Cálculo 4

Aula 04

Prof. Gabriel Bádue

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Motivação

Como definir os limites de integração para regiões

circulares?

Teoria

Teoria

Teoria

R = {(r, ) | a r b, }

R f (x, y) dA

Teoria Rij = {(r, ) | ri – 1 r ri, i – 1 j}

∆𝐴𝑖 = 𝑟𝑖∗∆𝑟∆𝜃

𝑖=1

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑓 𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ∆𝐴 =

𝑖=1

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑓 𝑟𝑖∗𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗

∗, 𝑟𝑖∗𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗

∗ ∆𝐴𝑖

=

𝑖=1

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑓 𝑟𝑖∗𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗

∗, 𝑟𝑖∗𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗

∗ 𝑟𝑖∗∆𝑟∆𝜃

𝑅

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =

𝛼

𝛽

𝑎

𝑏

𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

ExemplosExemplo 1Calcular a integral.

𝐷

𝑥2𝑦𝑑𝐴

onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.

Exemplo 2Calcular a área de um laço da rosácea 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠3𝜃.

Exemplos

Exemplo 3

Calcular o volume do sólido que está abaixo do cone 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 e acima do disco 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4.

Exemplo 4Calcular a integral iterada.

−3

3

0

9−𝑥2

𝑠𝑒𝑛 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥

Aplicação

Uma piscina circular tem diâmetro de 10 metros. A profundidade éconstante ao longo das retas de leste para oeste e cresce linearmente de 1metro na extremidade sul para dois metros na extremidade norte. Encontreo volume de água da piscina.