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con sólidos valores humanísticos, éticos y morales.Contribuimos a la promoción, desarrollo y difusión de la

ciencia, tecnología y la cultura. Proyectamos nuestra acción a la comunidad, propiciando la

construcción de una sociedad moderna y equitativa.

UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA Y

CONJUNTOS

Lic. M. Jessica Sánchez Gastelomsanchezg@usmp.pe

LÓGICA MATEMÁTICAEs el estudio de los procesos válidos del razonamiento humano.

1. ENUNCIADO: Es toda frase u oración que se emite. Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas; otros en cambio pueden ser verdaderos o falsos.

Ejemplo: ¿Qué hora es? , ¡Arriba Perú! La matemática es fácil. Luis es abogado 2. ENUNCIADO ABIERTO: Son expresiones que contienen variables y que no tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos.

Ejemplo: ; Ella tiene 20 años

3. PROPOSICIÓN: Es toda expresión que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa.Ejemplo: • Juan estudia Administración en la USMP.• • Si estudio matemática, entonces apruebo el examen.• Mario Vargas Llosa nació en Arequipa.

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3.1 NOTACIÓN.

Generalmente a las proposiciones se les denota por letras minúsculas tales como: p, q, r, …

Así : p: Luis estudia ; q : Luis trabaja

3.2 CLASES DE PROPOSICIONESProposiciones Simples(Atómica o elemental)Proposiciones Compuestas(Molecular o Coligativa)

Compuesta por dos o más proposiciones simples

Consta de un solo sujeto y predicado.

4. CONECTIVOS LÓGICOSSon expresiones que enlazan dos o más proposiciones . Entre estas , se tiene: “o”; “y” ; “entonces”, “implica”; “ si y solo si”, etc.

DENOMINACIÓN

SIGNIFICADO OPERADOR

Conjunción y

Disyunción Débil o Inclusiva

o

Disyunción Fuerte o Exclusiva

o….o

Condicional Si, …, entonces

Bicondiconal Si y solo si

Negación No; no es cierto ~

o por

La validez de estos conectivos pueden representarse en tablas de verdad.

OBSERVACIÓN: Si tenemos n – proposiciones p1, p2 , p3 ,.., pn habrán 2n combinaciones de valores.

5. OPERACIONES PROPOSICIONALESa) Conjunción:

p q

V

V V

V F F

F V F

F F F

p q En todo párrafo las palabras: pero, sin embargo, aunque , no obstante, a la vez, además equivalen al conectivo " "

b) DISYUNCION INCLUSIVA

c) DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

p q

V

V V

V F V

F V V

F F F

p q Relaciona dos o más proposiciones con la palabra “O”; que se denota por " "

p q

V

V F

V F V

F V V

F F F

p q Se lee : “p o q” pero no ambas.

“ o es p o es q”

Ejemplo:“ O hoy es jueves o hoy es viernes”

p q

d) CONDICIONAL

Antecedente Consecuente

Observación: En un párrafo los términos: puesto que, porque, ya que, siempre que, cuando, si, cada vez que, dado que, debido a que; son también conectivos condicionales , se caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el antecedente.

p q p ⇒ q

V

V V

V F F

F V V

F F V

Se lee: : “p entonces q” o “p implica q”También se usan los términos: Por lo tanto, luego, en consecuencia.

p q

EJEMPLOS:

Si ahorro mucho dinero entonces podré comprar un auto.

p: Ahorro mucho dinero q: Podré comprar un auto

16 es múltiplo de 4, puesto que 16 es un número par.

p: 16 es múltiplo de 4q: 16 es un número par

p q

q p

e) BICONDICIONAL

EJEMPLO:Londres está en Inglaterra si, y solamente si, París está en Francia.

f) NEGACIÓN

p q

V

V V

V F F

F V F

F F V

p q Se lee: “Sí y sólo sí”. Relaciona dos o más proposiciones mediante la palabra “sí y sólo si”.

p ~ p

V F

F V

Denotado por “ ~ p”, que se lee: “no p” , o “no es cierto que”

EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES

TAUTOLOGÍA

CONTRADICCIÓN

CONTINGENCIA

O.P verdaderos

O.P falsos

O.P verdaderos y falsos

p q

V V V V V

V V

V F F F V

V F

F V V F F

V V

F F V F F

V F

p q p q

El esquema molecular es una tautología

EjemploEstablece si el esquema molecular dado es una tautología, contradicción o contingencia.

p q p q

EJERCICIOS1. Simboliza las siguientes proposiciones:

a) O César va a trabajar en bicicleta o en auto.

b) El conocimiento no es importante.

c) Las ventas disminuyen, sí los artículos aumentan de precio.

d) Luis es economista, pero no ejerce su profesión.

e) El perro aúlla desesperadamente ya que su dueño no está.

f) Fernando comprará un automóvil si y solo si obtiene un

préstamo del banco.

2. Si el esquema es falsoEncuentra el valor de verdad de:

3. Si el esquema molecular es falso, determina el valor de verdad de:

4. Si el esquema molecular

es verdadero, determina el valor de verdad de:

~ ~ p q s r

~ ~ ~ p q r r s

q p r p

p x m y

~ ~ ~ ~ p r q s r s

~ p q r s

5. Establece si los siguientes esquemas moleculares dados son una tautología, contradicción o contingencia.

a)

b)

c)

~ ( ) ( )p q p p q

( ) (~ )p q r q p

[( ) (~ ~ )]p q q p p

PROPOSICIONES MOLECULARES EQUIVALENTES

Dos proposiciones moleculares son equivalentes , si los valores de verdad del operador principal de ambos esquemas son iguales.

EjemploDetermine si las proposiciones siguientes son equivalentesP: “Si Juan aprobó los exámenes de admisión, ingresó a la Universidad”Q: “No es el caso que Juan apruebe los exámenes de admisión y no ingrese a la Universidad”

Gracias