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Taller de Aislamiento Sısmico 1er. Semestre 2010
Clase 1Modelamiento de Estructuras Aisladas
Jose Antonio [email protected]
Facultad de Ingenierıa y Ciencias AplicadasUniversidad de los Andes
26-5-2010
Taller de Aislamiento Sısmico 1er. Semestre 2010
Hoy veremos...
1 Contenidos del taller
2 Introduccion/Motivacion
3 Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
4 Modelamiento 2D
5 Modelamiento 3D
Taller de Aislamiento Sısmico 1er. Semestre 2010
Contenidos del taller
Contenidos del taller
Clase 1: Modelamiento de estructuras aisladas.
Clase 2: Propiedades dinamicas de estructuras aisladas.Estrategias de solucion. Disipacion de energıa.
Clase 3: Relaciones constitutivas para la goma natural.
Clase 4: Determinacion de propiedades mecanicas de dispositivosde aislamiento. Modelos constitutivos aproximados.
Clase 5: Propiedades y modelamiento de aisladores elastomericos(relaciones macro-constitutivas).
Clase 6: Metodos de analisis de sistemas con aislamiento basal(estatico equivalente, modal, espectral, y tiempo-historialineal y no-lineal)
Clase 7: Diseno y detallamiento de sistemas de aislamiento basal.
Clase 8: Diseno segun la norma Nch. 2745.
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Introduccion/Motivacion
Estructura de 1GDL
• Para una estructura de 1 GDL como la mostrada la ecuacionde movimiento es:
mu+ cu+ ku = −mug(t)
• Dividiendo por m
u+ 2ξωnu+ ω2nu = −ug(t)
• Donde ξ es la razon de amortiguamiento crıtico y ωn lafrecuencia circular de vibracion.
• Estos dos parametros caracterizan completamente la respuestaestructural.
• Las frecuencia natural es fn = ωn/2π y el perıodo natural esTn = 2π/ωn.
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Introduccion/Motivacion
Espectro de Respuesta
u+ 2ξωnu+ ω2nu = −ug(t)
• Para un sismo ug(t) dado, se puede resolver la ecuacion paradistintos valores de ξ y ωn (distintas estructuras). Larespuesta serıa u(t, ξ, ωn).
• Si tomamos el maximo absoluto temporal de esta funcion, seconstruye una funcion de Tn y ξ llamada espectro derespuesta de desplazamientos.
SD(Tn, ξ) = maxt {|u(t, ξ, ωn)|}• Similarmente construimos espectros de velocidad y
aceleracion,
SV (Tn, ξ) = maxt {|u(t, ξ, ωn)|}SA(Tn, ξ) = maxt {|u(t, ξ, ωn)|}
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Introduccion/Motivacion
Para amortiguamiento variable...
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Introduccion/Motivacion
Fuentes de dano
Para un sistema de varios pisos, el dano debido al movimientosısmico no se produce por las fuerzas de inercia. Se produce por
• El desplazamiento relativo de los pisos (dano muros, tabiques,etc.). Se conoce como drift de entrepiso.
• La aceleracion total del piso (caida muebles, estucos, equipossensibles, etc.).
• El objetivo del diseno deberıa ser reducir el dano.
• Tratar de reducir el drift y la aceleracion en forma conjunta.
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Introduccion/Motivacion
Filosofıa de Diseno Clasico (Nch 433)
• El ’corte basal’ en una estructura es Vbasal = CIP , C = SA
coeficiente sısmico, I factor de importancia, P peso sısmico.
• Para una estructura dada (T , ξ = 5%) determinar Vbasal y‘repartirlo’ entre los pisos (analisis modal, estaticoequivalente).
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Introduccion/Motivacion
Filosofıa de Diseno Clasico (Nch 433)• Disenar para comportamiento elastico es caro, se reduce el
espectro por R∗ considerando que:1. La solicitacion real va sera mayor y la estructura incursionara
en rango no-lineal.2. No-linealidad implica disipacion de energıa, si hay suficiente
ductilidad, que a su vez implica amortiguamiento adicional.3. Las estructuras se disenan por capacidad lo que implica que
hay una reserva de sobreresistencia.
• Ahora,Vbasal =CIP
R∗• Se analiza la estructura elasticamente.• Se disena por resistencia ultima.• Se provee detallamiento especial para asegurar ductilidad lo
que se traduce en1. Diseno por capacidad de elementos de importancia sısmica.2. Confinamiento de cabezas de muros y otras zonas de
plastificacion.3. Filosofıa viga debil-columna fuerte.
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Introduccion/Motivacion
Pero.. ¿que otras alternativas existen?
• Aumentar amortiguamiento (disipacion).
• Flexibilizar la estructura. (Aumentar perıodo)
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Introduccion/Motivacion
Flexibilizacion
T = 2π√m
k
Las opciones que existen son:
(a) Aumentar la masa (dificil y poco practico).(b) Reducir rigidez de la estructura. ⇒ aumento de
desplazamientos.
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Introduccion/Motivacion
Flexibilizacion
• Flexibilizar es una buena idea ya que se disminuye el cortebasal de la estructura.
• El costo es el aumento de desplazamientos.
• Aumento de los desplzamientos puede llevar a efectos degrandes deformaciones (P -δ).
• Es deseable concentrar la demanda de desplazamientos en unsolo punto, en lo posible.
• Esto se llama aislamiento sısmico.
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Introduccion/Motivacion
Aislamiento Sısmico
• Consiste en generar un ‘piso blando’ para alargar el perıodo dela estructura (T = 2 a 4 segundos).
• Esto concentra la demanda de desplazamientos en este piso yluego se disena con esto en mente.
• Se colocan dispositivos especiales llamados aisladores.
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Introduccion/Motivacion
Aisladores
• Existen distintos tipos de dispositivos de aislamiento.
• Aisladores elastomericos (goma-acero).
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Introduccion/Motivacion
Aisladores
• Aisladores de Pendulo Friccional
• El aislamiento ha inspirado a miles de inventores en todo elmundo. La cantidad de sistemas es tan grande como lacantidad de investigadores.
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Introduccion/Motivacion
Implementacion
En este curso nos concentraremos en el caso mas tıpico y aceptadode los aisladores elastomericos de goma - acero y variantes.
http://www.youtube.com/watch?v=kzVvd4Dk6sw
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Repaso de Dinamica deEstructuras MGDL
Taller de Aislamiento Sısmico 1er. Semestre 2010
Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Ecuacion del Movimiento
ubx
ubθ
uby
us5x
us5θ
us5y
us4x
us4θ
us4y
us3x
us3θ
us3y
us2x
us2θ
us2y
us1x
us1θ
us1y
e=20cm
15m
8m
3m
5m
Vista General y GDL
2.7m
Sistema de AislamientoT = ~2.5s
Losa Aislamientoe=35cm
∞
ey
ex
CMx
y
Planta TípicaMuros e = 20cm
ϕ=40cm
3.6m 3.6m
4.73m
4.73m
4.73m
Mu + Cu + Ku = −Mrug
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Ecuacion del Movimiento
Mu + Cu + Ku = −Mrug
Donde,
• u es el vector de grados de libertad del sistema
u = [u1, u2, u3, u4, ]T
• M es la matriz de masa del sistema.
• C es la matriz de amortiguamiento del sistema.
• K es la matriz de rigidez del sistema.
• ug es la aceleracion de la base.
• r es el vector de colocacion del input.
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Matriz de Masas
• Proviene de las fuerzas que se generan debido a la aceleracionrelativa a la base.
• Hay distintos modelos
a) Masa concentrada (apto para edificios).
m3
m4
u3
..
u3
..
m3u3
..
m4u3
..
M =2664m1 0 0 00 m2 0 00 0 m3 00 0 0 m4
3775
b) Masa distribuıda o consistente (apto para estructuras que notienen masa muy concentrada, como puentes, galpones, etc.)
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Matriz de Rigidez
• Proviene del analisis estructural del edificio.
• Puede incluir efectos geometricos (linealizados).
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Vector de colocacion
En este caso,
r =
1111
• Indica cuanta aceleracion siente cada gdl cuando el sismo
acelera en 1.
• En caso bidimensional esta compuesta por 1 y 0 (gdl de giros).
• El caso tridimensional es distinto de esto si es que existenexcentricidades (torsion).
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Formas modales
Provienen de la solucion del problema de vibraciones libresno-amortiguado
Mu + Ku = 0
• Se supone que la estructura vibra de forma estacionarau = φη(t)
• Reemplazando,
Mφη(t) + Kφη(t) = 0
• Si suponemos que la vibracion es armonica η(t) = Aexp {jωt}(Kφ− ω2Mφ
)Aexp {jωt} = 0
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Formas modales
• Se llega al problema,
Kφ = ω2Mφ
• Que es un problema de valores y vectores propios.
• φ es el vector propio y ω2 es el valor propio.
• ω es la frecuencia de vibrar del modo.
• Notar que hay tantos modos como la dimension del problemay la dimension del problema depende del numero de grados delibertad modelados.
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Descomposicion modal
• Llamamos φi al i-esimo modo y ηi(t) a su correspondienterespuesta modal (coordenada modal)
• Reemplazando en la EDO y premultiplicando por φiT tenemos
(φiTMφi)η + (φi
TKφi)η = 0
• φiTMφj = 0 y φi
TKφj = 0 para i 6= j. Los modosdiagonalizan el sistema de ecuaciones.
• Se llega a N sistemas desacoplados de la forma,
m∗i η + k∗i η = 0
• Con m∗i = φiTMφi y k∗i = φi
TKφi, llamados masa y rigidezmodal para el modo i.
• Que se pueden resolver independientemente como cualquiersistema de EDO de segundo orden.
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Repaso de Dinamica de Estructuras MGDL
Matriz de Amortiguamiento• Ahora se introduce la matriz de amortiguamiento con la idea
de que tambien se diagonalice la matriz de amortiguamiento,es decir
c∗i = φiTCφi
• Por analogıa con un sistema de 1 GDL podemos decir que.
c∗i = 2ξiωim∗i
• Esto se llama amortiguamiento clasico.• Permite asignar una razon de amortiguamiento ξi distinto a
cada modo.• Lo comun (Nch 433) es que se tome amortiguamiento
constante igual al 5% en todos los modos.• Existen otros modelos de amortiguamiento como el de
Rayleigh,C = αM + βK
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Modelamiento 2D
Modelo 2D Lineal de un Piso
• Usaremos un sistema de coordenadas relativas a la base deaislamiento,
• El sistema de ecuaciones en este caso es»m + mb m
m m
– »ub
us
–+
»cb 00 cs
– »ub
us
–+
»kb 00 ks
– »ub
us
–=
−»
m + mb mm m
– »10
–ug(t)
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Modelamiento 2D
Modelo 2D No-Lineal de un Piso
• Si ahora consideramos que los aisladores tienen una relacionconstitutiva no-lineal de la forma:
Faisladores = F (ub, ub, t)
• El sistema de ecuaciones en este caso es»m + mb m
m m
– »ub
us
–+
»0 00 cs
– »ub
us
–+
»0 00 ks
– »ub
us
–+
»F (ub, ub, t)
0
–= −
»m + mb m
m m
– »10
–ug(t)
• Que es un sistema no-lineal de ecuaciones diferenciales quedebemos tratar de resolver.
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Modelamiento 2D
Extension a varios pisos
• Comencemos por una superestructura no-aislada
Msus + Csus + Ksus = −Msrsug
• Supongamos que agregamos al movimiento del suelo elmovimiento de una base de aislamiento ub.
Msus + Csus + Ksus = −Msrs(ug + ub)
• Ahora inspeccionamos el equilibrio de la base de aislamiento,
rsTMs(us + rsub + rsug) +mb(ub + ug) + F (ub, ub, t) = 0
rsTMsus + (m+mb)ub + F (ub, ub, t) = −(m+mb)ug
• En donde m = rsTMsrs es la masa total.
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Modelamiento 2D
Extension a varios pisos
• Llegamos al sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.[Ms rs
TMs
Msrs m+mb
] [us
ub
]+[
Cs 00 0
] [us
ub
]+[
Ks 00 0
] [us
ub
]+[
0F (ub, ub, t)
]= −
[Mrs
(m+mb)
]ug
• El caso de un sistema de aislamiento lineal,[Ms rs
TMs
Msrs m+mb
] [us
ub
]+[
Cs 00 cb
] [us
ub
]+[
Ks 00 kb
] [us
ub
]= −
[Mrs
(m+mb)
]ug
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Modelamiento 3D
Modelo 3D
ubx
ubθ
uby
us5x
us5θ
us5y
us4x
us4θ
us4y
us3x
us3θ
us3y
us2x
us2θ
us2y
us1x
us1θ
us1y
e=20cm
15m
8m
3m
5m
Vista General y GDL
2.7m
Sistema de AislamientoT = ~2.5s
Losa Aislamientoe=35cm
∞
ey
ex
CMx
y
Planta TípicaMuros e = 20cm
ϕ=40cm
3.6m 3.6m
4.73m
4.73m
4.73m
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Modelamiento 3D
Modelo 3D
• Ahora modelamos 3 GDL por piso (dos desplazamientos y 1giro).
• La ecuacion se puede escribir[Ms rs
TMsrs
rsTMsrs M∞
] [us
ub
]+[
Cs 00 Cb
] [us
ub
]+ . . .
. . .+[
Ks 00 Kb
] [us
ub
]= −
[Mrs
M∞
]rb
[ugx
ugy
]• Con M∞ = rs
TMsrs + Mb, matriz de masa considerandosuperestructura infinitamente rıgida.
• rb es la matriz de colocacion del input del suelo a la base deaislamiento.
• rs es la matriz de colocacion del input del la base deaislamiento a la superestructura.