POLIEDROSPOLIEDROSEtimoloxicamente, a palabra poliedro (Πoλυεδρos)

deriva dos termos gregosΠoλυs (moito) e εδρα (plano).

Pila GarcíaPila García

“Non entre aquí quen non sepa xeometría”

• Esta frase podíase ler encima da porta de entrada á Academia de Platón (século IV A.C.) onde se reunían a discutir problemas de filosofía, lóxica, política, arte, etc.

CORPOS SÓLIDOS

• Un corpo sólido é todo o que ocupa lugar no espacio.

• Os corpos xeométricos poden ser de dúas clases: ou formados por caras planas (poliedros), ou tendo algunha ou todas as súas caras curvas (cuerpos redondos).

Actividad

a. Qué características comúns ves a todos eles?

b. Debuxa outros tres corpos coas mesmas características.

c. Sinala 3 obxectos reais que sexan poliedros.

DEFINICIÓN

• Estes corpos chámanse poliedros e podemos decir de forma simplificada que son sólidos limitados por caras en forma de polígonos.

Ángulos diedros Dous planos que se cortan, dividen o espazo en

catro rexións. Cada unha delas chámase ángulo diedro ou simplemente diedro. As caras do diedro son os semiplanos que o determinan e a recta común ás dúas caras chámase aresta.

• Se son tres planos os que se cortan, chamáselle triedro, se son catro, tetraedro, se son cinco, pentaedro, etc.

• Ó punto común chamáselle vértice.

Actividad • Observa os seguintes poliedros.

• Se os sitúas nun plano, observa que hai dous que non se poden apoiar sobre todas as súas caras. Cáles son?

DEFINICIÓN

• Ós poliedros que teñen algunha cara sobre a que non se poden apoiar, chamaselles cóncavos e ós demáis convexos. Nos imos traballar sempre, salvo que se indique o contrario, con poliedros convexos.

Actividade • Na figura seguinte tes pintado un poliedro. Nel

indícanseche algúns elementos característicos.

a. Cómo definirías cada un destes elementos?

Ó número de caras que concorren nun mesmo vértice chámaselle orde do vértice.

b. Cántas caras, vértices e arestas ten este poliedro?

c. Cántas caras se teñen que xuntar nun vértice como mínimo?

FÓRMULA DE EULER (1750)• Nos poliedros

da figura, conta o número de caras, vértices e arestas e escríbeos na táboa.

Encontras algunha relación entre C, V e A ?

CONCLUSIÓN

• En todos os poliedros convexos verifícase sempre que o número de caras máis o número de vértices é igual ó número de arestas máis dous:

C + V = A + 2

Actividade• Na táboa seguinte danse algúns datos de poliedros convexos.

Completaa e intenta debuxar algún deles.

 653

128 2

6 41

AVCPoliedro

Un poliedro ten 7 caras. Catro delas son pentágonos e tres cadriláteros.Cántas arestas ten?Cántos vértices ten?

Un poliedro ten dúas caras hexagonais e todas as demáis son triángulos.Chamamos t ó número de caras triangulares.a) Escribe unha expresión para o número de arestas do poliedro.b) Usa a fórmula de Euler para unha expresión do número de vértices.

• Hai outros elementos nos poliedros que debes coñecer:

Cómo definirías a diagonal dun poliedro?

E o plano diagonal?

Cál é o número de diagonais e de planos diagonais do poliedro anterior?

Explica razoadamente cáles das seguintes afirmacións son verdadeiras e cáles son falsas

1. O número de arestas dun poliedro que concorren nun vértice é, como mínimo, 4.

2. As caras dun poliedro son todas iguais.3. Hai poliedros con tres caras.4. En cada vértice dun poliedro concorren sempre o mesmo número de arestas.5. As caras dun poliedro teñen que ser forzosamente polígonos.6. Todos os poliedros de cinco caras teñen 8 arestas e 5 vértices.

7. O número mínimo de caras que concorren nun vértice é 3.

8. O cilindro é un poliedro.

POLIEDROS REGULARES

• Coñécense co nome de sólidos platónicos en honra a Platón (século IV a. de C.), pero o certo é que non se sabe en qué época chegaron a coñecerse. Algúns investigadores asignan o cubo, tetraedro e dodecaedro a Pitágoras e o octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a. de C.)

DEFINICIÓN

• Un poliedro é regular se todas as súas caras son regulares e iguais e todos os seus vértices son da mesma orde.

TETRAEDRO REGULAR

• Formado por tres triángulos equiláteros. É o que ten menor volumen dos cinco en comparación coa súa superficie. Representa o lume. Está formado por 4 caras, 6 arestas e 4 vértices.

LUME

OCTAEDRO REGULAR• Formado por oito triángulos equiláteros. Xira

libremente cando se suxeita por vértices opostos. Por elo, representa ó aire en movemento. Está formado por 8 caras, 12 arestas e 6 vértices.

AIRE

ICOSAEDRO REGULAR

• Formado por vinte triángulos equiláteros. É o que ten maior volume en relación coa súa superficie e representa á auga. Ten 20 caras, 30 arestas e 12 vértices.

AUGA

HEXAEDRO REGULAR OU CUBO

• Formado por seis cadrados. Permanece estable sobre a súa base. Por iso representa a terra. Está formado por 6 caras, 12 arestas e 8 vértices.

TERRA

DODECAEDRO REGULAR

• Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde ó Universo, pois as súas doce caras poden albergar os doce signos do Zodiaco. Ten 12 caras, 30 arestas e 20 vértices.

O UNIVERSO

• A finais do século XVI, Kepler imaxinou unha relación entre os cinco poliedros regulares e as órbitas dos planetas do sistema solar entón coñecidos (Mercurio, Venus, Marte, Xúpiter e Saturno). Segundo el cada planeta movíase nunha esfera separada da contigua por un sólido platónico.

DESENROLO DE POLIEDROS

• Se nun poliedro cortamos por un número suficiente de arestas de forma que quede unha soa peza e a estendemos no plano, obtemos un desenrolo do poliedro.

Un desenrolo de cada sólido platónico

Debúxaos nunha cartolina, recórtaos e constrúeos.

Poliedros na vida cotiá• Ornamentacións, en farolas, lámpadas, etc. • Os balóns de fútbol estiveron feitos sempre

con 12 pentágonos e 20 hexágonos (icosaedro truncado), aínda que hoxe en día se cambiaron por outra forma poliédrica máis redondeada (o pequeno rombicosidodecaedro) que ten 20 triángulos, 30 cadrados e 12 pentágonos

Nas súas formas naturais, moitos minerais cristalizan formando poliedros característicos.

• En 1.996 concedeuse o premio Nobel de Química a tres investigadores polo descubrimento do fullereno cuxa forma é un icosaedro truncado.

• Os panais das abellas teñen forma de prismas hexagonais

• O virus da poliomelite e da verruga teñen forma de Icosaedro

• As células do tecido epitelial teñen forma de Cubos e Prismas

• En pintura, Salvador Dalí, utiliza o dodecaedro nun óleo para enmarcar a súa escena sobre a última cea (cos seus 12 Apóstolos). Tamén o utiliza na súa obra Crucifixión (a cruz componse de 8 hexaedros adosados )

PRISMAS

• Un prisma é un poliedro limitado por dúas caras iguais e paralelas (bases) e tantos paralelogramos (caras laterais) como lados teñen as bases

1. Qué obxectos reais che suxiren a idea de prisma?

2. Cómo definirías cada un dos elementos especificados na figura?

3. Si os polígonos da base son regulares, o prisma chámase regular.

4. Incluirías os prismas regulares entre os poliedros regulares?

• Un prisma chámase recto cando as súas arestas laterais son perpendiculares ás bases e oblicuo en caso contrario.

• A altura dun prisma será o segmento perpendicular ás bases comprendido entre estas.

• Se a base do prisma é un triángulo, o prisma chamarase triangular; se é un cadrado, chamarase cuadrangular, etc.

• Hai uns prismas especialmente interesantes dentro dos prismas cuadrangulares. Estes son os paralelepípedos chamados así porque os cuadriláteros das bases son paralelogramos.

•Se o paralelepípedo é recto e os paralelogramos das bases son rectángulos, este recibe o nome de paralelepípedo rectángulo ou ortoedro.

PIRÁMIDES• Cando cortamos un ángulo poliedro por un plano,

obtense un corpo xeométrico chamado pirámide. Na figura indícanse os elementos máis notábeis dunha pirámide.

Cómo definirías cada un deles?

É unha pirámide un poliedro regular?

• As pirámides pódense clasificar de forma análoga ós prismas. Así, hai pirámides rectas e oblicuas, segundo que o centro do polígono da base coincida ou non co pé da altura da pirámide, e regulares e irregulares, segundo que o polígono da base sexa ou non regular.

• Así mesmo, segundo o número de lados do polígono da base, a pirámide será triangular, cuadrangular, pentagonal, etc.

TRONCO DE PIRÁMIDE• Se cortamos unha pirámide por un plano,

obtemos un tronco de pirámide, que será recto ou oblicuo, segundo que o plano sexa ou non paralelo á base. Fíxate en que as caras laterais dun tronco de pirámide son trapecios e cando este é regular, entón os trapecios son isósceles iguais e a súa altura coincide coa apotema do tronco de pirámide. Por outra parte, as bases son polígonos semellantes.

FONTE: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/poliedros.htm