classificazione e restauro di immagini a colori: un approccio via gamma-convergenza
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POLITECNICO DI MILANO
Classificazione e restaurodi immagini a colori:
un approccio via -convergenzaΓ
Relatore: Prof. Franco Tomarelli
Tesi di laurea di: Alfonso Fascì
Anno Accademico 2009-2010lunedì 17 gennaio 2011
In questo lavoro di tesi:
• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita.
• Si mostra l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative.
• Si costruisce un’approssimazione del problema proposto tramite la minimizzazione di una famiglia di funzionali ellittici, che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori.
Γ
Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.
Tale approssimazione è intesa nel senso della -convergenza.
lunedì 17 gennaio 2011
Cos’è un’immagine a colori?
aperto, limitato rappresenta una regione del piano Ω ⊂ R2
lunedì 17 gennaio 2011
Cos’è un’immagine a colori?
aperto, limitato rappresenta una regione del piano Ω ⊂ R2
u : Ω → C in cui rappresenta l’insieme dei colori• Immagini a colori
C
lunedì 17 gennaio 2011
Cos’è un’immagine a colori?
aperto, limitato rappresenta una regione del piano Ω ⊂ R2
u : Ω → C in cui rappresenta l’insieme dei colori• Immagini a colori
C
C =???
lunedì 17 gennaio 2011
Cos’è un’immagine a colori?
aperto, limitato rappresenta una regione del piano Ω ⊂ R2
u : Ω → C in cui rappresenta l’insieme dei colori• Immagini a colori
C
C =???u : Ω → [0, 1] intensità luminosa(Immagini monocromatiche )
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori
‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione percettiva della distribuzione di energia fotonica all’interno di uno spettro di riflessione o di emissioni prodotte da un oggetto ’’ S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and Mappings in Perceptual Color Space
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori‘‘ Il colore non è una proprietà fisica degli oggetti, si tratta piuttosto di una rappresentazione percettiva della distribuzione di energia fotonica all’interno di uno spettro di riflessione o di emissioni prodotte da un oggetto ’’ S.M. Boker, The Representation of Color Metrics and Mappings in Perceptual Color Space
• Newton: primo modello di colore.
• Thomas Young: ‘‘...la percezione del colore dipende dalla frequenza della radiazione che investe l’occhio e dalla risposta dei sensori presenti nella retina...’’
• Hermann Von Helmholtz 1852: ‘‘ ... radiazioni che generano diversi colori viaggiano senza alcuna azione reciproca e anche se ai nostri occhi appaiono uniti, vengono sempre separati uno dall’altro con mezzi fisici... ’’
• Hermann Gunther Grassmann dimostra (1854) che per ogni colore spettrale esistono altri colori che, se miscelati con il primo nelle giuste proporzioni producono luce bianca.
• Maxwell descrive gli spettri di assorbimento dei recettori presenti nella retina.
Storia della colorimetria:
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori
Teoria del tristimolo• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna
sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe (coni di tipo L).
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?
l(λ),m(λ), s(λ)
Il =
+∞
−∞I(λ)l(λ) dλ, Im =
+∞
−∞I(λ)m(λ) dλ, Is =
+∞
−∞I(λ)s(λ) dλ
I(λ)
in cui sono gli spettri di assorbimento.
• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro , producono tre tensioni elettriche
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori
Teoria del tristimolo• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna
sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe (coni di tipo L).
...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?
l(λ),m(λ), s(λ)
Il =
+∞
−∞I(λ)l(λ) dλ, Im =
+∞
−∞I(λ)m(λ) dλ, Is =
+∞
−∞I(λ)s(λ) dλ
I(λ)
in cui sono gli spettri di assorbimento.
• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro , producono tre tensioni elettriche
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori
Teoria del tristimolo• L’occhio umano contiene tre tipi diversi di recettori responsabili della visione diurna
sensibili a lunghezze d’onda corte ( coni di tipo S), medie ( coni di tipo M) e lunghe (coni di tipo L).
...ogni radiazione visibile viene sintetizzata con 3 quantità scalari
Perchè per l’uomo un spazio di colori è tridimensionale?
l(λ),m(λ), s(λ)
Il =
+∞
−∞I(λ)l(λ) dλ, Im =
+∞
−∞I(λ)m(λ) dλ, Is =
+∞
−∞I(λ)s(λ) dλ
I(λ)
in cui sono gli spettri di assorbimento.
• I tre recettori, se investiti da una radiazione con spettro , producono tre tensioni elettriche
I1E1l + I2E2
l + I3E3l = Il
I1E1m + I2E2
m + I3E1m = Im
I1E1s + I2E2
s + I3E3s = Is
IDEA: esprimere ogni radiazione visibile come sommaE1(λ), E2(λ), E3(λ)di tre radiazioni (colori) fondamentali
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di coloriSpazio CIE-XYZ (International Commission on Illumination, 1931)
• costruito in seguito ad una campagna sperimentale condotta da W. David Wright and John Guild impiegando come radiazioni fondamentali tre colori primari ‘‘virtuali’’, cioè non rappresentabili in natura.
• primo spazio di colore completo, nel senso che rappresenta tutti i colori visibili e assunto come modello di riferimento.
Altri spazi: RGB, CMYK,...
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Spazi di coloriSpazio RGB
• deriva dalla necessità di rappresentare il colore sui monitor.
• le radiazioni fondamentali sono visibli il rosso, il verde e il blu.
Altri spazi: CMYK, HSV,...
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepitaOSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni è semplicemente CC ⊂ R3un sottoinsieme
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepitaOSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni è semplicemente CC ⊂ R3un sottoinsieme
metrica euclidea
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepitaOSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni è semplicemente CC ⊂ R3un sottoinsieme
metrica euclidea
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepitaOSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni è semplicemente CC ⊂ R3un sottoinsieme
metrica euclidea
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepitaOSSERVAZIONE: senza altre
precisazioni è semplicemente CC ⊂ R3un sottoinsieme
metrica euclidea
!!!
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepitaIDEA: distorcere lo spazio con una trasformazione
biettiva, continua, non lineare
φ : R3 → R3
XY Z
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Distanza percepitaIDEA: distorcere lo spazio con una trasformazione
biettiva, continua, non lineare
φ : R3 → R3
XY Z
e definire la distanza percepita fra due punti e come(X0, Y0, Z0) (X1, Y1, Z1)
|φ(X1, Y1, Z1)− φ(X1, Y1, Z1)|
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepita: due esempi
• Un osservatore tenta di riprodurre un colore dato mescolando 3 sorgenti primarie.
• A causa della limitata sensibilità dell'occhio, il colore ottenuto non è identico al campione.
• Si ripete più volte l'esperimento, e si misura la dispersione..
Esperimento di MacAdam
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Distanza percepita: due esempi Spazio CIE-Lab (1976)
Si definisce una funzione che trasforma gli ellissoidi di MacAdam in sfere
φ : [0,+∞)3 → [0,+∞)3
lunedì 17 gennaio 2011
Distanza percepita: due esempi
Non linearità dell’occhio (legge di Weber):
Metrica di Stiles
δP =δI
I
ψr(r, g, b) = ψr(r) = αr ln(δr + r)ψg(r, g, b) = ψg(g) = αg ln(δg + g)
ψb(r, g, b) = ψb(b) = αr ln(δb + b)
Stiles propone la metrica indotta dalla trasformazione :
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Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
• modellazione di uno spazio di colori come una varietà Riemanniana di dimensione 3.
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
• distorsione solo locale.
• modellazione di uno spazio di colori come una varietà Riemanniana di dimensione 3.
lunedì 17 gennaio 2011
Spazi di colori e varietà Riemanniane
Approccio alternativo alle trasformazioni globali:
Riemann, Helmoltz, Scrhodinger, Stiles , Ashtekar,...
• distorsione solo locale.
• modellazione di uno spazio di colori come una varietà Riemanniana di dimensione 3.
lunedì 17 gennaio 2011
Una definizione di spazio di colori(C, g)Chiameremo spazio di colori una coppia in cui:
lunedì 17 gennaio 2011
Una definizione di spazio di colori(C, g)Chiameremo spazio di colori una coppia in cui:
C ⊂ R3
gij(x) = gji(x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3(1)gij ∈ C∞(R3) per ogni i, j = 1, . . . , 3(2)
m2|x|2 ≤ x, g(y)x ≤ M2|x|3esistono 0 < m < M < +∞ tali che per ognix, y ∈ R3(3)
g : R3 → R3×3• è un campo di matrici che verifica:
• è un insieme chiuso e limitato.
lunedì 17 gennaio 2011
Una definizione di spazio di colori(C, g)Chiameremo spazio di colori una coppia in cui:
C ⊂ R3
gij(x) = gji(x) per ogni x ∈ R3 e , j = 1, . . . , 3(1)gij ∈ C∞(R3) per ogni i, j = 1, . . . , 3(2)
m2|x|2 ≤ x, g(y)x ≤ M2|x|3esistono 0 < m < M < +∞ tali che per ognix, y ∈ R3(3)
g : R3 → R3×3• è un campo di matrici che verifica:
• è un insieme chiuso e limitato.
CIndicheremo con la metrica indotta su e definita come:
dg(·, ·) ∀x, y ∈ C
dg(w, z) = inf
1
0|γ(v)v| dt : v ∈ C1([0, 1],R3), v(0) = w, v(1) = z
|γ(y)x|2 = x, g(y)x
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto:esistenza di una soluzione debole
e proprietà qualitative delle minimizzanti.
lunedì 17 gennaio 2011
Classificazione di immagini a colori• Processo di partizione di un'immagine in regioni significative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche comuni (colore, intensità o texture).
lunedì 17 gennaio 2011
Classificazione di immagini a colori• Processo di partizione di un'immagine in regioni significative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche comuni (colore, intensità o texture).
• Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.
lunedì 17 gennaio 2011
Classificazione di immagini a colori• Processo di partizione di un'immagine in regioni significative
ottenuta raggruppando i pixel che hanno caratteristiche comuni (colore, intensità o texture).
• Viene utilizzata per semplificare la rappresentazione delle immagini mettendo in evidenza oggetti e bordi.
lunedì 17 gennaio 2011
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
Classificazione di immagini a colori
lunedì 17 gennaio 2011
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
• Si fissano un numero finito di colori che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in un'immagine (clustering, discretizzazione).
K = α1, . . . ,αl ⊂ C
z : Ω → C
Classificazione di immagini a colori
lunedì 17 gennaio 2011
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
• Si fissano un numero finito di colori che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in un'immagine (clustering, discretizzazione).
K = α1, . . . ,αl ⊂ C
z : Ω → C
Classificazione di immagini a colori
• Si determina una partizione di costituita da un numero finito di porzioni ( ) in mdo che ogni porzione sia associata al colore .
Ω
αi
l Ui≤
lunedì 17 gennaio 2011
La classificazione si può pensare come suddivisa in due passi:
• Si fissano un numero finito di colori che rappresentino i colori medi macroscopici presenti in un'immagine (clustering, discretizzazione).
K = α1, . . . ,αl ⊂ C
z : Ω → C
Classificazione di immagini a colori
Ui ∂Ui ∩ Ω∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω
z
Poichè potrebbe avere una frontiera topologica molto frastagliata si cerca di ottenere bordi regolari e che soddisfino un principio d'interfaccia minima. Dobbiamo inoltre penalizzare la distanza dal dato .
• Si determina una partizione di costituita da un numero finito di porzioni ( ) in mdo che ogni porzione sia associata al colore .
Ω
αi
l Ui≤
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
(C, g) dg(·, ·)Sia uno spazio di colori e la metrica associata.
Il modello proposto
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
(C, g) dg(·, ·)Sia uno spazio di colori e la metrica associata.
z ∈ L∞(Ω, C)Assegnati:
• un’immagine a colori
Il modello proposto
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
(C, g) dg(·, ·)Sia uno spazio di colori e la metrica associata.
• un numero finito di colori distinti denotati con l ≥ 2 K = α1, . . . ,αl ⊂ C
z ∈ L∞(Ω, C)Assegnati:
• un’immagine a colori
Il modello proposto
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
(C, g) dg(·, ·)Sia uno spazio di colori e la metrica associata.
• un numero finito di colori distinti denotati con l ≥ 2 K = α1, . . . ,αl ⊂ C
z ∈ L∞(Ω, C)Assegnati:
• un’immagine a colori
Il modello proposto
β > 0• il parametro positivo
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
(C, g) dg(·, ·)Sia uno spazio di colori e la metrica associata.
• un numero finito di colori distinti denotati con l ≥ 2 K = α1, . . . ,αl ⊂ C
z ∈ L∞(Ω, C)Assegnati:
• un’immagine a colori
Il modello proposto
β > 0• il parametro positivo
Ci proponiamo di determinare una partizione U = Uii=1,...,l Ωche minimizzi il funzionale
di
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
(C, g) dg(·, ·)Sia uno spazio di colori e la metrica associata.
• un numero finito di colori distinti denotati con l ≥ 2 K = α1, . . . ,αl ⊂ C
z ∈ L∞(Ω, C)Assegnati:
• un’immagine a colori
Il modello proposto
β > 0• il parametro positivo
Ci proponiamo di determinare una partizione U = Uii=1,...,l Ωche minimizzi il funzionale
di
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) β
l
i=1
Ui
|dg(z(x),αi)|2 dxEz(U) = +
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
Il modello proposto
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) β
l
i=1
Ui
|dg(z(x),αi)|2 dxEz(U) = +
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
Il modello proposto
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)
βl
i=1
Ui
|dg(z(x),αi)|2 dx
lunghezza del bordo della partizione pesata con la distanza percepita fra i colori relativi agli elementi della partizione.
Uv
Ur
Ub
vdg( , )r
dg( , )b r
bdg( , )v
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Il modello proposto
Il modello proposto
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω)
βl
i=1
Ui
|dg(z(x),αi)|2 dx fidelity term: energia di area che misura la distanza percepita dal dato z
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
Il modello proposto
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) β
l
i=1
Ui
|dg(z(x),αi)|2 dxEz(U) = +
energia di linea energia di area
lunedì 17 gennaio 2011
Il modello proposto
Il modello proposto
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂Ui ∩ ∂Uj ∩ Ω) β
l
i=1
Ui
|dg(z(x),αi)|2 dxEz(U) = +
energia di linea energia di area
... questo problema rientra nella classe dei
Problemi con discontinuità libera:minimizzazione di funzionali che contengono energie di volume ed energie di superficie
E. De Giorgi. Free discontinuity problems in calculus of variations.
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Formulazione deboleCaratterizzazione delle partizioni ad energia finita
U = Uii=1,...,l : E
z(U) < +∞
lunedì 17 gennaio 2011
Formulazione deboleCaratterizzazione delle partizioni ad energia finita
U = Uii=1,...,l : E
z(U) < +∞
lunedì 17 gennaio 2011
Formulazione deboleCaratterizzazione delle partizioni ad energia finita
U = Uii=1,...,l : E
z(U) < +∞
lunedì 17 gennaio 2011
Formulazione deboleCaratterizzazione delle partizioni ad energia finita
U = Uii=1,...,l : E
z(U) < +∞
E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H1(∂∗E ∩ Ω)
Partizioni di Caccioppoli
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Formulazione deboleCaratterizzazione delle partizioni ad energia finita
U = Uii=1,...,l : E
z(U) < +∞
U = Uii=1,...,l :l
i=1
P (Ui,Ω) < +∞E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H
1(∂∗E ∩ Ω)
Partizioni di Caccioppoli
lunedì 17 gennaio 2011
Formulazione deboleCaratterizzazione delle partizioni ad energia finita
U = Uii=1,...,l : E
z(U) < +∞
U = Uii=1,...,l :l
i=1
P (Ui,Ω) < +∞
BV (Ω,K) = u ∈ BV (Ω,R3) : u ∈ K q.o. in Ω |||
E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H1(∂∗E ∩ Ω)
Partizioni di Caccioppoli
lunedì 17 gennaio 2011
Formulazione debole
BV (Ω,K) = u ∈ BV (Ω,R3) : u ∈ K q.o. in Ω E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H
1(∂∗E ∩ Ω)
Partizioni di Caccioppoli
lunedì 17 gennaio 2011
Formulazione debole
BV (Ω,K) = u ∈ BV (Ω,R3) : u ∈ K q.o. in Ω E ⊂ R2 P (E,Ω) P (E,Ω) = H
1(∂∗E ∩ Ω)
Partizioni di Caccioppoli
Ez(u) =1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β
Ω|dg(u, z)|
2 dx
u =l
i=1
αiχUi ∈ BV (Ω,K)Ez(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]
lunedì 17 gennaio 2011
Formulazione debole
Ez(u) =1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β
Ω|dg(u, z)|
2 dx
u =l
i=1
αiχUi ∈ BV (Ω,K)Ez(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]
Teorema 7.42
Il funzionale Ez(u) ammette l’esistenzadi un minimo con energia finita.
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Soluzioni forti
i ∂∗Ui ∩ Ω∪
• Dato la sua frontiera ridotta potrebbe non essere chiusa, quindi per ottenere la soluzione del problema forte bisogna considerare la chiusura
∂∗EE ⊂ R2
• Poichè esistono sottoinsiemi di perimetro finito con frontiera topologica che ha misura di Hausdorff monodimensionale infinita, una soluzione debole potrebbe avere energia infinita nella formulazione forte !
E ⊂ R2
∂E
• E’ necessario uno studio variazionale delle soluzioni:
G.P. Leonardi e I. Tamanini, Metric space of partitions and Caccioppoli partitions, 2002
G.P. Leonardi, Infiltrations in immiscible fluids systems, 2001
lunedì 17 gennaio 2011
Proprietà qualitative delle minimizzanti
=r gdg( , ) a gdg( , )dg( , )r a + v gdg( , )dg( , )r vr gdg( , )< +
lunedì 17 gennaio 2011
Proprietà qualitative delle minimizzanti
=r gdg( , ) a gdg( , )dg( , )r a + v gdg( , )dg( , )r vr gdg( , )< +⇓
lunedì 17 gennaio 2011
Proprietà qualitative delle minimizzanti
=r gdg( , ) a gdg( , )dg( , )r a + v gdg( , )dg( , )r vr gdg( , )< +⇓dipende dal termine di fedeltà, dalle misure degli insiemi e dalla struttura della metrica
lunedì 17 gennaio 2011
Problemi con discontinuità libera
• Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della presenza di energie di superficie e di volume
lunedì 17 gennaio 2011
Problemi con discontinuità libera
• Difficoltà nell’analisi sia teorica che numerica a causa della presenza di energie di superficie e di volume
• Sostituizione del funzionale con una famiglia di funzionali che contengano solo energie di volume (quindi più trattabili numericamente) che convergano ‘‘in un certo senso’’ al problema di partenza.
lunedì 17 gennaio 2011
-convergenza (E. De Giorgi, T. Franzoni)
• DefinizioneΓ
F, F : X → R ∪ +∞F = Γ- lim
→0+F se ∀x ∈ X, j → 0+
(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim infj
Fj (xj)
(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim supj
Fj (xj)
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-convergenza (E. De Giorgi, T. Franzoni)
• DefinizioneΓ
F, F : X → R ∪ +∞F = Γ- lim
→0+F se ∀x ∈ X, j → 0+
(disuguaglianza del liminf) xj → x ⇒ F (x) ≤ lim infj
Fj (xj)
(disuguaglianza del limsup) ∃xj → x : F (x) ≥ lim supj
Fj (xj)
e u0 ∈ argminF.
Se F = Γ- lim→0+
F, j → 0+ e uj ∈ argminFj
e una successione precompatta,
allora ∀ per ogni sottosuccessione convergente ujk
ujk→ u0
Fjk(ujk
) → F (u0)
• Proprietà fondamentale
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-convergenza + equicompatezza Γ
⇓Convergenza dei minimi
-convergenza (E. De Giorgi, T. Franzoni)Γ
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Approssimazione via -convergenzaΓ
Per ora teniamo da parte il fidelity term
E(u) =1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω)
E(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]e consideriamo
lunedì 17 gennaio 2011
Modelli di transizione di faseTeorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
lunedì 17 gennaio 2011
Modelli di transizione di faseSia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
lunedì 17 gennaio 2011
Modelli di transizione di faseSia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
lunedì 17 gennaio 2011
Modelli di transizione di faseSia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
X =u : Ω → Rm misurabile t.c.
Ωu dx = d|Ω|sia d ∈ Rm,
e si considerino i funzionali F : X → [0,+∞], F : X ∩BV (Ω,K) → [0,+∞]
lunedì 17 gennaio 2011
Modelli di transizione di faseSia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
F(u) =
Ω(1
W (u) + |Du|2) dx F (u) =
1
2
l
i,j=1i =j
θW (αi,αj)Hm−1(∂∗Si ∩ ∂∗Sj ∩ Ω)
θW (w, z) = inf 1
02W (v)|v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)v(0) = w, v(1) = z.
X =u : Ω → Rm misurabile t.c.
Ωu dx = d|Ω|sia d ∈ Rm,
e si considerino i funzionali F : X → [0,+∞], F : X ∩BV (Ω,K) → [0,+∞]
lunedì 17 gennaio 2011
Modelli di transizione di faseSia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
Teorema (S. Baldo, Minimal interface criterionfor phase transitions in mixture of Cahn-Hilliard fluids )
F(u) =
Ω(1
W (u) + |Du|2) dx F (u) =
1
2
l
i,j=1i =j
θW (αi,αj)Hm−1(∂∗Si ∩ ∂∗Sj ∩ Ω)
θW (w, z) = inf 1
02W (v)|v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)v(0) = w, v(1) = z.
Allora F (u) = Γ− lim→0
F(u)
rispetto alla topologia forte di L1(Ω,Rm).
X =u : Ω → Rm misurabile t.c.
Ωu dx = d|Ω|sia d ∈ Rm,
e si considerino i funzionali F : X → [0,+∞], F : X ∩BV (Ω,K) → [0,+∞]
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓ
IDEA: modificare la famiglia di funzionali
E(u) =1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω)
F(u) =
Ω(1
W (u) + |Du|2) dx
in modo che il -limite sia Γ
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓ
IDEA: modificare la famiglia di funzionali
E(u) =1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂∗Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω)
F(u) =
Ω(1
W (u) + |Du|2) dx
in modo che il -limite sia Γ
• Bisogna introdurre nei funzionali l’effetto della metrica.
• E’ necessario un secondo passaggio al limite.
Problemi:
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓTeorema 9.1Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓTeorema 9.1Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
γ(u)
Si consideri la famiglia di funzionali F : H1,2(Ω,Rm) ∩ L
∞(Ω,Rm) e ilfunzionale F : BV (Ω,K) → [0,+∞]
F(u) =
Ω[1
W (u)+
l
j=1
| Dju|2] dx F (u) =
1
2
l
i,j=1i =j
θW (αi,αj)Hn−1(∂∗
Si∩∂∗Sj∩Ω)
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓTeorema 9.1Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1
02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)
γ(u)
Si consideri la famiglia di funzionali F : H1,2(Ω,Rm) ∩ L
∞(Ω,Rm) e ilfunzionale F : BV (Ω,K) → [0,+∞]
F(u) =
Ω[1
W (u)+
l
j=1
| Dju|2] dx F (u) =
1
2
l
i,j=1i =j
θW (αi,αj)Hn−1(∂∗
Si∩∂∗Sj∩Ω)
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓTeorema 9.1Sia Ω ⊂ Rn un insieme aperto e regolare e W : Rm → [0,+∞] una funzione
continua tale che
x ∈ Rm : W (x) = 0 = K = α1, . . . ,αl,(1)
(2) esistono C1, C2 tali che W (x) ≥ max[C1,C2]m
W per ogni x /∈ [C1, C2]m.
, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1
02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)
γ(u)
Si consideri la famiglia di funzionali F : H1,2(Ω,Rm) ∩ L
∞(Ω,Rm) e ilfunzionale F : BV (Ω,K) → [0,+∞]
F(u) =
Ω[1
W (u)+
l
j=1
| Dju|2] dx F (u) =
1
2
l
i,j=1i =j
θW (αi,αj)Hn−1(∂∗
Si∩∂∗Sj∩Ω)
Allora F (u) = Γ− lim→0
F(u)
rispetto alla topologia forte di Lp(Ω,Rm).lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓ
Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione
, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1
02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓ
...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.
Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione
, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1
02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓ
...vogliamo eliminare la dipendenza dal potenziale.
Abbiamo ottenuto l’energia di segmentazione
, v(0) = w, v(1) = zγ(v)θW (w, z) = inf 1
02W (v)| v| dt : v ∈ C1([0, 1],Rm)
Wδ : R3 → [0,+∞] dipendente dal parametro positivo 0 < δ < δ = min|α−β| : α,β ∈ K,α = β/2 definito come
Wδ(x) =
1 + δ
2ψ
dist(x,K)
δ
2
x ∈ R3
in cui dist(x,K) = min|x − α| : α ∈ K e la distanza euclidea del puntox ∈ R3 dall’insieme K e ψ : [0,+∞] → [0,+∞] e definita come
ψ(x) =
1− e−x2/(1−x2) se 0 ≤ x ≤ 1
1 se x > 1.
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓ
0 ≤ 2
Wδ ≤ 1 + δ
αi
αj
δ
δ2
Wδ = 1 + δ
0 ≤ 2
Wδ ≤ 1 + δ
0 ≤ 2
Wδ ≤ 1 + δ
lunedì 17 gennaio 2011
Siano w, z ∈ K,
Allora per δ sufficientemente piccolo vale la disuguaglianza
dg(w, z) ≤ θδ(w, z) + o(δ)
e
dg(w, z) = limδ→0
θδ(w, z).
θδ(w, z) = inf 1
02
Wδ(v)|γ(v)v| dt : v ∈ C1([0, 1],R3), v(0) = w, v(1) = z
dg(w, z) = inf
1
0|γ(v)v| dt : v ∈ C1([0, 1],R3), v(0) = w, v(1) = z
Lemma 10.1
Approssimazione via -convergenzaΓ
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓ
Γ- limδ→0+
Γ- lim
→0+E,δ(u)
= E(u)
E,δ(u) =
Ω[1
Wδ(u) +
2
j=1
|γ(u)Dju|2] dx
Definendo la famiglia a due parametri
usando il teorema 9.1 e il lemma 10.1 abbiamo
Lp(Ω,R3).rispetto alla topologia forte di
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓContinuità del fidelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue
lunedì 17 gennaio 2011
Approssimazione via -convergenzaΓContinuità del fidelity term + stabilità rispetto a perturbazioni continue
Siano Ezδ, : H
1,2(Ω,R3) → [0,+∞], Ez : BV (Ω,K) → [0,+∞]
Ez,δ(u) =
Ω
1Wδ(u) +
2
j=1
|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|
2dx
Ez(u) =
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂∗
Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β
Ω|dg(u, z)|
2dx
Allora
Γ- limδ→0+
Γ- lim
→0+E
z,δ(u)
= E
z(u)
rispetto alla convergenza forte in L2(Ω,R3).
Teorema 10.2⇓
lunedì 17 gennaio 2011
Equicompattezza
Proposizione 9.9. Sia 1 ≤ p < +∞, F : H1,2(Ω, Rm) → [0,+∞] definito
come
h una successione di numeri reali che tende a 0 e uh una successione taleche suph Fh(uh) < +∞. Allora esiste una successione uh tale che Fh(uh) ≤Fh(uh) per ogni j ∈ N e si puo estrarre una sottosuccessione ukh che convergefortemente in Lp(Ω, Rm).
F(u) =
Ω
1W (u) +
l
i=1
|γ(u)Diu|2
dx
lunedì 17 gennaio 2011
Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
Ez,δ(u) =
Ω
1Wδ(u) +
2
j=1
|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|2dx
lunedì 17 gennaio 2011
Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
Ez,δ(u) =
Ω
1Wδ(u) +
2
j=1
|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|2dx
classificazione
lunedì 17 gennaio 2011
Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
Ez,δ(u) =
Ω
1Wδ(u) +
2
j=1
|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|2dx
classificazione restauro
lunedì 17 gennaio 2011
Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
Ez,δ(u) =
Ω
1Wδ(u) +
2
j=1
|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|2dx
classificazione restauro fidelity
lunedì 17 gennaio 2011
Un modello di classificazione e restauro
I funzionali approssimanti
Ez,δ(u) =
Ω
1Wδ(u) +
2
j=1
|γ(u)Dju|2 + |dg(u, z)|2dx
classificazione restauro fidelity
Interpretazione di come parametro di sfocamento
lunedì 17 gennaio 2011
Conclusioni
• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.
lunedì 17 gennaio 2011
Conclusioni
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti.
• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.
lunedì 17 gennaio 2011
Conclusioni
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti.
• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori.
• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.
lunedì 17 gennaio 2011
Conclusioni
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti.
• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori.
Γ• E’ stata provata la -convergenza dei funzionali approssimanti al funzionale introdotto.
• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.
lunedì 17 gennaio 2011
Conclusioni
• E’ stata mostrata l’esistenza di una soluzione ed alcune proprietà qualitative delle minimizanti.
• E’ stata costruita un’approssimazione del problema proposto che può essere interpretata come un modello di classificazione e restauro per immagini a colori.
Γ• E’ stata provata la -convergenza dei funzionali approssimanti al funzionale introdotto.
• I funzionali approssimanti sono molto più trattabili in vista di un'approssimazione numerica.
• Si propone un modello di classificazione per immagini a colori basato sulla nozione di distanza percepita. Il modello è formalizzato come un problema con discontinuità libera.
lunedì 17 gennaio 2011
Teorema 1Sia (C, g) uno spazio di colori, K = α1, . . . ,αl ⊂ C un insieme finito di
l colori, z ∈ L∞(Ω, C) un’immagine a colori, β > 0 un parametro positivo. Si
consideri la famiglia di funzionali Ez,δ(u) : H
1,2(Ω,R3) → [0,+∞]
Ez,δ(u) =
Ω
1Wδ(u) +
3
j=1
|γ(u)Dju|2 + β|dg(z, u)|
2dx
e il funzionale Ez(u) : BV (Ω,K) → [0,+∞]
Ez(u) =
1
2
l
i,j=1i =j
dg(αi,αj)H1(∂∗
Ui ∩ ∂∗Uj ∩ Ω) + β
Ω|dg(u, z)|
2dx
Sia δ : [0,+∞] → [0,+∞] una funzione continua e strettamente monotonacrescente tale che δ(0) = 0, j una successione di numeri positivi che tende a 0.
Allora abbiamo che se uj e una successione costituita da minimizzanti diE
zj ,δ(j)
si puo estrarre una sottosuccessione convergente, che indichiamo ancoracon uj tale che
uj → u0 fortemente in L2(Ω,R3)
Ezj ,δ(j)(uj ) → E
z(u0)
e u0 ∈ argmin(Ez).
Approssimazione via -convergenzaΓ
lunedì 17 gennaio 2011