA MISMA RENTA CON LA NUEVA TASA DEBERÍA TENER

= ., (+ ,) − , (+ ,) = .., POR LO TANTO, SE DEBE DEPOSITAR:

DEPÓSITO = 5.575.120,49 – 4.835.234,68 = 739.885,81


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RENTAS CONSTANTES

SOLUCIÓN 5

=

.

(+ ,) −

, (

+

,

) =

.

.

,

= .., ( + ,) − . (+ ,) − , ( + ,)

=

.

.

,


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RENTAS CONSTANTES

SOLUCIÓN 61 + 0,3012 12 = 1 +

44

In=30,76% Anual, Capitalizable Trimestralmente

=

.

�+0,3012

− 0,3012

+0,30

12 − .

�+0,3076

4

− 0,30764

= .., TASA EFECTIVA ANUAL

1 +

0,30

12

12

= (1 +

)1

ie=34,49% Anual

.., = (+ ,) − , R=215.518,503

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