clases 6 y 7 (cap 3 nicholson)

8/19/2019 Clases 6 y 7 (Cap 3 Nicholson)

1/42

1

Capítulo 3PREFERENCIAS Y UTILIDAD


2/42

2

Axiomas de Elección Racional• Completitud

– Si A y B son dos situaciones, el individuo

siempre puede especificar exactamente supreferencia sobre dichas posibilidades:• A se prefiere por sobre B• B se prefiere por sobre A

• A y B son igualmente atractivas


3/42

3

• Transitividad – Si A se prefiere a B, y B se prefiere a C,

entonces A se prefiere por sobre C – Este supuesto es para garantizar que las

decisiones de los individuos seanconsistentes internamente

Axiomas de Elección Racional


4/42

4

• Continuidad – Si A se prefiere a B, entonces las

situaciones “suficientemente cercanas” a Atambién deben ser preferidas sobre B – Este supuesto se utiliza para analizar las

respuestas de los individuos comorespuesta a cambios relativamentepequeños en el ingreso y los precios

Axiomas de Elección Racional


5/42

5

Utilidad• Dados todos estos supuestos, es posible

demostrar que las personas son capaces deordenar jerárquicamente todas las situaciones

posibles, desde la menos deseada hasta lamás deseada

• Los Economistas llaman a ésta jerarquíautilidad – Si A se prefiere sobre B, entonces la utilidad

asignada a A excede la utilidad asignada a B

U (A) > U (B)


6/42

6

• Dichas jerarquías o rankings de utilidadson ordinales por naturaleza – Muestran qué tan deseables son ciertas

cestas de bienes

• Debido a que las medidas de utilidad noson únicas, no tiene sentido elparticularizar cuánta más utilidad se ganaal pasar de A a B

• Tampoco es posible comparar utilidades

entre dos personas diferentes

Utilidad


7/42

7

• La utilidad es afectada por el consumo debienes físicos, por actitudes sicológicas,presiones de grupo, experiencias personales, y

por el ambiente cultural general• Los Economistas por lo general dedican su

atención a evaluar opciones medibles, mientrasmantienen constantes las otras cosas quepuedan afectar la utilidad – Esto es llamado el supuesto ce ter i s p ar ibu s

Utilidad


8/42

8

• Asumamos que un individuo debe escogerentre consumir los bienes x 1, x 2,…, x n

• Los rankings de dicho individuo pueden serrepresentados por una función de utilidad de laforma:

Utilidad= U ( x 1, x 2,…, x n; otras cosas)

– Esta función es única, pero puede sertransformada si dicha transformaciónpreserva la ordenación o rankings originales

Utilidad


9/42

9

Bienes Económicos• En la función de Utilidad, se asume que

los x ’s son “bienes” – Un bien: más se prefiere a menos

Cantidad de x

Cantidad de y

x*

y*

Preferido sobre x*, y*

?

?Peor que

x*, y*


10/42

10

Curvas de Indiferencia• Una Curva de Indiferencia muestra

combinaciones de bienes ante los cualesel individuo se muestra indiferente

Cantidad de x

Cantidad de y

x1

y1

y2

x2

U1

Las combinaciones (x 1, y 1) y (x 2, y 2)proveen el mismo nivel de utilidad


11/42

11

Tasa Marginal de Substitución (TMS)• La pendiente negativa de una curva de

indiferencia en un punto es llamada laTasa Marginal de Substitución ( TMS )

Cantidad de x

Cantidad de y

x1

y1

y2

x2

U1

1

U U

dyTMS

dx


12/42

12

• La TMS cambia cuando x , y cambian – Esto refleja la disposición del individuo a

intercambiar y por x

Cantidad de x

Cantidad de y

x1

y1

y2

x2

U1

En ( x 1, y 1), la curva de indiferencia es más empinada.La persona estaría dispuesta a sacrificar más y Para obtener unidades adicionales de x

En ( x 2, y 2), la curva de indiferencia esmás plana. La persona será más reacia

A sacrificar y para ganar más x

Tasa Marginal de Substitución (TMS)


13/42

13

Mapa de Curvas de Indiferencia• Cada punto del plano debe tener una

curva de indiferencia pasando sobre él(completitud de las CI)

Cantidad de x

Cantidad de y

U 1 < U 2 < U 3

U1

U2

U3

Utilidad crece


14/42

14

Transitividad• ¿Pueden intersectarse las CI?

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

U2

A

BC

El individuo es indiferente entre A y C.

El individuo es indiferente entre B y C.Transitividad sugiere que el individuoDebe ser indiferente entre A y B

Pero B se prefiere sobre ADebido a que B contiene másde x y y que A


15/42

15

Convexidad• Un conjunto de puntos es convexo si dos

puntos pueden ser unidos por una línea rectaque es contenida enteramente en el conjunto

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

El supuesto de una TMS decreciente esequivalente al supuesto de que todas lascombinaciones de x y y que son preferidaspor sobre x * y y * forman un conjunto

convexo

x*

y*


16/42

16

Convexidad• Si la CI es convexa, entonces la

combinación ( x 1 + x 2)/2, ( y 1 + y 2)/2 serápreferida tanto a ( x 1,y 1) como a ( x 2,y 2)

Cantidad de x

Cantidad de y

U1

x2

y1

y2

x1

Esto implica que combinaciones “bien balanceadas”Son preferidos sobre combinaciones que cargadas haciauno de los bienes

(x 1 + x 2)/2

(y1 + y 2)/2


17/42

17

Utilidad y la TMS• Supongamos que las preferencias de unindividuo por hamburguesas ( y ) y bebidas( x ) pueden ser representadas por:

utilidad 10 x y

• Despejando y , tenemos

y = 100/ x • Construyendo la TMS = - dy /dx :

TMS = - dy /dx = 100/ x 2


18/42

18

Utilidad y la TMSTMS = - dy /dx = 100/ x 2

• Note como mientras x sube, TMS cae – Cuando x = 5, TMS = 4 – Cuando x = 20, TMS = 0.25


19/42

19

Utilidad Marginal• Supongamos que un individuo tiene una

utilidad de la formaUtilidad = U ( x,y)

• El diferencial total de U es

dy y U

dx x U

dU

• Sobre cualquier CI, la utilidad esconstante ( dU = 0)


20/42

20

Derivando la TMS• Por lo tanto tenemos:

U constante

U dy

xTMS U dx y

• TMS es el cociente de la utilidadmarginal de x sobre la utilidad marginalde y


21/42

21

Utilidad MarginalDecreciente y la TMS

• Intuitivamente, parecería que el supuesto deutilidad marginal decreciente se relaciona al

concepto de TMS decreciente – Una TMS decreciente requiere que lafunción de utilidad sea cuasi-cóncava

• Esto es independiente de cómo sea medida lautilidad

– La utilidad marginal decreciente sí dependede cómo es medida la utilidad

• Por tanto, estos dos conceptos son

diferentes


22/42

22

Convexidad de las curvas deindiferencia

• Supongamos una función de utilidad dela forma:

utilidad x y

• Podemos simplificar el álgebra tomandologaritmos en ambos lados de la

igualdadU* ( x ,y ) = ln[ U ( x ,y )] = 0.5 ln x + 0.5 ln y


23/42

23


* 0.5

* 0.5

U y x xTMS

U x

y y

• Por lo tanto,


24/42

24


• Si la función de utilidad esU ( x ,y ) = x + xy + y

• No ganamos nada transformando lafunción, por lo que

1

1

U y xTMS

U x y


25/42

25


• Supongamos que la función de utilidades:

2 2utilidad x y

• Para éste ejemplo es más fácil usar latransformación:

U* ( x ,y ) = [U ( x ,y )]2 = x 2 + y 2


26/42


27/42

27

Ejemplos de funciones de Utilidad

• Utilidad Cobb-Douglasutilidad = U ( x,y ) = x y

donde y son constantes positivas – El tamaño relativo de y indican la

importancia relativa de los bienes


28/42

28


• Substitutos Perfectosutilidad = U ( x ,y ) = x + y

Cantidad de x

Cantidad de y

U1U2

U3

La CI será lineal.La TMS será constante a lo largo detoda la curva de indiferencia.


29/42

29


• Complementos Perfectosutilidad = U ( x ,y ) = min ( x , y )

Cantidad de x

Cantidad de yLas CI tendrán una forma de L. Lautilidad solo puede ser incrementadaal elegir más de los dos bienesconjuntamente.

U1

U2

U3


30/42

30

Ejemplos de funciones de Utilidad• Utilidad CES (Constant elasticity of substitution)

utilidad = U ( x ,y ) =

cuando 0, ≤ 1. Además, cuando = 0 tenemos qué:

utilidad = U ( x ,y ) = ln x + ln y Modificando tenemos:

– Substitutos Perfectos = 1 – Cobb-Douglas = 0 – Complementos Perfectos = -

x y


31/42

31

Ejemplos de funciones de Utilidad• Utilidad CES (Constant elasticity of

substitution) – La elasticidad de substitución ( ) se define

cómo:

= 1/(1 - ) para la función CES. Otros casos:

• Substitutos Perfectos =

• Proporciones Fijas = 0

lnln

x y

U y

U x

Mide cambios proporcionales dela razón (x/y) relativo a cambiosproporcionales de la TMS.Intuición: Qué tan “posible” esel intercambiar x por y


32/42

32

Preferencias Homotéticas• Si la TMS depende solamente del

cociente de las cantidades de dosbienes, pero no de las cantidades dedichos bienes, la función de utilidad eshomotética – Substitutos Perfectos TMS es la misma

en cada punto – Complementos Perfectos (CI de forma L)

TMS = si y / x > / , no definida si y / x =/ , y TMS = 0 si y / x < /


33/42

33

Preferencias Homotéticas• Para la función general Cobb-Douglas,

la TMS se computa:

1

1

U x y y xTMS

U x y x

y


34/42

34

Preferencias NO Homotéticas• Algunas funciones de utilidad NO

presentan preferencias homotéticas

utilidad = U ( x ,y ) = x + ln y

1

1

U xTMS yU y y


35/42

35

Muchos Bienes• Supongamos una función de utilidad

para n bienes dada por utilidad = U ( x

1, x

2,…, x

n)

• El diferencial total de U es

n

ndx x

U

dx x

U

dx x

U

dU ...22

1

1


36/42

36

Muchos Bienes• Podemos encontrar la TMS entre dos

bienes cualesquiera haciendo dU = 0

( por ) j ii ji

j

U dx x

TMS x xU dx

x

j j

i i

dx x U dx

x U dU 0

• Arreglando, tenemos:


37/42

37

Superficies de Indiferenciapara n bienes

• Ahora vamos a definir superficies deindiferencia como un conjunto depuntos en n dimensiones que satisfacela ecuación

U ( x 1, x 2,… x n) = k

Donde k es cualquier constante


38/42

38

Superficies de Indiferenciapara n bienes

• Si la función de utilidad es cuasi-cóncava, el conjunto de puntos para loscuales U k será convexo – Todos los puntos en una línea que une dos

puntos cualesquiera sobre la superficie de

indiferencia U = k también tendrán U k


39/42

39

Puntos Importantes:• Si los individuos obedecen ciertos postulados

de comportamiento, serán capaces deestablecer una ordenación (ranking) cestas o

conjuntos de bienes – Dicho ranking puede ser representado por

medio de una función de utilidad – Al escoger, los individuos actúan “cómo si”

estuvieran maximizando esa función• Las funciones de utilidad para dos bienes

pueden ser ilustrados mediante un mapa de

curvas de indiferencia


40/42

40

Puntos Importantes:• La pendiente negativo de una CI mide la

Tasa Marginal de Substitución ( TMS ) – Ella muestra la proporción en que un

individuo estará dispuesto a intercambiarcierto monto de un bien ( y ) por másunidades del otro bien ( x )

• La TMS decrece a medida que x essubstituido por y – Esto indica que los individuos prefieren

balancear sus decisiones de consumo


41/42

41

Puntos Importantes:• Ciertas formas funcionales simples pueden

capturar diferencias importantes en laspreferencias de un individuo sobre dos o másbienes – La función Cobb-Douglas – La función lineal (Substitutos Perfectos)

–La función de proporciones fijas (ComplementosPerfectos)

– La función CES• Ella incorpora a los otros casos como casos

especiales


42/42

42

Puntos Importantes:• Resulta bastante simple generalizar

nuestro modelo de preferencias de dos

bienes para el caso de muchos bienes – Las matemáticas para el caso de muchosbienes no son, sin embargo, especialmenteintuitivas, así que seguiremos con el casode dos bienes para acumular más intuición

clases 6 y 7 (cap 3 nicholson)

Documents