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isometrías en R2 isometrías de R3
Clasificación de isometrías en R2 y en R3
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
28 de octubre de 2010
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
teorema de clasificación
teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usual
T : R2 → R2 isometría⇔
1 T rotación de centro (0,0), o2 T simetría axial, con eje pasando por (0,0)
-
isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
teorema de clasificación
teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usualT : R2 → R2 isometría
⇔
1 T rotación de centro (0,0), o2 T simetría axial, con eje pasando por (0,0)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
teorema de clasificación
teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usualT : R2 → R2 isometría⇔
1 T rotación de centro (0,0), o2 T simetría axial, con eje pasando por (0,0)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
teorema de clasificación
teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usualT : R2 → R2 isometría⇔
1 T rotación de centro (0,0), o
2 T simetría axial, con eje pasando por (0,0)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
teorema de clasificación
teorema (clasificación en R2)R2 con producto interno usualT : R2 → R2 isometría⇔
1 T rotación de centro (0,0), o2 T simetría axial, con eje pasando por (0,0)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
T : R2 → R2 isometría
⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal
A =(
a11 a12a21 a22
)
⇒
a211 + a
221 = 1
a212 + a222 = 1
a11a12 + a21a22 = 0
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal
⇒ columnas de A forman base ortonormal
A =(
a11 a12a21 a22
)
⇒
a211 + a
221 = 1
a212 + a222 = 1
a11a12 + a21a22 = 0
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal
A =(
a11 a12a21 a22
)
⇒
a211 + a
221 = 1
a212 + a222 = 1
a11a12 + a21a22 = 0
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal
A =(
a11 a12a21 a22
)
⇒
a211 + a
221 = 1
a212 + a222 = 1
a11a12 + a21a22 = 0
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal
A =(
a11 a12a21 a22
)
⇒
a211 + a
221 = 1
a212 + a222 = 1
a11a12 + a21a22 = 0
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal
A =(
a11 a12a21 a22
)
⇒
a211 + a
221 = 1
a212 + a222 = 1
a11a12 + a21a22 = 0
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
T : R2 → R2 isometría⇒ Tx = Ax con A matriz ortogonal⇒ columnas de A forman base ortonormal
A =(
a11 a12a21 a22
)
⇒
a211 + a
221 = 1
a212 + a222 = 1
a11a12 + a21a22 = 0
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
(1) a211 + a
221 = 1
(2) a212 + a222 = 1
(3) a11a12 + a21a22 = 0
(1){
a11 = cos θa21 = sin θ
(2){
a12 = cosϕa22 = sinϕ
(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0
⇒ θ − ϕ = ±π2
⇒A =
(cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )
)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
(1) a211 + a
221 = 1
(2) a212 + a222 = 1
(3) a11a12 + a21a22 = 0
(1){
a11 = cos θa21 = sin θ
(2){
a12 = cosϕa22 = sinϕ
(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0
⇒ θ − ϕ = ±π2
⇒A =
(cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )
)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
(1) a211 + a
221 = 1
(2) a212 + a222 = 1
(3) a11a12 + a21a22 = 0
(1){
a11 = cos θa21 = sin θ
(2){
a12 = cosϕa22 = sinϕ
(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0
⇒ θ − ϕ = ±π2
⇒A =
(cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )
)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
(1) a211 + a
221 = 1
(2) a212 + a222 = 1
(3) a11a12 + a21a22 = 0
(1){
a11 = cos θa21 = sin θ
(2){
a12 = cosϕa22 = sinϕ
(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0
⇒ cos(θ − ϕ) = 0
⇒ θ − ϕ = ±π2
⇒A =
(cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )
)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
(1) a211 + a
221 = 1
(2) a212 + a222 = 1
(3) a11a12 + a21a22 = 0
(1){
a11 = cos θa21 = sin θ
(2){
a12 = cosϕa22 = sinϕ
(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0
⇒ θ − ϕ = ±π2⇒
A =(
cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )
)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
(1) a211 + a
221 = 1
(2) a212 + a222 = 1
(3) a11a12 + a21a22 = 0
(1){
a11 = cos θa21 = sin θ
(2){
a12 = cosϕa22 = sinϕ
(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0⇒ θ − ϕ = ±π2
⇒A =
(cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )
)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
(1) a211 + a
221 = 1
(2) a212 + a222 = 1
(3) a11a12 + a21a22 = 0
(1){
a11 = cos θa21 = sin θ
(2){
a12 = cosϕa22 = sinϕ
(3)⇒ cos θ cosϕ+ sin θ sinϕ = 0⇒ cos(θ − ϕ) = 0⇒ θ − ϕ = ±π2⇒
A =(
cos θ cos(θ ∓ π2 )sin θ sin(θ ∓ π2 )
)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ cos(θ + π2 )sin θ sin(θ + π2 )
)
⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2
A =(
cos θsin θ
)
=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
-
isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)
⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2
A =(
cos θsin θ
)
=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θ
caso ϕ = θ − π2
A =(
cos θsin θ
)
=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2
A =(
cos θ cos(θ − π2 )sin θ sin(θ − π2 )
)
=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2
A =(
cos θ sin θsin θ − cos θ
)
=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2
A =(
cos θ sin θsin θ − cos θ
)=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2
A =(
cos θ sin θsin θ − cos θ
)=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ
⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
caso ϕ = θ + π2
A =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)⇒ A es una rotación de centro (0,0) y ángulo θcaso ϕ = θ − π2
A =(
cos θ sin θsin θ − cos θ
)=
(cos θ − sin θsin θ cos θ
)(1 00 −1
)
⇒ A es la simetría respecto del eje x compuesta con unarotación con centro (0,0) y ángulo θ⇒ A simetría respecto de la recta que pasa por el origen yforma ángulo θ con el eje x
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
para concluir tenemos que probar⇐):
Si A rotación o simetría axial, entonces A isometría(ejercicio)
-
isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
para concluir tenemos que probar⇐):Si A rotación o simetría axial, entonces A isometría
(ejercicio)
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isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
para concluir tenemos que probar⇐):Si A rotación o simetría axial, entonces A isometría(ejercicio)
-
isometrías en R2 isometrías de R3
teorema de clasificación
demostración
para concluir tenemos que probar⇐):Si A rotación o simetría axial, entonces A isometría(ejercicio)
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isometrías en R2 isometrías de R3
observación
observación
observaciónT : R2 → R2 isometría
si T rotación, entonces det T = det A = 1si T simetría axial, entonces det T = det A = −1
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isometrías en R2 isometrías de R3
observación
observación
observaciónT : R2 → R2 isometríasi T rotación, entonces det T = det A = 1
si T simetría axial, entonces det T = det A = −1
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isometrías en R2 isometrías de R3
observación
observación
observaciónT : R2 → R2 isometríasi T rotación, entonces det T = det A = 1si T simetría axial, entonces det T = det A = −1
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría
(columnas forman base ortonormal)
χT (λ) = (1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169
= (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1
⇒ T simetría axial
eje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)
T isometría
(columnas forman base ortonormal)
χT (λ) = (1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169
= (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1
⇒ T simetría axial
eje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
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ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)
χT (λ) = (1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169
= (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1
⇒ T simetría axial
eje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169
= (λ− 1)(λ+ 1)⇒ det T = −1
⇒ T simetría axial
eje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169 = (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1
⇒ T simetría axial
eje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169 = (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1
⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169 = (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1⇒ T simetría axial
eje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169 = (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)
→ S1ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −
513y = 0}
= [(−5,1)]
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169 = (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)→ S1
ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −5
13y = 0}
= [(−5,1)]
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isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169 = (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)→ S1ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −
513y = 0}
= [(−5,1)]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y) =( 12
13 −5
13− 513 −
1213
)(xy
)T isometría (columnas forman base ortonormal)χT (λ) = (
1213 − λ)(−
1213 − λ)−
25169 = (λ− 1)(λ+ 1)
⇒ det T = −1⇒ T simetría axialeje: son los (x , y) tales que T (x , y) = (x , y)→ S1ker(T − I) = {(x , y) : − 113x −
513y = 0} = [(−5,1)]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
T : R3 → R3 isometría
⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥
⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormal
χT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥
⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal
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isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real
⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥
⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χT
sea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥
⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1
tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥
⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥
⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
T : R3 → R3 isometría⇒ Tx = Ax con columnas de A formando base ortonormalχT (λ) tiene al menos una raíz real⇒ λ0 = 1 o λ0 = −1 raíz de χTsea u vep asociado a λ0 con ‖u‖ = 1tomemos {v1, v2} base ortonormal de [u]⊥
⇒ B = {u, v1, v2} base ortonormal
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 a b0 c d0 e f
matriz ortogonal
⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 a b0 c d0 e f
matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario
⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 0 00 c d0 e f
matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario
⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 0 00 c d0 e f
matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 0 00 c d0 e f
matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)
T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 0 00 c d0 e f
matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)T en este s.e.v. también es una isometría
E es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 0 00 c d0 e f
matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
B(T )B =
±1 0 00 c d0 e f
matriz ortogonal⇒ primera fila vector unitario⇒ [v1, v2] s.e.v. invariante y la matriz asociada a T en els.e.v. es
E =(
c de f
)T en este s.e.v. también es una isometríaE es una isometría de R2
hay 4 casos:
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
(I)
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(II) 1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
(III)
−1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(IV) −1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
(I)
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(II) 1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
(III)
−1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(IV) −1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)
⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
(I)
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(II) 1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
(III)
−1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(IV) −1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1
caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
(I)
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(II) 1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
(III)
−1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(IV) −1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)
simetría que deja fijo el eje [v1]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
isometrías de R3
(I)
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(II) 1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
(III)
−1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
(IV) −1 0 00 cos θ sin θ
0 sin θ − cos θ
caso (II) matriz semejante a diag(1,1,−1)⇒ simetría respecto del plano S1caso (IV) matriz semejante a diag(−1,1,−1)simetría que deja fijo el eje [v1]
-
isometrías en R2 isometrías de R3
resumen
isometrías de R3
matriz asociada det T tr (T ) Acción
1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u
-
isometrías en R2 isometrías de R3
resumen
isometrías de R3
matriz asociada det T tr (T ) Acción 1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u
-
isometrías en R2 isometrías de R3
resumen
isometrías de R3
matriz asociada det T tr (T ) Acción 1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u 1 0 00 1 0
0 0 −1
-1 1 simetría respectodel plano S1
-
isometrías en R2 isometrías de R3
resumen
isometrías de R3
matriz asociada det T tr (T ) Acción 1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u 1 0 00 1 0
0 0 −1
-1 1 simetría respectodel plano S1 −1 0 00 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
-1 −1 + 2 cos θ rotación alr.[u] seguido desimetría resp.[u]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
resumen
isometrías de R3
matriz asociada det T tr (T ) Acción 1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ
1 1 + 2 cos θ rotación θ alrede-dor eje u 1 0 00 1 0
0 0 −1
-1 1 simetría respectodel plano S1 −1 0 00 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
-1 −1 + 2 cos θ rotación alr.[u] seguido desimetría resp.[u]⊥ −1 0 00 −1 0
0 0 1
1 -1 simetría axial
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría:
{(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1
⇒ T simetría resp. plano S1
ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}
= [(1,0,2)]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría:
{(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1
⇒ T simetría resp. plano S1
ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}
= [(1,0,2)]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1
⇒ T simetría resp. plano S1
ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}
= [(1,0,2)]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónica
det T = −1, tr T = 1
⇒ T simetría resp. plano S1
ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}
= [(1,0,2)]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1
⇒ T simetría resp. plano S1ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −
45z = 0}
= [(1,0,2)]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1⇒ T simetría resp. plano S1
ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −45z = 0}
= [(1,0,2)]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1⇒ T simetría resp. plano S1ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −
45z = 0}
= [(1,0,2)]⊥
-
isometrías en R2 isometrías de R3
ejemplo
ejemplo
ejemplo
T (x , y , z) = (35x −45z, y ,−
45x −
35z)
T isometría: {(35 ,0,−45), (0,1,0), (−
45 ,0,−
35)} ortonormal
C(T )C =
35 0 −450 1 0−45 0 −
35
matriz asociada en la basecanónicadet T = −1, tr T = 1⇒ T simetría resp. plano S1ker(T − I) = {(x , y , z) : −25x −
45z = 0} = [(1,0,2)]
⊥
isometrías en R2teorema de clasificaciónobservaciónejemplo
isometrías de R3resumenejemplo