clase semana 5
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Sistemas de 2do Orden
Jorge Luis Prez
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Tiempo muerto o retardo de transporte
Tngase el siguiente sistema
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Tiempo muerto o retardo de transporte
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Tiempo muerto o retardo de transporte
Es el intervalo entre el momento en que laperturbacin entra al proceso y el tiempo enque la variable de salida empieza a responder
Se denota por t0
Es el intervalo entre el momento en que laperturbacin entra al proceso y el tiempo enque la variable de salida empieza a responder
Se denota por t0
= =
Para este ejemplo en particular ese tiempo sepuede estimar
= , = , = ,
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Tiempo muerto o retardo de transporte,
Diferentes variables viajan a diferentes velocidades
El voltaje y la corriente elctrica viajan a lavelocidad de la luz: 300000 km/s, o 984106 ft/s
El flujo de lquido y presin viaja a la velocidaddel sonido en el fluido 340 m/s
Temperatura, composicin y otras propiedadesde los fluidos viajan aproximadamente a 5 m/spara lquidos y 60 m/s para gases
Las propiedades de los solidos viajan a lavelocidad del solido mismo
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Actualidad del tema (Cont.)
De aqu se desprende que para distancias tpicasen la industria, el tiempo muerto es significativopara la temperatura, composicin y otraspropiedades de fluidos y slidos
Como es una parte integral del proceso debe sercontabilizado en la funcin de transferencia
= + 1 "#$
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Aproximacin de Pad
"#$ = 1 0,51 + 0,5
Mediante esta aproximacin, se puede obtener una estimacin de los parmetros que ayudan a estudiar la estabilidad
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En conclusin la presencia de una cantidad significativa de tiempo muerto en un proceso, es la peor cosa que le puede ocurrir a un sistema de control. Este afecta severamente al sistema (Corripio,1991)
Tiempo muerto
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El estudio es similar al realizado para sistemas de 1er orden, donde aparecern nuevos parmetros que identifiquen el sistema
Sistemas de Orden Superior
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Sistemas No interactivos
Se tiene el siguiente proceso
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Sistemas No interactivos
donde
( = )* +, = +( , .,/. = 2 , .34 = 2( ,
( = +, . 34
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Sistemas No interactivos
. = 56 . (* ( = +,7 6
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Sistemas No interactivos
El objetivo es estudiar como es influenciado el nivel del segundo tanque por la entrada al primer tanque y el flujo bombeado
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Sistemas No interactivos
Un balance dinmico en el 1er tanque
5(8 5(7 5(9 = 57 67 : ;?@AB CD E , FD E(7 = +,7 67
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Sistemas No interactivos
Un balance dinmico en el 2do tanque
5(7 5( = 5 6 G ;?@AB( = +, 6
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Sistemas No interactivos
Como la ecuacin de caudal no es lineal, se procede a la linealizacin
(7 = (7H + +7 67 67( = (H + + 6 6
+7 = I(7 I67 J =12 +,7 67
",/
+ = I( I6 J =12 +, 6
",/
donde
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Sistemas No interactivos
Escribiendo los balances en estado estacionario, definiendo las variables de desviacin y rearreglando
7 L7 + L7 = 7)8 + 7)9
7 = 7+7 ,
donde
L + L = L7
7 = 1+7 ,
7 = + , 7 = +7+ ,
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Sistemas No interactivos
Por lo tanto las funciones de transferencias quedan como
L7 = 77 + 1 )8 7
7 + 17 )9
L = + 1 L7
L = 77 + 1 + 1 )8 )9
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Sistemas No interactivos
L = 77 + 1 + 1 )8 )9
L )8 =7
7 + 1 + 1
L )9 =7
7 + 1 + 1
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Sistemas interactivos
Ejemplo
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Respuesta de sistemas de 2do orden
3 = M N =
7 + 1 + 1
3 = M N =
7 + 7 + + 1
3 = M N =
+ 2O + 1
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Respuesta de sistemas de 2do orden
3 = M N =
+ 2O + 1donde:
= 2 , 2O = ,
= 7O = 7 +2 7
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Respuesta de sistemas de 2do orden
M = + 2O + 1 =7 7
donde:
7 = O +O 1
= O
O 1
La respuesta depende de la razn de amortiguamiento
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Respuesta de sistemas de 2do orden
Para: O P 1
Sistema sobre amortiguado (a)
races reales y diferentes:
M = 1 0,5"Q# R QS"7R 1 + OO 1 + " QS"7R 1 OO 1
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Respuesta de sistemas de 2do orden
Para: O = 1
Sistema crticamente amortiguado (b)
races reales e iguales:
M = 1 1 + "# R
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Respuesta de sistemas de 2do orden
Para: 0 T O T 1
Sistema Sub amortiguado
races complejas:
M = 1 11 O "Q# R 1 O + "7
1 OO
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Parmetros de sistemas Sub amortiguados
Sobrepaso: U =
"VQ7"QS
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Parmetros de sistemas Sub amortiguados
Razn de asentamiento:
+U =
"VQ7"QS
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Parmetros de sistemas Sub amortiguados
Tiempo de elevacin: Tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez el valor final
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Parmetros de sistemas Sub amortiguados
Tiempo de asentamiento: Tiempo que tarda larespuesta en llegar a ciertos limitespreestablecidos del valor final y permanecerdentro de ellos. Usualmente 5 %
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Parmetros de sistemas Sub amortiguados
Periodo de oscilacin, T:
W = 2X1 O , 2/
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Parmetros de sistemas Sub amortiguados
Frecuencia cclica, f:
( = 1W =1 O2X , /2
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Ejercicio
Periodo Natural de oscilacin, Z? [ = \
W] = 2XFrecuencia cclica Natural, C? [ = \
(] = 12X
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Ejercicio
+ = ^3 + 1 + 1 + ^ `
La funcin de transferencia de un lazo de control por retroalimentacin es dado por
Donde ^ es la ganancia del controlador. 1.- Relacione laganancia, tiempo caracterstico y razn deamortiguamiento de la funcin de transferencia de 2do
orden con la ganancia del controlador. 2.-Encuentre losrangos del controlador los cuales hacen que la respuestasea: a) Sobre amortiguada b) sub amortiguada c)crticamente amortiguada. 3.- Puede la respuesta serinestable para cualquier valor positivo en la ganancia?
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Ejercicio
+ = ^3 + 1 + 1 + ^ ` Se desarrolla el denominador
+ = ^3 + 3 + + 1 + ^ `
+ = ^3 + 4 + 1 + ^ `
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Ejercicio (Cont.)
Rearreglando
+ =^1 + ^31 + ^ +
41 + ^ + 1`
Se tiene que:
41 + ^ = 2O
31 + ^ =
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Ejercicio (Cont.)
Por lo tanto
O = 23 1 + b =3
1 + bEs decir:
Sobre amortiguado [ P D2
3 1 + b P 12
3 1 + b
P 1
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Ejercicio (Cont.)
Sub amortiguado \ T [ T D
23 1 + b
P 1 43 P 1 + b
13 P b13 P b
0 T 23 1 + b
T 1 0 T4
3 1 + b T 113 T b13 T b
Crticamente amortiguado [ = \c 2 c 2
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Ejercicio (Cont.)
Puede ser inestable?
Utilizando la resolvente puede demostrarse que no se har inestable para una ganancia positiva
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Notas adicionales
Aproximaciones de funciones de transferencias de orden superior
Se utilizan para el diseo de controladores y el anlisis de sistemas
Expansin series de Taylor
"#$ 1 Aproximacin de 1er Orden
"#$ 1#$ 1
1 +
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Aproximacin de funciones de transferencia
Ejemplo
3 = 0,2 + 16 + 1 3 + 1 + 1Se aproximar a una funcin de primer orden mas tiempo muerto
3 = "#$ + 1
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Aproximacin de funciones de transferencia
Se retendr la constante de tiempo dominante 6 las dems constantes de aproximaran
3 = 0,2 + 16 + 1 3 + 1 + 10,2 + 1 ",
13 + 1 "
1 + 1 "
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Aproximacin de funciones de transferencia
Obtenemos
3 = "(,gg7)6 + 1 =ij;"G,:klk + D
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Aproximacin de funciones de transferencia
Regla de la mitad de Skogestad
3 = 0,2 + 16 + 1 3 + 1 + 1De las constantes de tiempo que sern despreciadas tomamos la mas grande 3
La mitad de este valor 1,5 se lo sumamos a la constante de tiempo que quedar en la expresin
= 6 + 1,5 = 7,5La otra mitad 1,5 provee un nuevo tiempo muerto
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Aproximacin de funciones de transferencia
Regla de la mitad de Skogestad
Por lo tanto
Este mtodo provee mejores resultados que el de Taylor
3 = "(,g7,/g7)7,5 + 1 =ij;":,nkn, ok + D
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Aproximacin de funciones de transferencia