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FACULTAD DE INGENIERIA GEOLÓGICA, MINERA Y METALURGICAFACULTAD DE INGENIERIA GEOLÓGICA, MINERA Y METALURGICA

Área de Ciencias Básicas (Física)Área de Ciencias Básicas (Física) 

FISICA II - ONDAS

Msc. Ing. EFRAIN CASTILLO ALEJOSLima – Perú2012

Velocidad de ondas en cuerdas

Depende exclusivamente de las propiedades del medio por el que viaja la onda.

Velocidad de una onda en una cuerda bajo tensión

F es tensión en la cuerda y masa por unidad de longitud

Fv

Ejemplo 2: La velocidad de un pulso en una cuerdaUna cuerda uniforme tiene una masa de 0,300 kg y una longitud de 6,00 m . Calcule la velocidad de un pulso en esa cuerda.

la tensión F en la cuerda es igual al peso de la masa suspendida de 2,00 kg

La masa por unidad de longitud es

Por tanto, la velocidad de onda es

m 0,300 kg0,0500 kg/m

l 6,00 m

F 19,6 Nv 19,8 m/s

0,0500 kg/m

2F mg (2,00 kg)(9,80 m/s ) 19,6 N

Ondas senoidalesEn t=0, el desplazamiento vertical de la onda puede escribirse

Si la onda se mueve hacia la derecha con velocidad v, la función de onda cierto tiempo t después es

2y A sen x

2y A sen x vt

vT

x ty A sen 2

T

Número de onda angular Frecuencia angular

Función de onda para una onda senoidal

Relación general para una onda senoidal

2k

2

T

y A sen (kx- t)

y A sen (kx- t- )

Ejemplo 3: Una onda senoidal viajeraUna onda senoidal que viaja en la dirección x positiva tiene una

amplitud de 15,0 cm, una longitud de onda de 40,0 cm y frecuencia de 8,00 Hz. El desplazamiento vertical del medio en t =0 y x = 0 también es de 15,0 cm

Encuentre el número de onda angular, el periodo, la frecuencia angular y la velocidad de onda.

-1

-1

-1

2 2 radk 0,157 rad/cm

40,0 cm

1 1T= 0,125 s

f 8,00 s

2 f 2 (8,00 s ) 50,3 rad/s

v=f =(8,00 s )(40,0 cm)= 320 cm

Energía de una onda periódicaLa energía de una onda periódica en una cuerda es una función La energía de una onda periódica en una cuerda es una función de la densidad lineal m, la frecuencia de la densidad lineal m, la frecuencia f,f, la velocidad la velocidad vv y la y la amplitud amplitud A A de la onda.de la onda.

f A

v

 = m/L

2 2 22E

f AL

2 2 22P f A v

Ejemplo 3.Ejemplo 3. Una cuerda de Una cuerda de 2 m2 m tiene una masa de tiene una masa de 300 g300 g y vibra con una y vibra con una frecuencia de frecuencia de 20 Hz20 Hz y una amplitud de y una amplitud de 5050 mmmm. Si la tensión en la cuerda . Si la tensión en la cuerda es de es de 48 N48 N, ¿cuánta potencia se debe entregar a la cuerda?, ¿cuánta potencia se debe entregar a la cuerda?

(48 N)17.9 m/s

0.15 kg/m

Fv

P = 2P = 222(20 Hz)(20 Hz)22(0.05 m)(0.05 m)22(0.15 kg/m)(17.9 m/s)(0.15 kg/m)(17.9 m/s)

2 2 22P f A v

P = 53.0 WP = 53.0 W

0.30 kg0.150 kg/m

2 m

m

L

ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDA

Frecuencia Fundamental :

Formación de una onda estacionaria:

Las ondas incidente y reflejada Las ondas incidente y reflejada que viajan en direcciones que viajan en direcciones opuestas producen nodos opuestas producen nodos NN y y antinodos antinodos AA..

La distancia entre nodos o La distancia entre nodos o antinodos antinodos alternos alternos es una es una longitud longitud de ondade onda..

Posibles longitudes de onda para ondas estacionarias

Fundamental, n = 1

1er sobretono, n = 2

2o sobretono, n = 3

3er sobretono, n = 4

2 1, 2, 3, . . .n

Ln

n

n = armónicos

Posibles frecuencias f = v/:

Fundamental, n = 1

1er sobretono, n = 2

2o sobretono, n = 3

3er sobretono, n = 4

1, 2, 3, . . .2n

nvf n

L

n = armónicos

f = 1/2L

f = 2/2L

f = 3/2L

f = 4/2L

f = n/2L

Frecuencias caracterísicas

Ahora, para una cuerda bajo tensión, se tiene:

; 1, 2, 3, . . .2n

n Ff n

L Frecuencias características:

Lnv

fmFLF

v2

y

Ejemplo 4. Un alambre de acero de 9 g tiene 2 m de largo y está bajo una tensión de 400 N. Si la

cuerda vibra en tres bucles, ¿cuál es la frecuencia de la onda?

400 N

Para tres bucles: n = 3

; 32n

n Ff n

L

3

3 3 (400 N)(2 m)

2 2(2 m) 0.009 kg

FLf

L m

f3 = 224 HzTercer armónico 2o

sobretono

Ondas estacionarias en columnas de aire

Modos normales de vibración en tubos abiertos, las frecuencias normales son:

vLn

fn 2

Modos normales de vibración en tubos cerrados, las frecuencias normales son:

vLn

fn 4

Onda transversal

Onda longitudinal

VELOCIDAD DE ONDASLa velocidad de propagación depende de las propiedades del medio,En relación con la rapidez con la que cada partícula del medio es capazde transmitir la perturbación a su compañera.

En los medios más rígidos las velocidades son mayores que en los Medios más flexibles.

En los medios más densos las velocidades son mayores que en los Menos densos

La frecuencia y el sonido

• El tono del sonido depende de la frecuencia.• A frecuencias bajas corresponden sonidos graves.• A frecuencias altas corresponden sonidos agudos.

27 Hz 100 Hz 200 Hz 440 Hz 1000 Hz 3000 Hz

Velocidad de ondas sonorasPulso longitudinal a través de un medio compresible.La velocidad de la ondas sonoras

depende de la compresibilidad y la inercia del medio. Si el medio tiene un módulo volumétrico B y una densidad de equilibrio , la velocidad de las ondas sonoras en ese medio es

B

v

De hecho, la velocidad de todas las ondas mecánicas se obtiene de una expresión de la forma general

inercial propiedad

elástica propiedadv

El Sonido

• El Sonido se propaga mediante ondas longitudinales

En general, la velocidad del sonido es mayor en los sólidos que en los líquidos y en los líquidos mayor que en los gases.La velocidad del sonido en el aire (a una temperatura de 20 ºC) es de 340 m/sEn el aire, a 0 ºC, el sonido viaja a una velocidad de 331 m/s En el agua es de 1.600 m/s En la madera es de 3.900 m/s En el acero es de 5.100 m/s

Intensidad: Depende de la amplitud. Distingue un sonido fuerte de uno débil.

Tono: depende de la frecuencia. Distingue a un sonido agudo de un sonido grave.

Timbre: Depende de la forma de onda. Distingue dos sonidos de la misma intensidad producido por distintas fuentes.

Los armónicos determinan el Timbre del sonido

ACÚSTICA

Onda acústica: Onda de presión que se propaga en un medio material.

Onda sonora: Onda acústica audible

ONDAS DE SONIDOPERIÓDICAS

Compresión: zona de alta presión.

Rarefacción: zona de baja presión

Intensidad de ondas sonoras armónicas

La energía promedio de la capa de aire en movimiento puede determinarse por:

E = ½ m( smáx)2 = ½ ( Ax) ( smáx)2

Donde Ax es el volumen de la capa. La tasa en el tiempo a la cual se transfiere la energía a cada capa es

2212

21

máxmáx sAvst

xA

t

EPotencia

tkxstkxst

txst

txv

sencos),(),( maxmax

kxsxA

kxsxAkxsmmvK22

max21

2max2

12max2

1221

sen

sensen

2

max41

0

22max2

1 sen sAdxkxsAdKK

La intensidad es

vsI máx2

21

área

Potencia

Esto también puede escribirse en términos de la amplitud de presión como

v

PI máx

2

2

Definimos la intensidad de una onda, o potencia por unidad de área, como la tasa a la cual la energía que es transportada por la onda fluye por un área unitaria A perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

Pmáx =  vsmáx

Dado el amplio rango de valores de intensidad, es conveniente utilizar una escala logarítmica, el nivel sonoro se define como

10 log(I / I0)

La constante I0 es la intensidad de referencia.

Avión de reacción 150

Perforadora de mano;ametralladora 130

Sirena; concierto de rock 120

Tren urbano; segadora eléctrica 100

Tráfico intenso 80

Aspiradora 70

Cenversación normal 50

Zumbido de un mosquito 40

Susurro 30

Murmullo de hoja 10

Umbral auditivo 0

Niveles sonoros de algunas fuentes

Ejemplo

El umbral auditivo del ser humano a 1000Hz es 10–12 W/m2. Y el umbral de dolor es 1.00 W/m2 . Encuentre la amplitud de presión y de desplazamiento asociadas a estos límites. v = 343 m/s y = 1.2 kg/m3.

v

PI máx

2

2

Pmáx =  vsmáx

Ondas esféricas y planas La intensidad de onda a una distancia r de la fuente es

24 r

P

A

PI propro

Como Ppro es la misma en cualquier superficie esférica centrada en la fuente, vemos que las intensidades a las distancias r1 y r2 son

22

221

1 44 r

PIy

r

PI propro

En consecuencia, la proporción entre las intensidades sobre las dos superficies esféricas es

21

22

2

1

r

r

I

I

Dado que I s2, entonces s 1/r. Por tanto podemos escribir

tkrsenr

stx 0,

donde s0 es la amplitud de desplazamiento en t = 0.

Es útil representar las ondas esféricas mediante una serie de arcos circulares concéntricos con la fuente. Cada arco representa una superficie sobre la cual la fase de la onda es constante. Llamamos a dicha superficie de fase constante frente de onda.

Fuente

Frente de onda

Rayo

La distancia entre dos frentes de onda es igual a la longitud de onda, . Las líneas radiales que apuntan hacia fuera desde la fuente se conocen como rayos

Ejemplo

Sea una fuente puntual de ondas sonoras con una salida de 80 W.

Encuentre la intensidad a 3m de la fuente.

Hallar la distancia a la cual el sonido es 10–8 W/m2

24 r

P

A

PI propro

Tarea

Calcule el nivel sonoro en decibeles de una onda sonora que tenga una intensidad de 4 W/m2, 4 mW/m2 y 0.4 W/m2

10 log(I / I0)

EFECTO DOPPLER:Cambio de la frecuencia de emisión producido por el Movimiento relativo entre la fuente y el receptor.

- Cuando la fuente se acerca al receptor, la frecuencia percibida aumenta.- Cuando la fuente se aleja del emisor la frecuencia percibida disminuye

Efecto DopplerOndas con fuente de sonido en

reposo

Efecto DopplerOndas con fuente de sonido en

movimiento

Efecto DopplerOndas con fuente de sonido igualando a la velocidad del

sonido

Efecto Doppler

CONDICIÓN: tiene lugar cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en la cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente.

Los sonidos cambian -> efecto Doppler. Las ondas de sonido que se mueven hacia donde nos encontramos son ondas comprimidas, mientras que las ondas que pasan, están extendidas.

EFECTO DOPLER

Cuando el observador se mueve hacia la fuente con velocidad v0, la velocidad de la onda es v’ = v + v0. La frecuencia es entonces

f ’ = v’ / = (v + v0) /

o

f ’ = f (1 + v0/v)

Si el observador se aleja de la fuente, la frecuencia es

f ’ = f (1 v0/v)

v

v0

v0 vv0

v

v’v’

Cuando la fuente se mueve hacia el observador con velocidad vs, durante cada vibración la fuente se mueve una distancia vs T = vs /f. Y la longitud de onda se acorta en esa cantidad. Entonces

’ = vs /f

Entonces

 f ’ = v / ’ = v /( vs /f ) = v /(v /f vs /f)

o

f ’ = f /(1 vs /v)

’

vs

Similarmente, si la fuente se aleja del observador se tiene que:

f ’ = f /(1 vs /v)

Los dos resultados se pueden resumir en

f ’ = f (v v0)/(v vs)

Los signos superiores se refieren al movimiento de uno hacia el otro, y los inferiores se refieren al movimiento de uno alejándose del otro.

Ejemplo

Un tren pasa una plataforma de pasajeros a una rapidez constante de 40.0 m/s. El silbato del tren suena a una frecuencia característica de 320 Hz. a) ¿Qué cambio en la frecuencia detecta una persona en la plataforma conforme el tren pasa? b) ¿Qué longitud de onda detecta una persona conforme el tren se aproxima?

f ’ = f (v v0)/(v vs)

v0 = 0

vs = 40 m/s

f = 320 Hz

f ’ = 320(343 0)/(342 – 40)

= 362

’ = 343/362 = 0.95 m

Tarea

Una ambulancia emite un sonido de sirena de 450 Hz, encuentre la frecuencia que escucha un oyente si

a) La ambulancia se mueve hacia él a 20 m/s

b) La ambulancia está en reposo y el oyente se mueva hacia ella a 20 m/s

c) La ambulancia se mueve hacia el a 10 m/s y el se mueve hacia la ambulancia a 10 m/s ambos respecto al piso.

d) La ambulancia se aleja a 10 m/s y el oyente está en reposo.

BARRERA DEL SONIDO Y ONDAS DE PROA

Barrera del sonido Ondas de Proa

“ la fuente de onda “persige a los frentes de onda generadosPor ella misma”

ONDA DE CHOQUE

Ondas de sonido esféricas que se superponen formando un cono.

El móvil que supera la velocidad del sonido es un “supersónico”. En ese momento se produce un estampido debido a la compresión a que está

sometido el aire

• El avión “supersónico”• Quizá oíste alguna vez de un avión que

“rompe la barrera del sonido”. Míralo

Onda de choque

ocurre cuando varias ondas que viajan en un medio se superponen formando un cono.

Ondas tridimensionales o esféricasSon ondas que se propagan en tres direcciones.

Sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones.

Cuando vs excede la velocidad del sonido, se forma una onda de choque, como se muestra.

Frente de choque cónico

vt

01

2

S0 S1 S2

vS t

SN

Sv

vsen

Otros ejemplos de superación de la barrera del sonido

Coche a 1,4 MachTransbordador espacial superando la barrera del sonido