claudia cecilia colombia concepciones de los estudiantes de grado octavo sobre el concepto de...
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UNIVERSIDAD SERGIO ARBOLEDA
CONCEPCIONES DE LOS ESTUDIANTES DE GRADO OCTAVO SOBRE EL CONCEPTO DE SEMEJANZA
Claudia Cecilia Castro Cortés Nelly Yolanda Céspedes Guevara
Directora:
Luz Miriam Echeverry Navarro Dra. en Análisis Numérico
JUNIO DE 2009
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CONCEPCIONES DE LOS ESTUDIANTES DE GRADO OCTAVO SOBRE EL CONCEPTO DE SEMEJANZA
Claudia Cecilia Castro Cortés Nelly Yolanda Céspedes Guevara
Presentado como requisito parcial para optar al título de
Magíster en Docencia e Investigación Universitaria
Directora: Luz Miriam Echeverry Navarro
Dra. en Análisis Numérico
UNIVERSIDAD SERGIO ARBOLEDA ESCUELA DE POSTGRADOS
MAESTRÍA EN DOCENCIA E INVESTIGACIÓN UNIVERSITARIA JUNIO DE 2009
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TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN...........................................................................................................................5
CAPITULO I ..................................................................................................................................8
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.........................................................................................8 1.1. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ......................................................................................................... 9 1.2. HIPÓTESIS .................................................................................................................................. 10 1.3. JUSTIFICACIÓN............................................................................................................................. 10 1.4. OBJETIVOS.................................................................................................................................. 11 1.5. METODOLOGÍA ........................................................................................................................... 11 1.6. ESTADO DEL ARTE........................................................................................................................ 14
CAPÍTULO II ...............................................................................................................................17
2. NOCIONES FUNDAMENTALES..............................................................................................17 2.1. CONCEPCIONES ........................................................................................................................... 17 2.2. DESARROLLO DE PENSAMIENTO ..................................................................................................... 21 2.3. EL APRENDIZAJE DE LA SEMEJANZA ................................................................................................. 22 2.4. PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES............................................................................................. 27 2.5. REVISIÓN DE TEXTOS ESCOLARES..................................................................................................... 29 2.6. JERARQUÍA DEL APRENDIZAJE......................................................................................................... 30
CAPITULO III ..............................................................................................................................34
3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN ............................................................................................34 3.1. MUESTRA................................................................................................................................... 34 3.2. VARIABLES.................................................................................................................................. 34 3.3. RECOLECCIÓN Y ANÁLISIS DE DATOS ................................................................................................ 36 3.4. ANÁLISIS DEL PRETEST .................................................................................................................. 40 3.5 ANÁLISIS DE LA PROPUESTA DE AULA .............................................................................................. 44 3.5. ANÁLISIS DEL POSTEST .................................................................................................................. 55 3.6. ANÁLISIS GENERAL....................................................................................................................... 58
CONCLUSIONES .........................................................................................................................63
ANEXOS.....................................................................................................................................70
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ANEXO 1. PRETEST.........................................................................................................................70 ANEXO 2. PROPUESTA DE AULA .......................................................................................................73 ANEXO 3. POSTETS ........................................................................................................................85 LISTA DE ESQUEMAS Esquema 1. Representación según Janvier. 18 Esquema 2. Concepción según Sfard. 20 Esquema 3. Ideograma concepto de Semejanza. 24 Esquema 4. Relación teórica: Piaget, Sfard y Lemonidis. 33 Esquema 5. Jerarquía del concepto de Semejanza. 38 LISTA DE TABLAS Tabla 1. Estándares de Semejanza. 23 Tabla 2. Revisión de textos. 30 Tabla 3. Tipos de aprendizaje según Gagne. 32 Tabla 4. Variables de la investigación. 34 Tabla 5. Caracterización de las variables. 36 Tabla 6. Categorías de las variables. 39 Tabla 7. Descripción de las categorías. 40 Tabla 8. Relación objetivos con las preguntas de Pretets. 41 Tabla 9. Análisis del Pretets. 43 Tabla 10. Concepciones de Semejanza. 44 Tabla 11. Relación objetivos con las preguntas de la propuesta de aula. 44 Tabla 12. Análisis de la actividad 1. 48 Tabla 13. Análisis de la actividad 2. 51 Tabla 14. Análisis de la actividad 3. 54 Tabla 15. Relación objetivos con las preguntas de Postets. 55 Tabla 16. Análisis del Postets. 57
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INTRODUCCIÓN Las investigaciones en educación matemática y en particular de la geometría
escolar, han girado en torno a la comprensión de los conceptos, y los procesos de
enseñanza y de aprendizaje de los mismos. Gutiérrez y Jaime (1996), quienes han
realizado diversos estudios sobre los problemas que se generan en dichos
procesos, afirman que la planeación de unidades de enseñanza basadas en
organizaciones distintas de unos mismos conceptos, producen concepciones
diferentes en los estudiantes.
El interés de esta investigación, es indagar sobre las concepciones que tienen los
estudiantes de grado 8° acerca del concepto de semejanza. Hablar sobre
concepciones implica indagar, no solo sobre lo que significa concepción, sino
también sobre el objeto matemático puesto en juego y el desarrollo del
pensamiento del estudiante, para ello, se realizó un estado del arte que permitiera
tener una base teórica fundamentada.
Frente a las concepciones, se encontró que son varios los autores que han tratado
de explicar cómo se logra el proceso de aprendizaje de los conceptos, utilizando
términos como: concepción; modelo; imagen mental; creencia y representación
entre otros. Esta búsqueda condujo a centrar las concepciones en la propuesta
teórica de Sfard (1989), quien afirma que las nociones matemáticas pueden
concebirse por los estudiantes operacionalmente como procesos y
estructuralmente como objetos abstractos.
Para el estudio del concepto de semejanza, se hizo una revisión de textos
escolares y libros de geometría, con el fin de analizar la manera en que se
6
presentaba el concepto y las definiciones que se relacionan con el mismo; en
dicha búsqueda se encontró a Lemonidis (1990), quien plantea que la semejanza
debe entenderse desde lo intrafigural: como correspondencia de elementos de una
figura, pero también como transformación geométrica, como aplicación del
conjunto de puntos en el plano y la transformación de dos o más trasformaciones.
Se debe reconocer que la comprensión de los conceptos viene ligada con el
desarrollo del pensamiento, es por ello que se hará un análisis de cómo el
pensamiento operativo y el pensamiento figurativo del individuo, planteado por
Piaget (1970), permiten a los estudiantes, la construcción y comprensión de los
diferentes conocimientos.
El análisis de las concepciones de los estudiantes de grado 8° respecto a la
semejanza se llevó a cabo en tres fases:
• Fase 1. Aplicación de un pretest, el cual permitió evidenciar el tipo de
concepción de los estudiantes.
• Fase 2. Diseño, implementación, análisis y evaluación de una propuesta
que facilitara la comprensión del concepto de semejanza.
• Fase 3. Aplicación de un postest, que dejó ver el cambio de concepción del
concepto, producido por la implementación de la propuesta.
La recolección y análisis de los datos deja ver que es posible lograr un cambio de
concepción a partir de la organización de una propuesta de aula, en la que se
tenga en cuenta la participación activa de los estudiantes, la orientación del
docente, la pertinencia y eficacia de los recursos y la metodología implementada.
Esta investigación proporciona varios elementos de reflexión frente a los procesos
de enseñanza y de aprendizaje: por una parte, la importancia de hacer una
revisión teórica que permita diseñar propuestas de enseñanza; la utilización de
7
recursos que sirvan como forma de representación y que permitan desarrollar
mayor comprensión de los conceptos y por último, la necesidad de cambio en las
prácticas pedagógicas en las que se evidencie la construcción de conocimiento y
la participación de los estudiante en su proceso de aprendizaje.
Se espera que este trabajo sea insumo para el proceso de enseñanaza y
aprendizaje de la geometría, la labor docente y punto de partida para futuras
investigaciones.
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CAPITULO I
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El problema de la presente propuesta se fundamenta principalmente en tres
aspectos:
• Con frecuencia se trabajan los conceptos matemáticos de forma
fragmentada y descontextualizada.
• La poca relación que se establece entre los diferentes pensamientos
matemáticos1.
• No se ofrecen suficientes formas de representación para lograr la
comprensión de los conceptos matemáticos.
La enseñanza de la geometría en el bachillerato se ha visto limitada no solo con
un reducido tiempo de dedicación, sino también a un trabajo que gira en torno al
manejo de lápiz y papel, descontextualizada y en ocasiones demasiado formal.
Es preciso reconocer que el Ministerio de Educación Nacional de Colombia, ha
dispuesto unos documentos generales que buscan orientar el trabajo del área de
matemáticas, entre ellos los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (1991) y
los Estándares de Calidad (2006), los cuales proporcionan estrategias,
presentadas en forma teórica, las cuales son pertinentes para que los docentes,
organicen de forma autónoma sus planes de trabajo de aula, propicien la
utilización de recursos e implementación de metodologías que impliquen
participación activa de los estudiantes.
1 Los cinco tipos de pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional.
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Haciendo una revisión detallada a los Estándares (2006), se pudo observar que la
enseñanza de la semejanza, se presenta de manera segmentada en diferentes
grados; al respecto, Gualdrón (2006) manifiesta que esa segmentación entre los
conceptos (razón, proporcionalidad, teorema de Thales, entre otros) y la falta de
relación entre los mismos, propicia en los estudiantes las siguientes dificultades en
el aprendizaje de la semejanza:
• No se reconoce la semejanza de figuras cuando las medidas de los lados de
una, no son múltiplos enteros de las medidas de la otra figura.
• Cuando se dibuja una figura semejante, lo cual implica dibujar otra más
grande o más pequeña, con frecuencia no se guarda la razón entre sus
lados.
• Se utiliza una relación de tipo aditivo para la ampliación, con el fin de evitar
la multiplicación por una fracción.
Si además de no establecer relación entre los conceptos pertenecientes a la
semejanza, las formas de representación no son las suficientes, el concepto no
será comprendido en su totalidad. Duval (1999), afirma que se necesita más de un
registro de representación para entender los objetos matemáticos, en este sentido,
en este sentido, es preciso pensar en el uso de recursos didácticos, que permitan
a los estudiantes comprender tanto el significado de las ideas matemáticas como
las aplicaciones de estas ideas a situaciones del mundo real, (Kennedy, 1986, p.
6. Citado por Godino).
Estos aspectos nos llevan a plantear la siguiente pregunta de investigación:
1.1. Pregunta de Investigación
¿Cuáles son las concepciones de los estudiantes de octavo grado sobre la
semejanza y cuáles son los cambios que se generan después de la
intervención de una propuesta de enseñanza utilizando fractales?
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1.2. Hipótesis
1. La concepción de los estudiantes sobre el concepto de semejanza, tiene
mayor énfasis en lo operacional que en lo estructural.
2. Los estudiantes no poseen una noción completa del concepto de semejanza.
Dicha noción tiene mayor énfasis en lo intrafigural o en lo transformacional.
3. La característica de autosemejanza y la construcción de algunos fractales,
permite establecer la comprensión del concepto de semejanza desde lo
intrafigural y lo transformacional, logrando una noción completa de dicho
concepto.
1.3. Justificación
Hacer investigación en educación matemática implica un análisis completo del
proceso de enseñanza y aprendizaje, una revisión de tipo conceptual y
metodológico que le permita al docente conocer y utilizar una serie de
herramientas pedagógicas, con el fin de mejorar las estrategias para la
construcción de algunos objetos matemáticos.
La importancia y el interés de esta investigación se ven enmarcadas en la
necesidad de mostrar las concepciones de los estudiantes acerca del concepto de
semejanza y como el diseño e implementación de una propuesta que pueda re
significar los conceptos gracias al uso de algunos recurso de enseñanza, permite
un cambio de en dichas concepciones y la construcción de significados a través de
situaciones didácticas.
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1.4. Objetivos
1.4.1. General
Identificar las concepciones de los estudiantes de grado 8°, respecto al concepto
de semejanza y los cambios que se generan con la aplicación y análisis de una
propuesta de enseñanza utilizando como recurso el análisis y la construcción de
algunos fractales.
1.4.2. Específicos
1. Identificar el tipo de concepciones acerca del concepto de semejanza que
tiene los estudiantes.
2. Construir y aplicar categorías de análisis sobre las concepciones de los
estudiantes frente a la semejanza.
3. Establecer elementos particulares en los fractales que se relacionen con la
semejanza y que nos permitan formular una propuesta de aula.
4. Evidenciar la comprensión que se logra de la semejanza, a partir de las
situaciones propuestas utilizando fractales.
5. Analizar los instrumentos y presentar los resultados de la investigación.
1.5. Metodología
La presente investigación, de tipo cualitativo, se enmarca dentro de un proceso
que involucra un continuo cuestionamiento, una búsqueda de respuestas y de
observación activa que permite la realización de un análisis inductivo que combina
la relación entre la teoría empleada y los datos suministrados en la aplicación de
los instrumentos.
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Esta metodología se centra en poder determinar, cómo diferentes diseños de
ambientes de aprendizaje contribuyen en la cooperación, motivación, aprendizaje
y demás variables que dependen del proceso de enseñanza, según Collins (citado
por Molina, 2006).
Se reconoce en este tipo de investigación la influencia de Piaget, quien afirma que
el proceso mediante el cual el niño gana habilidades cognitivas requiere que su
comprensión se vaya refinando, mediante tareas que conduzcan a
reconstrucciones y cambios conceptuales, involucrando los procesos de
asimilación y acomodación.
Este tipo de metodología nos permite desarrollar la investigación en las siguientes
fases.
• Fase 1. Caracterización de la situación: se hace explícito un problema a
abordar y se plantea una pregunta de investigación que oriente la
propuesta. Se hace una búsqueda de referentes teóricos que la enmarquen
y los antecedentes que permiten partir de unas bases pertinentes para su
desarrollo. En esta fase es necesaria la Identificación de variables: la cual
es dada a partir de la optimización del diseño, con el fin de que se pueda
observar cómo funcionan cada uno de sus elementos.
• Fase 2. Desarrollo teórico: No se pretenden grandes desarrollos teóricos,
sino teorías esenciales para mejorar la educación. Collins (citado por Molina
2006), denomina al resultado de estos estudios “perfiles”, contraponiendo el
desarrollo de un perfil a la comprobación de hipótesis.
• Fase 3. Identificación de diferentes grupos: el grupo base de trabajo a
quien se aplica la propuesta, se seleccionó a partir de dos criterios:
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pertinencia2 y conveniencia3, categorías propuestas por Sandoval (citado
por Sfard 1999).
• Fase 4. Revisión constante de la experiencia: se desarrolla haciendo
ciclos continuos del diseño, puesta en práctica, análisis y rediseño. Lo cual
permitirá hacer conjeturas, recolección de datos y análisis de los registros
de los estudiantes, entre otros.
• Fase 5. Análisis y resultados: permite caracterizar el diseño de la
práctica, se recogen datos de distintas fuentes: observación de clase,
videos, entrevistas, instrumentos de los estudiantes. Kelly (citado por
Molina 2006), propone que se utilice una “gramática argumentativa”
sustentada en métodos, que permitan garantizar los resultados obtenidos.
• Fase 6. Evaluación del diseño: se hará a partir del análisis sistemático;
planteamiento de criterios y justificación de los mismos (lo cual da
sucesivas fases de análisis).
Según Mella (1998), en la aplicación de los instrumentos se dan cuatro procesos
cognitivos que son correspondientes a la investigación cualitativa, que permiten la
organización de los datos de manera que el esquema usado sea claro.
• Comprenhensión: hace referencia a la búsqueda y al aprendizaje de los
conocimientos necesarios para realizar un buen proceso investigativo.
• Sintetización: es la habilidad de reunir los datos o casos tratando de describir
los modelos típicos de respuesta del grupo de aplicación de instrumentos.
• Teorización: es desarrollada desde la comprenhensión y la síntesis de los
datos vistos como un proceso activo, continuo y riguroso con el fin de construir
el esquema más adecuado que permita dar explicaciones claras a la
investigación realizada y contraste los fundamentos teóricos usados. 2 Pertinencia: identificación y logro del concurso de los participantes que pueden aportar la mayor y mejor información a la investigación. 3 Conveniencia: es la elección del lugar, la situación o el evento que más faciliten la labor de registro, sin crear interferencias.
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• Recontextualización: es el desarrollo de la teoría que surge a partir del
proceso investigativo y que puede ser usada en diferentes contextos.
Por otra parte, se realizan en cuenta cuatro momentos básicos de evaluación del
proceso de investigación y diseño de la propuesta:
• Evaluación de Expertos: Respecto a lo disciplinar y a las estrategias
pedagógicas utilizadas.
• Evaluación Piloto: Primera aplicación, se realiza con una muestra de ocho
estudiantes.
• Evaluación de grupo: Segunda aplicación, se realiza con un pequeño grupo
de máximo 15 integrantes.
• Evaluación Final: Resultados finales y análisis del diseño.
1.6. Estado del Arte
La búsqueda de investigaciones que se relacionan con esta propuesta permitió un
desarrollo teórico, en lo relacionado con las concepciones de los estudiantes, el
concepto de semejanza y las dificultades que se pueden presentar durante el
proceso de enseñanza y aprendizaje de la misma.
Las siguientes investigaciones centran sus objetivos generales, justificación y/o
desarrollo en la idea a tematizar en esta propuesta:
Escudero (1999), en su artículo “Un análisis del tratamiento de la semejanza
en los documentos oficiales y textos escolares de matemáticas en la
segunda mitad del siglo XX”; hace un desarrollo de la evolución histórica del
concepto de semejanza y pone de manifiesto las restricciones que pesan en la
enseñanza a causa de los cambios de los planes de estudio, afirmando que en
dichos planes se destaca:
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• En la década de los 70’s se le da un el status de axioma al teorema de
Thales por la influencia de las matemáticas modernas, es decir, se hace
una aproximación de la semejanza como objeto matemático. Además, se
muestra la perspectiva en la que se presenta los conceptos conectados a
situaciones matemáticas de ampliación y reducción del caso particular del
triángulo.
• Posteriormente, en los años 80’s se incluye en los textos la aproximación
como útil y/o como objeto, las aplicaciones tienen menor grado de rigor.
• En los años 1989 a 1995 los NCTM4 proponen conectar los conceptos
geométricos a otros contextos.
Escudero (2003), en su ponencia 5 “La semejanza como objeto de
enseñanza – aprendizaje en la relación entre el conocimiento profesional del profesor de matemáticas de enseñanza secundaria y su práctica”, destaca
dos aspectos fundamentales de la forma de conocer la semejanza, vinculados con
la propuesta de Lemonidis (1990), y las formas de representación semiótica y su
uso: la primera dada por:
• La relación intrafigural en la que se destaca la correspondencia entre
elementos de una figura y los correspondientes de su semejante.
• La transformación geométrica en la que se analiza la transformación de
una figura en otra, distinguiendo la vista como útil y como objeto
matemático.
Por otra parte Escudero menciona, que los modos de representación y su uso,
entendidos como posibilidades semióticas de representar el contenido, son:
lenguaje natural, figurativo, numérico/simbólico, situación y material concreto.
4 NTCM: NATIONAL COUNCIL OF TEACHER OF MATHEMATICS, Estándares Curriculares de Evaluación para la Educación Matemática. 5 Comunicación Presentada en los Grupos de Trabajo del VII Simposio de la Seiem. VII Simposio de la Seiem (7). Num. 7. Granada. España. Universidad de Granada. 2003. Pag. 61-64. ISBN: 84-338-3019-8
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Pérez y Guillén (2006), en su documento “Estudio exploratorio sobre
creencias y concepciones de profesores de secundaria en relación con la
geometría y su enseñanza”, afirman que conocer creencias y concepciones
sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje, permitirá tener alguna visión
sobre cómo los profesores entienden y llevan a cabo su trabajo en las aulas;
concluyendo que, se presenta la necesidad de realizar investigaciones que
permitan incidir en la mejora de la enseñanza de la geometría en los diferentes
niveles escolares.
Gualdrón (2006), en su investigación: “Estrategias correctas y erróneas en
tareas relacionadas con la semejanza”, encuentra en los estudiantes algunas
dificultades como el reconocimiento de la semejanza cuando el valor de los lados
de una figura no son medidas enteras, el uso de una estrategia aditiva errónea y la
falta de relación entre los lados en el caso de que a un lado le corresponda un
valor fraccionario.
Estos estudios sirvieron como fuente y soporte para el diseño de la propuesta de
aula, permitiendo abordar estrategias y evitar errores en el proceso de enseñanza
y aprendizaje de la semejanza.
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CAPÍTULO II
El soporte teórico de la propuesta de investigación, está fundamentado a partir del
significado de concepción; el desarrollo del pensamiento del estudiante y los
conceptos concernientes al aprendizaje de la semejanza, estos elementos
conducirán a la realización de una propuesta de aula, que permitan llevar a cabo
un cambio de concepción del objeto matemático en estudio.
2. NOCIONES FUNDAMENTALES
2.1. Concepciones
Las concepciones de los estudiantes se pueden identificar a partir de la precisión
en sus construcciones, para Confrey (citado por Molina 2006), el término
Concepción hace referencia a “las creencias de los estudiantes, sus teorías,
explicaciones y significados sobre los conceptos”, es decir, la comprensión en la
adquisición de conocimientos.
Son varios los significados que se le han dado al término concepción en la
didáctica de las matemáticas. En la búsqueda realizada se encontró que otros
términos utilizados en este mismo sentido son: representación, imagen
conceptual y modelo.
Bouazzaoui (1988, p.15) afirma que “algunos investigadores hablan de
representación en lugar de concepción”, uno de ellos es Vergnaud para quien el
papel de la representación se comprende como “reflejo de la realidad, instrumento
de simulación y medio para prever efectos reales y calcular las acciones que se
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van a realizar para provocarlas o evitarlas”; aclarando que existen múltiples
representaciones y relaciones entre ellas mismas.
En este sentido, Janvier (citado por Sfard, 1989), menciona tres aspectos
relacionados con la representación en los que involucra el sistema mental y la
memoria, así:
Esquema 1. Representación según Janvier
Autores como Vinner y Tall (1981, 1983 y 1989), definen concepción como
imagen conceptual, relacionándolo a las representaciones mentales y con las
propiedades que el estudiante asocia a un concepto. A su vez afirman, que las
definiciones formales difieren de los conceptos que dan los estudiantes, dando
lugar a una descripción de la imagen conceptual que ha sido construida
personalmente, “a veces los estudiantes están tan seguros de su propia imagen
conceptual que pueden considerar superflua e inoperante la teoría formal”.
Artigue (1984), refiere que la noción de “imagen conceptual” está muy próxima a la
concepción de sujeto en su sentido más global, es decir, que hace referencia a las
situaciones problema, al conjunto de significantes, a las expresiones simbólicas,
teoremas, algoritmos y herramientas que dan sentido al concepto para el
estudiante.
REPRESENTACIÓN
Esquema o Ilustración
Organización del Conocimiento
Imágenes Mentales
Sistema Mental
Memoria a largo plazo
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Ferrater Mora (1986), define modelo a partir de la representación de la realidad
del algún proceso y afirma que “los términos, imagen y representación tienen el
mismo significado”, en concordancia con lo expuesto por Vergnaud, Artigue,
Vinner y Tall.
Por último, Sfard (1989), afirma que las nociones matemáticas, pueden concebirse
por los estudiantes con dos tipos de concepciones: la operacional: como
procesos y la estructural: como objetos abstractos. A su vez, menciona que “en el
proceso de formación de un concepto, la concepción operacional con frecuencia
es la primera que se desarrolla. Fuera de ella, la concepción estructural la iría
envolviendo gradualmente. … ciertas partes de la matemática las podemos
observar con cierto grado de jerarquización, lo que es concebido de una forma
puramente operacional en un nivel, se podría concebir estructuralmente en un
nivel más alto”. En este marco de referencia, en el que se habla de la formación
de conceptos, la postura de Sfard, permite observar las concepciones de los
estudiantes, no solo desde los procesos sino también desde los objetos
abstractos, proporcionando de esta manera, un reconocimiento general del
concepto.
2.1.1 Concepción Estructural y Concepción Operacional
Sfard (1989), presenta una consideración acerca del tratamiento de las nociones
matemáticas mediada a partir de dos perspectivas:
• La Concepción Operacional: Procesos
• La Concepción Estructural: Objetos Abstractos
La concepción estructural, hace referencia a la capacidad de entender los objetos
matemáticos como reales, con características y funciones definidas.
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La concepción operacional, implica una interpretación de un proceso como una
entidad potencial, es decir, una entidad dinámica, secuencial y detallada.
Esta naturaleza dual de los constructos matemáticos se puede ver desde las
descripciones verbales y representaciones simbólicas, un ejemplo claro, es la
representación algebraica, en donde se evidencia mecanismos operacionales y
relaciones estáticas entre dos magnitudes.
El aprendizaje de las matemáticas está ligado a un método de enseñanza y
desligado de la intervención de un experto. Es preciso señalar que el rol del
enfoque estructural es más avanzado que el operacional, ya que el primero genera
comprensión y el segundo genera resultados, lo que se evidencia en la resolución
de problemas; por lo tanto, es evidente la importancia de trabajar los dos enfoques
ya que son complementarios.
En la siguiente figura se contemplan algunas características asociadas a los dos
tipos de concepciones propuestas por Sfard, en las cuales se encuentra la relación
de éstas con las representaciones y las imágenes mentales.
Esquema 2. Concepción según Sfard
La propuesta de Sfard va de la mano con los aspectos psicológicos de la
matemática desarrollados por Piaget (1970), quien afirma que el pensamiento
CONCEPCIÓN
ESTRUCTURAL OPERACIONAL
Estática Integrada Instantánea Dinámica Secuencial Detallada
IMÁGENES MENTALES REPRESENTACIÓN
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matemático se puede entender de dos modos diferentes: “el figurativo que se
refiere a los estados como momentáneos y estáticos y el operativo que trata de las
transformaciones”, en concordancia con la concepción estructural y la concepción
operacional respectivamente.
2.2. Desarrollo de Pensamiento
Piaget (1970), propone dos formas de pensamiento: figurativo y operativo; el
aspecto figurativo del conocimiento lo define como “una imitación de estados
tomados como momentáneos y estáticos”, mientras que los aspectos operativos
“involucran no estados sino transformaciones de un estado a otro”.
Piaget afirma, que los aspectos figurativos son esencialmente asimilatorios, es
decir, que incorporan información nueva “en un esquema preexistente adecuado
para comprenderla”, lo que significa que cada sujeto se enfrenta con nuevas
situaciones que serán manejadas de acuerdo a los esquemas que ya posee y que
deben ampliarse para ajustarse a dicha situación. Por otra parte, los aspectos
operativos son caracterizados por el proceso de acomodación, este proceso,
“ocurre cuando un esquema se modifica para poder incorporar nueva información”.
Estas dos formas de pensamiento nos permiten afirmar que el aprendizaje de
cada sujeto, depende del conocimiento existente, ya que los procesos de
asimilación y acomodación hacen que se modifique la información o que se
modifiquen los esquemas produciendo nuevos conocimientos, lo anterior,
proporciona elementos fundamentales para relacionar estas formas de
pensamiento con las concepciones que poseen los estudiantes sobre un concepto,
en particular sobre la Semejanza.
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Según Chamorro (2003), las concepciones que elaboran los estudiantes pueden
estar controladas por la enseñanza, es decir, construidas por los estudiantes y
provocadas por el profesor para hacerles adquirir una noción; o incontroladas por
la enseñanza, en donde los estudiantes las construyen en ambientes de
aprendizaje pero no son provocadas por el esquema de enseñanza.
2.3. El aprendizaje de la Semejanza
El estudio de la semejanza está propuesto por los Estándares básicos de
competencias en Matemáticas (2006), desde los grados 1º a 3º hasta los grados
8º y 9º de educación básica. Con lo cual se quiere mostrar el desarrollo de
competencias que se debe lograr de manera gradual frente a este concepto,
superando los distintos niveles de complejidad así:
Bloque de
Grados Estándar Complejidad del Concepto de Semejanza
1°-3°
Reconozco congruencia y
semejanza entre figuras (ampliar,
reducir).
Es un nivel inicial de razonamiento, el
concepto de “semejanza” es estrictamente
visual y posiblemente no será preciso.
Una primera definición de figuras semejantes
que se puede dar a los alumnos es que son
figuras que “tienen el mismo aspecto” pero
tamaños diferentes.
4°-5°
Identifico y justifico relaciones de
congruencia y semejanza entre
figuras.
6°-7°
• Predigo y comparo los
resultados de aplicar
transformaciones rígidas
(traslaciones, rotaciones,
reflexiones) y homotecias
(ampliaciones y reducciones)
sobre figuras bidimensionales
Los alumnos pueden comenzar a hacer
medidas de ángulos, longitudes de lados,
calcular áreas y volúmenes (de los sólidos)
que sean semejantes.
De esta manera se pueden encontrar
relaciones entre formas semejantes.
El estudio de la semejanza de figuras está
estrechamente relacionado con el estudio del
razonamiento proporcional.
23
en situaciones matemáticas y
en el arte.
• Resuelvo y formulo problemas
que involucren relaciones y
propiedades de semejanza y
congruencia usando
representaciones visuales.
8°-9°:
• Conjeturo y verifico
propiedades de congruencias y
semejanzas entre figuras
bidimensionales y entre
objetos tridimensionales en la
solución de problemas.
• Reconozco y contrasto
propiedades y relaciones
geométricas utilizadas en
demostración de teoremas
básicos (Pitágoras y Thales).
• Aplico y justifico criterios de
congruencias y semejanza
entre triángulos en la
resolución y formulación de
problemas.
Al principio la noción de semejanza se
desarrollará de manera intuitiva; después se
podrá dar una definición más precisa: Dos
figuras son semejantes si todos los ángulos
son congruentes y las longitudes de los
lados correspondientes son proporcionales.
Si un lado de una figura semejante a otra es
de triple tamaño que el correspondiente en la
figura pequeña, esa misma relación habrá
entre todas las restantes dimensiones. Si la
razón entre las longitudes correspondientes
es de l a n, la razón entre las áreas será de 1
a n2, y la razón entre los volúmenes será de
1 a n3.
Tabla 1. Estándares de Semejanza
Algunos conceptos, figuras semejantes, triángulos semejantes, segmentos
proporcionales y teoremas, aplicación de las semejanzas (escalas), homotecia y
semejanza en el espacio, que son necesarios abordar en el estudio de la
semejanza se relacionan en el siguiente esquema.
24
Esquema 3. Ideograma concepto de Semejanza
En el esquema se evidencia que para entender el concepto de semejanza es
necesario, conocer aspectos relacionados con magnitud, medida, proporcionalidad
numérica y además, lograr comprensión sobre figuras planas: polígonos,
perímetros y áreas.
2.3.1 Algunas definiciones básicas sobre semejanza
El tratamiento que se le da al concepto de semejanza en los diferentes textos,
manifiesta algunos cambios y/o hace énfasis en algunos aspectos conceptuales,
los cuales pueden ser algebraicos o geométricos; a continuación se exponen
algunas definiciones con el fin de determinar una postura pertinente que se pueda
ajustar a la propuesta.
• Enciclopedia Temática Aplicada Tomo IV (1984), se llama semejanza a la
transformación geométrica que asocia a cada par de puntos del plano A y B
los puntos A’ y B’ tales que los segmentos A’B’ y AB cumplen la condición:
A’B’ = kAB. En donde k es un número real y fijo denominado razón de
semejanza.
25
• Moisey Downs (1986), el estudio de la semejanza esta dado a partir de una
correspondencia entre dos triángulos. Si los ángulos correspondientes son
congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces la
correspondencia se llama una semejanza y decimos que los triángulos son
semejantes.
• Grupo Beta (1990), mencionan la noción de semejanza a partir de los
conceptos importantes como cantidad, magnitud y medida, la proporcionalidad
de segmentos, el teorema de Thales, la semejanza en el plano y en el
espacio.
…A dos figuras entre cuyos puntos se pueda establecer una aplicación
biyectiva que cumpla condiciones de correspondencia entre sus lados y sus
ángulos, se les llama figuras semejantes. Se dice que una semejanza es
directa si conserva el sentido del plano e inversa en el caso contrario.
…La semejanza en el espacio transforma puntos alineados en otros puntos
alineados en igual orden; los segmentos homólogos en el espacio son
proporcionales y los ángulos homólogos son iguales.
• Dickson, Brown y Gibson (1991), el estudio de las transformaciones de las
figuras geométricas ha ido progresivamente primando sobre la presentación
formal de la geometría basada en teoremas y demostraciones deductivas.
• Rich (1991), las figuras congruentes (semejantes) son figuras que tienen el
mismo tamaño y forma; una es el duplicado exacto de la otra. Las figuras
pueden hacerse coincidir de tal forma que sus partes correspondientes ajustan
entre sí.
• Lemonidis6 (1991), quien afirma que para lograr una aproximación al concepto
de semejanza se deben tener en cuenta dos momentos distintos:
o La relación intrafigural: correspondencia de elementos de una figura.
Cuando las figuras forman parte del Teorema de Thales, en la que se
6 LEMONIDIS, C. (1981). Analyse et réalisation d’une experience d’énseignement de l´homothétie. Recherches en Didactique des Mathématiques. Citado por ESCUDERO, I. en: Un análisis del tratamiento de la semejanza en los documentos oficiales y textos escolares de matemáticas en la segunda mitad del siglo XX. Enseñanza de las Ciencias, (2005). vol 23, nº 3, pp. 379-392.
26
consideran los aspectos de proyección y homotecia con sus
correspondientes razones.
o La transformación geométrica: aplicación del conjunto de puntos en el
plano y la transformación de dos o más trasformaciones.
Cuando las figuras están en disposición homotética o se consideran como
figuras separadas.
• Godino (2003), menciona la noción informal de figuras semejantes como las
que tienen la misma forma y que puede ser precisada utilizando las
transformaciones del plano que se conocen como homotecias y semejanzas. …Dos figuras son semejantes si tienen exactamente la misma forma, pero no
necesariamente el mismo tamaño.
…Dos figuras son semejantes si una de ellas es un modelo a escala de la otra.
La definición de semejanza exige dos condiciones:
o La primera: ángulos correspondientes congruentes.
o La segunda: lados correspondientes proporcionales.
• Biblioteca Temática Escolar (2007), el estudio de la semejanza se realiza a
partir de la consideración de la proporcionalidad entre segmentos, “la razón
geométrica entre dos segmentos representa el cociente entre su longitud”, el
teorema de Thales que precisa y delimita está proporción entre los segmentos.
Esta revisión conceptual, permite centrar la atención en la propuesta de Lemónidis
(1991), ya que permite establecer una relación estrecha con la propuesta de Sfard,
respecto a las concepciones que se espera alcance un estudiante frente a un
concepto.
Por lo tanto es necesario, profundizar sobre elementos de congruencia y
proporcionalidad de magnitudes, se hará énfasis en la magnitud geométrica y
posteriormente se tratará la proporcionalidad de segmentos, el teorema de Thales
y las homotecias, esto con el fin de caracterizar los aspectos relacionados con las
relaciones intrafigurales y con las trasformaciones geométricas.
27
2.4. Proporcionalidad de magnitudes
Sea E y ´E conjuntos y c1, c2,…,cn elementos de E
c´1, c´2,…,c´n elementos de ´E
sea +ℜ∈r , se define una aplicación biyectiva:
´: EEp →
de tal forma que:
´)( ii ccp = ; Eci ∈( y ´)´ Ec i∈
si la aplicación cumple que:
´´)()()( 212121 cccpcpccp +=+=+
´*)(*)*( iii crcprcrp ==
a la aplicación p se le llama proporcionalidad.
2.4.1. Proyección Paralela
Sean a y ´a dos rectas concurrentes en O y una recta b no paralela ni a a ni a
´a .
Sean SRQP ,,, puntos sobre a , se trazan rectas paralelas a b que pasen por
SRQP ,,, y que corten a ´a en ´´,´,´, SRQP
Esto es: por cualquier punto de a puedo trazar una recta paralela a b que
cortará a ´a , es decir, a cada punto de a es posible asociar un
punto de ´a .
28
2.4.2. Homotecia
Sea O un punto del plano y k(0 un número real. Dado un punto A del plano
(distinto de O) podemos construir, sobre la recta OA, el segmento OA´
tal que:
El punto A0 estará del mismo lado que A con respecto a O si k>0 y de distinto lado
si k<0. Dado el punto A, la recta OA es única y dado k (0 el segmento (orientado).
OA´ = kOA es único también.
Esta construcción le asigna a cada punto A del plano un único punto A´ y es por
tanto una biyección del plano en sí mismo (el punto O es invariante). A esta
biyección la llamaremos la homotecia de centro O y razón k. Diremos que dos
figuras, homólogas en una homotecia, son figuras homotéticas.
Consideremos la homotecia de centro O y razón k, A y A´ puntos homotéticos. Sea
B un punto exterior a la recta OA. La imagen B´ del punto B será la intersección de
la recta paralela a AB por A´ y la recta OB.
Sea C un punto interior al segmento AB. Puesto que la semirrecta OC es interior al
ángulo AOB la imagen C0 del punto C será un punto interior al segmento A´B´. Se
sigue que las homotecias preservan el orden y que la imagen del segmento
(semirrecta, recta) AB es el segmento (semirrecta, recta) A´B´.
Propiedades de las homotecias
• La homotecia conserva la alineación, el orden de los puntos homólogos y el
sentido en el plano. El centro es el único punto invariante.
• Las rectas que pasan por el centro son las únicas rectas invariantes.
• Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas.
• Los segmentos homólogos son proporcionales.
29
• La razón de distancias de un punto a otros dos de una figura es igual a la
razón de distancias entre los puntos homólogos.
2.5. Revisión de textos escolares
La revisión de textos escolares se realiza con el fin de identificar los elementos
que se relacionan con la propuesta de Lemonidis, y que refieren al aprendizaje del
concepto a nivel escolar. Los textos consultados son de la última década (1998 –
2008), pues se supone encontrar relación entre los pensamientos y un tratamiento
de la semejanza con situaciones problemas.
RELACIÓN INTRAFIGURAL
RELACIÓN INTRAFIGURAL Y TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
Editorial Norma (ALFA 9, año 2003) En el texto se presentan las características de la semejanza frente a los ángulos y a los lados de una figura a partir de la explicación con ejemplos, se usa la idea de triángulos semejantes y los respectivos criterios. Además se explica la relación de las longitudes proporcionales desde la explicación de las líneas paralelas a un triangulo como aplicación de los criterios de semejanza. Editorial Voluntad (Ingenio Matemático 9, año 2006) En el texto se presentan ejercicios del cálculo de razones, la teoría de proporcionalidad y sus propiedades con el fin de introducir la semejanza desde un punto de vista más matemático que geométrico, al igual que la explicación de los criterios de semejanza de los triángulos con las respectivas demostraciones, se hace un tratamiento a los triángulos rectángulos y de las aplicaciones de escalas y proyecciones de los polígonos semejantes. Editorial Norma (conexiones 9, año 2006). En el texto se presenta el tema con la consideración de los polígonos semejantes con las respectivas características, luego se
Editorial Voluntad (Inteligencia Lógico–Matemática 9, año 2004) En el texto se hace una proporcionalidad entre los segmentos a partir del teorema, de la misma forma se presente una aplicación de la semejanza a partir del concepto de escala, y se explican los criterios de semejanza presente entre los triángulos y el teorema de Thales. Además se proponen criterios de semejanza entre triángulos rectángulos con un ejemplo de problemas con sombras. Matemática 8, 2008. Editorial SM En este texto se realiza una exposición del tema a partir de la consideración de la congruencia de triángulos por rotación, reflexión y traslación; de la misma manera se tiene en cuenta los criterios de congruencia (LAL, ALA y LLL). Libros & Libros (Glifos 9, año 2008) En el texto se hace referencia al tema con el nombre de triángulos semejantes a partir de sus características en cuanto a los lados y a los ángulos. Los autores hacen una aclaración sobre el Teorema de Thales para la construcción de triángulos con la aplicación de este teorema, al igual que en los otros textos
30
Tabla 2. Revisión de textos
Establecer un proceso de aprendizaje de la semejanza por parte de los
estudiantes, es fundamental para poder lograr tanto construcción como
comprensión del concepto, para ello se utiliza la jerarquía del aprendizaje
planteada por Gagné, la cual permite evidenciar conocimientos de forma
secuencial.
2.6. Jerarquía del Aprendizaje
Para Gagné (1979), la jerarquía del aprendizaje establece los requisitos previos y
específicamente, aprendizaje de habilidades intelectuales.
Todas las ciencias, constan de conjuntos de reglas que se basan unas en otras.
Conjuntos organizados de habilidades intelectuales que pueden expresarse como
una jerarquía del aprendizaje.
introducen los criterios de semejanza de los triángulos y se realiza una explicación de las longitudes proporcionales a partir de la aclaración de las líneas paralelas a un triangulo. Santillana (Matemática 8, 2007): En el texto se hace una revisión del tema a partir de la consideración de figuras congruentes, con la descripción de un teorema de congruencia y la aplicación de los criterios de congruencia y los teoremas que conducen a la demostración de las propiedades de los triángulos.
TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA
Editorial Voluntad (Nova 8, año 1998) En el texto se presenta un trabajo por proyectos a partir de la reducción o ampliación de figuras, la construcción de las razones de las homotecias y los coeficientes de proporcionalidad.
anteriores se explica los criterios de semejanza de triángulos. Además se presenta una aplicación de la semejanza propuesta en polígonos que conservan las mismas características que los triángulos y las relaciones presentes cuando se trabajan escalas de longitud en la construcción de planos.
31
El esquema de la jerarquía que propone Gagné en el aprendizaje de habilidades
intelectuales, se caracteriza porque depende de aprendizajes previos organizados
en forma secuencial, que parte de discriminaciones, que son requisito para los
conceptos y estos son requisito para llegar a las reglas y estas a su vez son el
requisito de las reglas superiores.
Discriminaciones → conceptos → reglas → reglas superiores
Cada uno de estos tipos de aprendizaje posee tres componentes fundamentales:
ejecución, condiciones internas y condiciones externas.
• La ejecución hace referencia a lo que se puede hacer después del
aprendizaje y que no se podía hacer antes del mismo (Gagné, 1976, P.53).
• Las condiciones internas hacen referencia a los aprendizajes y capacidades
que están presentes en el estudiante y que éste debe recordar para integrar a
una nueva capacidad adquirida.
• Las condiciones externas se refieren a las comunicaciones verbales.
A continuación se definirá cada uno de los tipos de aprendizaje dentro de las
habilidades intelectuales y en la siguiente tabla se mostrarán las condiciones de
los tres componentes fundamentales en cada uno de los aprendizajes.
• Discriminación: Es la capacidad de dar respuestas diferentes a estímulos
que difieren de características o rasgos.
• Conceptos: Es una capacidad que le permite al individuo identificar ciertas
características. Los conceptos se pueden clasificar como conceptos definidos
y conceptos concretos. Los conceptos concretos basados en la observación
permiten demostrar y expresar el significado de cierta clase de objetos o
relaciones. Los conceptos definidos requieren una definición y le permiten
al individuo identificar una clase de propiedades del objeto, también se
pueden expresar como una categoría o regla particular, es decir son reglas
de clasificación (Gagné, 1976, P.54).
32
• Reglas: Hace referencia a las relaciones entre clases de objetos y
acontecimientos, relaciones del tipo igual a, parecido a, mayor que, menor
que y muchas otras.
• Reglas superiores: Incluye un conjunto de reglas encadenadas entre sí,
cuyo fin es generar nuevas reglas, un poco más complejas que permitan dar
a solución a diferentes problemas en diferentes situaciones (Gagné, 1976,
P.58).
Tabla 3. Tipos de aprendizaje según Gagne (1976)
En la búsqueda de referentes teóricos e investigaciones relacionadas en el marco
teórico y estado del arte, se toma como base para el desarrollo de la propuesta a:
• Sfard (1989), respecto a las concepciones,
• Lemonidis(1991), frente al estudio de la semejanza y
• Piaget (1970), para el desarrollo del pensamiento.
Dichas propuestas las encontramos estrechamente relacionadas y por lo tanto se
partirá de ellas para definir las variables y categorías de análisis. A continuación
Habilidad Intelectual
Ejecución Consiste en:
Condiciones Externas
Condiciones Externas
Discriminaciones
Dar respuestas simples que diferencien características o rasgos.
Recordar ciertas conexiones.
Estímulo, repetición y reforzamiento.
Concepto Identificar una clase de propiedades de un objeto.
Recordar ciertas discriminaciones.
Demostrar el concepto mediante una definición.
Regla
Demostrar la regla mostrando uno o más casos de relación que tienen entre sí los conceptos componentes.
Recordar los conceptos componentes y las relaciones entre ellos.
Comunicación verbal.
Reglas Superiores
Inventar y usar una regla compleja para lograr la solución de un problema nuevo.
Recordar reglas subordinadas.
El individuo se enfrenta a un problema real que desconoce absolutamente.
33
se presenta un ideograma en donde se evidencia la relación entre las propuestas
citadas.
Esquema 4. Relación teórica: Piaget, Sfard y Lemonidis
34
CAPITULO III
3. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
3.1. Muestra
La aplicación de la propuesta de aula para la investigación, se llevó a cabo en el
Colegio Cardenal Sancha, de carácter privado de la ciudad de Bogotá; los criterios
de selección de la institución fueron: la pertinencia de la propuesta para el
currículo planteado en el área de matemáticas y la facilidad para aplicar los
instrumentos. El trabajo se realizó en grado octavo (8A y 8B), con la participación
de 70 estudiantes, con edades promedio de 12 a 14 años. El proceso de
aplicación tuvo el apoyo del docente encargado en el grado octavo, Jhon Jairo
Restrepo7 (quien sirvió de observador y aportó algunos comentarios relevantes
para el análisis de los instrumentos); en un tiempo total de 5 sesiones de 110
minutos cada una y en cada grupo. Para la realización de este trabajo se contó
con la aceptación y receptividad de los estudiantes.
3.2. Variables
Las variables identificadas dentro de la investigación se plantean a partir de tres
aspectos: ASPECTOS VARIABLES
El desarrollo de pensamiento Pensamiento Figurativo y Pensamiento Operativo
Las concepciones Concepción Estructural y Concepción Operacional
El concepto de semejanza Relación Intrafigural y Transformación Geométrica Tabla 4. Variables de la investigación
7 Licenciado en Educación Básica con énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital.
35
En el siguiente cuadro se explica de forma detallada cada uno de los aspectos y
las variables que se relacionan con ellos.
ASPECTOS VARIABLES
DESDE EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO
PIAGET Según la Teoría de Piaget, el aprendizaje depende de los conocimientos existentes; el hombre aprende a partir de la adaptación, proceso que involucra a la asimilación y acomodación. Para Piaget asimilación y acomodación interactúan mutuamente en un proceso de Equilibración. El equilibrio puede considerarse cómo un proceso regulador, a un nivel más alto, que gobierna la relación entre la asimilación y la acomodación. El proceso de equilibración entre asimilación y acomodación se establece en tres niveles sucesivamente más complejos:
1. El equilibrio se establece entre los esquemas del sujeto y los acontecimientos externos.
2. El equilibrio se establece entre los propios esquemas del sujeto.
3. El equilibrio se traduce en una integración jerárquica de esquemas diferenciados.
FORMA DE PENSAMIENTO FIGURATIVO
Estado de pensamiento momentáneo y estático. Son asimilatorios. Asimilación • Incorpora información nueva a
un esquema preexistente. Maneja situaciones de acuerdo a esquemas que ya posee y que se amplía para ajustarse a dicha situación.
• La asimilación se refiere al modo en que un organismo se enfrenta a un estímulo del entorno en términos de organización actual.
• Ninguna conducta, aunque sea nueva para el individuo, constituye un comienzo absoluto. Siempre se integra a esquemas anteriores. En este caso, el vínculo posee continuidad.
• La asimilación consiste en incorporar la realidad o parte de ella a esquemas mentales preexistentes.
FORMA DE PENSAMIENTO OPERATIVO
Involucra transformaciones de un estado a otro, se caracteriza por el proceso de acomodación. Acomodación • La acomodación implica una
modificación de la organización actual en respuesta a las demandas del medio.
• Los esquemas se modifican para incorporar nueva información.
• Se refiere a cualquier modificación dentro de un esquema asimilador o de una estructura, modificación que a su vez se causa por los elementos que se asimilan.
• La acomodación consiste en un proceso mediante el cual se ajusta o se puede adecuar esa parte de la realidad que ha sido asimilada.
DESDE LAS CONCEPCIONES SFARD
Sfard define concepción como el grupo total de representaciones y asociaciones internas evocadas por el concepto, entendiéndose concepto como el constructo teórico dentro de “el universo formal de saber ideal”.
CONCEPCIÓN ESTRUCTURAL • Objetos abstractos que se
caracterizan por ser estáticos, integrados e instantáneos.
• Capacidad de entender los objetos matemáticos como reales, con características y funciones definidas.
• Genera comprensión. • Hace referencia a
pensamientos únicos sobre los objetos.
• Hace referencia a reglas como razones.
CONCEPCIÓN OPERACIONAL • Implica procesos. • La interpretación de un
proceso como una entidad potencial, es decir dinámica, potencial y detallada.
• Genera resultados. • Secuencia de acciones. • Las destrezas técnicas
implican resultados. • Hace referencia a reglas sin
razones. • Representaciones verbales.
36
Tabla 5. Caracterización de las variables
3.3. Recolección y análisis de datos
Para establecer las concepciones de semejanza de los estudiantes, se llevaron a
cabo tres fases:
Primera fase: aplicación del pretest8: el cual buscaba que las estudiantes tuvieran
un primer acercamiento y mostraran su concepción inicial sobre la semejanza,
esta fase también es posible denominarla diagnóstica, ya que nos da un punto de
partida para ajustar la propuesta de aula.
Segunda fase: aplicación de la propuesta de aula: se llevó a cabo mediante la
organización en pequeños grupos de trabajo (3 ó 4 estudiantes), en los que se
permitió el planteamiento de estrategias de solución de las situaciones propuestas
con el fin de identificar indicios de la construcción de la concepción de semejanza.
En cada una de las sesiones se destinó un espacio para la socialización del
trabajo de los diferentes grupos y se contó con la intervención de las
investigadoras y con la observación no participante del el profesor titular, Jhon
Jairo Restrepo (observador no participante).
8 Pretest diseñado por Gualdrón (2006), ajustado para esta investigación.
• Muestra imágenes mentales y permite observar la contemplación de las mismas.
• Evidencia la organización del esquema cognitivo.
DESDE EL CONCEPTO DE SEMEJANZA LEMONIDIS
Se presentan dos aspectos para realizar una aproximación al concepto de semejanza como objeto de enseñanza y las formas de representación de la misma.
RELACIÓN INTRAFIGURAL • Correspondencia de los
elementos de una figura. Proporcionalidad. Teorema de Thales.
TRANSFORMACIÓN GEOMÉTRICA
• Aplicación de conjuntos de puntos en el plano.
• Transformación de dos o más transformaciones.
37
Tercera fase: aplicación del postest9: una vez ya revisados los instrumentos de la
segunda fase que arrojaron los resultados con los cuales se categorizaron las
concepciones de las estudiantes, se llevó a cabo la aplicación del postest; para
este momento de la investigación se contó con un grupo de 10 niñas de cada
curso, lo que permitió determinar el tipo de concepción sobre semejanza que se
logró después de la aplicación de la propuesta.
Con el fin de obtener un análisis confiable acerca de la conceptualización de la
semejanza, se realiza la jerarquía de la propuesta de enseñanza, basada en la
jerarquía de aprendizaje de Gagné.
La jerarquía de aprendizaje para la unidad “Propuesta de aula acerca del
concepto de semejanza” se desarrolla con base en los objetivos asociados a
discriminaciones, conceptos, reglas y reglas superiores que conducen al objetivo
general. Cada requisito se enumera y se asocia a un objetivo, por tanto, los
objetivos de la unidad a desarrollar son:
1. Utilizar los conceptos de proporción y medida de segmentos. 2. Analizar la proporción de los lados de las figuras planas y encontrar la
constante de proporcionalidad. 3. Evidenciar el Teorema de Thales.
4. Introducir el concepto de semejanza en figuras separadas.
5. Comprobar los criterios de semejanza de triángulos. 6. Deducir las condiciones de semejanza entre figuras planas.
Con estos objetivos y teniendo identificados los contenidos de la unidad se
organiza la Jerarquía de manera secuencial, empezando de abajo hacia arriba
hasta llegar al objetivo principal. 9 Diseñado por Gualdrón (2006), ajustado para esta investigación.
38
Jerarquía de la propuesta de aula acerca del concepto de semejanza
Prerrequisitos.
Esquema 5. Jerarquía del concepto de Semejanza
3. Regla: teorema de Thales.
5. Regla: criterios de semejanza
4. Regla: medida de lados
Entiende el concepto de semejanza en cualquier contexto desde lo intrafigural y las
transformaciones geométricas
Entiende el concepto de semejanza en figuras planas.
4 Regla: medida de ángulos
5. Regla: homotecias
4. Regla: comparar longitudes
4 Regla: transformaciones en el plano.
3. Regla: paralelismos
Razones
1. Concepto: proporción y medida de segmentos.
Proporcionalidad Medida
2. Regla: Proporción entre segmentos.
2. Regla: constante de proporcionalidad.
39
A partir de la jerarquía construida en el esquema anterior, la revisión documental y
el análisis de los datos, se establecieron las siguientes categorías (C), que están
directamente relacionadas con cada uno de los objetivos, los cuales permiten
revisar la concepción que poseen las estudiantes después de la aplicación de la
propuesta:
ASPECTO VARIABLES OBJETIVOS
Transformación geométrica
• Construye segmentos semejantes. C1.
• Construye figuras semejantes. C4.
• Reconoce semejanza en figuras rotadas. C9.
Concepto de
semejanza
Relación Intrafigural
• Compara longitud de segmentos. C2.
• Encuentra relación numérica entre la medida de los segmentos. C3.
• Compara la amplitud de diferentes ángulos. C7.
• Identifica criterio de semejanza de triángulos. C8.
• Encuentra relación proporcional entre figuras. C5.
• Describe la construcción de figuras semejantes. C6.
Estructural La concepción estructural es estática, instantánea,
integrada. Concepción
Operacional La concepción operacional es dinámica, secuencial y
detallada.
Pensamiento figurativo
Momentáneo estático. Desarrollo del
pensamiento Pensamiento operativo
Implica transformación de un estado a otro.
Tabla 6. Categorías de las variables
En la siguiente tabla se hacen explícitas las categorías respecto al concepto, ya
que es sobre ellas en donde se hace especial énfasis para analizar el cambio de
concepción.
40
RELACIÒN INTRAFIGURAL TRANFORMACIÒN GEOMÈTRICA C2. Categoría 2 Compara longitud de segmentos Las estudiantes hacen una primera aproximación al concepto de semejanza a partir de las consideraciones de proporcionalidad. C3. Categoría 3 Encuentra relación numérica entre la medida de los segmentos Las estudiantes hablan de equivalencia, igualdades y semejanzas, proporciones; realizan divisiones de las longitudes a partir de relaciones entre los segmentos. C7. Categoría 7 Compara la amplitud de diferentes ángulos Las estudiantes dan cuenta que los ángulos correspondientes de figuras semejantes deben ser congruentes. C8. Categoría 8 Identifica criterio de semejanza de triángulos Las estudiantes establecen criterios de semejanza de triángulos.
C1. Categoría 1 Construye segmentos semejantes Las estudiantes relacionan las dimensiones de una figura encontrando la posibilidad de hablar de paralelismo; teniendo en cuenta la proporcionalidad y la igualdad. C4. Categoría 4 Construye figuras semejantes Las estudiantes proponen la construcción de figuras semejantes por medio de la comparación de esquemas. C9. Categoría 9 Reconoce semejanza en figuras rotadas Las estudiantes reconocen figuras semejantes aunque en ellas se realice alguna transformación geométrica, en particular la rotación y homotecias.
Categorías que contemplan lo intrafigural y la transformación geométrica
C5. Categoría 5 Encuentra relación proporcional entre figuras Las estudiantes establecen la relación existente entre los lados de la figura y su longitud. C6. Categoría 6 Describe la construcción de figuras semejantes Las estudiantes proponen estrategias de construcción de figuras semejantes.
Tabla 7. Descripción de las categorías
3.4. Análisis del Pretest10
El pretest se aplicó como prueba piloto en un grupo de 35 estudiantes del grado
8°A, se ajustó y modificó de acuerdo a las necesidades de la investigación y el
concepto de semejanza propuesto por Lemonidis.
10 Pretest: instrumento diseñado por Gualdrón 2006, ajustado para esta investigación. Anexo 1.
41
Cada una de las preguntas del pretest se relaciona con un objetivo específico
que se muestra en el siguiente cuadro:
Relación objetivos – preguntas
Objetivos Preguntas 1. Utilizar los conceptos de proporción y medida de
segmentos. 2. Analizar la proporción de los lados de las figuras planas y
encontrar la constante de proporcionalidad. 3. Evidenciar el Teorema de Thales.
4. Introducir el concepto de semejanza en figuras separadas.
5. Comprobar los criterios de semejanza de triángulos. 6. Deducir las condiciones de semejanza entre figuras planas.
1, 2, 3, 5, 6
4
6
6
1, 3, 6
6, 2, 5
Tabla 8. Relación objetivos con las preguntas de Pretets
Posteriormente se aplica el instrumento rediseñado a 35 estudiantes del curso 8°B
y los resultados fueron los siguientes:
CONCEPCIONES
Ítem Categoría
conceptual E O % DESCRIPCIÓN
1 C3, C8 X 25%
Respecto a la concepción se puede afirmar
que es Operacional: Sfard (1989), afirma que en esta concepción
se generan resultados; se evidencia en los
instrumentos que las estudiantes utilizan una
42
2 C2, C3 X 37%
3 C2, C3 X 42%
estrategia multiplicativa sin justificación. Es
quizás un desarrollo mecánico sin mucha
comprensión.
Respecto al concepto -Intrafigural-: Las estudiantes utilizan una estrategia de
solución adecuada:
• Regla de tres (relación de proporcionalidad).
• Estrategia multiplicativa sin explicación del
proceso utilizado.
• Hallan el área de la figura.
Las demás estudiantes utilizan métodos no
adecuados como resolver por Pitágoras o una
estrategia aditiva errónea.
Se evidencia que la relación “doble de” es más
fácil de establecer que la de “triple de”.
4 C4 x 82%
Respecto a la concepción Estructural: La capacidad de entender los objetos
matemáticos como reales es clara en este
ítem, la posibilidad de que las estudiantes
realicen un cambio de escala de una figura
deja ver que el manejo de la semejanza dado
en un contexto específico tiende a una mayor
comprensión.
Respecto al concepto -Transformacional-: Las estudiantes utilizan una escala adecuada
(1:2) para dibujar una figura semejante a la
propuesta sin mucha dificultad.
5 C5 x X 48%
Respecto a la concepción Estructural: Las estudiantes comprenden la distancia
recorrida entre los puntos A y D que se
evidencian en el plano.
Respecto a la concepción Operacional: Es complicado para las estudiantes en general,
hacer la conversión numérica de la escala.
Respecto al concepto - Transformacional -:
43
Las estudiantes establecen una relación de
tipo proporcional (2:1) para hallar la escala en
la que se encuentra elaborado el plano.
6 C3, C5, C7,
C9 x X 35%
En este ítem fue relevante la concepción
estructural y el manejo intrafigural del
concepto. Para las estudiantes es más
evidente la relación entre los lados que la que
se da entre los ángulos.
Concepciones: Estructural (E) Operacional (O) %: Porcentaje de estudiantes que dan una solución acertada a la situación.
Tabla 9. Análisis del Pretets
Interpretación: en la aplicación del pretest, los porcentajes dejan ver en general,
la baja comprensión que se tiene frente al concepto de semejanza. Sin embargo,
en el trabajo de las estudiantes se evidencia un buen dominio de escalas, lo cual
nos permite afirmar que poseen manejo de transformaciones de homotecia en el
plano, esto nos permite afirmar que se logra mejor comprensión del concepto
siempre y cuando se enmarque dentro de un contexto.
Las concepciones que se encontraron fueron las siguientes:
Dos triángulos siempre son semejantes:
todos tienen 3 ángulos y 3 lados. Por lo
tanto son semejantes.
Si al comparar figuras los ángulos son
iguales entonces las figuras son
semejantes.
a a
b b c c
90
90
44
Si los lados de una figura aumentan de
manera aditiva en la otra figura, entonces
las figuras son semejantes.
Tabla 10. Concepciones de Semejanza
A partir de este análisis es posible decir, que la concepción que poseen las
estudiantes es de tipo operacional, entendiendo desde la propuesta de Sfard, que
el conocimiento se da de forma secuencial y que una vez superado lo operacional
es posible dar paso a lo estructural.
3.5 Análisis de la Propuesta de Aula
Relación objetivos – actividades según jerarquía
Objetivos Preguntas 1. Utilizar la construcción del Conjunto de Cantor para
retroalimentar los conceptos de proporción y medida de segmentos.
2. Analizar la proporción de los lados de las figuras planas a partir del estudio del Copo de Nieve y encontrar la constante de proporcionalidad.
Actividad 1
3. Evidenciar el Teorema de Thales a partir de la observación y
análisis de las características del triángulo de Sierpinski. 4. Introducir el concepto de semejanza en figuras separadas
utilizando el cuadrado de Cantor.
Actividad 2
5. Usar los triángulos de Cantor y de Sierpinski para comprobar los
criterios de semejanza de triángulos. 6. Deducir las condiciones de semejanza entre figuras planas a
partir de la construcción del cuadrado de Besicovich.
Actividad 3
Tabla 11. Relación objetivos con las preguntas de la propuesta de aula
La propuesta de aula pretende que las estudiantes construyan el concepto de
semejanza desde lo Intrafigural (I) y lo Transformacional (T). La mirada sobre la
concepción se espera nivelada entre lo Estructural (E) y lo Operacional (O). Para
45
el análisis de los resultados de la propuesta se escogió una muestra de 14
estudiantes aleatoriamente.
3.5.1 Instrumentos de recolección de información: Actividad 1
ITEM CATEGORÍA TIPO DE
ACTIVIDAD %
ESTUDIANTES ANÁLISIS
ACCIONES DE LOS ESTUDIANTES
E 1-2 C1
I 100%
E 3
a,b,c C2
I 57%
4-5 C3 O 85%
E 6 a C4
T 35%
E
b,c,d C2 I
85%
La actividad estaba diseñada para que las estudiantes hicieran un reconocimiento
de la proporcionalidad y la medida entre segmentos, a partir de la construcción y
análisis del conjunto de Cantor y la semejanza de figuras en la construcción del
Copo de nieve de Koch.
• No se evidencia ninguna dificultad en la construcción del conjunto de Cantor.
• Las relaciones de proporcionalidad entre segmentos fueron determinadas
mediante las relaciones de equivalencia.
• La construcción les permitió hablar de paralelismo.
• La comparación de las longitudes se estableció mediante proporcionalidad,
regla de tres y análisis de tipo visual.
• La construcción del copo de nieve no fue fácil para las estudiantes, sin embargo
el análisis numérico de las relaciones de longitud las realizaron sin problema.
• Las estudiantes hacen una imagen mental del fractal y a partir de ésta logran
hacer la relación de la longitud de los lados de los triángulos que forman la
figura.
• Se acercan al concepto de semejanza a partir de la relación que se establecen
entre los lados de los triángulos.
47
USO DEL MATERIAL
Figura 1
Figura 2
Figura 3
El conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor se construye a partir de un segmento de longitud uno, que se subdivide en tres segmentos de igual longitud y del cual se suprime el segmento central. En cada uno de los segmentos resultantes se repite el proceso, obteniendo cuatro segmentos.
Este fractal fue usado en la propuesta como un recurso visual que permitió a las estudiantes establecer, a partir de su construcción relaciones de proporcionalidad entre los segmentos. El copo de nieve de Koch Para su construcción se comienza con un triángulo equilátero cuyos lados tengan longitud 1u. En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo equilátero de lado 1/3u del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David. La construcción del copo de nieve, como se puede evidenciar en la figura 2, le permitió a las estudiantes acercarse a la semejanza de figuras y a la relación que se guarda entre los lados de los triángulos que la componen.
48
INTERPRETACIÓN
RESPECTO AL CONCEPTO
La actividad se diseñó con el propósito de lograr elementos frente a los dos aspectos propuestos por Lemonidis: la
relación Intrafigural se obtuvo en la comparación y análisis de la construcción de los dos fractales, pues allí era
posible establecer la correspondencia de los elementos de una figura que se va obteniendo paso a paso.
Transformación geométrica se logra a partir de la construcción de cada fractal. Aunque se evidencio dificultad en
la construcción del copo de nieve, las estudiantes a través de la imagen mental lograron establecer las relaciones
esperadas. Las estudiantes reconocen figuras semejantes aunque en ellas se realice alguna transformación
geométrica, en el copo de nieve se realiza rotación de los triángulos resultantes de la construcción.
RESPECTO A LA CONCEPCIÓN Se evidencia que las estudiantes logran entender los fractales con características y funciones definidas. Las
transformaciones que se realiza para su construcción permiten hablar de proporción y relación entre los
segmentos y lados de los triángulos. Al parecer se logra una concepción de tipo estructural dada por la
manipulación de los fractales.
Por otra parte, el análisis de las construcciones permite establecer la relación numérica, logrando una concepción
de tipo operacional.
Tabla 12. Análisis de la actividad 1
49
3.5.2 Instrumentos de recolección de información: Actividad 2
ITEM CATEGORÍA TIPO DE
ACTIVIDAD %
ESTUDIANTES ANÁLISIS
ACCIONES DE LOS ESTUDIANTES
E 1 C4
I 100%
E C1
I
O 2a, 2b
C3 I
100%
E 2c C1
I 73%
E 2d C5
I 100%
E 3a C4
T 100%
E
O 3b,c C3
T
100%
E
O 3d C7
T
71%
La actividad 2 pretendía, a partir de la característica de autosemejanza de los
fractales, en la observación, construcción y el análisis del triángulo de Sierpinski,
el reconocimiento del teorema de Thales; y sobre el cuadrado de Cantor
profundizar en la aproximación a la semejanza a partir de figuras separadas.
• En la construcción del triángulo de Sierpinski, no se evidenció mayor
dificultad, excepto que algunas estudiantes no mantenían las relaciones de
proporcionalidad por trabajar de forma rápida, sin embargo en la relación
numérica que se debía establecer no se encontró contradicción. Nuevamente
se puede afirmar que la imagen mental construida les permitió hacer
afirmaciones correctas.
• El análisis del triángulo de Sierpinski hasta el paso 4, permitía hacer una
relación de proporcionalidad y comparación con el teorema de Thales, se
esperaba que las estudiantes pudieran hablar de paralelismo y razón
numérica entre los segmentos correspondientes. Aunque las estudiantes
podían hallar las relaciones numéricas no todas dieron cuenta con exactitud
acerca de la relación de paralelismo.
• En la construcción del cuadrado de Cantor, las estudiantes lograron identificar
figuras semejantes y las relaciones numéricas de los lados correspondientes.
Para algunas de ellas, no era relevante la amplitud de los ángulos
50
USO DEL MATERIAL
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
El triángulo de Sierpinski fue fundamental para hallar las características de paralelismo y proporcionalidad entre las figuras semejantes.
''
EFDE
BCAB
=
Si se observan las figuras, el fractal es un recurso que facilita a las estudiantes el establecimiento de las relaciones y razones de proporcionalidad y paralelismo entre los segmentos. Las preguntas orientadoras llevaron poco a poco a las estudiantes a identificar los elementos contemplados en el estudio del teorema de Thales, para obtener un concepto más amplio de la semejanza. El análisis de la construcción del cuadrado de cantor, permitió a las estudiantes introducir el concepto de semejanza en figuras separadas y el reconocimiento de homotecias.
51
INTERPRETACIÓN
RESPECTO AL CONCEPTO
Para el diseño de esta actividad se dispusieron situaciones en las que las estudiantes pudieran construir las
relaciones intrafigurales y de transformación del concepto de semejanza.
Respecto a lo Intrafigural se obtuvo a partir del análisis del triángulo de Sierpinski, en donde se puedo establecer
las relaciones de paralelismo y razón que se deducen del teorema de Thales.
La Transformación geométrica se obtuvo a partir de la construcción del triángulo de Sierpinski en el cual se
podía evidenciar figuras semejantes contempladas dentro de la misma construcción y transformaciones de
rotación y homotecias; en el cuadrado de Cantor las estudiantes evidenciaron la semejanza de figuras separadas.
La dificultad notoria se dio de manera sobresaliente en el manejo del lenguaje.
RESPECTO A LA CONCEPCIÓN La concepción estructural del concepto de semejanza se deja ver en la construcción, análisis y manipulación de
los fractales dados, con la dificultad que tuvieron algunas niñas de hablar de paralelismo.
Por su parte, el establecimiento de las razones que se obtuvieron sobre el triángulo de Sierpinski permitió el
acercamiento a la concepción operacional. Tabla 13. Análisis de la actividad 2
52
3.5.3 Instrumentos de recolección de información: Actividad 3
ITEM CATEGORÍA TIPO DE
ACTIVIDAD %
ESTUDIANTES ANÁLISIS
ACCIONES DE LOS ESTUDIANTES
E 1a C6
T 78%
O 1b,c,e C2
T 100%
O 1d,f,g C3
T 100%
E 2a C4
I 86%
O 2b,c C2
I 90%
O 3a,b C7
I 71%
E 3C C3
I 100%
E 4a C6
T 71%
C4 E
C8
C6 T
O
4b
C3
I
62%
La intención de esta tercera actividad era usar las diferentes formas del triángulo de Sierpinski y el triángulo de Cantor para comprobar los criterios de semejanza de triángulos. Y además deducir las condiciones de semejanza entre figuras planas a partir de la construcción del cuadrado de Besicovich, es decir, aplicar los criterios de semejanza en otros contextos. • Las estudiantes logran describir el proceso para construir figuras
semejantes. El porcentaje bajo encontrado hace referente al manejo del lenguaje adecuado, mas no por el análisis o procedimiento que se obtiene en la construcción.
• Las estudiantes encuentran las razones entre los lados de las figuras semejantes y la constante de proporcionalidad.
• Las estudiantes construyen figuras semejantes al generar el paso siguiente del fractal propuesto y establecen sobre estas relaciones entre lados y ángulos.
• La situación lleva a las estudiantes a revisar la amplitud de los ángulos y la constante de proporcionalidad de la figura inicial y su semejante. La dificultad se presenta en el momento de la medición de los ángulos, particularmente en la falta de precisión.
• Los criterios de semejanza de triángulos se determinaron sin mayor dificultad, se logró comprensión de la proporcionalidad de los lados y la conservación de la amplitud de los ángulos.
• No fue fácil para las estudiantes evidenciar los criterios de semejanza de triángulos en otros contextos (el conjunto de Besicovich). Esta situación fue bastante dirigida por las investigadoras.
53
USO DEL MATERIAL
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Los triángulos propuestos para generar triángulos de Sierpinski, permitieron establecer, a partir de la medición, dos de los tres criterios de semejanza de triángulos, a su vez el triángulo de Besicovich deja ver el tercer criterio. Fue necesario construir fractales más grandes en las hojas milimetradas, para lograr mayor precisión no solo en la medida de ángulos sino también en la construcción. La construcción proporcional de los fractales permiten a las estudiantes realizar imágenes mentales del proceso de construcción, pero este proceso no es fácil de describir para las estudiantes. Al parecer el manejo del lenguaje adecuado es una dificultad que es necesario hacer un tratamiento adecuado. Es preciso generar situaciones diferentes para que las estudiantes logren transferir los conocimientos adquiridos respecto a los criterios de semejanza en contextos diferentes.
54
INTERPRETACIÓN
RESPECTO AL CONCEPTO
Los elementos de carácter intrafigural y de transformación geométrica fueron tenidos en cuenta para el diseño
de la tercera actividad.
Lo Intrafigural se concentró en el análisis y medición de las figuras autosemejantes de los fractales propuestos
en cada situación.
La Transformación geométrica se evidencia a partir de la construcción del triángulo de Sierpinski II y el
análisis de los otros fractales.
La dificultad se presentó en la transferencia de los criterios a situaciones en otros contextos.
RESPECTO A LA CONCEPCIÓN La concepción estructural frente a los criterios de semejanza se deja ver en la construcción, análisis y
manipulación de los fractales dados.
Por su parte, las mediciones sobre el triángulo de Sierpinski y el triángulo de Cantor permitieron el
acercamiento a la concepción operacional.
Tabla 14. Análisis de la actividad 3
55
3.5. Análisis del Postest
Una vez implementada la propuesta se aplica el a todo el grupo. El análisis de las
concepciones sobre la semejanza, se realizará a 10 estudiantes de cada grupo,
las cuales fueron escogidas aleatoriamente.
Cada una de las preguntas del postest se relaciona con un objetivo específico
que se muestra en el siguiente cuadro:
Relación objetivos – preguntas
Objetivos Preguntas 1. Utilizar los conceptos de proporción y medida de
segmentos. 2. Analizar la proporción de los lados de las figuras planas y
encontrar la constante de proporcionalidad. 3. Evidenciar el Teorema de Thales.
4. Introducir el concepto de semejanza en figuras separadas.
5. Comprobar los criterios de semejanza de triángulos. 6. Deducir las condiciones de semejanza entre figuras planas.
1, 2, 3, 4, 5, 8
2, 3, 4
1, 6, 7
2, 6, 7
1, 5, 8
1, 4
Tabla 15. Relación objetivos con las preguntas de Postets
En el postest se presentaron situaciones diferentes a los fractales, con el fin de
evidenciar la transferencia que logran hacer los estudiantes de los conceptos y
relaciones acerca de la semejanza, alcanzados en la propuesta de aula.
56
CONCEPCIONES Ítem CATEGORÍAS
CONCEPTUALES E O N° DESCRIPCIÓN
1 C2, C7, C8,
C9 x 75%
2 C1, C2, C3,
C4 X 70%
3 C3,C5 X 50%
4 C3, C4, C5,
C6 X 85%
5 C3, C8 X 82%
6 C2, C3, C5 x 100
%
Respecto al Concepto
• Las estudiantes que dieron solución
correcta a las situaciones, reconocieron
en las figuras semejantes
proporcionalidad entre los lados y
conservación en la amplitud de los
ángulos.
• Las estudiantes logran establecer
relaciones numéricas de proporcionalidad
y afirmar que se está hablando de figuras
semejantes, sin tener la imagen gráfica
de las mismas.
• Las estudiantes establecen relación de
semejanza con figuras que se encuentran
con diferente transformación.
• Solo la mitad de las estudiantes hallan la
constante de proporcionalidad.
Algunas Dificultades
• Algunas estudiantes presentan una
estrategia aditiva para hablar de figuras
semejantes.
• El uso del lenguaje vuelve a ser un factor
determinante, varias estudiantes
resuelven la situación de forma correcta
pero no justifican el procedimiento.
• Si la relación proporcional es fraccionaria
las estudiantes, en su mayoría, no
reconocen la semejanza.
57
7 C2, C3, C5 x X 55%
8 C2, C3, C5,
C8 x X 80%
Respecto a la Concepción Las estudiantes logran hacer
comprensiones de tipo estructural y
operacional de las situaciones propuestas.
Las estudiantes pueden abordar
situaciones en las que se haga
comprensión sobre las figuras o
únicamente de relación numérica.
Concepciones: Estructural (E) Operacional (O) %: Número de estudiantes que dan una solución acertada a la situación.
Tabla 16. Análisis del postest
Interpretación: una vez aplicado el postest, se encontró que las estudiantes
alcanzaron un nivel más alto en la comprensión del concepto de semejanza, pues
es evidente que son capaces de enfrentar situaciones de carácter operacional y de
transformación geométrica.
Respecto a las concepciones, se puede afirmar que las estudiantes poseen los
dos tipos de concepciones y se pueden enfrentar a situaciones en diferentes
contextos.
Por otra parte se encontró, que la mayoría de las estudiantes alcanzan
comprensión frente a los siguientes aspectos:
• Reconocen la relación proporcional entre los lados de las figuras
semejantes.
• Identifican que la amplitud de los ángulos se conserva en las figuras
semejantes.
58
• La semejanza de triángulos les permite identificar pares de triángulos
semejantes, estableciendo las relaciones que se dan entre lados y
ángulos.
3.6. Análisis General
Cuando se presentó la propuesta de investigación, se tenían certezas, a partir de
la experiencia, sobre algunas dificultades que se presentaban respecto a la
comprensión del concepto de semejanza.
Sin duda, esta dificultad se presenta, porque los profesores parte del hecho de
que los estudiantes tienen bases acerca de la proporción, razón y medida;
conceptos que se deben trabajar en los grados 5°, 6° y 7°. Por otra parte, las
transformaciones se trabajan en grado 7° y el teorema de Thales se aborda en
grado 8° o 9°.
Esta partición en que se presenta el concepto de semejanza, genera mayor
comprensión en las relaciones intrafigurales ó en la transformación geométrica
(pero no ambas), y de igual manera pasa con la concepción que se forman, la
cual puede ser una concepción estructural o una concepción operacional.
Los instrumentos utilizados en la investigación fueron: El pretest y el postest,
tomados de la investigación de Gualdrón (2006) y la propuesta de aula, la cual fue
diseñada11, revisada y aprobada12 en un curso de fractales de la Maestría en
Educación Matemática de la Universidad Pedagógica Nacional, lo que le da
validez a la propuesta. El pilotaje de los instrumentos permitió su ajuste, de
11 Propuesta de fractales diseñada por: Claudia Castro, Universidad Sergio Arboleda, Luz Mery Díaz y Rosa María Palacios Jiménez, Universidad Pedagógica Nacional. 12 Aprobada por un investigador del grupo de geometría fractal de la Universidad Pedagógica Nacional.
59
manera que la aplicación final y el análisis para la investigación, se realizó con
instrumentos pertinentes y apropiados.
El estado del arte proporcionó información relevante frente a dos aspectos, lo
conceptual y las concepciones:
• Respecto a lo conceptual:
Gualdrón (2006), con su investigación “Estrategias correctas y erróneas en
tareas relacionadas con la semejanza”, encuentra que los estudiantes
presentan algunas dificultades como el reconocimiento de la semejanza cuando
el valor de los lados de una figura no son medidas enteras; el uso de una
estrategia aditiva errónea y la falta de relación entre los lados en el caso de que
a un lado le corresponda un valor fraccionario.
Por su parte Escudero (1999), en su artículo “Un análisis del tratamiento de
la semejanza en los documentos oficiales y textos escolares de
matemáticas en la segunda mitad del siglo XX”; centra la atención en la
evolución histórica del concepto de semejanza y pone de manifiesto las
restricciones que pesan en la enseñanza a causa de los cambios de los planes
de estudio.
La misma autora en una investigación del 2003, “La semejanza como objeto
de enseñanza – aprendizaje en la relación entre el conocimiento
profesional del profesor de matemáticas de enseñanza secundaria y su práctica”, destaca la forma de conocer la semejanza como dos núcleos que se
establecen en la aproximación del concepto y afirma que ésta se debe entender
desde la relación intrafigural en la que se destaca la correspondencia entre
elementos de una figura y los correspondientes de su semejante y como
transformación geométrica en la que se analiza la transformación de una figura
60
en otra, distinguiendo la vista como útil y como objeto matemático (Lemonidis
1990).
• Respecto a las concepciones:
Pérez y Guillén (2006), en su documento “Estudio exploratorio sobre
creencias y concepciones de profesores de secundaria en relación con la
geometría y su enseñanza”, afirman que conocer creencias y concepciones
sobre las matemáticas, su enseñanza y aprendizaje permitirá tener alguna
visión sobre como los profesores entienden y llevan a cabo su trabajo en las
aulas; por otra parte, se presenta la necesidad de realizar investigaciones que
permitan incidir en la mejora de la enseñanza de la geometría en los niveles
escolares.
La experiencia y el estado del arte, nos dieron fundamento para abordar esta
investigación y hacer una propuesta de aula en la que se tenía como objetivo
lograr una conceptualización amplia del concepto de semejanza, en la que se
tratara de evitar los errores hallados en la investigación de Gualdrón (2006) o por
lo menos se hicieran evidentes para trabajar sobre ellos y además, lograr una
concepción operacional y estructural, teniendo en cuenta que la forma de
intervención y la metodología empleada, es relevante para mejorar los procesos
de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas escolares en general y de la
geometría en particular.
Dado que la experiencia y el pretest dejan ver que los estudiantes reconocen la
semejanza cuando se encuentra en situaciones enmarcadas en un contexto
significativo para ellos, se plantea una propuesta de aprendizaje en la que se usan
los fractales como recurso y forma de representación. La construcción y análisis
de los diferentes fractales y la característica de autosemejanza que ellos poseen,
permitieron a los estudiantes una buena apropiación del concepto de semejanza.
61
Es pertinente resaltar que la actitud de los estudiantes frente a las actividades
propuestas fue bastante positiva, en entrevistas informales que se hicieron, se
destacó el interés que había suscitado la construcción de los fractales y la utilidad
de ellos, como forma de representación para comprender la semejanza. La
aplicación de las actividades se dio de manera secuencial e ininterrumpida lo cual
permitió hacer una revisión detallada del proceso.
En la aplicación del postest, se evidencian unos porcentajes de comprensión más
altos, es preciso sin embargo, comentar que se esperaban puntuaciones más altas
y que se reconoce que aún se presentan dificultades y que sin duda se debe
seguir trabajando sobre el concepto.
En relación al desarrollo del pensamiento, en el análisis realizado dentro de la
investigación se mostró que los estudiantes tienen un proceso operativo más
evolucionado que el figurativo, ya que realizan sin ningún problema la modelación
matemática que exigía cada una de las actividades en donde el proceso era
netamente de simulación numérica. Por otra parte, el aspecto figurativo estuvo
más ligado a la necesidad de comprensión de las actividades frente a la
simulación de escalas y figuras con el fin de acomodarlas al esquema dado
inicialmente.
Lo anterior implica que bajo la visión del desarrollo del pensamiento se ve la
necesidad de hacer la intervención desde la concepción y el concepto de
semejanza con el fin de determinar una estructura de pensamiento encadenada
que genere procesos completos de acomodación y asimilación, en los estudiantes.
Respecto a los objetivos de aprendizaje planteados para la propuesta y
estipulados a partir de la jerarquía de Gagné, se puede afirmar que los estudiantes
utilizan los conceptos de proporción y medida de segmentos en diferentes
situaciones problémicas. La comprensión de estos conceptos las llevó a analizar la
proporción de los lados de las figuras planas y encontrar la constante de
62
proporcionalidad. La construcción de los fractales, proporcionaron mayor
comprensión de los conceptos, es decir, el fractal como forma de representación
permitió una mejor conceptualización de la semejanza.
Las situaciones problema que se trabajaron para la construcción del Teorema de
Thales, fueron pertinentes y motivantes, en particular para hacer un primer
acercamiento a los criterios de semejanza de triángulos y posteriormente llegar a
una óptima comprensión del concepto.
En la aplicación, análisis y evaluación del postest, se reflejó que la jerarquía
realizada a la secuencia a partir de los objetivos asociados a discriminaciones,
conceptos, reglas y reglas superiores nos condujeron al alcance del objetivo
general, el cual pretendía que los estudiantes obtuvieran un concepto de
semejanza desde lo intrafigural y las transformaciones geométricas, produciendo
así un cambio de concepción.
63
CONCLUSIONES
La investigación realizada ha consistido en un estudio de los procesos de
enseñanza y aprendizaje de la geometría escolar, específicamente sobre el
concepto de semejanza, las concepciones que tienen los estudiantes de ella y
cómo es posible hacer un cambio de concepción a partir de una propuesta de
enseñanza.
Con este propósito se consultaron referentes teóricos del área de la didáctica de la
matemática, los procesos de enseñanza-aprendizaje y el desarrollo del
pensamiento que permitieron:
(a) identificar errores comunes que se presentan en el aprendizaje del
concepto;
(b) identificar el tipo de concepción más adecuado para revisar el concepto;
(c) identificar elementos fundamentales del desarrollo del pensamiento;
(d) revisar las formas en que se presenta el conocimiento en los textos.
Esta revisión teórica admitió, la conveniencia de trabajar: (a) las concepciones
desde la postura de Sfard, quien afirma que las nociones matemáticas se logran
de manera estructural y operacional; (b) el concepto con la propuesta de
Lemonidis, que establece que el conocimiento de la semejanza se construye de
manera completa cuando se logra obtener comprensión de las relaciones
intrafigurales y las transformaciones geométricas; (c) el desarrollo del
pensamiento se revisó a partir de los aportes realizados por Piaget quien propone
dos formas de pensamiento, el figurativo y el operativo.
64
Se propuso llevar a cabo una investigación de carácter cualitativo, en la que se
contemplaban tres fases:
• Inicialmente se hizo una indagación previa con un pretest, en el que se
obtuvo como resultado que las concepciones de los estudiantes eran de
carácter operacional y que se reconocía el concepto más desde las
transformaciones geométrica que desde la relación intrafigural.
• La aplicación del pretest, brindó elementos, a partir de su análisis, para
diseñar una propuesta de aula en el que se pudiera dar respuesta a la
pregunta de investigación. En esta propuesta se tuvo en cuenta los posibles
errores que se presentan en el proceso de aprendizaje, los cuales cita
Gualdrón en su investigación. Por otra parte, fue fundamental el estudio
realizado frente a las potencialidades didácticas y de forma de
representación de los fractales, haciendo énfasis en su característica de
autosemejanza.
La metodología implementada y el uso de contextos significativos, permitió
un cambio en la concepción y una mejor conceptualización del objeto
matemático puesto en juego.
• Finalmente, con la aplicación del postest, se corroboró:
el cambio de concepción: de lo cual se puede decir que las estudiantes
lograron una concepción estructural, ya que los conceptos relacionados
con la semejanza fueron comprendidos como reales, con características
y funciones definidas. Por otra parte, se logró a su vez, una concepción
de tipo operacional, lo cual implica la realización de procesos y
generación de resultados frente a las situaciones problemas que
permitieron la construcción del concepto (ver tabla 9, pg. 44).
La construcción completa del concepto de semejanza: frente a esto se
observó que las estudiantes establecen relaciones de tipo intrafigural:
comparando y hallando proporción entre las medidas de los lados y
congruencia de los ángulos. Establecieron criterios de semejanza y
65
solucionaron situaciones problemas en las que era necesario encontrar
razones y constantes de proporcionalidad. También entendieron la
semejanza como transformación geométrica, encontrando figuras
semejantes separadas, rotadas, trasladadas y reflejadas; no solo en el
contexto fractal, sino en otras situaciones significativas (ver tablas 11, 12
y 13 pgs. 46 – 54).
El análisis de los datos recogidos se realizó a partir de la jerarquía de aprendizaje
de Gagné, propuesta con base en los objetivos asociados a discriminaciones,
conceptos, reglas y reglas superiores, las cuales conducen al objetivo general.
Este análisis permitió evidenciar paso a paso que los estudiantes alcanzaron el
objetivo de aprendizaje: “entender el concepto de semejanza en cualquier contexto
desde lo intrafigural y las transformaciones geométricas”.
Como resultado del proceso de investigación se obtuvieron dos publicaciones,
producto de las ponencias que se presentaron:
La primera, fue una ponencia presentada en VII Encuentro de
Epistemología y V de egresados “La Educación en Ciencias Naturales y
Matemáticas frente a los problemas del ser humano”, que se realizó en
agosto 28, 29 y 30 de 2008. Titulada: Propuesta didáctica para enseñanza de la semejanza.
La segunda ponencia se presentó en el Primer Congreso Internacional
Procesos Pedagógicos: Un enfoque interdisciplinario, titulada: Concepción
de semejanza, una mirada desde la pedagogía. Llevada a cabo entre el
22 y 24 de octubre de 2008.
66
RECOMENDACIONES Se espera que en futuras investigaciones en didáctica de la geometría se indague
sobre:
Otras posibilidades didácticas de los fractales (límites, sucesiones, perímetro y
área, etc.).
Concepciones de los estudiantes y de los profesores acerca de diferentes
conceptos, los cuales permitan hacer una reflexión teórica y didáctica de los
procesos de enseñanza y aprendizaje.
IMPACTO
Esta investigación tendrá impacto para la educación matemática en los siguientes
aspectos:
Dar a conocer una propuesta de innovación para la enseñanza de la
semejanza y sobre las formas de concepción que se espera lograr para al
construir una noción matemática.
Que docentes en ejercicio tengan acceso a la propuesta de aula y que la
implemente en sus espacios de formación.
Que se siga indagando sobre las posibilidades didácticas de los fractales.
Que a partir de las conclusiones obtenidas los docentes puedan hacer una
reflexión sobre sus prácticas pedagógicas, con el fin de que se procure
realizar un trabajo que implique la participación de los estudiantes en la
construcción de su propio conocimiento.
67
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septiembre de 2007. http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-
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[20] Martínez, R. et al. 1984. matemáticas 1. Escuelas Universitarias de Profesorado de
EGB. SM Ediciones.
[21] Mella, O. 1998. Naturaleza y orientaciones teórico-metodológicas de la
investigación cualitativa.
[22] MEN. 2006. Estándares básicos de Competencias Matemáticas. Bogotá-Colombia.
[23] MEN. 1998. Lineamientos curriculares de Matemáticas. Magisterio. Bogotá.
[24] Moisey y Downs. 1986. Matemática Moderna, Geometría. Capítulos 5, 6 y 7 ...
[25] Molina, M. 2006. Desarrollo del pensamiento relacional y comprensión del signo
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de Granada.
[26] Pérez, J. 1998. Codificación fractal de imágenes. Creative Commons. California.
69
[27] Piaget, J. 1970. Introducción a la epistemología genética, el pensamiento
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[28] Piaget, J. 1973. La representación del mundo de los niños. España: Morata.
[29] Revista SUMA. 2004. Actividades de geometría fractal en el aula de secundaria (I).
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[30] Sfard, A. 1991. Sobre la naturaleza dual de las concepciones matemáticas.
Educational Studies in Mathematics. Kluwer Academia Publisher.
[31] Vergnaud, G. 1992. El niño las matemáticas y la realidad. Trillas. México.
[32] Vinner y Tall 1981. Concept Images and Concept Definition in Mathematics with
Particular Reference to Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics.
70
ANEXOS
Anexo 1. Pretest 1) En un día soleado un árbol proyecta una sombra de 40 pies de longitud. Al mismo tiempo, una vara de 3 pies de longitud proyecta una sombra de 2 pies de longitud cuando esta está clavada verticalmente. ¿Podría Usted determinar la altura del árbol? Escriba el procedimiento que tuvo en cuenta para hacerlo.
2) Dada la siguiente pareja de rectángulos: a) Determine la longitud faltante, de tal manera que los rectángulos sean semejantes. b) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo grande? c) ¿Cuál es el perímetro del rectángulo pequeño?
Longitud del lado faltante: _____________________ *Escriba el proceso utilizado para la obtención de la respuesta, en cada caso. 3) Dada la siguiente pareja de rectángulos: a) Determine la longitud faltante, de tal manera que los rectángulos conserven la forma.
Longitud del lado faltante: _____________________ *Escriba el proceso utilizado para la obtención de la respuesta, en cada caso. 4)
Dibuje en la cuadrícula una reproducción más grande de la pintura a escala 1 a 2.
Ítem (2 y 3) inspirados de una actividad planteada en Lappan y otros (1986)
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Ítem inspirado de una actividad planteada en Fernández (2001).
5) ¿Qué distancia debe recorrer una persona a la que se le ha entregado un mapa (anexo), para ir del punto A al D siguiendo el recorrido dado? Se sabe que el mapa fue construido en escala 1 a 100.000 (longitudes en centímetros).
Escriba aquí el procedimiento utilizado:
6) En cada caso compare los pares de figuras dadas. ¿Qué pares podría Usted decir que tienen la misma forma? En cada caso, describa el criterio que le permitió hacer dicha selección.
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Instrumento diseñado por: Élgar Gualdrón. Los procesos de aprendizaje de la semejanza.
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Anexo 2. Propuesta de Aula13 En vista de que el objeto de enseñanza es la semejanza, se plasmará en un mapa conceptual, los aspectos relevantes de su tratamiento, esto permitirá realizar una secuencia de actividades en la que se tengan en cuenta el conjunto de conceptos que forman parte de su aprendizaje, además de orientar el orden en el cual se tendrán en cuenta, haciéndola así coherente y secuencial en cuanto al grado de dificultad que se maneja durante las actividades propuestas.
Por otra parte, la metodología de trabajo en el aula se llevará a cabo de la siguiente forma: • Organización en pequeños grupos de trabajo (3 ó 4 estudiantes), en los que se permita el
planteamiento de estrategias de solución de las situaciones propuestas, la discusión de las mismas al interior del grupo para llegar a un acuerdo y poder sustentar la respuesta planteada durante la socialización.
• Socialización en la cual los pequeños grupos de trabajo exponen con argumentos las estrategias utilizadas y permiten que sus compañeros les indaguen al respecto de las mismas para así lograr una interacción con productos significativos.
• Institucionalización durante la cual el profesor teniendo en cuenta todos los argumentos planteados por los estudiantes, determina los conceptos que se han desarrollado y propone las siguientes actividades si los conceptos están claros o diseña otra que complemente la desarrollada para lograr la comprensión de la temática y corregir los conceptos erróneos.
13 Propuesta de Aula para la enseñanza de la semejanza (2008), diseñada por: Díaz L, Palacios, R, Universidad Pedagógica Nacional y Castro C. Universidad Sergio Arboleda.
Proporcionalidad y Medida
Preconceptos
Figuras Planas
Semejanza
aproximaciones
Relación Intrafigural
Transformación Geométrica
Teorema de Thales
Proyecciones Homotecias
Resolución de Problemas
Objeto Matemático
Semejanza deTriángulos
Proporcionalidad y Medida
Preconceptos
Figuras Planas
Semejanza
aproximaciones
Relación Intrafigural
Transformación Geométrica
Teorema de Thales
Proyecciones Homotecias
Resolución de Problemas
Objeto Matemático
Semejanza deTriángulos
Proporcionalidad y Medida
Preconceptos
Figuras Planas
Semejanza
aproximaciones
Relación Intrafigural
Transformación Geométrica
Teorema de Thales
Proyecciones Homotecias
Resolución de Problemas
Objeto Matemático
Semejanza deTriángulos
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DISEÑO DE LAS ACTIVIDADES
ACTIVIDAD 1
PROPÓSITOS
Utilizar la construcción del Conjunto de Cantor para retroalimentar los conceptos de proporción y medida de segmentos.
Analizar la proporción de los lados de las figuras planas a partir del estudio del Copo de Nieve y encontrar la constante de proporcionalidad.
DESCUBRE EL CONJUNTO DE CANTOR Y EL COPO DE NIEVE
Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor, recibe su nombre por su creador el matemático alemán Georg Cantor (1845-1918), pero el verdadero creador fue el profesor Henry Smith (1826-1883), de la Universidad de Oxford14.
1. En una hoja milimetrada construye el Conjunto de Cantor, siguiendo los pasos dados a
continuación:
Paso1: Traza un segmento de 18u. Paso 2: Divide el segmento en tres partes iguales y elimina el del centro. Paso 3: Repite en cada uno de los nuevos segmentos obtenidos el paso 2. Paso 4: Continúa aplicando el paso 2 a cada uno de los segmentos que vas obteniendo.
2. Halla la longitud de uno de los segmentos obtenidos en cada paso.
Paso 1 _________ Paso 2 _________ Paso 3 _________ Paso 4 _________ 3. a. Compara la longitud de un segmento del paso 2 con uno del paso 1. ¿Qué puedes
concluir? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ b. Compara la longitud de un segmento del paso 3 con uno del paso 2. ¿Qué puedes concluir? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c. Compara la longitud de un segmento del paso 4 con uno del paso 3. ¿Qué puedes concluir?
14 Herren G. 2002. Fractales. Estructuras aleatorias.
El conjunto de Cantor se construye a partir de un segmento de longitud uno, que se subdivide en tres segmentos de igual longitud y del cual se suprime el segmento central. En cada uno de los segmentos resultantes se repite el proceso, obteniendo cuatro segmentos.
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____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. ¿Qué relación encuentras entre la medida de los segmentos que se compararon? ¿Qué
puedes concluir? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 5. Con las longitudes de los segmentos dados en el ejemplo, se puede establecer la siguiente
relación:
( )6
218
=
Completa el término que falta en cada uno de los casos, si se relacionan las longitudes de los segmentos de la siguiente manera:
( )6
232
= ( )2
6
32=
Concluye: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Copo de Nieve de Koch
Creado en 1904 por el matemático sueco Helgeron von Koch. También conocido como la Isla Tríada de Koch. En él encontramos la respuesta a la pregunta de Mandelbrot: ¿Cuánto mide la costa de Bretaña? Para su construcción se comienza con un triángulo equilátero cuyos lados tengan longitud 1. En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo equilátero de lado 1/3 del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David. Sus connotaciones matemáticas son aplastantes y sorprendentes:
• Su trazado es continuo, pues no existe ninguna intersección • A cada nivel añadido, su longitud aumenta y su área también. • No es posible trazar una tangente en un punto de su perímetro
1 8 u
2 u
6 u
? u
1 8 u
2 u
6 u
? u
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• La longitud entre dos puntos cualesquiera de su perímetro es infinito
6. Construcción del Copo de Nieve de Koch Paso1
Partimos de un triángulo equilátero de lado 9u
Paso 2 A cada uno de los lados del triángulo lo dividimos en 3 partes iguales y en la parte central trazamos un triángulo equilátero de lado 1/3
Paso 3 Procedemos de la misma forma en los siguientes pasos: dividir cada uno de los lados en 3 partes iguales y trazar en la parte central un triángulo equilátero de lado igual a esa tercera parte obtenida. Paso 2
Paso 4 Así se obtiene la curva de Koch llamada también copo de nieve de Koch Paso3
a. Construye el paso 4 y ubica a´´´ (a´´´ es la longitud de un lado de uno de los triángulos obtenidos en el paso 4).
b. Halla la longitud de a: ________ (a es la longitud de un de uno de los triángulos obtenidos en el paso 1).
c. Halla la longitud de a´: __________ (a´ es la longitud de un lado de uno de los triángulos obtenidos en el paso 2).
d. Halla la longitud de a´´ : __________
7. Compara los segmentos y halla la constante de proporcionalidad. k = ______
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ACTIVIDAD 2
PROPÓSITOS
Evidenciar el Teorema de Thales a partir de la observación y análisis de las características del triángulo de Sierpinski.
Introducir el concepto de semejanza en figuras separadas utilizando el cuadrado de Cantor.
EXPLORA EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI Y EL CUADRADO DE CANTOR
Triángulo de Sierpinski Creado por el matemático polaco W. Sierpinski en 1915. El triángulo de Sierpinski se puede descomponer en tres figuras congruentes. Cada una de ellas con exactamente la mitad de tamaño de la original. Si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial. El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias autosimilares de él mismo. Decimos que es autosimilar. En realidad la autosimilaridad es más profunda. Cada una de las copias puede descomponerse a su vez de tres copias autosimilares (un total de nueve). Y a partir de cualquiera de ellas, aumentando su tamaño en un factor 4 recuperamos el original.
. Construcción del Triángulo de Sierpinski Paso1
Dibujamos un triángulo equilátero de lado 9u
Paso 2 Señalamos el punto medio de cada lado y los conectamos mediante segmentos, el triangulo central es extraído
Paso 3 Sobre cada uno de los triángulos que no fueron extraídos, realizamos el paso 2.
Paso 4 Continuamos aplicando el paso 2 a cada uno de los nuevos triángulos que vamos obteniendo.
1. Completa la construcción del triángulo de Sierpinski en los pasos 2 y 3 con las indicaciones dadas. 2. a. Sobre la figura obtenida en el paso 4, traza los rayos OA, OB, OC con color rojo.
b. Encuentre la razón entre los segmentos:
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OB y OB’( )( )= AB y A’B´
( )( )= OA y OA’
( )( )=
¿Qué puedes concluir? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c. Sobre la figura obtenida en el paso 4, traza las rectas AB, A’B’ Y PQ con color verde. ¿Qué puedes decir de estas rectas? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ d. ¿Qué relación hay entre los triángulos ABC, A’B’C’ y PQR? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Cuadrado de Cantor
El Cuadrado de Cantor sigue el mismo proceso de construcción que el conjunto o polvo de Cantor, lo que varía es su proyección al plano.
El resultado final es un conjunto de Cantor pero esparcido en este caso en 2 dimensiones.
3. Construye el paso 3 y 4 del Cuadrado de Cantor.
Paso1
Dibuja un cuadrado de lado 9u
Paso 2 Divide cada lado en tres partes iguales, para obtener 3 segmentos. Construye sobre cada lado un cuadrado extrayendo el cuadrado central de cada lado. Quedan 4 cuadrados
Paso 3 Divide cada lado de los cuadrados resultantes en el paso 2. Construye otros cuadrados sobre cada lado y extrae los centrales. Quedan 16 cuadrados.
Paso 4 Repite el proceso del paso anterior sobre los lados de los cuadrados anteriores. Quedan 64 cuadrados.
a. Denomina como A al primer cuadrado del paso 1 y como A’ a uno de los cuadrados del paso 2, A’’ a uno de los cuadrados del paso 3 y A’’’ a uno de los lados del cuadrado del paso 3
b. ¿Cuál es la longitud del lado de cada uno de los cuadrados :
A __________ A’ __________ A’’ __________
c. Se conserva alguna relación entre las longitudes de los lados? Concluye
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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d. ¿Cómo son los ángulos de cada cuadrado y qué relación guarda con los ángulos de los otros cuadrados?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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ACTIVIDAD 3
PROPÓSITOS
Usar los triángulos de Cantor y de Sierpinski para comprobar los criterios de semejanza de triángulos. Deducir las condiciones de semejanza entre figuras planas a partir de la construcción del cuadrado de Besicovich
SORPRÉNDETE CON OTROS FRACTALES
En cada espacio de la derecha, relaciona el criterio correspondiente a la semejanza de triángulos (los criterios los encontrarás al final del tercer punto).
FRACTALES CRITERIOS DE
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1. Triángulo de Cantor Paso1
Dibuja un triángulo equilátero de lado 9u
Paso 2 Señala un tercio y dos tercios en cada lado y conecta mediante segmentos, el hexágono obtenido y elimínalo.
Paso 3 Paso 4
a. Completa las instrucciones de la construcción del triángulo de Cantor. Y denota con a´´, b´´, c´´ y a´´´, b´´´, c´´´,
a b
c
a´ b´
c´
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los lados de los triángulos superiores de los pasos 3 y 4 respectivamente.
b. Encuentra las razones entre: _________'=
aa _________
'=
bb _________
'=
cc
c. ¿Cómo son esas razones: d. ¿Qué se puede concluir con respecto a los lados correspondientes de los dos triángulos? e. Encuentre la razón entre la longitud de los lados:
_________''=
aa _________
''=
bb _________
''=
cc
f. ¿Cómo son esas razones? ______________________________________________________________________________________________________ g. ¿Qué se puede concluir con respecto a los lados correspondientes de los dos triángulos?
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2. Triángulo de Sierpinski I
Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4
a. Construye el paso 4 del triángulo de Sierpinski.
b. Encuentra la razón entre _________'=
aa
_________'=
bb
c. Encuentra la medida de: _________=< C _________'=< C y _________''' =< C
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CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Criterio AA (Ángulo - Ángulo) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, los triángulos son semejantes. Criterio LAL (Lado – Ángulo - Lado) Si dos lados de un triángulo son proporcionales a sus lados correspondientes de otro triángulo y los ángulos correspondientes entre estos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. Criterio LLL ( Lado – Lado - Lado) Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.
3. Triángulo de Sierpinski II
Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4
a. Encuentra la medida de: _________=< C _________'=< C y _________''' =< C
b. Encuentra la medida de: _________=< B _________'=< B y _________''' =< B
c. ¿Qué puedes concluir con respecto a los ángulos ,A< 'A< y ''A<
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El Conjunto de Besicovich:
Es un cuadrado que se divide en cuatro partes, de las cuales se eliminan dos dispuestas en diagonal, con lo que resultan dos cuadrados.
4. a. Construcción del cuadrado de Besicovich. Escribe las instrucciones en cada paso para construir el Conjunto de Besicovich.
Paso 1
Paso 2 Paso 3 Paso4
b. Realiza la descomposición en triángulos de los cuadrados ABCD y A’B’C’D’ y utiliza alguno de los criterios de semejanza de triángulos para comprobar que los cuadrados son semejantes. Específica el procedimiento.
“Recuerda que todo polígono puede triangularse de manera que los criterios de semejanza de triángulos sirven para averiguar si los polígonos son semejantes o no”
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Anexo 3. Postets 1) Decida cuales de las siguientes figuras son semejantes y explique por qué en cada caso.
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2) Calcular la longitud vertical para obtener un triángulo de la misma forma que el pequeño, pero más grande, sobre la base de 10 cm. de longitud.
Ítem planteado en Hart (1984)
Justifica tu respuesta __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3) Las dos figuras dadas son semejantes. Determine el factor de semejanza que se utilizó en caso de: a) Ampliación____________________________________ b) Reducción_____________________________________
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Justifica tus respuestas. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4) La figura dada fue dibujada teniendo en cuenta que cada longitud es la mitad de la longitud de otra más grande. Calcule la longitud de los lados de dicha figura y luego dibújela.
Ítem planteado en Hart (1984)
Detalla el procedimiento: 5) El dibujo de abajo muestra como usó Maria un árbol pequeño para encontrar la altura de uno grande. ¿Cuál es la altura del árbol grande?
Ítem planteado en Lappan y otros (1984)
Detalla el procedimiento:
6) Dado el siguiente par de figuras, decida si son semejantes.
Justifica tu respuesta.________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 7) A continuación se presenta las medidas de tres lados en dos cuadriláteros:
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En el cuadrilátero ABCD: En el cuadrilátero A’B’C’D’: AB mide 12 cm. A’B’ mide 3 cm. BC mide 6 cm. B’C’ mide 2 cm. CD mide 4,8 cm. C’D’ mide 1,6 cm.
¿Son semejantes los dos cuadriláteros? Justifica tu respuesta.
Justifica tu respuesta.________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 8) Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justifica tu respuesta.
Instrumento diseñado por: Élgar Gualdrón (ajustado para la investigación). Los procesos de aprendizaje de la semejanza.