F WÀlPÀªÀÅ ¤ªÀÄUÉ C£ÀÄPÀÆ° ÀĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ,

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ CxÀðªÀ£ÀÄß «ªÀj ÀĪÀÅzÀÄ.

¥sÀ°vÀ UÀt ªÀÄvÀÄÛ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ªÁåSÁå¤ ÀĪÀÅzÀÄ.

¸ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉAiÀÄ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß «ªÀj¸ÀĪÀÅzÀÄ.

zÀvÀÛ WÀl£ÉUÀ¼À ¥sÀ°vÀ UÀt ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁæxÀ«ÄPÀWÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

««zsÀ §UÉAiÀÄ WÀl£ÉUÀ¼À CxÀðªÀ£ÀÄß «ªÀj ÀĪÀÅzÀÄ.

WÀl£ÉAiÀÄ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ªÁåSÁå¤ ÀĪÀÅzÀÄ.

P(E) = 1 – P(E ) £ÀÄß ¤gÀƦ¸ÀĪÀÅzÀÄ.

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ¸ÀAPÀ®£À ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄߤgÀƦ¸ÀĪÀÅzÀÄ.

P(E1 E

2) = P(E

1) + P(E

2)

PÉÆnÖgÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄßPÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

5 ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀ¥sÀ°vÀ UÀt¸ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉAiÀÄ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄWÀl£ÉUÀ¼À «zsÀUÀ¼ÀĸÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ CxÀð¥ÀÆgÀPÀ WÀl£ÉUÀ¼À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼À¸ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

¥ÉæöÊjæ rà Áå¥Áè ï (Qæ.±À. 1747-1827)

¥sÁææ£ïì zÉñÀzÀ ÀAeÁvÀ Áå¥Áè ï, 1812gÀ°è,¸ÀASÁå±Á¸ÀÛçzÀ°è C£ÉÃPÀ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß D«µÀÌj¹zÀgÀÄ. EªÀgÀĸÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ DzsÁgÀzÀ ªÉÄïÉUÀtÂwÃAiÀÄ ªÀåªÀ¸ÉÜAiÀiÁzÀ C£ÀÄUÀªÀÄ£À¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæ¸ÁÛ¦¹zÀgÀÄ. EªÀgÀĸÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ C£ÉÃPÀ vÀvÀéUÀ¼À£ÀÄßCªÀgÀ°è ¥ÀæªÀÄÄRªÁzÀ £ÉgÀªÁUÀ§®èWÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MlÄÖ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄWÀl£ÉUÀ¼À C£ÀÄ¥ÁvÀªÉà ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉJA§ vÀvÀéªÀ£ÀÄß ¥ÀjZÀ¬Ä¹zÀgÀÄ.

Probability theory is nothing but

common sense reduced to

calculation.

- Pierre de Laplace

94 WÀlPÀ-5

¤vÀå fêÀ£ÀzÀ°è, J¯Áè ¸ÀAzÀ sÀðUÀ¼À®Æè "¸ÁzsÀåvÉ"AiÀÄ£ÀÄß C£ÀĸÀj¹ PÉ®¸À ªÀiÁqÀÄvÉÛêÉAzÀÄ »A¢£ÀvÀgÀUÀwUÀ¼À°è FUÁUÀ Éà PÀ°wzÉÝêÉ. ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À ¤§AzsÀ£ÉUÀ¼À°è, ¤RgÀvÉ ªÀÄvÀÄÛ HºÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ WÀn¸ÀĪÀ¸ÀAzÀ sÀðUÀ¼ÀÆ EgÀÄvÀÛªÉ. CAvÀºÀ PÉ®ªÀÅ À¤ßªÉñÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt ÉÆÃt.

PɼÀV£À ºÉýPÉUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr.

1. 273 K vÁ¥ÀzÀ°è ¥ÁzÀgÀ ÀzÀ ÁAzÀævÉAiÀÄÄ 13.590 UÁæA/¹.¹. £À¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.

2. MAzÀÄ ZÉAqÀ£ÀÄß ªÉÄîPÉÌ £ÉÃgÀªÁV J¸ÉzÁUÀ, ªÉÄîPÉÌ ºÉÇÃUÀ®Ä ªÀÄvÀÄÛ »A¢gÀÄV PɼÀPÉÌ §gÀ®Ä¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÁ®ªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîvÀÛzÉ.

3. ¸ÀªÀÄÄzÀæ ªÀÄlÖzÀ°è, ¤Ãj£À PÀÄ¢AiÀÄĪÀ ©AzÀÄ 100°C DVgÀÄvÀÛzÉ.

4. ¨sÁgÀwÃAiÀÄ QæPÉmï vÀAqÀªÀÅ «±ÀéPÀ¥ï£ÀÄß UÉ®ÄèªÀ J¯Áè ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÇA¢zÉ.

5. F ¨Áj ¸ÀÆAiÀÄðUÀæºÀtªÀ£ÀÄß GvÀÛªÀÄ jÃwAiÀÄ°è «ÃQë À§ºÀÅzÀÄ.

6. ªÉÄʸÀÆjUÉ ºÉÇÃUÀ®Ä £À£ÀUÉ PÁ¬ÄÝj¹zÀ nPÉmï zÉÆgÉAiÀħºÀÅzÉAzÀÄ ¤jÃPÉë ªÀiÁqÀ ÁUÀzÀÄ.

7. F ¢£À ªÀÄ¼É ©Ã¼ÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ ºÉZÁÑVzÉ.

PÉÆ£ÉAiÀÄ 4 ºÉýPÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÉÆzÀ® ªÀÄÆgÀÄ ºÉýPÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ JAvÀºÀ ªÀåvÁå¸ÀªÀ£ÀÄß PÁtÄ«j?

ªÉÆzÀ® ªÀÄÆgÀÄ ºÉýPÉUÀ¼ÀÄ ÀàµÀÖvɬÄAzÀ PÀÆrzÀ, ¤¢ðµÀÖªÁzÀ ºÉýPÉUÀ¼ÁVªÉ. DzÀgÉ PÉÆ£ÉAiÀÄ £Á®Ä̺ÉýPÉUÀ¼À WÀl£ÉUÀ¼À ÀA¨sÀ«¸ÀÄ«PÉAiÀÄÄ ÀA±ÀAiÀiÁ¸ÀàzÀªÁVzÉ.

1, 2 ªÀÄvÀÄÛ 3£Éà ºÉýPÉUÀ¼ÀÄ zÀÈqsÀ«±Áé¸ÀzÀ ºÉýPÉUÀ¼ÀÄ DzÀ PÁgÀt, 4, 5, 6 ªÀÄvÀÄÛ 7£Éà ºÉýPÉUÀ¼ÀÄH»¸À ÁUÀzÀ ºÉýPÉUÀ¼ÀÄ.

ºÉýPÉ 1 gÀ°è ¤ÃqÀ ÁzÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß JµÀÄÖ ¨Áj ¤ªÀð»¹zÀgÀÆ, AiÀiÁªÁUÀ®Æ MAzÉà jÃwAiÀÄ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀæzÀ²ð¸ÀÄvÀÛzÉ. CxÀªÁ EzÀÄ ¤¢ðµÀÖªÁV H»¸À§ºÀÅzÁzÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÁVzÉ. EzÉêÁzÀªÀÅ ºÉýPÉ 2 ªÀÄvÀÄÛ 3 PÀÆÌ ¸Àj ºÉÇAzÀÄvÀÛzÉ.

ªÀÄvÉÆÛAzÉqÉ, ÀÆAiÀÄð UÀæºÀtzÀ «ÃPÀëuÉAiÀÄÄ ÁzsÀåªÁUÀ§ºÀÅzÀÄ CxÀªÁ ÁzsÀåªÁUÀzÉà EgÀ§ºÀÅzÀÄ.

QæPÉmï ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß H»¸À ÁUÀzÀ DlªÁVzÉ. CvÀÄåvÀÛªÀÄ ¨ÁåmïìªÀÄ£ï ªÉÆzÀ®£Éà ZÉArUÉ OmïDUÀ§ºÀÅzÀÄ. CxÀªÁ CvÀÄåvÀÛªÀÄ Ë®gï MAzÉà MAzÀÄ «PÉlÖ£ÀÆß ¥ÀqÉAiÀÄ¢gÀ§ºÀÅzÀÄ. DzÀÝjAzÀ, vÀAqÀªÀÅ¥ÀAzÀåªÀ£ÀÄß Uɮ觺ÀÅzÀÄ CxÀªÁ UÉ®è¢gÀ§ºÀÅzÀÄ. EzÉà jÃwAiÀÄ ªÁzÀªÀÅ 6 ªÀÄvÀÄÛ 7£Éà ºÉýPÉUÀ½UÀÆC£ÀéAiÀĪÁUÀÄvÀÛzÉ.

CªÀPÁ±À, §ºÀűÀB, ÁzsÀåvÉ, ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄ, ÀA¨sÁªÀå ..... EvÁå¢ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ¤¢ðµÀÖ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ÀA sÀ«¸ÀĪÀ§UÉÎ C¤²ÑvÀ ¥ÀæeÉÕAiÀÄ CxÀðªÀ£ÀÄß ÀÆa¸ÀÄvÀÛªÉ. EAvÀºÀ C¤²ÑvÀvÉAiÀÄ£ÀÄß w½¸ÀĪÀ ¤RgÀªÁzÀ C¼ÀvÉ EgÀĪÀÅ¢®è.

DzÀgÉ PÉ®ªÀÅ ¤§AzsÀ£ÉUÀ¼À DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ É ªÀi˯ÁåAPÀ£ÀzÀ°è WÀl£ÉUÀ¼À RavÀvÉAiÀÄ ªÀÄlÖªÀ£ÀÄß ÉPÁÌZÁgÀªÀiÁqÀĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß UÀtÂvÀzÀ°è ºÉÇA¢zÉÝêÉ.

C¤²ÑvÀ WÀl£ÉUÀ¼À C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃqÀĪÀ UÀtÂvÀ ±Á¸ÀÛçzÀ «¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ vÀvÀé J£ÀÄßvÉÛêÉ.

F vÀvÀéªÀÅ ÀASÁå±Á¸ÀÛçzÀ°è MAzÀÄ ªÀÄÆ®¨sÀÆvÀ ÁzsÀ£ÀzÀAvÉ, « ÀÛøvÀ G¥ÀAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ºÉÇA¢zÉ. ªÀÄvÀÄÛ¨sËvÀ «eÁÕ£ÀUÀ¼À°è, JAf¤AiÀÄjAUï£À°è, fêÀ «eÁÕ£ÀzÀ°è, ªÉÊzÀå «eÁÕ£ÀUÀ¼À°è, ªÁtÂdå ±Á¸ÀÛçzÀ°è, ºÀªÁªÀiÁ£ÀªÀÄÄ£ÀÆìZÀ£ÉUÀ¼À°è «±Á® ªÁå¦ÛAiÀÄ C£ÀéAiÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢zÉ.

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 95

EzÀ£ÀÄß w½¬Äj : "¸ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ EwºÁ¸À" : "¸ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ" JA§ ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄÄ CvÀåAvÀ« ÀäAiÀÄ jÃwAiÀÄ°è C©üªÀÈ¢ÞAiÀiÁ¬ÄvÀÄ. 1654gÀ°è, ZɪÀ ÉÊgï r ªÉÄj JA§ dÆdÄUÁgÀ£ÀÄ 17£ÉñÀvÀªÀiÁ£ÀzÀ ¥sÉæAZï vÀvÀéeÁÕ¤ ªÀÄvÀÄÛ UÀtÂvÀdÕgÁzÀ ÉèÃ¸ï ¥Áå¸À̯ïgÀªÀgÀ£ÀÄß zÁ¼ÀUÀ½UÉ ÀA§A¢ü¹zÀPÉ®ªÀÅ ÀªÀÄ ÉåUÀ½UÁV sÉÃn ªÀiÁrzÀ£ÀÄ. ªÀÄvÉÆۧ⠥sÉæAZï UÀtÂvÀdÕgÁzÀ ¥ÉÊjæ rà ¥sÀªÀiÁðmïgÉÆA¢UÉ¥Áå¸À̯ïgÀªÀgÀÄ F ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß ZÀað¹zÀgÀÄ. CªÀgÀÄ zÁ¼ÀzÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ½UÉ ¥ÀjºÁgÀªÀ£ÀÄßPÀAqÀÄ»rzÀgÀÄ. F PÁAiÀÄðªÀÅ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ vÀvÀézÀ DgÀA©üPÀ ºÉeÉÓAiÀiÁVzÉ. ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄdÆeÁlzÉÆA¢UÉ ¥ÁægÀA sÀªÁzÀgÀÆ, ¥Àæ ÀÄÛvÀ CzÀÄ UÀtÂvÀzÀ C£Àé¬ÄPÀ ±ÁSÉAiÀiÁV J¯Áè ªÉÊeÁÕ¤PÀªÀÄvÀÄÛ ¤vÀåfêÀ£ÀzÀ À¤ßªÉñÀUÀ¼À°è ºÁ¸ÀĺÉÇPÁÌVzÉ.

El°AiÀÄ UÀtÂvÀdÕgÁzÀ eÉ. PÁqÁð£ï (Qæ.±À. 1501 jAzÀ 1576) gÀªÀgÀÄ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ «µÀAiÀÄzÀ §UÉθÁzsÀåvÉAiÀÄ DlUÀ¼À ªÉÄð£À ¥ÀŸÀÛPÀ Book on Games of chance JA§ ²Ã¶ðPÉAiÀÄ ªÉÆlÖ ªÉÆzÀ®ºÉÇwÛUÉAiÀÄ£ÀÄß §gÉzÀgÀÄ. ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ vÀvÀ ézÀ C©üªÀÈ¢ÞUÉ PÉÆqÀÄUÉ ¤ÃrzÀ UÀtÂvÀdÕgÉAzÀgÉ,eÉ. §£Ëð°, ¦. Áå¥Áè ï, J.J. ªÀiÁPÉÆÃðªï ªÀÄvÀÄÛ J.J£ï. PÉÆêÉÆÃUÉÆêïð.

J.J£ï. PÉÆêÉÆÃUÉÆêïð JA§ gÀµÁåzÀ UÀtÂvÀdÕgÀÄ UÀtUÀ¼À vÀvÀéªÀ£ÀÄß §¼À ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉUÉDzsÀĤPÀ ¥ÀzÀÞwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjZÀ¬Ä¹zÀgÀÄ.

F WÀlPÀzÀ°è £ÁªÀÅ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ vÀvÀézÀ §UÉÎ ºÉZÀÄÑ w½AiÉÆÃt.

WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ ÁzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjªÀiÁuÁvÀäPÀªÁV C©üªÀåQÛUÉƽ¸ÀĪÀÅzÀPÉÌ " ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ" J£ÀÄßvÉÛêÉ.

EzÀÄ C¤²ÑvÀvÉAiÀÄ ªÀÄlÖªÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀ PÁgÀt, MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA sÀ« ÀĪÀ ¤²ÑvÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ÁATåPÀªÁVC¼ÉAiÀÄĪÀ ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀiÁVzÉ.

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß CjAiÀÄ®Ä JgÀqÀÄ ¥ÀzÀÞwUÀ½ªÉ.

Probability

Experimental probability Theoretical probability

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉUÉ ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ ¥ÀzÀÞw :

WÀl£ÉUÀ¼À ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ, ºÉ ÀgÉà ºÉüÀĪÀAvÉ £ÉÊdªÁzÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼À ¥sÀ°vÁA±À

ªÀÄvÀÄÛ £ÀqÉAiÀÄÄwÛgÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ zÁR°ÃPÀgÀtªÁVzÉ.

F ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß CxÉÊð¹PÉƼÀî®Ä PÉ®ªÀÅ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼À£ÀÄß £Àqɹ, CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÉÆÃt.

ÉèÃ¸ï ¥Áå ÀÌ ï

¥ÉÊjæ rà ¥sÀªÀiÁðmï

¥ÁæAiÉÆÃVPÀ ¸ÀA¨sÀ¤ÃAiÀÄvÉ

CxÀªÁ

C£ÀĨsÀªÀ ªÉÃzÀå ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

EzÀÄ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ C£ÀĨsÀªÀUÀ¼ÀDzsÁjvÀªÁVzÉ.

¸ÉÊzÁÞAwPÀ ¸ÀA¨sÀ¤ÃAiÀÄvÉ

CxÀªÁ

±Á¹ÛçÃAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

EzÀÄ ªÉÊeÁÕ¤PÀ «ZÁgÀUÀ¼À DzsÁjvÀªÁVzÉ.

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

96 WÀlPÀ-5

ZÀlĪÀnPÉ 1 : MAzÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ£ÀÄß 4 CxÀªÁ 5 «zÁåyðUÀ¼À UÀÄA¥ÀÅUÀ¼À£ÁßV «AUÀr¹. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀÄA¥ÀÅ

MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß 20 ¨Áj a«Ää ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÄAzÉ ¤ÃqÀ ÁzÀ CA±ÀUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ «ÃPÀëuÉUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ

PÉÆõÀÖPÀzÀ°è zÁR°¸À°. J¯Áè UÀÄA¦£ÀªÀgÀÄ MAzÉà ªÀÄÄR¨É ÉAiÀÄ vÀzÀÆæ¦ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß §¼À ÀĪÀAvÉ ÀÆa¹.

* ²gÀªÀÅ (Head) ªÉÄîÄäRªÁV §gÀĪÀ ¸ÀASÉå

* ¥ÀÄZÀÒªÀÅ (Tail) ªÉÄîÄäRªÁV §gÀĪÀ ¸ÀASÉå

* ²gÀªÀÅ ªÉÄîÄäRªÁV WÀn¸ÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ £Átå aªÀÄÄä«PÉAiÀÄ MlÄÖ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À C£ÀÄ¥ÁvÀ.

* ¥ÀÄZÀÒªÀÅ ªÉÄîÄäRªÁV §gÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ £Átå aªÀÄÄä«PÉAiÀÄ MlÄÖ ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À C£ÀÄ¥ÁvÀ.

F CA±ÀUÀ½AzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà wêÀiÁð£ÀPÉÌ §gÀ®Ä ÁzsÀåªÉà ? UÀÄA¦£À°è ZÀað¹.

C£ÉÃPÀ UÀtÂvÀdÕgÀÄ £ÀqɹzÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ (£Átå aªÀÄÄä«PÉ) ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀĪÀ PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß PɼÀUÉ

¤ÃqÀ ÁVzÉ. CzÀ£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr.

UÀtÂvÀdÕgÀ ºÉ ÀgÀÄ aªÀÄÄä«PÉAiÀÄ ²gÀªÀÅ (Head)

MlÄÖ ¸ÀASÉå ªÉÄîÄäRªÁV

©Ã¼ÀĪÀ ¸ÀASÉå

PÁªÉÄÖ rà §¥Áá£ï 4040 2048 0.507

eÉ.F. PÉjæZï 10,000 5067 0.5067

PÁ¯ïð ¦AiÀÄgï¸À£ï 24,000 12,012 0.5005

ªÉÄð£À ¥ÀnÖ¬ÄAzÀ PÀAqÀħgÀĪÀÅzÉãÉAzÀgÉ, £ÁtåzÀ aªÀÄÄä«PÉUÀ¼À MlÄÖ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉaÑ ÀÄvÁÛ ºÉÇÃzÀAvÉ,©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ ÀASÉåAiÀÄÄ 0.5PÉÌ À«ÄÃ¥ÀªÁUÀÄvÀÛzÉ.

DzÀÝjAzÀ, MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß a«ÄäzÁUÀ, ²gÀªÀÅ (Head) WÀn¸ÀĪÀ ÁzsÀåvÉ CxÀªÁ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ0.5 DVgÀÄvÀÛzÉAiÉÄAzÀÄ wêÀiÁð¤¸À§ºÀÅzÀÄ.

ªÉÄð£À ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ°è £ÁtåzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ aªÀÄÄä«PÉAiÀÄ£ÀÄß "AiÀÄvÀß" (trial) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

F PɼÀV£ÀAvÉ, ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ CxÀªÁ C£ÀÄ sÀªÀ ªÉÃzÀå ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¤gÀƦ À§ºÀÅzÀÄ

C£ÀĨsÀªÀ ªÉÃzÀåP(E) =

WÀl£É ¸ÀA¨sÀ«¹zÀ AiÀÄvÀßUÀ¼À ¸ÀASÉå

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ, AiÀÄvÀßUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå

£Átå aªÀÄÄä«PÉUÉ ÀªÀÄgÀƦAiÀiÁzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß zÁ¼À GgÀĽ ÀĪÀÅzÀjAzÀ £ÀqÉ À§ºÀÅzÀÄ.

ZÀÄQÌUÀ½AzÀ CxÀªÁ ¥Àæw ªÀÄÄRzÀ ªÉÄÃ É MAzÀÄ ¸ÀASÉå §gÀĪÀAvÉ 1 jAzÀ 6 gÀ ªÀgÉV£À CAQUÀ½AzÀUÀÄgÀÄvÀÄ ªÀiÁqÀ ÁzÀ ZËPÀ ªÀÄÄRUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ ºÉZÀÄÑ ¸ÀªÀÄvÉÆðvÀ WÀ£ÀªÀ£ÀÄß "zÁ¼À" (die) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

²gÀªÀÅ ªÉÄîÄäRªÁV ©Ã¼ÀĪÀ ¸ÀASÉå

£Átå aªÀÄÄä«PÉAiÀÄ MlÄÖ

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 97

ZÀlĪÀnPÉ 2 : 4 CxÀªÁ 5 «zÁåyðUÀ¼À ÀtÚ UÀÄA¥ÀÅUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀÄA¥ÀÅ MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß 50¨Áj GgÀĽ¸À°. PɼÀUÉ PÉÆõÀÖPÀzÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ «ÃPÀëuÉUÀ¼À£ÀÄß zÁR°¹.

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ UÀÄA¦£À°è, P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), ªÀÄvÀÄÛ P(6) UÀ¼À É ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

P(1) JAzÀgÉ, MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß GgÀĽ¹zÁUÀ 1 JA§ CAQAiÀÄÄ ªÉÄîÄäRªÁV PÁt¹PÉÆAqÀÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ.

P(1) = 1 ªÄÉ Ã®ÄäRªÁV PÁt¹Â PÆÉ Aq À ¸AÀ SÉå

zÁ¼ªÀ £À ÀÄß GgÄÀ ½¹z À MlÄÖ ¸AÀ SÉ å

EzÉà jÃw, ÉÃgÉ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉUÀ¼À£ÀÄß ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀÄvÁÛgÉ.

ªÉÄð£À ZÀlĪÀnPɬÄAzÀ w½zÀÄ §gÀĪÀ CA±ÀªÉãÀÄ? UÀÄA¦£À°è ZÀað¹.

zÁ¼ÀzÀ J¸ÉAiÀÄÄ«PÉAiÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉaѹzÀAvÉ, ¥Àæw ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ É ÉAiÀÄÄ 1

6PÉÌ À«ÄÃ¥ÀªÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ

PÀAqÀħgÀÄvÀÛzÉ. EzÀgÀ CxÀðªÉãÉAzÀgÉ, 1 jAzÀ 6 gÀ ªÀgÉV£À CAQUÀ¼ÀÄ ¸ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄÄ 1

6

DVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀ PÁgÀt, C£ÀĨsÀªÀ ªÉÃzÀå CxÀªÁ ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ £ÀqɹzÀ AiÀÄvÀßUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛCAvÀºÀ AiÀÄvÀßUÀ¼À°è ªÉÄîÄäRªÁV PÁtĪÀAvÉ, JµÀÄÖ ¨Áj ºÉÇgÀ ºÉǪÀÄÄävÀÛzÉAiÉÆà D ¸ÀASÉåAiÀÄ ªÉÄà ÉCªÀ®A©¹gÀÄvÀÛzÉ.

w½¢j : MAzÀÄ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ°è, AiÀiÁzÀÈaÒPÀ aªÀÄÄä«PÉÀ CxÀªÁ zÁ¼ÀzÀ J¸ÉAiÀÄÄ«PÉ JA§ ¥ÀzÀ¥ÀÅAdªÀ£ÀÄߧ¼À ÀÄvÉÛêÉ. AiÀiÁzÀÈaÒPÀ aªÀÄÄä«PÉ CxÀªÁ J¸ÉAiÀÄÄ«PÉ JAzÀgÉ, MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß CxÀªÁ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄ߸ÀévÀAvÀæªÁV/¤§ðAzsÀ«®èzÉ ©Ã¼À®Ä ©qÀĪÀÅzÀÄ.

F CzsÁåAiÀÄzÀ°è, ¥Àæ ÁÛ¥ÀªÁVgÀ° CxÀªÁ DV®è¢gÀ°, MAzÀÄ «gÀÆ¥ÀUÉÆArgÀzÀ £ÁtåªÀ£ÀÄß CxÀªÁ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄßAiÀiÁzÀÈZÀÒPÀªÁV J¸ÉAiÀįÁVzÉ JAzÀÄ ¥ÀjUÀt À®àqÀÄvÀÛzÉ.

UÀÄA¥ÀÄzÁ¼ÀªÀÅ GgÀĽzÀ

¸ÀASÉå

F ¸ÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÉÄîÄäRªÁV PÁt¹PÉÆAqÀ ¸ÀASÉå

1 2 3 4 5 6

A

B

C

D

98 WÀlPÀ-5

¤zÀ±Àð£ÁvÀäPÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

GzÀºÁgÀuÉ 1. PɼÀV£À DªÀÈwÛUÀ¼ÀAvÉ, «gÀÆ¥ÀUÉÆArgÀzÀ MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß 1000 ¨Áj aªÀÄä¯ÁVzÉ.

²gÀ (Head) = 455 ¥ÀÄZÀÒ (Tail) = 545

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¯ÉQ̹. (i) P(H) (ii) P(T)

¥ÀjºÁgÀ : (i) P(H) =

²gªÀ ÅÀ ªÄÉ Ã®ÄäRªÁV PÁt¹PÆÉ Aq À ¸AÀ SåÉ

AiÄÀ vßÀ U¼À À MlÄÖ ¸AÀ SåÉ =

455

1000 = 0.455

(ii) P(T) = ¥ÄÀ ZÒÀ ªÀÅ ªÄÉ Ã®ÄäRªÁV PÁt¹Â PÆÉ Aq À ¸AÀ SÉå

AiÄÀ vßÀ U¼À À MlÄÖ ¸AÀ SåÉ =

545

1000 = 0.545

GzÀºÁgÀuÉ 2. JgÀqÀÄ «gÀÆ¥ÀUÉÆArgÀzÀ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß KPÀPÁ®zÀ°è 500 ¨Áj aªÀÄä¯ÁVzÉ. JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼ÀÄ

105 ¨Áj, MAzÀÄ ²gÀ 275 ¨Áj, ²gÀªÀ®èzÀÄÝ 120 ¨Áj zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ

WÀl£ÉAiÀÄÄ WÀn¸ÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 2H

105P 0.21

500

H

275P 0.55

500

P (²gÀªÀ®èzÀÄÝ) =120

0.24500

GzÀºÁgÀuÉ 3. ºÀªÁªÀiÁ£À E¯ÁSÉAiÀÄ zÁR¯ÉAiÀÄÄ vÉÆÃj ÀĪÀAvÉ, PÀ¼ÉzÀ 250 C£ÀÄPÀæªÀÄ ¢£ÀUÀ¼À°è, 175 ¢£ÀUÀ¼À

ºÀªÁªÀiÁ£À ªÀÄÄ£ÀÆìZÀ£ÉAiÀÄÄ ¸ÀjAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

(i) zÀvÀÛ ¢£ÀUÀ¼À°è ¸ÀjAiÀiÁzÀ ªÀÄÄ£ÀÆìZÀ£É ¤ÃrzÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

(ii) zÀvÀÛ ¢£ÀUÀ¼À°è vÀ¥ÀÅà ªÀÄÄ£ÀÆìZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃrzÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ :

P (zÀvÀÛ ¢£ÀzÀAzÀÄ ÀjAiÀiÁV ¤ÃrzÀ ªÀÄÄ£ÀÆìZÀ£É) = ¸jÀ AiÀiÁz À ºÀªÁªiÀ Á£ À ª ÀÄÄ£ÆÀ Zì À£ É ¤Ãrz À ¢£ÀU¼À À ¸AÀ SåÉ

zÁR¯AÉ iÀÄÄ zÆÉ gAÉ iÀÄĪ À MlÄÖ ¢£ÀU¼À À ¸ÀASåÉ

= 175

250 = 0.7

ºÀªÁªÀiÁ£À ªÀÄÄ£ÀÆìZÀ£É ¸ÀjAiÀiÁVgÀzÀ ¢£ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå = 250 – 175 = 75

P (zÀvÀÛ ¢£ÀzÀAzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁV ¤ÃqÀzÀ ªÀÄÄ£ÀÆìZÀ£É) = 75

250 = 0.3

GzÀºÁgÀuÉ 4. MAzÀÄ mÉÊgï vÀAiÀiÁjPÁ PÀA¥À¤AiÀÄÄ, mÉÊgï §zÀ Á¬Ä¸ÀĪÀ ªÀÄÄ£Àß, PÀæ«Ä¹zÀ zÀÆgÀzÀ zÁR ÉAiÀÄ£ÀÄß

¸ÀAUÀ滹zÉ. 1000 ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PɼÀPÀAqÀ PÉÆõÀÖPÀzÀ°è vÉÆÃj¸À¯ÁVzÉ.

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 99

PÀæ«Ä¹zÀ zÀÆgÀ 4000QÌAvÀ 4000¢AzÀ 9001 jAzÀ 14000 QÌAvÀ

(Q. «ÄÃ.UÀ¼À°è) PÀrªÉÄ 9000 14000 ºÉZÀÄÑ

DªÀÈwÛ 20 210 325 445

F PÀA¥À¤AiÀÄ mÉÊgÀ£ÀÄß PÉƼÀÄîªÀÅzÁzÀgÉ, PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

(i) 4000 km PÀæ«Ä¸ÀĪÀ ªÀÄÄ£Àß mÉÊgÀ£ÀÄß §zÀ¯Á¬Ä¸À¨ÉÃPÁzÀ CªÀ±ÀåPÀvÉ.

(ii) 9000 km UÀÆ ºÉZÀÄÑ ¨Á½PÉ §gÀÄvÀÛzÉ.

(iii) 4000 km ªÀÄvÀÄÛ 14000 Q.«ÄÃ. UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ PÀæ«Ä¹zÁUÀ mÉÊgÀ£ÀÄß §zÀ¯Á¬Ä¸À¨ÉÃPÁzÀ

CªÀ±ÀåPÀvɬÄgÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ: AiÀÄvÀßUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå = 1000

(i) 4000 km PÀæ«Ä¸ÀĪÀ ªÀÄÄ£Àß mÉÊgï §zÀ Á¬Ä¸À ÉÃPÁzÀ CªÀ±ÀåPÀvɬÄgÀĪÀ DªÀÈwÛ =20

P (4000 km PÀæ«Ä¸ÀĪÀ ªÀÄÄ£Àß mÉÊgï §zÀ Á¬Ä¸À ÉÃPÁzÀ ¸ÁzsÀåvÉ) = 20

1000 = 0.02

(ii) 9000 km VAvÀ ºÉZÀÄÑ PÀæ«Ä¹zÀ £ÀAvÀgÀ, ¤µÀàçAiÉÆÃdPÀªÁUÀĪÀ mÉÊgÀÄUÀ¼À DªÀÈwÛ = 325 + 445 = 770

P(9000 km VAvÀ ºÉZÀÄÑ zÀÆgÀ ¨Á½PÉ §gÀĪÀ mÉÊgÀÄUÀ¼ÀÄ) =770

1000 = 0.77

(iii) 4000 km ªÀÄvÀÄÛ 14000 kmUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ PÀæ«Ä¹zÁUÀ mÉÊgÀÄUÀ¼À §zÀ ÁªÀuÉUÉ CUÀvÀåªÉ¤¹zÀ

DªÀÈwÛ = 210 + 325 = 535

P (4000 km ªÀÄvÀÄÛ 9000 km UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ mÉÊgÀÄUÀ¼À §zÀ¯ÁªÀuÉ §AiÀĸÀĪÀ ¸ÁzsÀåvÉ)

= 535

1000 = 0.535

GzÀºÁgÀuÉ 5. ªÉƼÀPÉAiÉÆqÉAiÀÄ®Ä C£ÀÄPÀÆ®PÀgÀªÁzÀ ¤¢ðµÀÖ ¥Àj¹ÜwAiÀÄ°è EqÀ¯ÁzÀ 5 aîUÀ½AzÀ,

¥ÀæwAiÉÆAzÀgÀ®Æè 50 ©ÃdUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀ¯ÁVzÉ. 20 ¢£ÀUÀ¼À £ÀAvÀgÀ, ¥Àæw ÀAUÀæºÀzÀ°è

ªÉƼÀPÉAiÉÆqÉzÀ ©ÃdUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PɼÀPÀAqÀAvÉ zÁR°¹zÉ.

aî 1 2 3 4 5

ªÉƼÀPÉAiÉÆqÉzÀ ©ÃdUÀ¼À ¸ÀASÉå 40 48 42 39 41

PɼÀUÉ ¸ÀÆa¹gÀĪÀAvÉ ©ÃdUÀ¼ÀÄ ªÉƼÀPÉAiÉÆqÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ ?

(i) MAzÀÄ aîzÀ°è, 40 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ©ÃdUÀ¼ÀÄ

(ii) MAzÀÄ aîzÀ°è 49 ©ÃdUÀ¼ÀÄ

(iii) MAzÀÄ aîzÀ°è 35 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ©ÃdUÀ¼ÀÄ

100 WÀlPÀ-5

¥ÀjºÁgÀ : aîUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå = 5

(i) 50 ©ÃdUÀ¼À°è 40QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ªÉƼÀPÉAiÉÆqÉzÀ ©ÃdUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ aîUÀ¼À ÀASÉå = 3

P(MAzÀÄ aîzÀ°è£À 40QÌAvÀ ºÉaÑ£À ©ÃdUÀ¼À ªÉƼÉAiÀÄÄ«PÉ) = 3

0.65

(ii) 49 ©ÃdUÀ¼ÀÄ ªÉƼÀPÉAiÉÆqÉ¢gÀĪÀ aîUÀ¼À ¸ÀASÉå = 0

P(MAzÀÄ aîzÀ°è£À 49 ©ÃdUÀ¼À ªÉƼÉAiÀÄÄ«PÉ) = 0

5 = 0

(iii) 35 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ©ÃdUÀ¼ÀÄ ªÉƼÀPÉAiÉÆqÉ¢gÀĪÀ aîUÀ¼À ¸ÀASÉå = 5

P(35 QÌAvÀ ºÉaÑ£À ©Ãd ªÉƼÉAiÀÄÄ«PÉ) = 5

5 = 1

MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 0 ¬ÄAzÀ 1gÀ ªÀgÉV£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©ü£ÀßgÁ²AiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ. (0 ªÀÄvÀÄÛ 1£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀAvÉ)

C¨sÁå¸À 5.1

1. PÀÄA¢®èzÀ MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß 1000 ¨Áj J¸ÉAiÀįÁVzÉ. 1,2,3,4,5 ªÀÄvÀÄÛ 6 ¥sÀ°vÀUÀ¼À DªÀÈwÛUÀ¼À£ÀÄß

PɼÀV£À ¥ÀnÖAiÀÄ°è PÉÆqÀ ÁVzÉ.

¥sÀ°vÀ 1 2 3 4 5 6

DªÀÈwÛ 179 150 157 149 175 190

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥sÀ°vÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

2. ZÁ®PÀ£À ªÀAiÀĸÀÄì ªÀÄvÀÄÛ C¥ÀWÁvÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä «ªÀiÁ PÀA¥À¤AiÉÆAzÀÄ,2000 ZÁ®PÀgÀ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁrvÀÄ. (AiÀiÁªÀÅzÉà ZÁ®PÀ¤UÉ AiÀiÁªÀÅzÉà DzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃqÀzÉ)¥ÀqÉAiÀįÁzÀ zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄÄA¢£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è ¤ÃqÀ ÁVzÉ

ZÁ®PÀgÀ ªÀAiÀĸÀÄì MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ¯ÁèzÀ C¥ÀWÁvÀUÀ¼ÀÄ

(ªÀµÀðUÀ¼À°è) 0 1 2 3 3 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ

18 - 29 440 160 110 61 35

30 - 50 505 125 60 22 18

50 QÌAvÀ ªÉÄîàlÄÖ 360 45 35 15 09

(i) 18 jAzÀ 29 ªÀµÀðzÀ ªÀAiÀĹì£ÀªÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ°è ¤¢ðµÀÖªÁV 3 C¥ÀWÁvÀUÀ½UÉM¼ÀUÁzÀªÀgÀÄ.

(ii) 30-35 ªÀµÀðzÀ ªÀAiÀĹì£ÀªÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ°è MAzÀÄ CxÀªÁ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ C¥ÀWÁvÀPÉÌM¼ÀUÁzÀªÀgÀÄ.

(iii) 50 ªÀµÀðQÌAvÀ ªÉÄîàlÖªÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ªÀµÀðzÀ°è AiÀiÁªÀÅzÉà C¥ÀWÁvÀPÉÌ M¼ÀUÁUÀzÀªÀgÀÄF WÀl£ÉUÀ¼À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 101

3. 10£Éà vÀgÀU ÀwAiÀÄ 30 «zÁåyðUÀ¼ À gÀPÀ ÛzÀ UÀÄA¥ÀÅU À¼À£ÀÄß P ɼÀPÀAqÀAvÉ zÁR°¸À¯ÁVzÉ.A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O.

F vÀgÀUÀwAiÀÄ M§â «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV DAiÉÄÌ ªÀiÁrzÁUÀ, AB gÀPÀÛzÀ UÀÄA¥À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

4. ¸ÀAVÃvÀ «µÀAiÀÄPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ C©ü¥ÁæAiÀĪÀ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä, 200 «zÁåyðUÀ¼À ªÉÄÃ É MAzÀĸÀ«ÄÃPÉëAiÀÄ£ÀÄß £ÀqÉ À Á¬ÄvÀÄ. D zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÉÆõÀÖPÀzÀ°è zÁR°¸À ÁVzÉ.

(i) EaÒ¸ÀĪÀAvÉ

(ii) EaÒ¸ÀzÀAvÉ EgÀĪÀ AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV DAiÉÄ̪ÀiÁqÀ ÁzÀ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄßPÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. 850 zÀÄrAiÀÄĪÀ ªÀÄ»¼ÉAiÀÄgÀ MAzÀÄ À«ÄÃPÉëAiÀÄÄ vÉÆÃj¸ÀĪÀAvÉ, 158 d£ÀgÀÄ vÀªÀÄä PÁAiÀÄð PÉëÃvÀæªÀ£ÀÄßvÀ®Ä¥À®Ä ¸ÀéAvÀ £Á®ÄÌ ZÀPÀæzÀ ªÁºÀ£ÀUÀ¼À°è ¸ÁUÀÄvÁÛgÉ. 416 d£ÀgÀÄ ¢éZÀPÀæ ªÁºÀ£ÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À ÀÄvÁÛgÉ.G½zÀªÀgÀÄ ÁªÀðd¤PÀ ÁjUÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À ÀÄvÁÛgÉ. F ªÀÄ»¼ÉAiÀÄgÀ°è M§âgÀ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj¹zÉÝÃDzÀgÉ,

(i) ¸ÀéAvÀ £Á®ÄÌ ZÀPÀæzÀ ªÁºÀ£ÀUÀ¼ÀÄ (ii) ¢é ZÀPÀæ ªÁºÀ£ÀUÀ¼ÀÄ

(iii) ¸ÁªÀðd¤PÀ ¸ÁjUÉAiÀÄ°è ¸ÁUÀĪÀ ªÀÄ»¼ÉAiÀÄgÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

6. ºÀ½îAiÉÆAzÀgÀ°è 200 d£ÀjUÉ MAzÀÄ ¸À«ÄÃPÉëAiÀÄ£ÀÄß £ÀqÉ À Á¬ÄvÀÄ. M§â ªÀåQÛAiÀÄÄ JµÀÄÖ Áj £ÀUÀgÀPĘ́ÉÃn ¤ÃrzÀgÀÄ JA§ÄzÀgÀ §UÉÎ zÀvÁÛA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PɼÀUÉ vÉÆÃj¸À ÁVzÉ.

£ÀUÀgÀPÉÌ ¨ÉÃn wAUÀ½UÉ 15 ¢£ÀUÀ½UÉ ªÁgÀPÉÌ

MAzÀÄ Áj MAzÀÄ Áj MAzÀÄ Áj

DªÀÈwÛ 32 128 40

AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV DAiÉÄÌAiÀiÁzÀ M§â ªÀåQÛAiÀÄÄ (i) wAUÀ½UÉƪÉÄä (ii) 15 ¢£ÀUÀ½UÉƪÉÄä(iii) ªÁgÀPÉÆ̪ÉÄäAiÀÄAvÉ, £ÀUÀgÀPÉÌ ¨sÉÃn ¤ÃrzÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉUÉ ¸ÉÊzÁÞAwPÀ ¥ÀzÀÞw :

¸ÉÊzÁÞAwPÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ°è, £ÉÊdªÁV ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß £ÀqÉ ÀzÉ ªÀÄÄAzÉ K£ÁUÀĪÀÅzÉAzÀÄ H»¸À®Ä¥ÀæAiÀÄw߸ÀÄvÉÛêÉ.

¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ AiÀÄvÀßUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ Cwà ºÉZÁÑzÀgÉ, ¥ÁæAiÉÆÃVPÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ CzÀgÀ ¸ÉÊzÁÞAwPÀ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß À«Äæ¸ÀÄvÀÛzÉ.

JgÀqÀÆ ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À°è, ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ ¥sÀ°vÀªÉà DVgÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß £ÁªÀÅ ¥ÀjUÀt ÀÄvÉÛêÉ. ¥ÀæAiÉÆÃU À(Experiment) JAzÀgÉ, ¤¢ðµÀÖªÁzÀ ¥sÀ°vÀ CxÀªÁ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß GAlÄ ªÀiÁqÀĪÀ QæAiÉÄAiÀiÁVzÉ.

C©ü¥ÁæAiÀÄ «zÁåyðUÀ¼À ÀASÉå

EaÒ ÀĪÀ 135

EaÒ ÀzÀ 65

102 WÀlPÀ-5

£ÁªÀÅ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÄ «zsÀUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÉÛêÉ.

«eÁÕ£À ªÀÄvÀÄÛ JAf¤AiÀÄjAUïUÀ¼À°è, vÀzÀÆæ¥À ¥Àj¹ÜwUÀ¼À°è ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁzÁUÀ, ¥Àæw¨ÁjAiÀÄÆ MAzÉà jÃwAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ. EAvÀºÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼Éà RavÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ.

UÀtÂvÀzÀ°è, £ÁªÀÅ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ ªÀiÁvÀæ ªÀåªÀºÀj¸ÀÄvÉÛêÉ.AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ (Random experiment) :

¤RgÀªÁzÀ ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄß H»¸À ÁUÀ¢gÀĪÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀ J£ÀÄßvÉÛêÉ. DzÀgÀÆAiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ J¯Áè ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀ§ºÀÅzÀÄ.

EzÀÄ vÀzÀÆæ¥À ¥Àj¹ÜwUÀ¼À°è ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥Àæw ¸À®ªÀÇ MAzÉà jÃwAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄßGAlĪÀiÁqÀzÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÁVzÉ. DzÀgÉ AiÀÄvÀßzÀ°è£À ¥sÀ°vÀUÀ¼ÉAzÀgÉ, CzÀÄ C£ÉÃPÀ ¸ÁzsÀåvÉUÀ¼À ¥sÀ°vÀUÀ¼À°èMAzÁVzÉ.

DzÀÝjAzÀ, MAzÀÄ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀÅ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÉAzɤ À ÉÃPÁzÀgÉ, CzÀÄ PɼÀV£À JgÀqÀÄ ¤§AzsÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄßvÀȦۥÀr À ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. CªÀÅUÀ¼ÉAzÀgÉ,

(i) EzÀÄ MAzÀQÌAvÀ ºÉZÀÄÑ ¸ÁzsÀåªÁUÀĪÀ ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀÄvÀÛzÉ.(ii) ªÀÄÄAavÀªÁVAiÉÄà ¥sÀ°vÀªÀ£ÀÄß H»¸À®Ä C¸ÁzsÀå.£ÁªÀÅ F WÀlPÀzÁzÀåAvÀ, PÉêÀ® AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ZÀað¸ÀÄvÉÛêÉ. DzÀ PÁgÀt F

WÀlPÀzÀ°è ¥ÀæAiÉÆÃUÀ JA§ ¥ÀzÀªÀÅ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£Éßà ¥Àæw¤¢ü ÀÄvÀÛzÉ.AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ½UÉ ÀA§A¢ü¹zÀ PÉ®ªÀÅ ¥ÀzÀUÀ½ªÉ. F ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ÉÊzÁÞAwPÀ

¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ£ÀÄß CxÉÊð¹PÉƼÀî®Ä ÀºÁAiÀĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ. FUÀ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ½UÉ ÀA§A¢ü¹zÀ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄßPÀ°AiÉÆÃt.

PɼÀUÉ ¤ÃqÀ ÁzÀ PÉÆõÀÖPÀ CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀzÀªÀ£ÀÄß GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÉÆA¢UÉ CxÉÊð¹PÉƼÀî®Ä¥ÀæAiÀÄwß¹.

¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ

RavÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁHºÁvÀäPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄCxÀªÁ ¸ÀA sÀªÀ£ÁvÀäPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ

vÀzÀÆæ¥À ¤§AzsÀ£ÉUÉƼÀ¥ÀlÖ ¥Àj¹ÜwUÀ¼À°è¥ÀÅ£ÀgÁªÀwð¹zÁUÀ, MAzÉà jÃwAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼ÀÄ GAmÁUÀĪÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ.

vÀzÀÆæ¦ ¤§AzsÀ£ÉUÉƼÀ¥ÀlÖ ¥Àj¹ÜwUÀ¼À°è ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁzÁUÀ, MAzÉà jÃwAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼ÀÄ GAmÁUÀ¢gÀĪÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ.

* MAzÀÄ £ÁtåzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.* ¤Ãj£À PÀÄ¢ ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ.* MAzÀÄ «zÀÄå£ÀäAqÀ®zÀ°è ºÀjAiÀÄÄwÛgÀĪÀ «zÀÄåvÀ£ÀÄß C¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

* MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ.* MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß GgÀĽ ÀĪÀÅzÀÄ.* ZÉ£ÁßV PÀ®¹zÀ PÁqïðUÀ¼À ¥ÁåPï¤AzÀ MAzÀÄ PÁqïð£ÀÄß ºÉÆgÀ vÉUÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 103

AiÀÄvÀß AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß (i) £ÁtåzÀ aªÀÄÄä«PÉ(Trial) ¤ªÀð»¸ÀĪÀÅzÀPÉÌ "AiÀÄvÀß" J£ÀÄßvÉÛêÉ. (ii) zÁ¼ÀzÀÀ J¸ÉAiÀÄÄ«PÉ

¥sÀ°vÀ MAzÀÄ AiÀÄvÀßzÀ°è ªÉÄîÄäRªÁV (i) ²gÀ (H), ¥ÀÄZÀÒ (T)(Out come) K£ÀÄ §gÀĪÀÅzÉÆà CzÀ£ÀÄß ¥sÀ°vÀ

CxÀªÁ ¥sÀ°vÁA±À J£ÀÄßvÉÛêÉ. (ii) 1, 2, 3, 4, 5, 6AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¥sÀ°vÀ J£ÀÄßvÉÛêÉ.

¥sÀ°vÀ UÀt MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ (i) S = {H, T}(Sample Space) J¯Áè ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼À

UÀtªÀ£ÀÄß ¥sÀ°vÀ UÀt J£ÀÄßvÉÛêÉ. (ii) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}EzÀ£ÀÄß ÁªÀiÁ£ÀåªÁV 'S' ¤AzÀ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

¥sÀ°vÀ ©AzÀÄ ¥sÀ°vÀ UÀtzÀ ¥Àæw UÀuÁA±ÀªÀ£ÀÄß (i) H ªÀÄvÀÄÛ T UÀ¼ÀÄ ¥sÀ°vÀ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ(Sample Point) "¥sÀ°vÀ ©AzÀÄ" J£ÀÄßvÉÛêÉ. (ii) 1, 2, 3, 4, 5, ªÀÄvÀÄÛ 6

¥sÀ°vÀ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ

WÀl£É MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ (i) MAzÀÄ ²gÀªÀÅ ªÉÄîÄäRªÁVEvent AiÀiÁªÀÅzÉà ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÀ §gÀĪÀÅzÀÄ. A = {H}

CxÀªÁ ¥sÀ°vÀUÀ¼À ÀAAiÉÆÃd£ÉAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÄZÀѪÀÅ ªÉÄîÄäRªÁVMAzÀÄ WÀl£É J£ÀÄßvÉÛêÉ. CAzÀgÉ, §gÀĪÀÅzÀÄ. B = {T}

¥sÀ°vÀ UÀtzÀ ¥Àæw G¥ÀUÀtªÀ£ÀÄß (ii) 4£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. A={4}

WÀl£É J£ÀÄßvÉÛêÉ. WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ÀªÀÄ ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.A, B, C, D ..... UÀ½AzÀ ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. B = {2, 4, 6}

C«¨sÁdå ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. C={2, 3, 5}

¥ÀzÀ CxÀð GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

PÉ®ªÀÅ ¤§AzsÀ£ÉUÀ¼À£ÀÄß vÀÈ¦Û ¥Àr¸ÀĪÀ ¥sÀ°vÀ UÀtzÀ G¥ÀUÀtªÀÅ MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀiÁVzÉ JAzÀÄ PÀ°wzÉÝêÉ.

KPÀ PÁ®zÀ°è (CxÀªÁ eÉÆvÉAiÀiÁV) JgÀqÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß aªÀÄÄäªÀ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt.

F AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ ¥sÀ°vÀ UÀtªÀ£ÀÄß ªÀÈPÀë £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß (Tree diagram) gÀa¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ

¸ÀÄ®¨sÀªÁV §gÉAiÀħºÀÅzÀÄ. PɼÀUÉ ¤ÃqÀ ÁzÀ ªÀÈPÀë £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.

104 WÀlPÀ-5

1£Éà £Átå

H1

T1

H – H H

T – H T

H – T H

T – T T

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 £Éà £Átå

¥sÀ°vÀ UÀt, S = {H1H

2, H

1T

2, T

1H

2, T

1T

2} CxÀªÁ S = {HH, HT, TH, TT}

F AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ°è ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÉÆÃt.* JgÀqÀÆ £ÁtåUÀ½AzÀ ²gÀ (head) ªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. E

1 = {HH}

* JgÀqÀÆ £ÁtåUÀ½AzÀ ¨Á® (Tail) ªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. E2 = {TT}

* ªÉÆzÀ® £Átå¢AzÀ ²gÀ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀ£Éà E3 = {HT}

£ÁtåzÀ ªÉÄÃ¯É Á®ªÀÅ §gÀĪÀAvÉ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.* ªÉÆzÀ® £ÁtåzÀ ªÉÄÃ É ¨Á® ªÀÄvÀÄÛ E

4 = {TH}

JgÀqÀ£Éà £ÁtåzÀ ªÉÄÃ É ²gÀªÀÅ §gÀĪÀAvÉ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ,

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀÅ JgÀqÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß eÉÆvÉAiÀiÁV aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ DVzÉ.

¥sÀ°vÀ UÀt S = {HH, HT, TH, TT}

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥sÀ°vÀªÀ£ÀÄß ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£É (Elementary event) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

HH, HT, TH ªÀÄvÀÄÛ TT UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß eÉÆvÉUÀÆr¹ a«ÄäzÀ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ

¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÁVªÉ. eÉÆvÉAiÀiÁV JgÀqÀÄ £ÁtåUÀ¼À aªÀÄÄä«PÉAiÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀÅ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ

WÀl£ÉUÀ¼À®èzÉ, E£ÀÆß ºÉaÑ£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹.

* ¤¢ðµÀÖªÁV MAzÀÄ ²gÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. E5 = {HT, TH}

* PÀ¤µÀ× MAzÁzÀgÀÆ ²gÀ §gÀĪÀAvÉ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. E6 = {HH, HT, TH}

* UÀjµÀ× JgÀqÀÄ Á®UÀ¼ÀÄ §gÀĪÀAvÉ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. E7 = {HT, TH, TT}

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ, JgÀqÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À ¥ÀæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß MlÄÖUÀÆr¹, ¥ÀqÉzÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß E°è PÁtÄvÉÛêÉ. CAvÀºÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ [compound event]

J£ÀÄßvÉÛêÉ.AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀPÉÌ ÀA§A¢ü¹zÀ MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß MAzÀÄ ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£É JAzÀÄ ºÉüÀ ÉÃPÁzÀgÉ,CzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ JgÀqÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄßMlÄÖUÀÆr¹ ¥ÀqÉzÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄÄ ¸ÀA¨sÀ«¹zÉ JAzÀÄ AiÀiÁªÁUÀ ºÉüÀÄvÉÛêÉ?

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 105

PÀÄA¢®èzÀ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß J¸ÉAiÀÄĪÀ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt.¥sÀ°vÀ UÀt, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E AiÀÄÄ ÀªÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß ÀÆa¸À°.F WÀl£ÉAiÉÆA¢UÉ ÀA§A¢ü¹zÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÉAzÀgÉ 2, 4, 6.

MAzÀÄ AiÀÄvÀßzÀ°è `4' ¥sÀ°vÀªÁVzÉ JAzÀÄ H»¸ÀĪÀÅzÁzÀgÉ, WÀl£É (E) AiÀÄÄ ¸ÀA¨sÀ«¹zÉ JAzÀĺÉüÀÄvÉÛêÉ.

MAzÀÄ AiÀÄvÀßzÀ°è `3' ¥sÀ°vÀªÁVzÉ JAzÀÄ H»¸ÀĪÀÅzÁzÀgÉ, WÀl£É (E) AiÀÄÄ ¸ÀA¨sÀ«¹®è JAzÀĺÉüÀÄvÉÛêÉ.

F GzÁºÀgÀuɬÄAzÀ, £ÁªÀÅ MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ÀA¨sÀªÀªÀ£ÀÄß PɼÀV£ÀAvÉ wêÀiÁð¤¸ÀÄvÉÛêÉ.

MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀPÉÌ ÀA§A¢ü¹zÀ MAzÀÄ WÀl£É (E) AiÀÄÄ ÀA¨sÀ«¹zÉ JAzÁUÀ ÉÃPÁzÀgÉ, CzÀÄWÀl£É (E) UÉ ÀA§A¢ü¹zÀ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À MAzÀÄ ¥sÀ°vÀªÁVgÀ ÉÃPÀÄ.

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ°è ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÁzÀ {2} {4} ªÀÄvÀÄÛ {6} UÀ¼ÀÄ ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£É (E) UÉC£ÀÄPÀÆ° ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. KPÉAzÀgÉ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ EAvÀºÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ, ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£ÉUÀ¼ÀªÁåSÉåAiÀÄ£ÀÄß vÀÈ¦Û ¥Àr¸ÀÄvÀÛªÉ.

CAzÀgÉ, WÀl£É (E) = ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À ¸ÀA¨sÀªÀ JAzÁzÀgÉ, 2, 4, 6 ¸ÀªÀĸÀASÉåUÀ¼ÀÄ ªÁåSÉåAiÀÄ£ÀÄßvÀȦۥÀr¸ÀÄvÀÛªÉ. DzÀÝjAzÀ, C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À (The favaurable elementary events)§UÉÎ PɼÀPÀAqÀAvÉ wêÀiÁð¤¸À§ºÀÅzÀÄ.

¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£É (E) AiÀÄÄ ¸ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£É (A)UÉ C£ÀÄPÀÆ°¸À ¨ÉÃPÁzÀgÉ E AiÀÄÄ MAzÀÄ AiÀÄvÀßzÀ¥sÀ°vÀªÁzÁUÀ A WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA¨sÀ«¹zÉ JAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.

E°èAiÀĪÀgÉUÉ ZÀað¹zÀ, AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀPÉÌ ÀA§A¢ü¹zÀ J¯Áè ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß ¤zÀ²ð¸À®Ä ªÀÄvÉÆÛAzÀÄGzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt ÉÆÃt.

* AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀ : KPÀPÁ®zÀ°è, ªÀÄÆgÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ.* ¥sÀ°vÀ UÀt : ¥sÀ°vÀ UÀtªÀ£ÀÄß §gÉAiÀÄĪÀ ªÉÆzÀ®Ä, ªÀÈPÀë £ÀPÉëAiÀÄ£ÀÄß ©r¸ÉÆÃt.

H

T

H

T

H

T

H

T

H T H

T

H T

-

-

----

-- TTT

TTH

THTTHHHTTHTH

HHTHHH

¥sÀ°vÀUÀt : S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

* ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ : ¥sÀ°vÀ UÀtzÀ°è£À ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÇ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ.E

1 = {HHH} E

2 = {HHT} E

3 = (HTH} E

4 = {HTT}

E5 = {THH} E

6 = {THT} E

7 = {TTH} E

8 = {TTT}

106 WÀlPÀ-5

* ¸ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ :

(i) PÀ¤µÀ× MAzÁzÀgÀÆ ²gÀ (Head) §gÀĪÀÅzÀÄ B = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH,

THT, TTH}

(ii) PÀ¤µÀ× JgÀqÁzÀgÀÆ ¥ÀÅZÀÒUÀ¼ÀÄ (Tails) §gÀĪÀÅzÀÄ C = {HTT, THT, TTH, TTT}

* C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ :

(i) WÀl£É A' AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä MAzÉà MAzÀÄ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£É CAzÀgÉ, E1 = {HHH} £ÉgÀªÁUÀ§®èzÀÄ.

E1 WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA¨sÀ«¹zÀÄzÉÝà DzÀgÉ, A WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA¨sÀ«¹gÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ.

(ii) WÀl£É 'B' AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ®Ä E1, E

2, E

3, E

4, E

5, E

6 ªÀÄvÀÄÛ E

7 JA§ 7 ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

£ÉgÀªÁUÀ§®èªÀÅ. AiÀiÁªÀÅzÉà EAvÀºÀ C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ¸ÀA¨sÀ«¹zÀÄzÉÝà DzÀgÉ WÀl£É B AiÀÄĸÀA sÀ«¹gÀÄvÀÛzÉ.

(iii) C£ÀÄPÀÆ° ÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£É E8 ªÀiÁvÀæ ÀA sÀü«¹zÀÄzÉÝà DzÀgÉ WÀl£É D AiÀÄÄ £ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA sÀªÀ«gÀÄvÀÛzÉ.

ZÀZÉðAiÀÄ F ÀA¢üPÁ®zÀ°è, D¸ÀQÛ¬ÄAzÀ UÀªÀĤ¸À ÉÃPÁzÀ CA±ÀªÉãÉAzÀgÉ, AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼À£ÀÄß

£ÀqɹzÁUÀ, CzÀPÉÌ ÀA§A¢ü¹zÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ CxÀªÁ ÀA¨sÀ« À¢gÀĪÀ ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉUÀ¼À£ÀÄß (Equally

likely) ºÉÇA¢gÀÄvÀÛªÉ.

GzÁºÀgÀuÉUÉ,

(i) MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß a«ÄäzÁUÀ ²gÀªÀ£ÀÄß (Head) ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀÅZÀÒªÀ£ÀÄß (Tail) ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ¸ÀA¨sÀªÀzÀ ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.

(ii) MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß J ÉzÁUÀ 1, 2, 3, 4, 5 CxÀªÁ 6 £ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀzÀ ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.(iii) 4 PÉA¥ÀÅ ªÀÄvÀÄÛ 1 ¤Ã° ZÉAqÀ£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ MAzÀÄ aî¢AzÀ MAzÀÄ ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÁUÀ, MAzÀÄ

§tÚzÀ ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ J¯Áè ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉUÀ½gÀÄvÀÛªÉ. DzÀgÉ E°è ºÉÇgÀ vÉUÉAiÀÄĪÀ ¤Ã°AiÀÄ MAzÀÄZÉArVAvÀ, PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀ£ÀÄß ºÉZÀÄÑ ¤jÃQë À®Ä ÁzsÀå.GzÁºÀgÀuÉ (i) ªÀÄvÀÄÛ (ii) gÀ°è, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀÅ ÀªÀiÁ£À ¤jÃQëvÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß ºÉÇA¢zÉJAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. ÉÃgÉ ¥ÀzÀUÀ¼À°è ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ, ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ MAzÀÄ ÀªÀiÁ£À¸ÀA¨sÁªÀå WÀl£ÉAiÀiÁVzÉ.GzÁºÀgÀuÉ (iii) gÀ°è, §tÚzÀ MAzÀÄ ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÀªÀ£ÀÄß ºÉÇA¢zÉ.CzÀPÉÌ «gÀÄzÀÞªÁV, MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ CxÀªÁ MAzÀÄ ¤Ã° ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ¸ÀªÀiÁ£À ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀÅ¢®è. DzÀÝjAzÀ, J¯Áè AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄߺÉÇAzÀĪÀ CUÀvÀå«gÀĪÀÅ¢®è.

FUÀ, £ÁªÀÅ ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉAiÀÄ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ªÁåSÁ夸ÉÆÃt.

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼À JgÀqÀÄ CxÀªÁ ºÉaÑ£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉAiÀÄ WÀl£É"UÀ¼ÉAzÀÄ ºÉüÀ ÉÃPÁzÀgÉ,

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄÄ ¸ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ ¸ÀªÀiÁ£À ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÇA¢gÀ¨ÉÃPÀÄ.

¸ÀÆZÀ£É : F WÀlPÀzÀ°è, J¯Áè ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁ£À ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼ÉAzÀÄH»¹PÉƼÀÄîvÉÛêÉ.

E°èAiÀĪÀgÉUÉ, £ÁªÀÅ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß PÀ°vɪÀÅ. FUÀ MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ AiÀÄ£ÀÄß ªÁåSÁ夸ÉÆÃt.

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 107

MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ (Probability of an event)

¥ÀjªÀiÁuÁvÀäPÀªÁV ªÀåPÀÛ ¥Àr¸À§ºÀÅzÁzÀ MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ ÁzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß "MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ" J£ÀÄßvÉÛêÉ.

FUÀ, AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ½UÉ ÀA§A¢ü¹zÀ PÉ®ªÀÅ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt ÉÆÃt ªÀÄvÀÄÛD WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ ÁzsÀåvÉ CxÀªÁ D WÀl£ÉUÀ¼À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

GzÁºÀgÀuÉ 1

* MAzÀÄ ZÀPÀæzÀ ªÉÄÃ¯É ¨ÁtªÀÅ ¸ÀÄvÀÄÛªÀÅzÀÄ (Spinning an arrow on a disc)

5 ¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ, EzÀgÀ°è 2 PÉA¥ÀÅ, 2 ¤Ã° ªÀÄvÀÄÛ 1 ºÀ¹gÀħtÚUÀ¼À ¨sÁUÀUÀ½AzÁzÀ ZÀPÀ æªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt. AiÀiÁªÁUÀ ZÀPÀ æªÀ£ÀÄßwgÀÄV¸ÀÄvÉÛêÉAiÉÆÃ, CzÀÄ wgÀÄV ¸Àé®à ¸ÀªÀÄAiÀÄzÀ £ÀAvÀgÀ ¤®ÄèvÀÛzÉ. DUÀ ¨ÁtCxÀªÁ ¸ÀÆZÀPÀªÀÅ 5 ¨sÁUÀUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀÄ ¨sÁUÀzÀ ªÉÄÃ É §AzÀĤ±ÀÑ®ªÁUÀÄvÀÛzÉ.

¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀÄvÀÄÛ«PÉAiÀÄ®Æè ¸ÀÆZÀPÀzÀ ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¸ÁÜ£ÀªÀ£ÀÄß H»¸À®Ä¸ÁzsÀå«®è. DzÀ PÁgÀt ZÀPÀæ¸ÀÄvÀÄÛªÀÅzÀÄ MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÁVzÉ. ¥sÀ°vÀUÀt = S={r, r, b, b, g}

¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ J¯Áè ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå = 5.

EzÀ£ÀÄß n(S) = 5 JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ.

PÉ®ªÀÅ WÀl£ÉUÀ¼ÉAzÀgÉ,* PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ sÁUÀzÀ ªÉÄÃ¯É ÀÆZÀPÀªÀÅ ¤®ÄèªÀÅzÀÄ. E

1 = {r, r}

* ºÀ¹gÀÄ §tÚzÀ sÁUÀzÀ ªÉÄÃ¯É ÀÆZÀPÀªÀÅ ¤®ÄèªÀÅzÀÄ. E2 = {g}

* ¤Ã° §tÚzÀ sÁUÀzÀ ªÉÄÃ¯É ÀÆZÀPÀªÀÅ ¤®ÄèªÀÅzÀÄ. E3 = {b, b}

* ¤Ã° §tÚzÀ sÁUÀzÀ ªÉÄÃ¯É ÀÆZÀPÀªÀÅ ¤®è¢gÀĪÀÅzÀÄ. E4 = {r, r, g}

GzÁºÀgÀuÉ 2

* KPÀPÁ®zÀ°è PÀÄA¢®èzÀ JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß J¸ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß J¸ÉzÁUÀ GAmÁUÀĪÀ ¥sÀ°vÀ UÀtªÉAzÀgÉ,

S = { (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) }

n(S) = 6 × 6 = 36

r

b

rg

b

108 WÀlPÀ-5

PÉ®ªÀÅ WÀl£ÉUÀ¼ÉAzÀgÉ,

* MAzÀÄ CªÀ½AiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ MAzÀÄ WÀl£É. A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3),

(4, 4), (5, 5), (6, 6)}

* ªÉÆvÀÛªÀÅ 5 EgÀĪÀAvÉ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. B = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

* ªÉÆvÀÛªÀÅ 3QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀAvÉ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ C = {(1, 1)}

EAvÀºÀ PÉ®ªÀÅ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß FUÀ ¥ÀjUÀt ÉÆÃt. ¥sÀ°vÀUÀt, WÀl£ÉUÉ£ÉgÀªÁUÀ§®è ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄÄ ¸ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀ ¸ÁzsÀåvÉUÀ¼À£ÀÄß PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°èzÁR°¸À ÁVzÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr.

WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA sÀ« ÀĪÀ ÁzsÀåvÉ CxÀªÁ WÀl£ÉAiÀÄ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü ÀĪÀ PÉÆ£ÉAiÀÄ PÀA§¸Á®£ÀÄß UÀªÀĤ¹.¸ÀASÁå ¨É ÉAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁªÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉAiÀįÁVzÉ?CzÀ£ÀÄß MAzÀÄ ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ gÀÆ¥ÀzÀ°è §gÉ¢gÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÁtÄvÉÛêÉ.EzÀgÀ°è CA±ÀªÀÅMAzÀÄ WÀl£ÉUÉ £ÉgÀªÁUÀ§®è ¥sÀ°vÀUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÆß,ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀªÀÅ ÁzsÀåªÁUÀĪÀ MlÄÖ ¥sÀ°vÀUÀ¼À ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥Àæw¤¢ü ÀÄvÀÛzÉ.¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV, E AiÀÄÄ AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀiÁzÀgÉ, WÀl£É EUÉ C£ÀÄPÀÆ° ÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À

¸ÀASÉå = n(E) DUÀÄvÀÛzÉ.

¥sÀ°vÀ UÀtzÀ, ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå S = n(S)

E WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ = P(E) DzÀgÉ

1. MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß S = {H, T} ²gÀªÀÅ ªÉÄîÄäRªÁV A = {H}, 2 gÀ°è 1

aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ n(S) = 2 §gÀĪÀÅzÀÄ n(A) = 1

2. MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (i) ÀªÀÄ ÀASÉåUÀ¼ÀÄ A = {2, 4, 6} 6 gÀ°è 3

J¸ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ n(S) = 6 ªÉÄÃ É §gÀĪÀÅzÀÄ n(A) = 3

(ii) 5QÌAvÀ ºÉaÑ£À ÀASÉå A = {6} 6 gÀ°è 1

ªÉÄÃ É §gÀĪÀÅzÀÄ. n(A) = 1

3. MAzÀÄ ZÀPÀæzÀ ªÉÄÃ É S = {r, r, b, b, g} (i) ÀÆZÀPÀªÀÅ PÉA¥ÀÄ A = {r, r} 5 gÀ°è 2

¨ÁtªÀÅ wgÀÄUÀĪÀÅzÀÄ n(S) = 5 §tÚzÀ ªÉÄÃ É ¤±ÀÑ® n(A) = 2

ªÁUÀĪÀÅzÀÄ.

(ii) ÀÆZÀPÀªÀÅ PÉA¥ÀÄ A = {b, b, g} 5 gÀ°è 3

§tÚzÀ ªÉÄÃ É ¤±ÀÑ® n(A) = 3

ªÁUÀ¢gÀĪÀÅzÀÄ.

4. KPÀPÁ®zÀ°è JgÀqÀÄ S UÁV ¥ÀÄl (i) CªÀ½UÀ¼À£ÀÄß A = {(1, 1), (2, 2), 36 gÀ°è 6zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀASÉå 107£ÀÄß £ÉÆÃr. ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. (3, 3), (4, 4),

J¸ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. n(S) = 36 (5, 5), (6, 6)}

n (A) = 6

(ii) ªÉÆvÀÛªÀÅ 3QÌAvÀ A = {1, 1} 36 gÀ°è 1PÀrªÉÄ §gÀĪÀÅzÀÄ. n (A) = 1

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ

¥ÀæAiÉÆÃUÀ

¥sÀ°vÀUÀt

S

WÀl£É

A

AUÉ £ÉgÀªÁUÀ§®è

¥sÀ°vÀUÀ¼ÀÄ

WÀl£ÉAiÀÄÄ ÀA sÀ« ÀĪÀ

¸ÁzsÀåvÉUÀ¼ÀÄ (©ü£ÀßgÁ²)

GzÁ.

ÀA

1

36

3

5

1

2

3

6

1

6

2

5

6

36

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 109

E WÀl£ÉAiÀÄ = E WÀl£ÉUÉ C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À ÀASÉå¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ ¥sÀ°vÀ UÀtzÀ°ègÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À MlÄÖ ÀASÉå

P(E) = n(E)

n(S)

©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ£ÀÄß C£ÀÄ¥ÁvÀ gÀÆ¥ÀzÀ°èAiÀÄÆ §gÉAiÀħºÀÅzÀÄ, DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄߪÀÄÄA¢£ÀAvÉ ªÁåSÁ夸ÀÄvÉÛêÉ.

MAzÀÄ ¥sÀ°vÀ UÀtzÀ°ègÀĪÀ, E WÀl£ÉUÉ C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À ÀASÉå ªÀÄvÀÄÛ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À

MlÄÖ ¸ÀASÉåUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À C£ÀÄ¥ÁvÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ J£ÀÄßvÉÛêÉ.

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ ¥sÀ°vÀUÀtzÀ°è n ¥sÀ°vÀUÀ½zÀÄÝ, CªÀÅUÀ¼À°è E WÀl£ÉUÉ £ÉgÀªÁUÀ§®è WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ'm' DzÀgÉ, E WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß m ¤AzÀ n VgÀĪÀ C£ÀÄ¥ÁvÀ JAzÀÄ ªÁåSÁ夸À ÁVzÉ.

P(E) = m : n = (E)

(S)

m n

n n

E°èAiÀĪÀgÉUÉ ZÀað¹zÀAvÉ, MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ ©ü£ÀßgÁ² gÀÆ¥ÀzÀ°ègÀĪÀMAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ ªÀiË®åªÁVzÉ.

EzÀÄ J¯Áè WÀl£ÉUÀ½UÀÆ ÀvÀåªÁUÀÄvÀÛzÉAiÉÄÃ? ©ü£ÀßgÁ²AiÀÄ gÀÆ¥ÀzÀ°è®èzÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ

WÀl£ÉUÀ½gÀÄvÀÛªÉAiÉÄÃ?PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt.

MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß J¸ÉzÁUÀ,(i) MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

E°è, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

E = {MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(E) = 6

P(E) = (E)

(S)

n

n =

6

6 = 1

(ii) 7QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ? n(S) = 6

E = {7 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(E) = 6

P(E) = n(E) 6

n(S) 6 = 1

ªÉÄð£À JgÀqÀÆ ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À°è, E = S ªÀÄvÀÄÛ n(E) = n(S) ªÀÄvÀÄÛ P(E) = 1 DVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ ÀÄvÉÛêÉ.CAzÀgÉ, WÀl£É E AiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 1 DVzÉ. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå. EAvÀºÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß RavÀ

WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ (Sure events) J£ÀÄßvÉÛêÉ. E°è ¥sÀ°vÀ UÀtzÀ J¯Áè CA±ÀUÀ¼ÀÄ WÀl£ÉUÉ C£ÀÄPÀÆ° ÀĪÀ CA±ÀUÀ¼ÉÃDVgÀÄvÀÛªÉ.

¸ÀÆZÀ£É : ÁzsÀåªÁUÀĪÀ ¥sÀ°vÀUÀ¼À ÀASÉåAiÀÄÄ ¥Àj«ÄvÀªÁzÀgÉ

ªÀÄvÀÄÛ ¥sÀ°vÀUÀ¼ÀÄ ÀªÀĸÁzsÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ, ªÉÄð£À¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ±Á¹ÛçÃAiÀÄ ªÁåSÉåAiÀÄÄ C£ÀéAiÀĪÁUÀÄvÀÛzÉ.

110 WÀlPÀ-5

MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß RavÀ WÀl£É CxÀªÁ ¤²ÑvÀ WÀl£É JAzÀÄ ºÉüÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ,

¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà AiÀÄvÀßzÀ°è CzÀgÀ AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ CA±ÀªÀÅ RArvÀªÁV ¸ÀA¨sÀ«¹gÀ¯ÉèÉÃPÀÄ.

RavÀ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 1 DVzÉ.

AiÉÆÃa¹ ! MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß aªÀÄä¯ÁVzÉ. "²gÀ §AzÀgÉ £Á UÉzÉÝ; ¥ÀÅZÀÒ §AvÉÆà ¤Ã ¸ÉÆÃvÉ."UÉ®ÄèªÀ F WÀl£ÉAiÀÄÄ AiÀiÁªÀ §UÉAiÀÄ WÀl£ÉAiÀiÁVzÉ? EzÀgÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ ?E£ÀÆß JgÀqÀÄ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄ PÉƼÉÆîÃt.

(iii) 7QÌAvÀ ºÉaÑ£À ¸ÀASÉå §gÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?n(S) = 6

A = {7 QÌAvÀ ºÉaÑ£À ÀASÉå} A = { } = n(A) = 0

P(A) = (A) 0

(S) 6

n

n = 0

(iv) 1QÌAvÀ PÀrªÉÄ ¸ÀASÉå §gÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?n(s) = 6

A = {1 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ ¸ÀASÉå} A = { } n(A) = 0

P(A) = (A) 0

(S) 6

n

n = 0

ªÉÄð£À JgÀqÀÆ ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À°è, A = ªÀÄvÀÄÛ n(A) = 0, P(A) = 0 DVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄvÉÛêÉ.

CAzÀgÉ, WÀl£É A AiÀÄ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 0 DVzÉ. EzÀÄ MAzÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉå. EAvÀºÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß"C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ" (Impossible events) J£ÀÄßvÉÛêÉ.

MAzÀÄ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà AiÀÄvÀßzÀ°è, AiÀiÁªÀÅzÉà jÃwAiÀÄ®Æè MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄÄ ¸ÀA¨sÀ«¸À¢zÀÝgÉ,

CAvÀºÀ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß "C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£É" J£ÀÄßvÉÛêÉ.

C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 0 DVgÀÄvÀÛzÉ.

ªÉÄð£À ZÀZÉð¬ÄAzÀ, MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ §UÉÎ F PɼÀV£À ¸ÀvÁåA±ÀUÀ¼À£ÀÄßwêÀiÁð¤ À§ºÀÅzÀÄ.

* A = , DzÀgÉ n(A) = 0 P(C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£É) = 0

* A = S DzÀgÉ n(A) = n(S) P(RavÀ WÀl£É) = 1

* C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£É ªÀÄvÀÄÛ RavÀ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÇgÀvÀÄ ¥Àr¹zÀ AiÀiÁªÀÅzÉà WÀl£É A UÉ

n(A) > 0 ªÀÄvÀÄÛ n(A) < n(S)

P(A) > 0 ªÀÄvÀÄÛ P(A) < 1

0 P(A) 1 RavÀ WÀl£É ªÀÄvÀÄÛ C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÉÆß¼ÀUÉÆAqÀ AiÀiÁªÀÅzÉà WÀl£É A UÉ,

0 P(A) 1 DVgÀÄvÀÛzÉ.

MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 0 ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ £ÀqÀÄ«£À MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ, ªÀÄvÀÄÛPÀæªÀĪÁV C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£É ªÀÄvÀÄÛ RavÀ WÀl£É½zÁÝUÀ, 0 ªÀÄvÀÄÛ 1 £ÀÄß M¼ÀUÉÆArgÀÄvÀÛzÉ.

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 111

MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ,

* AiÀiÁªÁUÀ®Æ JgÀqÀÄ ¥ÀÆtð ¸ÀASÉåUÀ¼ÁzÀ 0 ªÀÄvÀÄÛ 1 gÀ £ÀqÀÄªÉ EgÀÄvÀÛzÉ.

* 0 VAvÀ ºÉZÁÑVgÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ 1 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ ©ü£ÀßgÁ²AiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

* MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 0 CxÀªÁ 1 CxÀªÁ 0 ªÀÄvÀÄÛ 1gÀ £ÀqÀÄ«£À ©ü£ÀßgÁ²AiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

ªÉÄð£À ÀAUÀwAiÀÄ£ÀÄß, ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ ¥ÀnÖAiÀÄ ªÉÄà ÉF PɼÀV£ÀAvÉ ¥Àæw¤¢ü À§ºÀÅzÀÄ.

0.5

0 ½

¤zÀ±Àð£ÁvÀäPÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

GzÁºÀgÀuÉ 1 : MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀÅ GgÀĽzÁUÀ PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) ¸ÀASÉå 5 (ii) MAzÀÄ ¨É¸À ¸ÀASÉå

(iii) 2 QÌAvÀ ºÉZÁÑVgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉå (iv) 6 gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£À

¥ÀjºÁgÀ : GgÀļÀĪÀ MAzÀÄ zÁ¼ÀzÀ°è, ¥sÀ°vÀ UÀt = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

(i) ¸ÀASÉå 5£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ (ii) MAzÀÄ É À ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ

WÀl£ÉAiÀÄÄ ‘A’ DVgÀ° WÀl£ÉAiÀÄÄ ‘B’ DVgÀ°.

A = { 5 } n(A) = 1 DUÀ, B = {1, 3, 5} n(B) = 3

P(A) = (A) 1

(S) 6

n

n P(B) =

(B) 3 1

(S) 6 2

n

n

(iii) 2 QÌAvÀ ºÉaÑ£À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß (iv) 6gÀ C«¨sÁdå C¥ÀªÀvÀð£ÀUÀ¼À£ÀÄß

¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ ‘C’ DVgÀ°. ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ ‘D’ DVgÀ°.

DUÀ, C = {3, 4, 5, 6} n(C) = 4 DUÀ, D = {2, 3} n(D) = 2

P(C) = (C) 4 2

(S) 6 3

n

n P(D) =

(D) 2 1

(S) 6 3

n

n

GzÁºÀgÀuÉ 2 : MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ Áj aªÀÄäzÁUÀ, PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼ÀÄ (ii) PÀ¤µÀ× MAzÀÄ ²gÀ

(iii) ²gÀ E®èzÀAvÉ (iv) ¤¢ðµÀÖªÁV MAzÀÄ ¥ÀÅZÀÒ

¥ÀjºÁgÀ : MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ Áj a«ÄäzÁUÀ GAmÁUÀĪÀ ¥sÀ°vÀ UÀtªÀÅ,S = {HH, TT, HT, TH} n(S) = 4

C ÀA¨sÀªÀ WÀl£ÉP(A) = 0

1RavÀ WÀl£ÉP(A) = 1

112 WÀlPÀ-5

(i) 'A' JA§ÄzÀÄ JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼À£ÀÄß (ii) 'B' JA§ÄzÀÄ PÀ¤µÀ× MAzÀÄ ²gÀªÀ£ÀÄߥÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°. ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°.A = {HH} n(A) = 1 B = {HH, HT, TH} n(B) = 3

P(A) = (A) 1

(S) 4

n

n P(B) =

(B) 3

(S) 4

n

n

(iii) C JA§ÄzÀÄ MAzÀÆ ²gÀªÀ£ÀÆß (vi) D JA§ÄzÀÄ ¤¢ðµÀÖªÁV MAzÀÄ ¥ÀÄZÀÒªÀ£ÀÄߥÀqÉAiÀÄzÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°. ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°.C = {TT) n(C) = 1 D = { HT, TH) n(D) = 2

P(C) = (C) 1

(S) 4

n

n P(D) =

(D) 2 1

(S) 4 2

n

n

GzÁºÀgÀuÉ 3 : 3 £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß MmÁÖV aªÀÄä ÁVzÉ. PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ ?

(i) J®èªÀÇ ¥ÀÅZÀÒUÀ¼ÀÄ (ii) PÀ¤µÀ× MAzÀÄ ¥ÀÅZÀÒ(iii) ºÉZÉÑAzÀgÉ MAzÀÄ ¥ÀÅZÀÒ (iv) ºÉZÉÑAzÀgÉ JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼ÀÄ¥ÀjºÁgÀ : 3 £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß aªÀÄä¯ÁVzÉ. EzÀgÀ ¥sÀ°vÀ UÀt

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

n(S) = 8

(i) 'A' AiÀÄÄ J®èªÀÇ ¥ÀÅZÀÒªÀ£ÀÄß (ii) 'B' AiÀÄÄ PÀ¤µÀ× MAzÁzÀgÀÆ ¥ÀÅZÀÒªÀ£ÀÄߥÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°. ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°.A = { TTT } n(A) = 1 B = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,

TTT} n(B) = 7

P(A) = (A) 1

(S) 8

n

n P(B) =

(B) 7

(S) 8

n

n

(iii) 'C' AiÀÄÄ ºÉZÉÑAzÀgÉ MAzÀÄ ¥ÀÅZÀÒªÀ£ÀÄß (iv) 'D' AiÀÄÄ ºÉZÉÑAzÀgÉ JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼À£ÀÄߥÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°. ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°. C = {HHH, HHT, HTH, THH} D = {HHT, HHT, HTH, THH, HTT, THT,

n(C) = 4 TTH, TTT} n(D) = 7

P(C) = (C) 4

(S) 8

n

nP(D) =

(D) 7

(S) 8

n

n

GzÁºÀgÀuÉ 4 : PÀÄA¢®èzÀ JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß MªÉÄäUÉ GgÀĽ¸À¯ÁVzÉ. (i) MAzÀÄ CªÀ½ (ii) ªÉÆvÀÛ 7 (iii) 10

QÌAvÀ PÀrªÉÄAiÀiÁVgÀĪÀ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ: PÀÄA¢®èzÀ JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß MªÉÄäUÉ GgÀĽ¹zÁUÀ MlÄÖ ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼ÀÄ = 6 × 6 = 36

JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ. n(S) = 36

(i) A AiÀÄÄ CªÀ½UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°.A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} n(A) = 6

P(A) = (A) 6

(S) 36

n

n =

1

6

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 113

(ii) B AiÀÄÄ, 7gÀ ªÉÆvÀÛªÁVgÀĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ°.B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} n(B) = 6

P(B) = (B) 6

(S) 36

n

n =

1

6

(iii) C AiÀÄÄ 10QÌAvÀ PÀrªÉÄAiÀiÁVgÀĪÀ ªÉÆvÀÛªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄVgÀ°.C = {(1, 6), (1, 5), (1, 4), (1, 3), (1, 2), (1, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),

(4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}

n(C) = 30 P(C) = (C) 30

(S) 36

n

n =

5

6

GzÁºÀgÀuÉ 5 : MAzÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è 30 Á®PÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 25 Á®QAiÀÄjzÁÝgÉ. M§â «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV

DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀ¯ÁVzÉ.

(i) M§â ¨Á®PÀ (ii) M§â ¨Á®QAiÀÄ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : MlÄÖ «zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå = 30 + 25 = 55 n(S) = 55

(i) 'A' AiÀÄÄ M§â Á®PÀ£À£ÀÄß DAiÉÄÌ (ii) 'B' AiÀÄÄ M§â Á®QAiÀÄ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀªÀiÁqÀĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ° n(A) = 30 WÀl£ÉAiÀiÁVgÀ° n(B) = 25

P(A) = n(A) 30

n(S) 55 P(B) =

n(B) 25

n(S) 55

GzÁºÀgÀuÉ 6 : MAzÀÄ C¢üPÀ ªÀµÀðªÀ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁrzÁUÀ D ªÀµÀðªÀÅ 53 ¨sÁ£ÀĪÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ ?

¥ÀjºÁgÀ : MAzÀÄ C¢üPÀ ªÀµÀðzÀ°ègÀĪÀ ¢£ÀUÀ¼À ¸ÀASÉå = 366 ¢£ÀUÀ¼ÀÄ366 ¢£ÀUÀ¼ÀÄ = 52 ªÁgÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 2 ¢£ÀUÀ¼ÀÄ.G½zÀ JgÀqÀÄ ¢£ÀUÀ¼ÀÄ »ÃVgÀ§ºÀÅzÀÄ,(i) ¨sÁ£ÀĪÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÉÆêÀĪÁgÀ (ii) ¸ÉÆêÀĪÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄAUÀ¼ÀªÁgÀ

(iii) ªÀÄAUÀ¼ÀªÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ §ÄzsÀªÁgÀ (iv) §ÄzsÀªÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ UÀÄgÀĪÁgÀ(v) UÀÄgÀĪÁgÀÀ ªÀÄvÀÄÛ ±ÀÄPÀæªÁgÀ (vi) ±ÀÄPÀæªÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ ±À¤ªÁgÀ

(vii) ±À¤ªÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ sÁ£ÀĪÁgÀC¢üPÀ ªÀµÀðªÀÅ 53 sÁ£ÀĪÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀ ÉÃPÁzÀgÉ, PÉÆ£ÉAiÀÄ JgÀqÀÄ ¢£ÀUÀ¼ÀÄ sÁ£ÀĪÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ

¸ÉÆêÀĪÁgÀ CxÀªÁ ±À¤ªÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ sÁ£ÀĪÁgÀ DVgÀ ÉÃPÀÄ.CAvÀºÀ C£ÀÄPÀÆ°¸ÀĪÀ ¥sÀ°vÀUÀ¼À ¸ÀASÉå=n (A)=2

¥sÀ°vÀ UÀtzÀ°ègÀĪÀ MlÄÖ ¸ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼À ¸ÀASÉå = n(S) = 7

P(A) = (A)

(S)

n

n P(53 ¨sÁ£ÀĪÁgÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ MAzÀÄ C¢üPÀªÀµÀð) =

2

7

114 WÀlPÀ-5

GzÁºÀgÀuÉ 7 : MAzÀÄ aîªÀÅ 6 PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ PÉ®ªÀÅ ¤Ã° ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢zÉ. MAzÀÄ ¤Ã°

ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ, MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.

ºÁUÁzÀgÉ, D aîzÀ°ègÀĪÀ ¤Ã° ZÉAqÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ Àj º ÁgÀ :- ¤Ã° ZÉAqÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄÄ x DVgÀ° ZÉAqÀÄUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå = (6 + x) DUÀÄvÀÛzÉ.

P(MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ) = 6

6 x P(MAzÀÄ ¤Ã° ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ) =

6

x

x

6

x

x = 2

6

x

x

6

x

x=

12

6 x

12 (6 + x) = x(6 +x) 72 + 12x = 6x + x2 x2 – 6x – 72 = 0

(x – 12)(x + 6) = 0 x = 12 CxÀªÁ x = – 6

¤Ã° ZÉAqÀÄUÀ¼À ¸ÀASÉå = 12

GzÁºÀgÀuÉ 8 : ZÉ£ÁßV ¨ÉgɹzÀ 52 PÁqïðUÀ¼À MAzÀÄ PÀmÉÖ¤AzÀ (Pack) MAzÀÄ PÁqïð£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV

vÉUÉAiÀįÁVzÉ. (i) MAzÀÄ gÁt (ii) MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ gÁd (iii) MAzÀÄ qÉʪÀÄAqï (iv) MAzÀÄ ºÁlìð PÁqÀð£ÀÄß

vÉUÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

qÉʪÀÄAqï ºÁmïð ¸ÉÖÃqï PÀè ï

A A

A A

¸ÉàÃqïì ªÀÄvÀÄÛ PÀè ï PÁqïðUÀ¼ÀÄ PÀ¥ÀÅà §tÚzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ. ºÁmïìð ªÀÄvÀÄÛ qÉʪÀÄAqï PÁqïðUÀ¼ÀÄ PÉA¥ÀŧtÚzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ. ¥Àæw UÀÄA¦£À 13 PÁqïðUÀ¼À°è, ªÀÄÄR PÁqïð CxÀªÁ UËgÀªÁ¤évÀ PÁqïðUÀ¼ÉAzÀgÉ gÁdgÀÄ(K), gÁtÂAiÀÄgÀÄ (Q) ªÀÄvÀÄÛ eÁåPïì CxÀªÁ £Éêïì (J)

ZÉ£ÁßV ÉgɹzÀ PÁqïðUÀ¼À ¥ÁåPï ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåvÉAiÀÄ ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃqÀÄvÀÛzÉ.

ÉàÃqïì A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

ºÁmïìð A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

PÀè ïì A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

qÉʪÀÄAqï A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K

ZÉ£ÁßV ¨ÉgɹzÀ 52 PÁqÀðUÀ½AzÀ MAzÀÄ PÁqÀð£ÀÄß vÉUÉAiÀįÁVzÉ. DzÀÝjAzÀ n(S) = 52

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 115

i) MAzÀÄ gÁt §gÀĪÀÅzÀÄ n(Q) = 4 P (Q) = ( )

( )

n Q

n S =

4

52

ii) MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ gÁd §gÀĪÀÅzÀÄ n (RK) = 2 P (RK) = ( )

( )

n RK

n S=

2

52

iii) MAzÀÄ qÉʪÀÄAqÀ §gÀĪÀÅzÀÄ n (D) = 13 P (D) = ( ) 13

( ) 52

n D

n S

iv) MAzÀÄ ºÁmïð §gÀĪÀÅzÀÄ n (H) = 13 P (H) = ( ) 13

( ) 52

n H

n S

GzÁºÀgÀuÉ 9 : JgÀqÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt. (i) MAzÀÄ Áj MAzÀÄ PÀÄA¢®èzÀ £ÁtåªÀ£ÀÄß

aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ. (ii) MAzÀÄ ¨Áj MAzÀÄ PÀÄA¢®èzÀ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¥ÀæPÀgÀtzÀ°èAiÀÄÆ, ¥Àæw

¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrj. ¤ªÀÄä wêÀiÁð£ÀªÀ£ÀÄß

w½¹.

¥ÀjºÁgÀ : (i) MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ : S = {H, T} n(S) = 2

¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ E1 = { H } , E

2 = { T } P(E

1) =

1

2, P(E

2) =

1

2

P(E1) ªÀÄvÀÄÛ P(E

2) UÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ, P(E

1) + P(E

2) =

1 1

2 2 = 1 zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

(ii) MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß J¸ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ E1= {1}, E

2= {2}, E

3= {3}, E

4= {4}, E

5 = {5}, E

6 = {6} DVªÉ.

P(E1) = P(E

2) = P(E

3) = P(E

4) = P(E

5) = P(E

6) =

1

6

F J¯Áè ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉUÀ¼À£ÀÄß PÀÆrzÁUÀ,

P(E1) + P(E

2) + P(E

3) + P(E

4) + P(E

5) + P(E

6) =

1 1 1 1 1 1

6 6 6 6 6 6 =

6

6 = 1

zÉÆgÉAiÀÄÄvÀÛzÉ.

ªÉÄð£À GzÁºÀgÀuÉUÀ½AzÀ, MAzÀÄ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ J¯Áè ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉUÀ¼À ªÉÆvÀÛªÀÅ

1 DVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ ÀÄvÉÛêÉ. ÁªÀiÁ£ÀåªÁV J¯Áè AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ½UÀÆ EzÀÄ ÀvÀåªÁVgÀÄvÀÛzÉ.

C¨sÁå¸À 5.2

1. MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß GgÀĽ¹zÉ. F PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) ¸ÀASÉå 4 (ii) MAzÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉå

(iii) MAzÀÄ WÀ£À ¸ÀASÉå (iv) 1 QÌAvÀ ºÉZÁÑVgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉå

116 WÀlPÀ-5

2. JgÀqÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß eÉÆvÉAiÀiÁV aªÀÄä¯ÁVzÉ. F PɼÀV£À PÉÆnÖgÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.(i) ¥ÀÅZÀÒ §gÀzÀAvÉ (ii) ºÉZÉÑAzÀgÉ JgÀqÀÄ ¥ÀÅZÀÒUÀ¼ÀÄ(iii) ¤¢ðµÀÖªÁV MAzÀÄ ²gÀ (iv) PÀ¤µÀ× MAzÀÄ ¥ÀÅZÀÒ

3. ªÀÄÆgÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß eÉÆvÉAiÀiÁV aªÀÄä¯ÁVzÉ F PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄßPÀAqÀÄ»r¬Äj.(i) PÀ¤µÀ× MAzÀÄ ²gÀ (ii) ºÉZÉÑAzÀgÉ JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼ÀÄ(iii) ²gÀªÀÅ §gÀzÀAvÉ (iv) J®èªÀÇ ²gÀUÀ¼ÀÄ §gÀĪÀAvÉ

4. JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆvÉAiÀiÁV J ÉAiÀįÁVzÉ F PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄßPÀAqÀÄ»r¬Äj.(i) ªÉÆvÀÛªÀÅ 8 PÉÌ ¸ÀªÀÄ (ii) ªÉÆvÀÛªÀÅ 12 QÌAvÀ PÀrªÉÄ(iii) 4 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀ ªÉÆvÀÛ (iv) UÀÄt®§Þ 12(v) UÀÄt®§ÞªÀÅ 20 QÌAvÀ PÀrªÉÄ (vi) 5 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀ UÀÄt®§Þ

5. 1 jAzÀ 50 gÀ ªÀgÉV£À ¸ÀASÉåUÀ¼À°è, MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj¸À ÁVzÉ. F PɼÀV£À¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.(i) MAzÀÄ C«¨sÁdå ÀASÉå (ii) MAzÀÄ ¥ÀÇtð WÀ£ÀªÀ®èzÀ ÀASÉå(iii) MAzÀÄ ¥ÀÇtð ªÀUÀð ¸ÀASÉå (iv) MAzÀÄ wæPÉÆäÃAiÀÄ ¸ÀASÉå(v) 6 gÀ MAzÀÄ C¥ÀªÀvÀåð (vi) 2 gÀ C¥ÀªÀvÀåðªÀ®è

6. ZÉ£ÁßV ¨ÉgɹzÀ 52 DlzÀ PÁqïðUÀ½AzÀ MAzÀÄ PÁqïð£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV vÉUÉAiÀįÁVzÉ. »ÃUÉvÉUÉAiÀįÁzÀ MAzÀÄ PÁqÀÄð F PɼÀV£ÀAvÉ ¥ÀqÉAiÀÄ §ºÀÅzÁzÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.(i) MAzÀÄ ¸ÉàÃqï (ii) MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ PÁqÀÄð

(iii) PÀ¥ÀÅà §tÚªÀ®èzÀ MAzÀÄ PÁqÀÄð (iv) MAzÀÄ gÁtÂ(v) MAzÀÄ ªÀdæªÀ®è (vi) MAzÀÄ K¸ï(vii) MAzÀÄ K¸ï C®è (viii) MAzÀÄ PÀ¥ÀÅà gÁd(ix) MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ eÁPï (x) 10QÌAvÀ PÀrªÉÄ ÀASÉåAiÀÄ MAzÀÄ ºÁmïð.

7. CAQUÀ¼ÀÄ ¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀzÀAvÉ 2, 5 ªÀÄvÀÄÛ 7 CAQUÀ½AzÀ JgÀqÀAQAiÀÄ MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß gÀa À ÁVzÉ.D ÀASÉåAiÀÄÄ F PɼÀV£ÀAvÉ DVgÀĪÀAvÉ gÀZÀ£ÉAiÀiÁUÀĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.(i) MAzÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉå (ii) 3 jAzÀ ¨sÁUÀªÁUÀĪÀ ¸ÀASÉå(iii) 52 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ (iv) 57 QÌAvÀ PÀrªÉÄ(v) 25 QÌAvÀ PÀrªÉÄ (vi) MAzÀÄ ¥ÀÇtð ¸ÀASÉå

8. 30 GvÀÛªÀÄ ªÀiÁ«£À ºÀtÄÚUÀ¼À eÉÆvÉ 9 PÉƼÉwgÀĪÀ ªÀiÁ«£À ºÀtÄÚUÀ¼ÀÄ ÉgÉvÀÄ ºÉÇÃVªÉ. AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁVMAzÀÄ ªÀiÁ«£À ºÀtÚ£ÀÄß Dj À ÁVzÉ. PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇAzÀĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.(i) MAzÀÄ GvÀÛªÀÄ ªÀiÁ«£À ºÀtÄÚ (ii) MAzÀÄ PÉƼÉvÀ ªÀiÁ«£À ºÀtÄÚ

9. ºÉÇð ºÀ§âzÀ ¸ÀAzÀ sÀðzÀ°è, ¸ÉÆ£Á°AiÀÄÄ PÉA¥ÀÅ, ¤Ã°, ºÀ¹gÀÄ, UÀįÁ©, ºÀ¼À¢, £ÉÃgÀ¼É ªÀÄvÀÄÛ QvÀۼɧtÚUÀ½AzÀ PÀÆrzÀ ¤ÃgÀ£ÀÄß 7 ¹Ã¸ÉUÀ¼À°è vÀÄA©zÀ¼ÀÄ. AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV MAzÀÄ ¹Ã¸ÉAiÀÄ£ÀÄß Dj¹zÀgÉ,PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.(i) QvÀÛ¼É §tÚ (ii) ºÀ¼À¢ §tÚªÀ®è (iii) PÀAzÀÄ §tÚ(iv) PÉA¥ÀÅ CxÀªÁ ºÀ¹gÀÄ (v) ºÀ¼À¢ CxÀªÁ UÀįÁ© AiÀiÁªÀÅzÀÆ DUÀ¢gÀĪÀÅzÀÄ.

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 117

10. MAzÀÄ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ°è 144 ÉÃR¤UÀ½zÀÄÝ, CªÀÅUÀ¼À°è 20 ÉÃR¤UÀ¼ÀÄ zÉÆõÀ¥ÀÇjvÀ ªÀÄvÀÄÛ G½zÀÉÃR¤UÀ¼ÀÄ GvÀÛªÀĪÁVªÉ. M§â ªÀåQÛAiÀÄÄ GvÀÛªÀĪÁVgÀĪÀ MAzÀÄ ÉÃR¤AiÀÄ£ÀÄß PÉÆAqÀÄPÉƼÀÄîvÁÛ£É,

zÉÆõÀ¥ÀÇjvÀªÁVzÀÝgÉ PÉÆAqÀÄPÉƼÀÄîªÀÅ¢®è. CAUÀr ªÀiÁ°ÃPÀ£ÀÄ ¥ÉnÖUɬÄAzÀ MAzÀÄ ÉÃR¤AiÀÄ£ÀÄßAiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV ºÉÇgÀ vÉUÉzÀÄ D ªÀåQÛUÉ PÉÆqÀÄvÁÛ£É. ªÀåQÛAiÀÄÄ ÉÃR¤AiÀÄ£ÀÄß

(i) PÉÆAqÀÄPÉƼÀÄîªÀ (ii) PÉÆAqÀÄPÉƼÀî¢gÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

11. EAVèÃµï ªÀtðªÀiÁ ÉAiÀÄ 26 CPÀëgÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV §gÉzÀÄ, (¥ÀÅ£ÀgÁªÀvÀð£ÉAiÀiÁUÀzÀAvÉ) MAzÀÄ¥ÉnÖUÉAiÀÄ°è EqÀ ÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ ZÉ£ÁßV PÀ®QzÉ. MAzÀÄ PÁqïð£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj¹zÉÝà DzÀgÉ PɼÀUÉPÉÆnÖgÀĪÀ PÁqïð §gÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(i) MAzÀÄ ¸ÀégÁPÀëgÀ (ii) MAzÀÄ ªÀåAd£ÁPÀëgÀ (iii) g ªÀÄvÀÄÛ t UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À CPÀëgÀ

(iv) 'p' £ÀAvÀgÀ §gÀĪÀ MAzÀPÀëgÀ (v)'m' VAvÀ »AzÉ §gÀĪÀ MAzÀPÀëgÀ

12. gÀPÀÛzÁ£À ªÀiÁrzÀ 60 «zÁåyðUÀ¼À gÀPÀÛzÀ UÀÄA¥À£ÀÄß PɼÀPÀAqÀ ¥ÀnÖAiÀÄÄ vÉÆÃj¸ÀÄwÛzÉ.

gÀPÀÛzÀ UÀÄA¥ÀÅ A B AB O

«zÁåyðUÀ¼À ¸ÀASÉå 16 12 9 23

M§â «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj¹zÁUÀ, gÀPÀÛzÀ UÀÄA¥ÀÅ PɼÀV£ÀAwgÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

(i) A (ii) B (iii) AB (iv) O (v) B DVgÀzÀAvÉ(vi) AB DVgÀzÀAvÉ (vii) A CxÀªÁ AB (viii) B CxÀªÁ O

13. A ªÀÄvÀÄÛ B JA§ E§âgÀÄ «ÄvÀæjzÁÝgÉ. EªÀj§âgÀ [C¢üPÀ ªÀµÀðªÀ£ÀÄß ¤®ðQë¹] d£Àä ¢£À F PɼÀV£ÀAvɧgÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

(i) MAzÉà ¢£À §gÀĪÀAvÉ (ii) ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¢£ÀUÀ¼ÀÄ §gÀĪÀAvÉ

14. MAzÀÄ ¥ÉnÖUÉAiÀÄ°ègÀĪÀ 12 ZÉAqÀÄUÀ¼À°è 'x' PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀÄUÀ½ªÉ.

(i) MAzÀÄ ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉzÁUÀ, PÉA¥ÀŧtÚzÀ ZÉAqÉÆAzÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

(ii) ¥ÉnÖUÉUÉ PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ 6 ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹zÁUÀ, PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ MAzÀÄ ZÉAqÀ£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ ªÉÆzÀ°VAvÀ FUÀ ¢éUÀÄtUÉƼÀÄîvÀÛzÉ. ºÁUÁzÀgÉ 'x' É ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ »r¬Äj.

15. MAzÀÄ DlªÀÅ JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß GgÀĽ¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß M¼ÀUÉÆArzÉ. F DlzÀ°è ªÉÆvÀÛªÀÅ 2, 3, 4, 5, 10,11 CxÀªÁ 12 §AzÀgÉ 'A' DlUÁgÀ£ÀÄ UÉ®ÄèvÁÛ£É. ªÉÆvÀÛªÀÅ 6, 7, 8 CxÀªÁ 9 §AzÀgÉ 'B' DlUÁgÀ£ÀÄUÉ®ÄèvÁÛ£É. EªÀj§âgÀ°è ¤ÃªÀÅ AiÀiÁgÁUÀÄwÛÃj. «ªÀj¹.

WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

ªÀÄƯÁA±ÀUÀ¼À DzsÁgÀzÀ ªÉÄÃ É ªÀVÃðPÀj¹gÀĪÀ WÀl£ÉUÀ¼À §UÉÎ E°èAiÀĪÀgÉUÉ PÀ°wzÉÝêÉ.

WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

RavÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

ªÀÄvÀÄÛ

C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

¸ÀgÀ¼À WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

CxÀªÁ

¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

¸ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

118 WÀlPÀ-5

¸ÀgÀ¼À WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ ¸ÀAAiÀÄÄPÀÛ WÀl£ÉUÀ¼ÁUÀ¢gÀĪÀ ÉÃgÉ PÉ®ªÀÅ WÀl£ÉUÀ¼À §UÉÎ PÀ°AiÉÆÃt.¥ÀÇgÀPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ (Complementary events)

MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¨ÁjUÉ GgÀĽ¹zÉ JAzÀÄ sÁ«¸ÉÆÃt JgÀqÀÄ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.(i) ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ - E

1 E

1 = {2, 4, 6}

(ii) ¨É À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ - E2 E

2 = {1, 3, 5}

FUÀ, ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt - " ÀªÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ¢gÀĪÀ WÀl£É" = {1, 3, 5}

¨É¸À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄ¢gÀĪÀ WÀl£É ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£É

F JgÀqÀÆ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇð¹. F JgÀqÀÆ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ MAzÉà DVzÉ. EzÀÄ {1, 3, 5} PÉÌ ÀªÀÄ£ÁVzÉ. E

1 E®èzÀAvÉ ªÀÄvÀÄÛ E

2 MAzÉà ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉ.

WÀl£É E2 AiÀÄÄ ÀA¨sÀ«¸À¢zÁÝUÀ ªÀiÁvÀæ WÀl£É E

1 ÀA¨sÀ«¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ CzÀ®Ä-

§zÀ®Ä DVgÀ§ºÀÅzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄvÉÛêÉ.E

1ªÀÄvÀÄÛ E

2, EªÉgÀqÀÄ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀÇgÀPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ J£ÀÄßvÉÛêÉ. CAzÀgÉ "E WÀl£É"AiÀÄÄ "E C®èzÀ

WÀl£ÉUÉ" UÉ ¥ÀÇgÀPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. ªÀÄvÀÄÛ "E C®èzÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ" "E WÀl£ÉUÉ" ¥ÀÇgÀPÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ. E WÀl£ÉAiÀÄ¥ÀÇgÀPÀ WÀl£ÉAiÀÄ£ÀÄß E ¤AzÀ ÀÆa ÀÄvÉÛêÉ. E WÀl£ÉAiÀÄ ¥ÀÇgÀPÀªÀ£ÀÄß WÀl£É "E C®èzÀÄÝ" JAzÀÆ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¥ÀÇgÀPÀªÀ£ÀÄß "MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¤µÉÃzsÀ CxÀªÁ C¨sÁªÀ JAzÀÆ PÀgÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.

FUÀ, MAzÀÄ WÀl£É E ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ¥ÀÇgÀPÀ WÀl£É E UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÉÆÃt.

ªÀÄÄA¢£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è PÉ®ªÀÅ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ, CªÀÅUÀ¼À ¥ÀÇgÀPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ¼À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß

¤ÃqÀ ÁVzÉ. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁr. P(E) ªÀÄvÀÄÛ P(E ) UÀ¼À §UÉÎ ¤ÃªÉãÀÄ wêÀiÁð¤¸ÀÄ«j?

AiÀiÁzÀÈaÒPÀ WÀl£É E E £À ¥ÀÇgÀPÀ WÀl£É P(E) P( E ) P(E) + P( E )

¥ÀæAiÉÆÃUÀ E WÀl£É C®èzÀÄÝ

MAzÀÄ £ÁtåªÀ£ÀÄß ²gÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ¥ÀÅZÀÒªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ 1

2

1

2

1 11

2 2

aªÀÄÄäªÀÅzÀÄ. CxÀªÁ MAzÀÄ ²gÀªÀ£ÀÄߥÀqÉAiÀÄ¢gÀĪÀÅzÀÄ.

S = {H, T} E = {H} E ={T}

n(s) = 2

MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß 3QÌAvÀ ºÉaÑ£À MAzÀÄ 3 QÌAvÀ ºÉZÀÑ®èzÀ MAzÀÄ 3

6

3

6

+ 3

6

= 1J ÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.

¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ

E = {4, 5, 6} E ={1,2,3}

S = {1,2,3,4,5,6} 3gÀ MAzÀÄ C¥À 3gÀ C¥ÀªÀvÀåðªÀ®èzÀ

n(S) = 6 ªÀvÀåðªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉ MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß2

6

4

6

2

6+

4

6 = 1

AiÀÄĪÀÅzÀÄ. ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ.E = {3,6} E = {1, 2, 4, 5}

3

6

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 119

ªÉÄð£À PÉÆõÀÖPÀ¢AzÀ £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÅzÁzÀ CA±ÀªÉãÉAzÀgÉ,

P(E) + P(E ) = 1 P(E ) = 1 – P(E)

CxÀªÁ P(E) + P(E C®èzÀÄÝ) = 1 P(E C®èzÀÄÝ) = 1 – P(E)

P(E) = 1 – P(E C®èzÀÄÝ)

ªÉÄð£À ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß UÀt sÁµÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹AiÀÄÆ £ÁªÀÅ Á¢ü À§ºÀÅzÀÄ.

E E = S ªÀÄvÀÄÛ E E = JA§ÄzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ.

n(E) + n(E ) = n(S)

ªÉÄð£À J¯Áè CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß n(S) ¤AzÀ ¨sÁV¹.

n(E)

n(S) +

n(E)

n(S)=

n(S)

n(S) P(E) + P(E ) = 1 P(E)= 1 – P(E )

¸ÀÆZÀ£É : MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'm' «zsÀUÀ¼À°è £ÀqÉzÀzÉÝà DzÀgÉ ªÀÄvÀÄÛ 'n' «zsÀUÀ¼À°è £ÀqÉAiÀÄzÉà EzÀÝgÉ,EªÉ®èªÀÇ ÀªÀiÁ£À ÁzsÀåªÁUÀĪÀAvÉ ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀÅzÁzÀgÉ,

WÀl£ÉAiÀÄÄ £ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ = m

m n WÀl£ÉAiÀÄÄ £ÀqÉAiÀÄ¢gÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ =

n

m n

¤zÀ±Àð£ÁvÀäPÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

GzÁºÀgÀuÉ 1: MAzÀÄ DlzÀ UÉ®ÄèªÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 0.3 DzÀgÉ CzÉà DlzÀ°è ÉÆîĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ : 'A' AiÀÄÄ DlzÀ UÉ®ÄèªÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ DUÀ°, A DlzÀ°è ÉÆîĪÀ WÀl£ÉAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ.

zÀvÀÛzÀ°ègÀĪÀAvÉ P(A) = 0.3

P(A) + P( A ) = 1 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ P( A ) = 1 - P(A) P( A ) = 1 - 0.3 = 0.7

DlzÀ°è ¸ÉÆîĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 0.7 DVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2: A AiÀÄÄ MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ WÀl£É P(A) : P( A ) = 5:11 DzÀgÉ (i) P(A) ªÀÄvÀÄÛ

P( A ) UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj. (ii) P(A) + P( A ) = 1 JA§ÄzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¹.

¥ÀjºÁgÀ : (i) P(A) : P( A ) = 5:11

P(A)

P(A)

5

1111 P(A) = 5 P( A )

11 P(A) = 5 [1-P(A)] ( P(A) + P( A ) = 1)

11 P(A) = 5 – 5 P(A), 11 P(A) + 5 P(A) = 5, 16 P(A) = 5

AiÉÆÃa¹! AiÀiÁªÀÅzÉà AiÀiÁzÀÈaÒPÀ¥ À æAi ÉÆÃU Àz À° è , MAz ÀÄ RavÀ

WÀl£ÉAiÀÄÄ MAzÀÄ C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£ÉUÉ

¥ÀÇgÀP ÀªÁUÀÄvÀ Ûz ÉAi ÉÄÃ? ª ÉÄïÉZÀað¹zÀ ÀA§AzsÀªÀÅ F WÀl£ÉUÀ½UɸÀj ºÉÆAzÀÄvÀÛªÉAiÉÄÃ? ZÀað¹.

120 WÀlPÀ-5

P(A) = 5

16 P( A ) = 1 – P(A) = 1 –

5

16

P( A ) = 11

16

(ii) P(A) + P( A ) = 1

JqÀ sÁUÀ = P(A) + P( A ) = 5

16 +

11

16 =

16

16 = 1 = §®¨sÁUÀ

¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ [Mutually exclusive events]

MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß J¸ÉAiÀÄĪÀ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸ÉÆÃt. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

F PɼÀV£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹.E

1 3 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. E

1 = {1, 2}

E2 4 QÌAvÀ PÀrªÉÄ EgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÀÄ. E

2 = {5, 6}

E1 ªÀÄvÀÄÛ E

2 UÀ¼ÀÄ ¥ÀÇgÀPÀ WÀl£ÉUÀ¼À®è. E

1 E

2 S

ºÁUÁzÀgÉ, EªÀÅ AiÀiÁªÀ jÃwAiÀÄ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ?

E1 ªÀÄvÀÄÛ E

2 WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ KPÀPÁ®zÀ°è CxÀªÁ MªÉÄäUÉ ¸ÀA¨sÀ«¸ÀĪÀÅ¢®è JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. E

1

WÀl£ÉAiÀÄÄ, E2 WÀl£É ÀA¨sÀ«¸À¢zÁÝUÀ ªÀiÁvÀæ £ÀqÉAiÀÄÄvÀÛzÉ. ªÀÄvÀÄÛ CzÀ®Ä-§zÀ®Ä DUÀĪÀ ÁzsÀåvɬÄzÉ.

ºÁUÁV, E1 ªÀÄvÀÄÛ E

2 WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. CAzÀgÉ, MAzÀÄ

WÀl£ÉAiÀÄ ÀA¨sÀªÀªÀÅ, ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ÀA¨sÀªÀªÀ£ÀÄß ªÀåfð¸ÀÄvÀÛzÉ.

JgÀqÀÄ CxÀªÁ CzÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼ÉAzÀÄ ºÉüÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ, MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ

¸ÀA¨sÀ«¸ÀÄ«PÉAiÀÄÄ, ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀ«¸ÀÄ«PÉAiÀÄ£ÀÄß vÀqÉAiÀĨÉÃPÀÄ CxÀªÁ ªÀåfð¸À¨ÉÃPÀÄ.

E1 ªÀÄvÀÄÛ E

2 UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼ÁzÀgÉ,

1 2E E DUÀÄvÀÛzÉ.

UÀtUÀ¼À vÀvÀézÀ sÁµÉAiÀÄ°è, E1 ªÀÄvÀÄÛ E

2 UÀ¼ÀÄ ÉÃ¥ÀðlÖ UÀtUÀ¼ÀÄ CªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉà ÁªÀiÁ£Àå ¥sÀ°vÀUÀ¼À£ÀÄß

CxÀªÁ ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀÅ¢®è. n(E1 E

2) = n(E

1) + n(E

2)

JgÀqÀÆ PÀqÉ n(S) ¤AzÀ ¨sÁV¹zÁUÀ,

1 2n(E E )

n(S) =

21 n(E )n(E )

n(S) n(S) P(E

1 E

2) = P(E

1) + P(E

2)

F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß "¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ¸ÀAPÀ®£À ¤AiÀĪÀÄ" J£ÀÄßvÉÛêÉ.

UÀªÀĤ¹.

• F ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä §¼À ÀÄvÉÛêÉ.• JgÀqÀQÌAvÀ ºÉaÑ£À, ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ½UÀÆ F ¤AiÀĪÀĪÀ£ÀÄß «¸ÀÛj¸ÀÄvÉÛêÉ.

E1, E

2, E

3 ...............E

n UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼ÁzÀgÉ,

P(E1 E

2 E

3 ...........E

n) = P(E

1) + P(E

2) + P(E

3) ...........P(E

n)

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 121

¤zÀ±Àð£ÁvÀäPÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

GzÁºÀgÀuÉ 1: JgÀqÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß KPÀPÁ®zÀ°è aªÀÄä¯ÁVzÉ. ¤¢ðµÀÖªÁV JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ PÀ¤µÀ× MAzÀÄ

¥ÀÅZÀÒ ªÉÄÃ¯É §gÀĪÀAvÀºÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : S ={HH, HT, TH, TT} n(S) = 4

¤¢ðµÀÖªÁV JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'A' DVgÀ°.

DUÀ, A = {HH} ªÀÄvÀÄÛ n(A) = 1 P(A) =(A) 1

(S) 4

n

n

PÀ¤µÀ× MAzÀÄ ¥ÀÅZÀÒªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ B DVgÀ°.

DUÀ B = {HT, TH, TT} ªÀÄvÀÄÛ n(B) = 3 P(B) = (B) 3

(S) 4

n

n

FUÀ, A ªÀÄvÀÄÛ B WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀdåð WÀl£ÉUÀ¼ÁVªÉ. P(AB) = P(A) + P(B) ( ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ¸ÀAPÀ®£À ¤AiÀĪÀÄ)

P(AB) = 1

4+

3

4=1

¤¢ðµÀÖªÁV JgÀqÀÄ ²gÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ PÀ¤µÀ× MAzÀÄ ¥ÀÅZÀÒªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 1 DVzÉ.GzÁºÀgÀuÉ 2: JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß eÉÆvÉAiÀiÁV J¸ÉAiÀįÁVzÉ. ªÉÆvÀÛªÀÅ 10 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ CxÀªÁ ªÉÆvÀÛªÀÅ 5 QÌAvÀ

PÀrªÉÄ DV ªÉÄÃ¯É §gÀĪÀAvÀºÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß J¸ÉzÁUÀ, n(S) = 36 JAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ UÉÆwÛzÉ ªÉÆvÀÛªÀÅ 10QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ §gÀĪÀAvÉ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'A' DVgÀ°

DUÀ, A = {(5,6), (6,5), (6,6)}

n(A) = 3 P(A) = (A)

(S)

n

n =

3

36

ªÉÆvÀÛªÀÅ 5 QÌAvÀ PÀrªÉÄ §gÀĪÀAvÉ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'B' DVgÀ°.DUÀ B = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}

n(B) = 6 P(B) =(B)

(S)

n

n =

6

36

FUÀ A ªÀÄvÀÄÛ B WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀådð WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ P(AB) = P(A) + P(B) (¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ÀAPÀ®£ÀzÀ ¤AiÀĪÀÄ)

P(AB) = 3 6

36 36 P(AB) =

9 1

36 4

JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ½AzÀ, ªÉÆvÀÛªÀÅ 10 QÌAvÀ ºÉZÀÄÑ CxÀªÁ ªÉÆvÀÛªÀÅ 5 QÌAvÀ PÀrªÉÄ DVgÀĪÀAvÉ

¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 9

36 CxÀªÁ

1

4 DVzÉ.

122 WÀlPÀ-5

GzÁºÀgÀuÉ 3 : ZÉ£ÁßV ¨ÉgɹzÀ 52 PÁqïðUÀ¼À MAzÀÄ ¥ÁåPï¤AzÀ MAzÀÄ PÁqïð£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV

ºÉÇgÀUɼÉAiÀįÁVzÉ. MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ PÁqÀÄð CxÀªÁ MAzÀÄ PÀ¥ÀÅà gÁd CxÀªÁ MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß

ºÉÇA¢gÀĪÀ MAzÀÄ PÀè ïPÁqÀð£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ PÁqïð£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'A' DVgÀ°n(A) = 13 qÉʪÀÄAqï + 13 ºÁmïìð = 26

MAzÀÄ PÀ¥ÀÅà gÁd£À PÁqÀð£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'B' DVgÀ°n(B) = 1 ¸ÉàÃqï gÁd + 1 PÀè ï gÁd = 2

MAzÀÄ ÀªÀĸÀASÉåAiÉÆA¢UÉ MAzÀÄ PÀè ïPÁqÀð£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'C' DVgÀ°.n(C) = 2, 4, 6, 8, 10 ¸ÀASÉåUÀ¼ÉÆA¢V£À 5 PÀè ï PÁqÀÄðUÀ¼ÀÄ = 5

P(A) = 26

52, P(B) =

2

52, P(C) =

5

52

FUÀ A, B ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀådð WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)

P(ABC) =26

52+

2

52 +

5

52P(ABC) =

26 2 5

52 =

33

52

MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ PÁqÀÄð CxÀªÁ MAzÀÄ PÀ¥ÀÅà gÁd CxÀªÁ MAzÀÄ ÀªÀĸÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ MAzÀÄ

PÀè ï C£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 33

52DVzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 4 : 'MATHEMATICIAN' JA§ ¥ÀzÀzÀ CPÀëgÀUÀ½AzÀ MAzÀÄ CPÀëgÀªÀ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV

Dj¸À¯ÁVzÉ. M CxÀªÁ A CPÀëgÀªÀ£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 'MATHEMATICIAN' JA§ ¥ÀzÀzÀ°è 13 CPÀëgÀUÀ½ªÉ. n(S) = 13

M JA§ CPÀëgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'E' DVgÀ°. n(E) = 2

P(E) = (E)

(S)

n

n =

2

13

A JA§ CPÀëgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'F' DVgÀ°. n(F) = 3

P(F) = (F)

(S)

n

n =

3

13

FUÀ E ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀådð WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

P(EF) = P(E) + P(F) = 2

13 +

3

13 =

5

13

GzÁºÀgÀuÉ 5 : MAzÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è, 40% gÀµÀÄÖ «zÁåyðUÀ¼ÀÄ ¥Àj¸ÀgÀ ¸ÀAWÀ (eco-club) ªÀÄvÀÄÛ 25% gÀµÀÄÖ

«zÁåyðUÀ¼ÀÄ UÀtÂvÀ ÀAWÀzÀ ÀzÀ¸ÀågÁVzÁÝgÉ. vÀgÀUÀw¬ÄAzÀ M§â «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj¸À¨ÉÃPÁzÀgÉ,

JgÀqÀÆ ¸ÀAWÀUÀ¼À ¸ÀzÀ¸Àå£ÁVgÀzÀ «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ : ¥Àj¸ÀgÀ ¸ÀAWÀzÀ ¸ÀzÀ Àå£ÁUÀ®Ä Dj¸ÀĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'A' DVgÀ°. P(A) = 40

100 =

2

5

UÀtÂvÀ ¸ÀAWÀzÀ ¸ÀzÀ Àå£ÁUÀ®Ä Dj¸ÀĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ 'B' DVgÀ°. P(B) = 25

100 =

1

4

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 123

A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀådð WÀl£ÉUÀ¼ÁzÀ PÁgÀt P(AB) = P(A) + P(B) DVzÉ.

P(AB) = 2

5 +

1

4 =

13

20 ¥Àj¸ÀgÀ ÀAWÀ CxÀªÁ UÀtÂvÀ ÀAWÀzÀ ÀzÀ Àå£ÁVgÀĪÀ M§â «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 13

20DVzÉ.

FUÀ, ¥Àj¸ÀgÀ ¸ÀAWÀ CxÀªÁ UÀtÂvÀ ¸ÀAWÀzÀ ¸ÀzÀ Àå£ÁVgÀzÀ M§â «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ WÀl£ÉAiÀÄÄ'C' DVzÀÄÝ, CzÀÄ (AB) WÀl£ÉAiÀÄ ¥ÀÇgÀPÀWÀl£ÉAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.

P(AB) + P(C) = 1

P(C) = 1 - P(AB) = 1 – 13

20 =

7

20

JgÀqÀÆ ¸ÀAWÀUÀ¼À ÀzÀ Àå£ÁVgÀzÀ, M§â «zÁåyðAiÀÄ£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 7

20

GzÁºÀgÀuÉ 6 : A, B ªÀÄvÀÄÛ C WÀl£ÉUÀ¼À°è, MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀªÀÅ ªÀÄÆgÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀådð

WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ªÀiÁvÀæ ºÉÇA¢zÉ. P(A) = 3

2 P(B) ªÀÄvÀÄÛ P(C) =

1

2P(A) DzÀgÉ P(B) AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : P(B) = a DVgÀ°, DUÀ P(A) = 3

2 P(B) =

3

2a

ºÁUÉAiÉÄÃ, P(C) =1

2 P(A) =

1

2 ×

3

2a =

3

4a

zÀvÀÛzÀ°è w½¹gÀĪÀAvÉ, A, B ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀådð WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)

P(S) = 1, DzÀPÁgÀt P(A) + P(B) + P(C) =1 DUÀÄvÀÛzÉ.

3

2a + a +

3

4a = 1,

6 + 4 + 3

4

a a a = 1 13a = 4

a = 4

13 CxÀªÁ P(B) =

4

13

C¨sÁå¸À 5.3

1. MAzÀÄ ¤¢ðµÀÖ ¢£ÀzÀ°è ªÀÄ¼É ©Ã¼ÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 0.64 DVzÉ. CzÉà ¢£À ªÀÄ¼É ©Ã¼À¢gÀĪÀ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

2. MAzÀÄ £ÀªÀÄÆ£É (sample) ¬ÄAzÀ zÉÆõÀ¥ÀÇjvÀªÀ®èzÀ MAzÀÄ ¥ÀzÁxÀðªÀ£ÀÄß Dj ÀĪÀ ÀA sÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ

7

12 DVzÉ. zÉÆõÀ¥ÀÇjvÀªÁzÀ MAzÀÄ ¥ÀzÁxÀðªÀ£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3. ªÀÄÆgÀÄ gÀ ÉÛUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ¸ÀܼÀzÀ°è ¸ÀAUÀ«Ä¸ÀÄwÛªÉ. CªÀÅUÀ¼À°è MAzÀÄ gÀ ÉÛAiÀÄÄ ¤ªÀiÁðtzÀ ºÀAvÀzÀ°èzÉ.EªÀÅUÀ¼À°è MAzÀÄ gÀ ÉÛAiÀÄ£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj¸À ÁVzÉ. ¤ªÀiÁðt ºÀAvÀzÀ°ègÀĪÀ gÀ ÉÛ ªÀÄvÀÄÛ¤ªÀiÁðt ºÀAvÀzÀ°è®èzÀ gÀ ÉÛAiÀÄ DAiÉÄÌAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ ¤ªÀiÁðt ºÀAvÀzÀ°ègÀĪÀ gÀ ÉÛ CxÀªÁ¤ªÀiÁðt ºÀAvÀzÀ°è®èzÀ gÀ ÉÛAiÀÄ DAiÉÄÌAiÀÄ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉUÉ ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.

124 WÀlPÀ-5

4. A JA§ÄzÀÄ MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ WÀl£ÉAiÀiÁVzÀÄÝ, P(A) : P( A ) = 6:15 DzÀgÉ,

i) P(A) ii) P( A ) UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀådð WÀl£ÉUÀ¼ÁVzÀÄÝ P(A) = 3

5 ªÀÄvÀÄÛ P(B) =

2

7 DzÀgÉ,

P(AB) AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

6. JgÀqÀÄ £ÁtåUÀ¼À£ÀÄß KPÀPÁ®zÀ°è aªÀÄä¯ÁVzÉ. JgÀqÀÆ ²gÀUÀ¼ÀÄ CxÀªÁ JgÀqÀÆ ¥ÀÅZÀÒUÀ¼ÀÄ §gÀĪÀAvÉWÀl£ÉAiÀÄ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

7. MAzÀÄ zÁ¼ÀªÀ£ÀÄß J¸ÉAiÀįÁVzÉ. MAzÀÄ ¨É À ¸ÀASÉå CxÀªÁ MAzÀÄ ªÀUÀð ¸ÀASÉåAiÀÄÄ §gÀĪÀ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

8. 1 jAzÀ 25 ÀASÉåUÀ¼À ÀASÁå PÁqïðUÀ½AzÀ MAzÀÄ ÀASÉåAiÀÄ PÁqÀð£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj À ÁVzÉ.3 jAzÀ CxÀªÁ 11 jAzÀ sÁUÀªÁUÀĪÀ ¸ÀASÉåAiÀÄÄ §gÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

9. JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß KPÀPÁ®zÀ°è GgÀĽ¸À ÁVzÉ. zÁ¼ÀUÀ¼À ªÀÄÄRUÀ¼À ªÉÄÃ É ©Ã¼ÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀªÉÆvÀÛªÀÅ 4 jAzÀ CxÀªÁ 5 jAzÀ sÁUÀªÁUÀzÀAvÉ §gÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

10. JgÀqÀÄ zÁ¼ÀUÀ¼À£ÀÄß KPÀPÁ®zÀ°è GgÀĽ¸À ÁVzÉ. zÁ¼ÀUÀ¼À ªÀÄÄRUÀ¼À ªÉÄÃ É ©Ã¼ÀĪÀ ¸ÀASÉåUÀ¼ÀUÀÄt®§ÞªÀÅ 5 jAzÀ CxÀªÁ 7 jAzÀ sÁUÀªÁUÀĪÀAvÉ §gÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

11. ZÉ£ÁßV ÉgɹzÀ 52 PÁqïðUÀ½AzÀ MAzÀÄ PÁqÀð£ÀÄß vÉUÉAiÀįÁVzÉ.(i) MAzÀÄ qÉʪÀÄAqï CxÀªÁ MAzÀÄ ¸ÉàÃqï(ii) MAzÀÄ PÉA¥ÀÅ §tÚzÀ PÁqÀÄð CxÀªÁ MAzÀÄ PÀ¥ÀÅà §tÚzÀ PÁqÀÄð(iii) MAzÀÄ K¸ï CxÀªÁ MAzÀÄ eÁPï CxÀªÁ MAzÀÄ gÁtÂ(iv) 9 CxÀªÁ 10 CxÀªÁ 8 CxÀªÁ 4 ÀASÉå, §gÀĪÀAvÉ MAzÀÄ PÁqïð£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄßPÀAqÀÄ»r¬Äj.

12. MAzÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀzÀ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ UɮĪÀÅ CxÀªÁ ÉÆÃ®Ä DVzÉ. Uɮī£À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄĸÉÆð£À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ªÀÄÆgÀgÀ¶ÖzÉ. ºÁUÁzÀgÉ Uɮī£À ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

PÀæªÀÄAiÉÆÃd£É ªÀÄvÀÄÛ «PÀ®àUÀ¼À ¯ÉPÁÌZÁgÀUÀ¼À£ÀÄß M¼ÀUÉÆAqÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ ªÉÄð£À ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼ÀÄ :

MAzÀÄ WÀl£ÉAiÀÄ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PɼÀUÉ ¸ÀÆa¸À ÁzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¥ÀæªÀÄÄRªÁzÀ ºÀAvÀUÀ½AzÀPÀAqÀÄ»rAiÀÄÄvÉÛêÉAzÀÄ £ÀªÀÄUÉ w½¢zÉ. CªÀÅUÀ¼ÉAzÀgÉ

(i) n (S) £ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ (ii) n (A) £ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ

(iii) P(A) = (A)

(S)

n

n ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß §¼À¹ P (A) £ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀÄ

F WÀlPÀzÀ°è E°èAiÀĪÀgÉUÉ ZÀað¹zÀ J¯Áè ¤zÀ±Àð£ÀUÀ¼À°è ¥ÁæxÀ«ÄPÀ WÀl£ÉUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀnÖ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀjAzÀ,ªÀÈPÀë £ÀPÉë (tree diagram) CxÀªÁ MAzÀÄ PÉÆõÀÖPÀªÀ£ÀÄß gÀa¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ n(A) ªÀÄvÀÄÛ n(S) UÀ¼À£ÀÄßPÀAqÀÄ»rzɪÀÅ.

PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «PÀ®àUÀ¼À ¸ÀASÉåAiÀÄ£ÀÄß ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀĪÀ ªÀÄÆ®PÀ n(A) ªÀÄvÀÄÛ n(S)

UÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ PÉ®ªÀÅ ÀªÀĸÉåUÀ½gÀÄvÀÛªÉ.

¤zÀ±Àð£ÁvÀäPÀ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼ÀÄ

GzÁºÀgÀuÉ 1 : PÁqÀÄðUÀ¼À ªÉÄÃ¯É 1 jAzÀ 25gÀ ªÀgÉUÉ ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß §gÉAiÀįÁVzÉ. MAzÁzÀ £ÀAvÀgÀ MAzÀgÀAvÉ

JgÀqÀÄ PÁqÀÄðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀįÁVzÉ. MAzÀÄ PÁrð£À ªÉÄð£À ÀASÉåAiÀÄÄ 7gÀ C¥ÀªÀvÀåð ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄvÉÆÛAzÀgÀ ªÉÄïÉ

11gÀ C¥ÀªÀvÀåð §gÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 125

¥ÀjºÁgÀ : 7 gÀ C¥ÀªÀvÀåð PÁqÀÄðUÀ¼ÉAzÀgÉ, {7, 14, 21} ªÀÄvÀÄÛ 11 gÀ C¥ÀªÀvÀåð PÁqÀÄðUÀ¼ÉAzÀgÉ {11, 22} DVzÉ.

n(s) = 25

C2

n(A)=3C

1

2C

1

¨ÉÃPÁVgÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ =

3 2

1 1

25

2

C C

C =

3 2

300=

6 1

300 50

7gÀ C¥ÀªÀvÀåð MAzÀÄ PÁqÀÄð ªÀÄvÀÄÛ 11gÀ C¥ÀªÀvÀåð ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÁqïðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ

¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 1

50 DVgÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 2 : ZÉ£ÁßV ¨ÉgɹzÀ 52 PÁqÀÄðUÀ½AzÀ, AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV 4 PÁqÀÄðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀįÁVzÉ.

i) J®èªÀÇ qÉʪÀÄAqïUÀ¼ÁVgÀĪÀ

ii) JgÀqÀÄ ¸ÉàÃqï ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ ºÁmïðUÀ¼ÁVgÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : i) n(A) = 13C4 n(S) = 52C

4

P(A) = 4

4

52

13C

C=

13 12 11 10

52 51 50 49=

11

4165

J®èªÀÇ qÉʪÀÄAqïUÀ¼ÁVgÀĪÀAvÉ, 4 PÁqÀÄðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 11

4165DVzÉ.

ii) 13 ÉàÃqïUÀ½AzÀ 2 ÉàÃqïUÀ¼À£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÉAzÀgÉ 13C2 ªÀÄvÀÄÛ 13 ºÁmïðUÀ½AzÀ JgÀqÀÄ

ºÁmïðUÀ¼À£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ «zsÀ 13C2

P(B) = 2 2

4

52

13 13C C

C

=

13 12 13 124682 2

52 51 50 49 20825

4 3 2 1

JgÀqÀÄ ÉàÃqïUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ ºÁmïðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 468

20825DVgÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 3: MAzÀÄ ÁPïì£À°è 4 PÉA¥ÀÅ ªÀÄvÀÄÛ 3 PÀ¥ÀÅà UÉÆðUÀ½ªÉ. 4 UÉÆðUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV Dj¸À¯ÁVzÉ.

PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

(a) A = JgÀqÀÄ UÉÆðUÀ¼ÀÄ PÉA¥ÀÅ (b) B = J¯Áè UÉÆðUÀ¼ÀÄ PÉA¥ÀÅ

(c) C = J¯Áè UÉÆðUÀ¼ÀÆ PÀ¥ÀÅà

¥ÀjºÁgÀ : ¨ÁQì£À°è 7 UÉÆðUÀ½ªÉ. EªÀÅUÀ¼À°è 4 UÉÆðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ = 7C4

n(S) = 35

(a) 4 PÉA¥ÀÅ UÉÆðUÀ½AzÀ 2 PÉA¥ÀÅUÉÆðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀÄĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ = 4C2

= 6

G½zÀ JgÀqÀÄ UÉÆðUÀ¼ÀÄ PÀ¥ÀÅà UÉÆðUÀ¼ÁVgÀ ÉèÉÃPÁzÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ = 3C2

= 3

126 WÀlPÀ-5

n(A) = 4C2 3C

2 = 6 3 = 18

P(A) = (A)

(S)

n

n =

18

35

(b) 4 PÉA¥ÀÅ UÉÆðUÀ½AzÀ 4 PÉA¥ÀÅUÉÆðUÀ¼À£ÀÄß Dj¸ÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ = 4C4 = 1

n(B) = 1 P(B) = 1

35

(c) C AiÀÄÄ C¸ÀA¨sÀªÀ WÀl£É. KPÉAzÀgÉ 3 PÀ¥ÀÅà UÉÆðUÀ½AzÀ 4 PÀ¥ÀÅà UÉÆðUÀ¼À£ÀÄß Dj¸À®Ä ¸ÁzsÀå«®è. P(C) = 0

GzÁºÀgÀuÉ 4 : MAzÀÄ aîzÀ°è 6 PÉA¥ÀÅ, 7 ©½ ªÀÄvÀÄÛ 7 PÀ¥ÀÅà ZÉAqÀÄUÀ½ªÉ. JgÀqÀÄ ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV

Dj¸À¯ÁVzÉ. JgÀqÀÄ ZÉAqÀÄUÀ¼ÀÄ PÉA¥ÁVgÀĪÀ CxÀªÁ JgÀqÀÆ ZÉAqÀÄUÀ¼ÀÄ PÀ¥ÁàVgÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß

PÀAqÀÄ»r¬Äj.

¥ÀjºÁgÀ : 20 ZÉAqÀÄUÀ½AzÀ 2 ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ n(S) = 20C2 =

20 19

1 2 = 190

n(S) = 190

6 PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀÄUÀ½AzÀ 2 PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ 6C2 = 15

n(A) = 15 P(2 PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀÄUÀ¼ÀÄ) = 15

190

7 PÉA¥ÀÅ ZÉAqÀÄUÀ½AzÀ, 2 PÀ¥ÀÅà ZÉAqÀÄUÀ¼À£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ «zsÀUÀ¼ÀÄ = 7C2 = 21

n(B) = 21

P(2 PÀ¥ÀÅà ZÉAqÀÄUÀ¼ÀÄ) = 21

190

ªÉÄð£À JgÀqÀÄ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ ÀàgÀ ¥ÀævÉåÃPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

P(PÉA¥ÀÅ CxÀªÁ PÀ¥ÀÅà) = 15

190 +

21

190 =

36

190 =

18

95

JgÀqÀÄ ZÉAqÀÄUÀ¼ÀÄ PÉA¥ÀÅ CxÀªÁ PÀ¥ÁàVgÀĪÀAvÉ DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ 18

95DVgÀÄvÀÛzÉ.

GzÁºÀgÀuÉ 5 : MAzÀÄ ªÁ°¨Á¯ï ¥ÀAzÁåªÀ½AiÀÄ°è ¨sÁgÀvÀ, £ÉÃ¥Á¼À, §ÆvÁ£ï, ¥ÁQ¸ÁÛ£À ªÀÄvÀÄÛ ²æîAPÁ

zÉñÀUÀ¼À vÀAqÀUÀ¼ÀÄ ¸Àà¢üð¹ªÉ. ¸ÀàzsÁð «eÉÃvÀgÀÄ I, II CxÀªÁ III §ºÀŪÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. F ªÀÄÆgÀÄ

§ºÀŪÀiÁ£ÀUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ §ºÀŪÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¨sÁgÀvÀªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

¥ÀjºÁgÀ : ¨sÁgÀvÀªÀÅ I £ÉAiÀÄ §ºÀŪÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀÅzÁzÀgÉ, G½zÀ JgÀqÀÄ §ºÀŪÀiÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß 4P2 «zsÀUÀ¼À°è

PÀæªÀÄAiÉÆÃf¸À§ºÀÅzÀÄ.DzÀÝjAzÀ ¨sÁgÀvÀªÀÅ I£ÉAiÀÄ §ºÀŪÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄß

¥ÀqÉAiÀÄĪÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼ÀÄ = 4P

2

¨sÁgÀvÀªÀÅ «eÉÃvÀªÁUÀ§ºÀÅzÁzÀ PÀæªÀÄAiÉÆÃd£ÉUÀ¼À ¸ÀASÉå = 3 × 4P2. DzÀgÉ n (S) = 5P

3

sÁgÀvÀªÀÅ F §ºÀŪÀiÁ£ÀUÀ¼À°è AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ =4

2

5

3

3 P

P=

3 4 3

5 4 3=

3

5

sÁgÀvÀªÀÅ AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ §ºÀŪÀiÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄÄ

3

5 DVgÀÄvÀÛzÉ

ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ 127

C sÁå À 5.4

1. MAzÀÄ §ÄnÖAiÀÄ°è 2 PÉA¥ÀÅ ªÀÄvÀÄÛ 2 ºÀ¼À¢ ºÀƪÀÅUÀ½ªÉ. MAzÀÄ ªÀÄUÀĪÀÅ 3 ºÀƪÀÅUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁVDAiÉÄÌ ªÀiÁrPÉƼÀÄîvÀÛzÉ. DAiÉÄÌ ªÀiÁrPÉÆAqÀ JgÀqÀÄ ºÀƪÀÅUÀ¼ÀÄ ºÀ¼À¢AiÀiÁVgÀĪÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

2. 5 d£ÀgÀ MAzÀÄ À«ÄwAiÀÄ°è ±ÉÃRgÀ£ÀÄ M§â ÀzÀ Àå. F 5 d£ÀjAzÀ 3 d£ÀgÀ£ÀÄß DAiÉÄÌ ªÀiÁqÀ ÉÃPÁzÀgÉ,¸À«ÄwAiÀÄ°è ±ÉÃRgÀ£ÀÄ EgÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

3. 52 PÁqÀÄðUÀ¼ÀļÀî MAzÀÄ ¥ÁåPï¤AzÀ AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV 3 PÁqïðUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉAiÀįÁVzÉ. »ÃUÉ vÉUÉAiÀįÁzÀJ¯Áè ªÀÄÆgÀÄ PÁqÀÄðUÀ¼ÀÄ gÁd DVgÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

4. ZÉ£ÁßV ÉgɹzÀ 52 PÁqÀÄðUÀ¼À ÀAUÀæºÀ¢AzÀ 7 PÁqÀÄðUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV vÉUÉzÁUÀ, D PÁqÀÄðUÀ¼ÀÄi) J®èªÀÇ eÁPïUÀ¼ÀÄ ii) ªÀÄÆgÀÄ eÁPïUÀ¼ÀÄ iii) PÀ¤µÀ× ªÀÄÆgÀÄ eÁPïUÀ¼ÀÄDVgÀĪÀAvÉ §gÀĪÀ ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

5. ZÀzÀÄgÀAUÀzÀ ªÀÄÆgÀÄ ZËPÀUÀ¼À£ÀÄß AiÀiÁzÀÈaÒPÀªÁV DAiÉÄÌ ªÀiÁrPÉƼÀî ÁVzÉ. »ÃUÉ DAiÉÄÌ ªÀiÁrPÉÆAqÀZËPÀUÀ¼À°è, JgÀqÀÄ ZËPÀUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ §tÚªÀ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ G½zÀ ZËPÀªÀÅ ©ü£ÀߪÁzÀ §tÚªÀ£ÀÄß ºÉÇA¢gÀĪÀ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.

6. 4 ¥ÀÅgÀĵÀgÀÄ ªÀÄvÀÄÛ 3 ªÀÄ»¼ÉAiÀÄjAzÀ, 5 d£ÀgÀ MAzÀÄ ¸À«ÄwAiÀÄ£ÀÄß gÀa¸À ÁVzÉ. D ¸À«ÄwAiÀÄ°è.(i) M§â ¥ÀÅgÀĵÀ (ii) E§âgÀÄ ¥ÀÅgÀĵÀgÀÄ (iii) E§âgÀÄ ªÀÄ»¼ÉAiÀÄgÀÄ (iv) PÀ¤µÀ× E§âgÀÄ ¥ÀÅgÀĵÀgÀÄEgÀĪÀ ¸ÀA¨sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ JµÀÄÖ?

ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

¥ÁæAiÉÆÃVPÀ ¸ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

¤¢ðµÀÖ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ AiÀiÁzÀÈaÒPÀ ¥ÀæAiÉÆÃUÀUÀ¼ÀÄ

¥sÀ°vÀ UÀt S

WÀl£É A S

WÀl£ÉAiÀÄ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ n(E)

n(S)

¸ÉÊzÁÞAwPÀ ÀA sÀªÀ¤ÃAiÀÄvÉ

P(E)= WÀl£É £ÀqÉzÀ AiÀÄvÀßUÀ¼À ÀASÉå

AiÀÄvÀßUÀ¼À MlÄÖ ¸ÀASÉå

P(E) = 1

P(E) = 0

P(E E ) =P(E )+P(E )1 2 1 2

P(E) = 1–P(E)–

RavÀ WÀl£É

C ÀA sÀªÀ WÀl£É

¥ÀÆgÀPÀ WÀl£ÉUÀ¼ÀÄ

¥ÀgÀ ÀàgÀ ªÀdåðWÀl£É

–

128 WÀlPÀ-5

GvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ

C¨sÁå À 5.1

1] 0.179, 0.15, 0.157, 0.149, 0.175, 0.19

2] (i) 61

806(ii)

225

730(iii)

360

4643]

3

304. (i)

135

200(ii)

65

200

5] (i) 158

850(ii)

416

850(iii)

276

8506] (i)

32

200(ii)

128

200(iii)

40

200

C¨sÁå À 5.2

1] (i) 1

6(ii)

2

6(iii)

1

6(iv)

5

62] (i)

1

4(ii)

4

4(iii)

2

4 (iv)

3

4

3] (i) 7

8 (ii)

7

8(iii)

1

8(iv)

1

84] (i)

5

36(ii)

35

36(iii)

9

36(iv)

4

36

(v) 28

36(vi)

11

365] (i)

15

50(ii)

47

50(iii)

7

50(iv)

9

50(v)

8

50(vi)

25

50

6] (i) 13

52(ii)

26

52(iii)

26

52(iv)

4

52(v)

39

52(vi)

4

52(vii)

48

52

(viii) 2

52(ix)

2

52(x)

8

527] (i)

1

6(ii)

4

6(iii)

3

6(iv)

3

6(v) 0

(vi) 1 8] (i) 30

39(ii)

9

399] (i)

1

7(ii)

6

7(iii)

1

7(iv)

2

7 (v)

5

7

10] (i) 124

144(ii)

20

14411] (i)

5

26(ii)

21

26(iii)

12

26(iv)

10

26(v)

12

26

12] (i) 16

60 (ii)

12

60 (iii)

9

60(iv)

23

60(v)

48

60(vi)

51

60(vii)

25

60(viii)

35

60

13] (i) 1

365(ii)

364

36514] (i)

12

x(ii) x = 3 15] DlUÁgÀ B

C¨sÁå À 5.3

1] 0.36 2] 5

124] (i)

2

7 (ii)

5

75]

31

356]

1

2 7]

4

68]

10

25

9]20

3610]

11

3611] (i)

1

2(ii) 1 (iii)

3

13(iv)

4

1312]

3

4

C¨sÁå À 5.4

1]2

42]

6

103]

1

55254] (i)

2

15,470(ii)

9

1,547(iii)

46

7,7355]

16

21

6] (i) 0 (ii) 2

7(iii)

4

7(iv) 1