clase 8, modelos_no_lineales_de_regresión
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Ampliación del modelo OLS ¿Son los efectos marginales constantes a
medida que estas cambian? ¿La pendiente de la curva de producción es
constante a mayor cantidad de trabajadores? ¿Los el incremento marginal del rendimiento
financiero es el mismo cuando incrementa el riesgo?
¿La respuesta del consumo ante un cambio en el precio es igual para los hombres que para las mujeres?
Las estimaciones no lineales liberan estas restricciones.
Dos métodos para detectar y modelar estimaciones no lineales. Grupo 1: el efecto sobre Yi de un cambio en Xi depende del valor
de que tenga Xi.
Ejemplo: Tamaño de clases y rendimiento de los alumnos.
Grupo 2: el efecto sobre Yi de un cambio en Xi depende del valor de que tenga algún otro Xi.
Ejemplo: tipo de clases que se está llevando.
02
2
≠∂∂XY
021
2
≠∂∂
∂XXY
Aproximación general a modelos no lineales1. Identificar una posible relación no lineal.
Utilizar la teoría econométrica para invocar aproximaciones no lineales
2. Especificar una función no lineal utilizando parámetros OLS.
Es necesario realizar transformaciones a la variable Xi y/o Y.
3) Determinar si una función no lineal es superior a una lineal.
Buscar evidencia empírica que refleje esta situación.
Aproximación general a modelos no lineales
4) Graficar los valores no lineales de la función.
En la medida de lo posible, graficar los valores
permite ver el grado de ajuste de la regresión.
4) Estimar el efecto en Y de un cambio en X.
Tomar en cuenta que a diferencia de las
estimaciones lineales estos procesos requieren una
mayor complejidad.
Caso1: Polinomios
Es un tipo de regresión múltiple donde un grupo de variables independientes que corresponden a un mismo Xi están elevados a un grado distinto de uno.
Se describe como un polinomio grado r, donde r es la mayor potencia del modelo estimado.
rki XXXY 1
212110 ... ⋅++⋅+⋅+= ββββ
Grado del polinomio
Polinomios: ¿Qué grado usar?
1. Escoger un r máximo para comenzar: Mientras la serie es más suave el grado
inicial a testear debe ser bajo (4,3 o 2).
2. Encontrar el mejor modelo econométrico: Realizar testeo de pruebas de hipótesis.
Comenzar con el máximo grado y testear si la potencia mayor es significativa.
Si no fuera significativa, realizar la prueba con un grado menor.
Utilizar criterios de información.
Polinomios y sus efectos marginales
01ˆˆ YYY −=∆
rk
rk XXXXXXXXXY )(...)()()(...)()( 1
212111
21211 ⋅++⋅+⋅−∆+⋅++∆+⋅+∆+⋅=∆ ββββββ
rkii XXXXXXYYY )(...)()(ˆ
12
12110 ∆+⋅++∆+⋅+∆+⋅+=∆+= ββββ
Estimación incluye el cambio en xi
Estimación de Y con los valores originales de xi
Notas sobre los efectos marginales:
El valor explicativo de los coeficientes βk es más profundo en estimaciones no lineales.
Requiere de mayor trabajo para conocer estimaciones puntuales.
Caso 2: Logaritmos
Ventajas de los logaritmos: Convierte los cambios en las variables en cambios porcentuales.
Logaritmos contienen propiedades deseables
Utilizar logaritmos naturales (para materia de simplicidad, dará lo
mismo hablar de logaritmos naturales –ln- que logaritmos –log-)
xx
xxx∆≅−∆+ )log()log(
)log()log(
)log()log()/log(
)log()log()log(
)log()/1log(
xax
xaxa
xaxa
xx
a ⋅=−=+=⋅
−=
)log()1()log()log()log( 1 ZXAZXA ⋅−+⋅+=⋅ − ββββ
Linear – Log Model
Logaritmos, caso 1: X está expresada en logaritmos, Y no lo está.
El coeficiente β se interpreta como el efecto marginal de δ cambio porcentual de xi.
iii uxY +⋅+= )log(10 ββ
[ ][ ]
∆⋅≅∆
−∆+⋅=∆+−∆++=∆
xx
Y
xxxY
xxxY
1
1
1010
)log()log(
)log()log(
β
βββββ
Este término es una razón expresada en un intervalo definido entre cero y uno.
Log – Linear Model
Logaritmos, caso 2: Y está expresada en logaritmos, X no lo está.
El coeficiente β se puede interpretar como el cambio porcentual de xi.
iii uXY +⋅+= 10)log( ββ
Este término es una razón expresada en un intervalo definido entre cero y uno.
[ ]
xYY
xY
xxxY
∆⋅=∆∆⋅=∆
⋅+−∆+⋅+=∆
1
1
1010
)log(
)()log(
β
βββββ
Log - log Model (doble log)
Logaritmos, caso 3: Y & X están expresada en logaritmos.
El coeficiente β representa la elasticidad de Y respecto a X.
iii uXY +⋅+= )log()log( 10 ββ
[ ][ ]
Yx
xY
xx
YY
xxxY
xxxY
⋅∆∆=
∆⋅=∆−∆+⋅=∆
⋅+−∆+⋅+=∆
1
1
1
1010
)log()log()log(
)log()log()log(
β
β
βββββ
Caso 1: interacción entre dos variables dummy Considerando el caso básico de una variable
dummy:
Limitación: el efecto de D1 sobre Y es el mismo independientemente del valor de D2.
Para liberar esta restricción se introduce un tercer término:
ii uDDY +⋅+⋅+= 22110 βββ
ii uDDDDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 21322110 ββββ
¿Cómo interpretar la interacción?
1β 1β
ii uDDDDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 21322110 ββββ
1,1 21 == DD
3β11 =D
1β
12 =D2β
0,1 21 == DD
1β
0,1 12 == DD
2β
Caso 2: interacción entre una variable dummy y continua Considerando el caso básico de un modelo con
una variable dummy y una continua
Limitación: la pendiente de x1 es independiente de la variable D1.
Para liberar esta restricción se introduce un tercer término:
ii uxDY +⋅+⋅+= 12110 βββ
ii uxDxDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 11312110 ββββ
Interpretación
Permite un mayor realismo liberar supuestos: Realizar hipótesis de variables continuas con cualidades
distintas.
ii uxDxDY +⋅⋅+⋅+⋅+= )( 11312110 ββββ
132
13210
)(
)(ˆ
xY
xY
i
i
∆⋅+=∆⋅+++=
ββββββ
Si el modelo el lineal, cuando D1=1 el efecto parcial de x1 se resume en la suma de los coeficientes β2 y β3 estimados.
12
120ˆ
xY
xY
i
i
∆⋅=∆⋅+=
βββSi el modelo el lineal, cuando
D1=0 el efecto parcial de x1 se resume en el coeficiente β2 estimado.
Fuente: Stock y Watson, 2003
Considerando el caso básico de un modelo con una continua
Al introducir una interacción permite analizar los efectos parciales de x1 en función de x2:
ii uxxY +⋅+⋅+= 22110 βββ
231
21322110 )(
xXY
uxxxxY ii
⋅+=∆∆
+⋅⋅+⋅+⋅+=
ββ
ββββ
Caso 3: interacción entre dos continuas