clases unidad 1
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controlTRANSCRIPT
7/21/2019 Clases Unidad 1
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EspecificacionesEspecificaciones para elpara el disediseññoo
dede sistemassistemas de controlde control
Prof. Mariela CERRADA LOZADAProf. Mariela CERRADA LOZADA
Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Sistemas de ControlOpción Control y Automatización
Control 2
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05/11/200705/11/2007 22
El problema de diseEl problema de diseññoo
SISTEMA
(Planta)
ALGORITMO DE
CONTROL
CONFIGURACION
ESQUEMA
Entradas Salidas
Señal de Referencia
Estados
Señal de Control
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05/11/200705/11/2007 33
Modelo del SistemaModelo del Sistema
)),(),(()(
)( );),(),(()(
00
t t ut xht y
xt xt t ut x f dt
t xd
=
==
SISTEMA(Planta)
u(t) y(t)
x(t)
Modelo no lineal
Linealización
)()()(
)( );()()(
00
t u Dt xC t y
xt xt u Bt x Adt
t xd
+=
=+=
Modelo lineal mnq p pss
zsK
sU
sY sG q
j
i
p
m
i
i
<=++
+
==∏
∏
=
= ;)(
)(
)(
)()(
1
1
Sistemas invariantes en
el tiempo
(1)
(2)
(3)
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El problema de diseEl problema de diseññoo
G(s)u(t) y(t)
x(t)
Go(s)
r(t)
El comportamiento de un sistema de control depende únicamente de sufunción de transferencia global Go(s), y no depende explícitamente de laplanta G(s). Luego el problema de diseño es, en esencia, la búsqueda de
Go(s) estable, para alcanzar especificaciones de diseño
0
1
1
0
1
1
)(
)()(
α α α
β β β
++
++==
−−
−
−
n
n
n
n
m
m
m
mo
ss
ss
s R
sY sG (4)
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El problema de diseEl problema de diseññoo
Dos enfoques básicos de diseño usando configuraciones realimentadas:
- Menos sensibles a ruidos y perturbaciones de planta.
(a) Se escoge una configuración realimentada y un compensador con
parámetros a diseñar. El sistema resultante tiene las especificacionesdeseadas
(b) Se determina la función de transferencia Go(s) y luego se escoge la
configuración realimentada y se calculan los compensadores,
Se usan controladores (compensadores) descritos por funciones de
transferencia propias o estrictamente propias (físicamente realizables)
Se garantiza que el sistema de control tenga un “planteamiento
correcto” (para evitar la amplificación de ruidos a alta frecuencia)
El sistema debe ser “totalmente estable”
Pueden imponerse restricciones a la magnitud de las señales actuantes
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Criterios de desempeCriterios de desempeññooEstabilidadEstabilidad: es el requerimiento fundamental.: es el requerimiento fundamental.
– – Estabilidad en SLIT:Estabilidad en SLIT:
a. Criterios de Estabilidad dea. Criterios de Estabilidad de RouthRouth--HurwitzHurwitz (estabilidad absoluta)(estabilidad absoluta)b. Estabilidad en el sentido deb. Estabilidad en el sentido de LyapunovLyapunov: Segundo M: Segundo Méétodo detodo de LyapunovLyapunov..
c. Mc. Méétodostodos frecuencialesfrecuenciales para el estudio de estabilidad relativa (MF y MG)para el estudio de estabilidad relativa (MF y MG)
-- Estabilidad en sistemas no lineales, invariantes en el tiempo:Estabilidad en sistemas no lineales, invariantes en el tiempo:
a. Estabilidad Local (aproximaciones lineales de los sistemas noa. Estabilidad Local (aproximaciones lineales de los sistemas nolineales)lineales)
b. Estabilidad Global (uso de funciones deb. Estabilidad Global (uso de funciones de LyapunovLyapunov))
DesempeDesempeñño en estado estacionarioo en estado estacionario
PrecisiPrecisióónn: se debe minimizar el error del sistema debido a entradas de: se debe minimizar el error del sistema debido a entradas dereferencia y perturbaciones. La precisireferencia y perturbaciones. La precisióón es definida en tn es definida en téérminos de constantesrminos de constantesde error (posicide error (posicióón, velocidad, aceleracin, velocidad, aceleracióón).n).
)()(
)()()(
0ssE Limet e Lime
t yt r t e
sss
t ss
→∞→=⇔=
−=
)()()( t yt yt y forzadanatural += (5)
(6)
Atención!! r(t) y y(t) tienen
las mismas unidades!!!
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Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): En t: En téérminos de :rminos de :
– – SiSi r(tr(t) es un escal) es un escalóónn R(sR(s)=a/s. Entonces:)=a/s. Entonces:
)1(
)(a)(
0
0
0
0
0
0
00
α
β
α
β
α
β
−=−=
===⇒−=→→
aaae
asG LimssY Lim y yae
ss
oss
ssssss
Go(s)
Luego el error de precisiLuego el error de precisióón ser n ser áá ““cerocero”” cuandocuando GoGo(0)=1, (es decir(0)=1, (es decir ααoo==ββoo).).Supongamos que deseamos diseSupongamos que deseamos diseññarar Go(sGo(s) tal que el error de posici) tal que el error de posicióón sea finito,n sea finito,
acotado, entonces:acotado, entonces:
)()(
)(
)()1(
000
000000000
0
00
0
0
γ α β γ α
α γα β γα α γα β α γα
γ α
β α γ
α
β
−>>+
−<−<−−⇒<−<−
<−
⇒<−
aaa
aaaa
aa
Si consideramos el error relativo:Si consideramos el error relativo:
)0(1
)(
00
0
Ga
aa
ess −=
−
= α
β )1()1( 000 γ α β γ α −>>+ Atención α0 está definido porque Go(sGo(s) es) es
garantizado estable !!!garantizado estable !!!
(7)
(8)
(9)
(10)
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Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): En t: En téérminos de :rminos de :
– – SiSi r(tr(t) es una rampa) es una rampa R(sR(s)=a/s)=a/s22. Entonces:. Entonces:
)((t) si 0 t r at y Lim yet
ssss ====∞→
Go(s)
0
)]([])([
])([
0
0
2
021
0
2022
=
==
=
=
=
s
saGds
d ssG
s
a
ds
d k
ssGsak
s
s
Calculando los coeficientes de la expansiCalculando los coeficientes de la expansióón:n:
Y dado queY dado que Go(sGo(s) es estable, entonces:) es estable, entonces:
t aGaGt k k t ys
k
s
k t y ssss )0()0(')()( 00212
21 +=+=⇒+=
Se puede encontrar que:Se puede encontrar que:
0
002
0
01100 )0(y)0('
α
β
α
β α β α =
−= GG
Entonces, retomando (11):Entonces, retomando (11):
(11)
(12)
(13)
(14)
110
000
0)0('
y
1)0(
si
β α
β α
=⇒=
=⇒=
=
G
G
at yss(15)
)(aasociadostérminos)()( 02
2102
sGs
k
s
k sG
s
asY ++==Consideremos:Consideremos:
(16)
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Criterios de desempeCriterios de desempeññoo
1)0( 000 β α ≠⇒≠G
yyssss(t(t) y) y r(tr(t) tienen la misma) tienen la misma
pendientependiente
(17)
(18)
110
000
0)0('
y
1)0(
β α
β α
≠⇒≠
=⇒=
G
G
Por otro lado, notemos que se tendr Por otro lado, notemos que se tendr áá un error de velocidad finito si:un error de velocidad finito si:
y se tendr y se tendr áá un error de velocidad infinito si:un error de velocidad infinito si:
yyssss(t(t) y) y r(tr(t) NO tienen la misma) NO tienen la mismapendientependiente
Considerando en este caso el error relativo y asumiendoConsiderando en este caso el error relativo y asumiendo GoGo(0)=1, tenemos un(0)=1, tenemos un
inecuaciinecuacióón para determinar un error finito:n para determinar un error finito:
λ <⇒−−=−−
= )0(')0('))0(1())0(')0((
00000 GGt G
a
aGatGat ess
Problema de seguimiento (tracking): Cualquier entrada de referencia.
Problema de regulación (regulating): Entrada de referencia “cero”.
•• PrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n)::
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Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION: CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION
– – DefiniciDefinicióón de las constantes de error para un SLIT realimentadon de las constantes de error para un SLIT realimentado
)()(1
)()()(0
sGsC
sGsC sG
+
=
R(s) Y(s)
C(s) G(s)+-
)(
)()()()(
s Ds
s N sGsC sG
l
q
ll ==donde:
Si C(s)G(s) es tipo 1, entonces el error de posición es “cero”
Si C(s)G(s) es tipo 2, entonces el error de velocidad es “cero”
Si C(s)G(s) es tipo 3, entonces el error de aceleración es “cero”
y G(0) es estable. Entonces:
Consideremos, que C(s)G(s) es tipo 1, luego:
!!! 1)0(
)0()0(
)()(
)()( 00 ==⇒
+=
l
l
ll
l
N
N G
s N ssD
s N sG
Observemos que aún si existenvariaciones en Nl(s) y/0 Dl(s) , el sistema
aún puede “ seguir” a la referencia!! ESUN DISEÑO ROBUSTO!!!
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05/11/200705/11/2007 1111
Criterios de desempeCriterios de desempeññoo
PrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n)::
SupongamosSupongamos C(s)G(sC(s)G(s) de tipo 0 y la incorporaci) de tipo 0 y la incorporacióón de una ganancia K:n de una ganancia K:
R(s) Y(s)
C(s) G(s)+-
Si se elige
!!! 1)0(
)()(
)()( 00 ≠⇒
+
= G
s N s D
s N sG
ll
l
Observemos que si existen variaciones enNl(s) y/0 Dl(s) , el sistema NO puede“ seguir” a la referencia!! NO ES UNDISEÑO ROBUSTO!!!
R1(s)
K
)()(1)0()0(
)0()0( 10 t r t yG
N
N DK ss
l
ll =⇒=⇒+
=
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Criterios de desempeCriterios de desempeññooPrecisiPrecisióón (continuacin (continuacióón)n): CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION: CASO ESPECIAL DE REALIMENTACION
– – DefiniciDefinicióón de las constantes de error para un SLIT realimentadon de las constantes de error para un SLIT realimentado
R(s) Y(s)
)( ;
)( ;
)( ;
1
2 sGs LimK K Ae
ssG LimK K
Ae
sG LimK
K
Ae
osa
a
ss
osv
v
ss
os
p
p
ss
→
→
→
==
==
=
+
=Si r(t) = A (entrada escalón)
Si r(t) = A t (entrada rampa)
Si r(t) = (A/2) t2 (entrada parábola)
(7)
C(s) G(s)+-
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05/11/200705/11/2007 1313
Criterios de desempeCriterios de desempeññooRespuesta transitoriaRespuesta transitoria
– – SobredisparoSobredisparo
– – Tiempo de asentamiento o de respuestaTiempo de asentamiento o de respuesta
– – Tiempo picoTiempo pico
– – Tiempo de subidaTiempo de subida
Estas especificacionesEstas especificaciones
han sido derivadas delhan sido derivadas del
comportamientocomportamiento
transitorio de un SLITtransitorio de un SLITde segundo orden.de segundo orden.
En caso de sistema deEn caso de sistema de
orden superior,orden superior, ééstosstos
podr podr áán describirse conn describirse con
las especificacioneslas especificaciones
anteriores si existe unanteriores si existe un
par de polospar de polos
dominantesdominantes
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05/11/200705/11/2007 1414
DiseDiseñño de Sistemas de Controlo de Sistemas de Control
Se refiere al proceso de modificación del sistema de control
realimentado, con el fin de alcanzar las especificaciones de estabilidad,
precisión y respuesta transitoria deseadas
¿Modificación? consiste en incorporar elementos al sistema
¿Para qué? permiten generar una señal de entrada al sistema, llamada “señal de
control”
Señal de Control que “estabiliza” al sistema (cumple requerimientos de
estabilidad) y lo “compensa” (incremento de la precisión y
velocidad de respuesta).
Compensar Compensar el sistemael sistema: a: aññadir polos y/o ceros adicionales.adir polos y/o ceros adicionales.
C fi i d C iC fi i d C ióó
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05/11/200705/11/2007 1515
Configuraciones de CompensaciConfiguraciones de Compensacióón paran para
SLITSLIT
1. Compensación en cascada
Gp(s)+
-
R(s) Y(s)Gc(s)
Objetivo:Objetivo:Compensar el sistema, aCompensar el sistema, aññadiendo polos y/o cerosadiendo polos y/o ceros
adicionales en lazo abierto.adicionales en lazo abierto.
Efecto:Efecto:
--Permite mejorar la respuesta transitoria y laPermite mejorar la respuesta transitoria y la
estacionaria de maneraestacionaria de manera independienteindependiente..
--Pueden ser implementados con redes activasPueden ser implementados con redes activas
(amplificadores operacionales) o pasivas (redes(amplificadores operacionales) o pasivas (redes
RLC).RLC).
Los compensadores pueden ser ideales (Tipo PID)Los compensadores pueden ser ideales (Tipo PID)o no ideales (Tipo Adelantoo no ideales (Tipo Adelanto-- Atraso). Atraso).
Compensadores tipo:
adelanto de fase,
atraso de fase,
adelanto-atraso de fase,
PIPD
PID
C fi i d C iC fi i d C ióó
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05/11/200705/11/2007 1616
Configuraciones de CompensaciConfiguraciones de Compensacióón paran para
SLITSLIT
2. Compensación realimentada (minor feedback loop)
Gp(s)+
-
R(s) Y(s)G1(s)
Objetivo:Objetivo:
Compensar el sistema, modificando los polos delCompensar el sistema, modificando los polos del
sistema en lazo cerrado sin aumentar el orden delsistema en lazo cerrado sin aumentar el orden del
sistema.sistema.Efecto:Efecto:
--Permite mejorar la respuesta transitoria, sinPermite mejorar la respuesta transitoria, sin
embargo usado sin compensaciembargo usado sin compensacióón en la cadenan en la cadena
directa aumenta el error en estado estacionario.directa aumenta el error en estado estacionario.
B(s)
+-
Realimentación de velocidad
bss B =)(
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05/11/200705/11/2007 1717
RestriccionesRestriccionesRuido y perturbaciones:Ruido y perturbaciones:
y(t)r(t)
P1 P2 P3
G1(s) G2(s)+
+ +
+ +
+
-
Un buen sistema de control debe ser capaz de seguir la entrada de
referencia y rechazar el efecto de ruidos y perturbaciones!!
Planta nominal: Considera el peor caso en el cual puede estar la planta
Planta perturbada: Considera el estado actual de la planta
La función de transferencia nominal es usada en el diseño y la diferencia entrela planta nominal y la perturbada es considerada como una perturbación interna
e v u
7/21/2019 Clases Unidad 1
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05/11/200705/11/2007 1818
RestriccionesRestriccionesCompensadores propios y planteamiento correcto:Compensadores propios y planteamiento correcto:
– – Los compensadores usados en el diseLos compensadores usados en el diseñño deben tener funciones de transferenciao deben tener funciones de transferencia
propias:propias:
No se requieren operaciones puras de diferenciaciNo se requieren operaciones puras de diferenciacióónn
Son realizables f Son realizables f íísicamente (tienen asociada una ecuacisicamente (tienen asociada una ecuacióón diferencial de estado)n diferencial de estado)
– – Un sistema de control puede no tener una funciUn sistema de control puede no tener una funcióón de transferencian de transferencia Go(sGo(s) propia) propia
aaúún cuando todos sus componentes tengan funciones de transferencian cuando todos sus componentes tengan funciones de transferencia propiaspropias
(ver ejemplo 6.5.1)(ver ejemplo 6.5.1)
ssG 5.0)(0 −=Supongamos 1)(;2
)1(
)( 21 +=+
+−
= s
s
sGs
s
sG Es impropia!!
¿Implicaciones prácticas?
Supongamos la existencia de un ruido P1(t)=0.01sin(10000t) y r(t)=sin t. Entonces:
t t
t t dt d t y
10000cos50cos5.0
)10000sin01.0(sin5.0)(
−−=
+−=
Amplificación del ruido!!!
7/21/2019 Clases Unidad 1
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05/11/200705/11/2007 1919
RestriccionesRestriccionesCompensadores propios y planteamiento correcto (ContinuaciCompensadores propios y planteamiento correcto (Continuacióón...)n...)
DefiniciDefinicióón:n: Un sistema se diceUn sistema se dice bienbien--planteadoplanteado oo propio en lazo cerradopropio en lazo cerrado sisi
las funciones de transferencia de cada posible par entradalas funciones de transferencia de cada posible par entrada--salida delsalida del
sistema es propio.sistema es propio.
0)( ≠∞Δ
En el caso de un sistema realimentado, el sistema está bien-planteado si y solo si:
Δ Función característica
∞→+=∞Δ
ssGsG )()(1)( 21Para el caso del diagramas de bloques anterior
1)(;
2
)1()( 21
+=
+
+−=
s
ssG
s
ssG 011)( =−=∞Δ
1
2)(;
2
)1()( 21
+=
+
+−=
s
ssG
s
ssG 121)( −=−=∞Δ Bien-planteado!!!
Si
Si
Si G2(s) es estrictamente propia y G1(s) es propia la condición (8) se cumple!!!
(8)Determinante en
la fórmula
de Mason !!
Nota: si alguna F.T es impropia, (8) no puede ser usada.
7/21/2019 Clases Unidad 1
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05/11/200705/11/2007 2020
RestriccionesRestriccionesCompensadores propios y planteamiento correcto (ContinuaciCompensadores propios y planteamiento correcto (Continuacióón...)n...)
2
34)(;
1
1)(;
2
)2()( 321
+
+=
+
+=
+=
s
ssG
s
ssG
ssG
y(t)r(t)
P1 P2 P3
G1(s) G2(s)+
+ +
+ +
+
-
G3(s)
)54(
)2()(0
+
+=
s
ssG
Compensadores propios necesidad de evitar el uso de diferenciación!!
Sistemas bien planteados necesidad de evitar la amplificación de ruidosa altas frecuencias!!
Bien-planteado!!
PD
7/21/2019 Clases Unidad 1
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05/11/200705/11/2007 2121
RestriccionesRestriccionesEstabilidad Total:Estabilidad Total:
DefiniciDefinicióón:n: Un sistema se dice totalmente estable si y solo si la funciUn sistema se dice totalmente estable si y solo si la funcióón den de
transferencia en lazo cerrado de cada posible par entradatransferencia en lazo cerrado de cada posible par entrada--salida es estable.salida es estable.
0;1
1)(;
)1(
)1()(
21
=−
=+
−= P
ssG
s
ssG
)2(
1
)(0 += ssG Estable!!
¿Implicaciones?
1. Cancelación de polos y ceros inestables
y(t)r(t)
P
G1(s) G2(s)
+
++
-
)2)(1(
)1()(
+−
+=
ss
ssGPy Inestable!!
Una cancelación de polo-cero
inestable NO elimina el polo
inestable, sólo lo esconde!!
7/21/2019 Clases Unidad 1
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05/11/200705/11/2007 2222
RestriccionesRestriccionesEstabilidad Total (continuaciEstabilidad Total (continuacióón):n):
Un sistema es totalmente estable si y solo si los polos deUn sistema es totalmente estable si y solo si los polos de Go(sGo(s) y sus polos) y sus polos
escondidos son todos estables.escondidos son todos estables.
Un sistema no es totalmente estable si existe una cancelaciUn sistema no es totalmente estable si existe una cancelacióón polon polo--cero inestable!!cero inestable!!
CancelaciCancelacióón imperfecta: Una cancelacin imperfecta: Una cancelacióón exacta es imposible en la pr n exacta es imposible en la pr ááctica!!ctica!!
0;1
1)(;
)1.1(
)9.0()( 21 =
−=
+
−= P
ssG
s
ssG
)9674.0)(0674.2(
9.0)(0
−+
−=
ss
ssG Inestable!!
¿Implicaciones?
1. Cancelación imperfecta de polos y ceros inestable
y(t)r(t)P
G1(s) G2(s)+
++
-
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 23/47
05/11/200705/11/2007 2323
RestriccionesRestriccionesEstabilidad Total (continuaciEstabilidad Total (continuacióón):n):
¿Implicaciones?
2. Cancelación de polos y ceros estables
0;)1001.0(
3)(;
)2(
)1001.0()(
22
2
1 =++
=+
++= P
sssG
ss
sssG
)32(3)(
20++
=ss
sG
0;)2(
)9909.0()(
2
1 =+
++= P
ss
sssG
)29727.2002.1031.2(
29727.03)(
234
2
0
++++
++=
ssss
sssG
-0.05 +10.001i-0.05 -10.001i
-0.9996 + 1.404i
-0.9996- 1.404i
-0.045 + 9.95i
-0.045 - 9.95i
-1 + 1.414i-1 - 1.414i
polos
polos
ceros
Time (sec.)
A m p l i t u d e
Step Response
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4From: U(1)
T o : Y ( 1 )
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 24/47
05/11/200705/11/2007 2424
Cancelación de polos y ceros estables
Salida debida a la perturbación Efecto de la perturbación
Si ocurre una cancelación de polos-ceros estables muy cercanos al eje imaginario
O con partes imaginarias grandes los ruidos o perturbaciones pueden excitar una
salida de la planta oscilatoria y de respuesta lenta
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 25/47
05/11/200705/11/2007 2525
RestriccionesRestriccionesSaturaciSaturacióón:n:
¿Implicaciones?
0;)1(
)2()(;2)( 21 =−
+== Pss
ssGsG
)4(
)2(2)(
20++
+=
ss
ssG
1
-1
0.5-0.5
u
e
y(t)r(t)
P
G1(s) G2(s)
+
+
+
-
uu
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 26/47
05/11/200705/11/2007 2626
SensibilidadSensibilidad
)(sGΔ
)()(1
)()(
s H sG
sGsT
+=
+-
R(s) Y(s)
G(s)
H(s)
Consideremos:
1)()( >>s H sGSi para las frecuencias de interés, entonces)(
)()(
)(
1)(
s H
s RsY
s H
sT ≈⇒≈
Si H(s)=1, entonces , aún para variaciones en la planta!!!)()( s RsY ≈
Consideremos una perturbación en la planta, entonces sin realimentación:
)()()()()())()(()()()()( s RsGs RsGs RsGsGsY sGsGsG Δ+=Δ+=⇒Δ+≈
)()()( s RsGsY Δ=Δ⇒ Cambio en la salida es proporcional al
cambio en la planta, sin considerar la
realimentación !!
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 27/47
05/11/200705/11/2007 2727
SensibilidadSensibilidad¿Qué ocurre en lazo cerrado?
)()())()((1
))()(()(
)())()((1
))()(()( s R
s H sGsG
sGsGsY
s H sGsG
sGsGsT
Δ++
Δ+=⇒
Δ++
Δ+=
Considerando que entonces:)()()( sY sY sY Δ+=
)(
)()(1
)()(
)())()((1
))()(()( s R
s H sG
sGs R
s H sGsG
sGsGsY
+
−
Δ++
Δ+=Δ
)())()(1))(()()()(1(
))())()()(1)(())()(1))(()(()( s R
s H sGs H sGs H sG
s H sGs H sGsGs H sGsGsGsY
+Δ++
Δ++−+Δ+=Δ
)())()(1))(()()()(1(
)()( s Rs H sGs H sGs H sG
sGsY +Δ++
Δ=Δ
Considerando de nuevo la condición , entonces:)()(1)()( s H sGs H sG Δ>>>>
)())()(1(
)()(
2 s R
s H sG
sGsY
+
Δ=Δ En lazo cerrado, el cambio en la salida
se reduce por un factor !!!2))()(1( s H sG+
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 28/47
05/11/200705/11/2007 2828
SensibilidadSensibilidad
Sin considerar la realimentación, entonces
El sistema el muy sensible !!!
La SENSIBILIDAD se define como el cambio porcentual en la FT del sistema
de control en LC respecto al cambio porcentual en algún parámetro ó FT del
sistema en LA.
+-
R(s) Y(s)
G(s)
H(s)
Consideremos:
)()(1
)()(
s H sG
sGsT
+
=
T
G
G
T
GG
T T
S T
G Δ
Δ=
Δ
Δ=
En el límite: T
G
G
T
S
T
G ∂
∂
=
Función de sensibilidad del
sistema !!
11)()( ==⇒=G
GS sGsT T
G
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 29/47
05/11/200705/11/2007 2929
SensibilidadSensibilidadCalculando se tiene que:
Observe el rol de la condición !!
T G
GT S T G∂∂=
GH
GH S
T
H
H
T S T
H
T
H +
−=⇒
∂
∂=
1
22 )1(1
)1()1(
GH GH GH GH
GT
+=
+−+=
∂∂
GH S
GH
GG
GH S T
GT G
+=⇒
+
+=
11
1
)1(1
2 1)()( >>s H sG
Atención: Recuerde las condiciones de estabilidad para un aumento considerablede la magnitud de GH !!!!
Por otro lado, haciendo cálculos similares se obtiene que:
Observe de nuevo el rol de la condición 1)()( >>s H sG
¿¿Qué se concluye??
El signo negativo indica que un cambio porcentual negativo deteriora el
comportamiento del sistema
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 30/47
05/11/200705/11/2007 3030
SensibilidadSensibilidad
)(
1)(α +
=s
sG
1
1)(
++=
α ssT
+-
R(s) Y(s)G(s)
1)(
++
−=
α
α α
ssS
T
2)1(
1
++−=
∂
∂
α α s
T
??)( =sS T α
99.0−=α
Valor nominal crítico
(sistema inestable!!)
7/21/2019 Clases Unidad 1
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05/11/200705/11/2007 3131
SensibilidadSensibilidad
)1()(
+=
ss
K sG
K ss
K sT
++=
2)(
+-
R(s) Y(s)G(s)
K ss
sssS
T
K ++
+=
2
)1()(
22
2
)(
)(
K ss
K K ssT
++
−++−=
∂
∂
α
??)( =sS T K
25.0=K
Valor nominal crítico
(salida criticamente amortiguada)
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 32/47
05/11/200705/11/2007 3232
SensibilidadSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 33/47
05/11/200705/11/2007 3333
SensibilidadSensibilidadConsideremos:
)(1
1
sGS T
G+=
)(1
)()(
sG
sGsT
+=
Observemos que: 1
)(1
)(
)(1
1)( =
+
+
+
=+sG
sG
sGsT S
T
G
+-
R(s) Y(s)G(s)
T(s), FT en lazo cerrado, es la función de sensibilidad complementaria
S y T no pueden ser pequeñas
en magnitud al mismo tiempo !!
Si “S” es pequeña, entonces: )()(1)( s RsY sT ≈⇒≈
En general, es pequeña a altas frecuencias, en sistemas fisicamente
realizables (sistemas que se comportan como filtros pasa-bajo). Entonces:
)(sG
1≈T GS 0)( ≈sT 1=+T S
T
G
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 34/47
05/11/200705/11/2007 3434
SensibilidadSensibilidadConsideremos: y(t)r(t)
P
Gc(s) Gp(s)+
++
-
Entonces:
a. Se requiere en bajas frecuencias para disminución de la
sensibilidad del sistema en cuanto a cambios en Gp(s)
b. Aumentar la ganancia de lazo a través de Gc(s) para rechazo de ruidos(perturbaciones externas). Si entonces
pc
pc
GG
GG
s R
sY
+=
1)(
)(
pc
p
GG
G
sP
sY
+=
1)(
)(
1)()( >>sGsG pc
1)()( >>sGsG pc
cGsP )(
sY 1)(≈
S ibilid d
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 35/47
05/11/200705/11/2007 3535
SensibilidadSensibilidadConsideremos:
)()()()()()()( 12 s RsGsGs DsGs DsY pc p ++=
y(t)r(t)
D1(t)
Gc(s) Gp(s)+
++
-
D2(t)
D3(t)H(s)
++
++
Consideremos la ausencia del sensor (H(s)=0, Lazo abierto). Entonces:
a. La señal D2(s) no es rechazada
b. L señal D1(s) pasa a través de la planta
SS ibilid d
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 36/47
05/11/200705/11/2007 3636
SensibilidadSensibilidadConsideremos ahora el lazo cerrado:
)()()()(1
)()()()(
)()()(11)(
)()()(1
)()(
)()()(1
)()()( 321 s D
s H sGsG
s H sGsGs D
s H sGsGs D
s H sGsG
sGs R
s H sGsG
sGsGsY
pc
pc
pc pc
p
pc
pc
++
++
++
+=
y(t)r(t)
D1(t)
Gcs) Gp(s)+
++
-
D2(t)
D3(t)H(s)
++
++
Teniendo en cuenta que y , entonces:)()()(1
1
s H sGsGS
pc
T
G+
=
)()()(1
)()(
s H sGsG
GsGsT
pc
pc
+
=
)()()()()()()()()()()( 321 s Ds H sT s DsS s DsGsS s RsT sY p +++=
S ibilid dS ibilid d
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 37/47
05/11/200705/11/2007 3737
SensibilidadSensibilidad
Ejemplo. Consideremos H(s)=1 y la existencia de la entrada (ruido) D1(s). Entonces,
analizando error E(s):
1)(1)()()( <<⇒>> sS s H sGsG pc
)(
1)(
s H sT ≈
)()()()()()()()()()()( 321 s Ds H sT s DsS s DsGsS s RsT sY p +++=
y dado que si , luego:
a. El ruido D2 es rechazado
b. , entonces el ruido D3 no es rechazado
c. La perturbación D1(s) pasa a través de Gp(s)
Teniendo en cuenta que
)()()(1
)()( 1)(1
s DsGsG
sGs E
pc
p
s D+
−=
S ibilid dS ibilid d
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 38/47
05/11/200705/11/2007 3838
SensibilidadSensibilidadSi D1(s) es del tipo escalón, entonces:
Supongamos Gc(s)Gp(s) de tipo 1, por ejemplo:
Estudiando el error en estado estable:
ssGsG
sGs E
pc
p
s D
1
)()(1
)()()(1 +
−=
)()(1
)(1
)()(1
)( )(
00)(
0 1 sGsG
sG Lim
ssGsG
sGs LimssE Lim
pc
p
s pc
p
ss D
s +
−=
+
−=
→→→
)(
)()( 1
bs
asK sGc
+
+=
)(
)()( 2
β
α
+
+=
ss
sK sG p
Entonces:aK bK
bssE Lime s Ds
11
2
)(0
)( 1 −
−==→
∞ Es finito y sólo depende de los parámetrosde Gc(s)!!!
Observemos que
pc
p
s GG
G Lime
+=
→∞ 1
0
S ibilid dS ibilid d
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 39/47
05/11/200705/11/2007 3939
SensibilidadSensibilidadObservemos que
pc
p
s GG
G Lime
+=
→∞
1
0
1)(1)()( <<⇒>> sS sGsG pc para , se tiene queEntonces, sicG
e1
≈∞0→s
Luego la entrada (ruido) D1 será rechazado si 1>>cG
Ejercicio: que ocurre si el integrador esta en Gp???
S ibilid dS ibilid d
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 40/47
05/11/200705/11/2007 4040
SensibilidadSensibilidadEjemplo: Sistema de control de la dirección un barco
y(t)r(t)
P
Gc(s) Gp(s)+
++
-
)10*8624.6(
10*6847.4)(
3
4
−
−
+=
sssG p
)10*9648.4(
)10*0071.1(7498.1)(
2
2
−
−
+
+=
s
ssGc
Planta nominal
)10*8624.6(
10*6217.5)(
3
4
2 −
−
+=
sssG p Cambio del 20% en la ganancia
)10*2349.8(
10*6847.4)( 3
4
3 −
−
+= sssG p
)10*4899.5(
10*6847.4)(
3
4
3 −
−
+=
sssG p
Cambio del 20% en el polo LA
Cambio del 20% en el polo LA
gradost r 10)( =
Dinámica delbarco
u
Controlador del ángulo
del timón del barco
Angulo de
cabecera
S ibilid dSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 41/47
05/11/200705/11/2007 4141
SensibilidadSensibilidad
S ibilid dSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 42/47
05/11/200705/11/2007 4242
SensibilidadSensibilidad
Sensibilidadpara el
cambio en la
ganancia de la
planta
SensibilidadSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 43/47
05/11/200705/11/2007 4343
SensibilidadSensibilidad
Sensibilidad
para el
cambio en la
ganancia de laplanta,
considerando
un aumento
de la ganancia
de Gc (5
veces)
Observemos el
cambio en la
magnitud de la
sensibilidad !!
¿Qué significa?
SensibilidadSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 44/47
05/11/200705/11/2007 4444
SensibilidadSensibilidad
Sensibilidad
para el
cambio en la
ganancia de laplanta,
considerando
un aumento
de la ganancia
de Gc
¿Qué significa
este resultado
en relación conel cambio en la
función de
sensibilidad?
SensibilidadSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 45/47
05/11/200705/11/2007 4545
SensibilidadSensibilidad
SensibilidadSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 46/47
05/11/200705/11/2007 4646
SensibilidadSensibilidad
Rechazo al
ruido D1
SensibilidadSensibilidad
7/21/2019 Clases Unidad 1
http://slidepdf.com/reader/full/clases-unidad-1 47/47
05/11/200705/11/2007 4747
SensibilidadSensibilidad
Rechazo al
ruido D1 y a
laperturbación
en la planta