CLASE  Nº2  y  Nº3  Propiedades  de  la  adición  de  números  enteros    

   Objetivo  de  esta  clase:  Conocer,  comprender  y  aplicar  las  propiedades  de  la  adición  de  números  enteros.      Para   estas   clases,   veremos   las   propiedades   que   existen   al   sumar   números   enteros,  estas  reglas  son  5  y  las  veremos  a  continuación:      Propiedad  1:  ¿Cuándo  sumamos  dos  números  enteros,  el  resultado  seguirá  siendo  un  número  entero?    La  respuesta  a  esta  pregunta  es  sí,  cada  vez  que  sumamos  dos  o  más  números  enteros,  el   resultado   de   esta   suma   será   siempre   un   número   entero,   no   será   una   fracción,  tampoco   un   número   decimal,   siempre   será   entero.   A   esa   propiedad   se   le   llama  “PROPIEDAD  DE  CLAUSURA”    Se  puede  escribir  de  la  siguiente  manera:      

𝑎 + 𝑏 = 𝑐      𝑎, 𝑏  𝑦  𝑐    𝑠𝑜𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠.      Ejemplos:  −5+ 6 = 1  ;    10+ −6 = 4;  −20+ −60 = −80    Como  vemos,  si  sumamos  (o  restamos)  dos  o  más  números  enteros,  el  resultado  siempre  es  entero.      Propiedad  2:  Todos  los  números  tienen  un  ¿gemelo  malvado?    Cuando  hablamos  de  un  gemelo  malvado,  hacemos  alusión  a  que  el  número  tiene  su  símil,  su  idéntico  pero  con  el  signo  contrario.  Todos  los  números  positivos  tienen  un  número  igual  pero  negativo.  A  esta  propiedad  se  le  llama  “INVERSO  ADITIVO”     Y  cuando  ambos  números  son  sumados,  el  resultado  siempre  será  0.      Es  decir:      El  inverso  aditivo  de  6  es  -­‐6,  y  si  los  sumamos  :  6+ (−6) = 0    El    inverso  aditivo  del  -­‐10  es  10,  y  si  los  sumamos  :  10+ (−10) = 0    Todos  los  números  tienen  su  inverso,  salvo  un  solo  número,  que  es  el  0  .      Entonces:  Para  calcular  cual  es  el  inverso  aditivo  de  un  número,  sólo  basta  con  cambiarle  el  signo  al  número  y  ya  está.        

Propiedad  3:    Existe  un  número  que  no  hace  nada    Esta  propiedad  nos  dice  que  existe  un  número,  que  si  lo  sumamos  con  un  número  entero,  el  resultado  será  el  mismo  número  entero.  Ese  número  se  llama  “ELEMENTO  NEUTRO  DE  LA  ADICIÓN”    y  es  el  número  0.    Es  decir,  si  a  cualquier  número  entero,  le  sumamos  0,  el  resultado  será  siempre  el  mismo  número  entero.      Veamos:  6+ 0 = 6    ;    −80+ 0 = −80  ;    −773+ 0 =  −773    Propiedad  4:  Si  sumamos  2  +3  ,  ¿será  igual  que  sumar  3+2?  ¿Será  el  mismo  resultado?    Esta  propiedad  es  un  clásico  en  matemática,  y  se  ocupa  también  en  la  multiplicación,  se  le  conoce  como  “PROPIEDAD  CONMUTATIVA  DE  LA  ADICIÓN”  Y  nos  dice  que  no  importando  el  orden  en  como  sumemos  los  números  enteros,  el  resultado  será  siempre  el  mismo.      Ejemplos:  6+ 10 = 10+ 6 = 16          ;                −20+ −40 =  −40+ −20 =  −60            Propiedad  5:    Si  sumo  dos  números  primero  y  luego  otro,  ¿  será  lo  mismo  que  si  sumo  el  último  con  el  primero  y  después  sumo  el  segundo?    Si,  puede  que  suene  un  poco  difícil  de  entender,  pero  la  “PROPIEDAD  ASOCIATIVA  DE  LA  ADICIÓN”      nos  dice  que  podemos  agrupar  (juntar)  de  cualquier  forma  los  números  para  sumarlos,  porque  el  resultado  será  el  mismo.      Veamos  un  ejemplo:    

−30+ 50+   −60 =      Podemos  ocupar  esta  propiedad  y  podemos  juntar,  si  queremos  los  números  negativos  primero,  para  que  a  ese  resultado,  le  sumemos  el  +50.      

−30+ 50+   −60 =  −30+ −60 =  −90+ 50      Como  vemos,  ahora  podemos  ocupar  el  método  que  queramos  para  resolver  este  ejercicio,  veamos  la  forma  “Debo  y  tengo”    Debo  $90  pero  tengo  $50  para  pagar.  Si  pago  esos  $50,  ¿quedaré  debiendo?  ¿Cuánto  quedaré  debiendo?    Si  pago  los  $50,  quedaré  debiendo  $40.  Y  como  es  una  deuda,  me  queda  expresado  como  -­‐40.  

−90+ 50 =  −40  

 Ahora  bien,  ¿qué  pasa  si  agrupamos  de  otra  forma  estos  números?      Sumemos  en  el  orden  en  que  aparecen  los  números:      

−30+ 50+   −60 =      Si  agrupamos    −30+ 50    y  resolvemos  ocupando  el  método  “debo  y  tengo”  nos  queda:    

−30+ 50 = 20    Puesto  que  debo  $30  y  tengo  $50  para  pagar,  ahora,  si  los  pago  esos  $50,  me  quedan  $20  a  mi  favor,  o  sea  20  positivo.      Ahora,  finalmente  nos  quedaría  :  20+ −60 =      Ocupemos  de  nuevo  el  método:    

20+ −60 =  −40    Puesto  que  tengo  $20,  pero  debo  $60,  así  que  si  pago  esos  $20,  quedaré  debiendo  $40,  o  sea  -­‐40,  que  es  el  mismo  resultado  que  nos  dio  anteriormente.      Cuadro  de  resumen  de  las  propiedades:    Propiedad   Definición   Algebraicamente   Ejemplo  con  números  Clausura   Si  sumamos  

números  enteros,  el  resultado  será  siempre  un  número  entero  

𝑎 + 𝑏 = 𝑐;    𝑎, 𝑏  𝑦  𝑐  𝑠𝑜𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠          

 

−3  + 5 = 2  −10+ 7 = −3    

 

Conmutatividad   El  orden  de  los  números  que  sumamos  (sumandos)  no  altera  la  suma  (su  resultado)  

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎    𝑎  𝑦  𝑏  𝑠𝑜𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠      

−3  + 5 =  5+ −3 =  

 2      

Elemento  neutro   Es  un  número  (en  este  caso  el  0)  que  al  ser  sumado  con  un  número  entero,  el  resultado  siempre  será  el  mismo  número  entero.    

𝑎 + 0 = 0+ 𝑎 = 𝑎          

𝑎  𝑒𝑠  𝑢𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜                

5+ 0 =  0+ 5  =0  

     

Elemento  inverso  u  opuesto,  ó  inverso  aditivo  

Es  aquel  número,  que  al  sumarse  con  otro,  da  como  resultado  el  elemento  neutro  (  el  0).  Siempre  es  el  mismo  número  pero  con  signo  opuesto  

𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎)+ 𝑎 = 0      

𝑎  𝑒𝑠  𝑢𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜  

5+ −5 = −5 + 5 = 0  

Asociativa   La  forma  en  que  se  agrupan  los  sumandos  no  altera  el  resultado  

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =  𝑎 + 𝑏 + 𝑐    𝑎, 𝑏  𝑦  𝑐  𝑠𝑜𝑛  𝑢𝑛  𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜  𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜  

5+ 4 + 3 =  12  5+ 4+ 3 = 12