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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS No. 8 “NARCISO BASSOLS”
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
Elaboró: Profra. Teresa Badillo Academia de Matemáticas T. V.
Cal
culo
Dif
eren
cial
1
CÁLCULO DIFERENCIAL
Temario
Unidad II Derivadas de funciones algebraicas y Trascendentales
1. Definición y concepto de derivada.
2. Derivadas de funciones algebraicas y trascendentales.
a. Método de los cuatro pasos.
b. Fórmulas de derivación.
c. Derivación de funciones implícitas.
d. Derivadas sucesivas.
FORMULAS DE DERIVADAS ALGEBRAICAS
FUNCIÓN NOTACIÓN DERIVADA
cy dx
cd
dx
dy 0'y
xy dx
xd
dx
dy 1'y
cxy dx
cxd
dx
dy cy '
xy
1
dx
xd
dx
dy
1
2
1'
xy
... vuy
dx
vud
dx
dy ...
...''' vuy
( )
u
cy
dx
u
cd
dx
dy
2
''
u
cuy
FUNCIÓN NOTACIÓN DERIVADA
...uvwy
dx
uvwd
dx
dy ...
...'...'...'...' uvwvuwwuvy
v
uy
dx
v
ud
dx
dy
2
'''
v
uvvuy
nxy dx
xd
dx
dy n
1' nnxy
nuy dx
ud
dx
dy n
'' 1unuy n
uy dx
ud
dx
dy
u
uy
2
''
Recordando que “u” representa una función cualquiera.
'lim
0y
dx
xfd
y
x
x
Definición de derivada
h
xshxsxf
xx
00limlim
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Ejemplos
Derivadas Algebraicas
Deriva cada una de las siguientes funciones aplicando la fórmula correspondiente:
No. Función/Derivada Observaciones
1)
4
21´
8
221´
8
21
12
2
xy
xy
xy
Se aplica la fórmula:
1´ nn cnuycuy
Por lo que se obtiene:
122 2´ xuxu
Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene
el debido resultado.
2)
7
15´
7
35´
7
5
2
13
3
xy
xy
xy
Se aplica nuevamente la fórmula:
1´ nn cnuycuy
Por lo que se obtiene:
133 3´ xuxu
Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene
el debido resultado.
3)
3
4
4
2
4
22
22
2
2
87´
87´
87´
1487´
2747´
74
x
xy
x
xxy
x
xxy
x
xxxy
x
xxxy
x
xy
Se aplica la fórmula:
2
´´´
v
uvvuy
v
uy
Donde u es la función del numerador y v es la
función del denominador, por lo que se obtiene:
xvxv
uxu
2´
7´74
2
Sustituyendo en la derivada cada parte,
respectivamente.
Se factoría para reducir lo más posible, y en caso
de poder reducir.
4)
2222
22
132
32
7124271236´
7124236´
14127123´
712
xxxxxy
xxxy
xxxy
xxy
Se aplica la fórmula:
´´ 1unuyuy nn
Dónde:
3
2712´712 122
ny
xuxxu
Por lo que se sustituye en la fórmula de la
derivada cada parte.
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cial
3
5)
32
6´
322
26´
326
xy
xy
xy
Se aplica la fórmula:
u
uyuy
2
´´
En este caso: 2´32 uxu
Y posteriormente se sustituye en la misma.
6)
22
2
32
2
332
2
32
3
95
6512´
95
7260´
95
3610860´
95
941295´
95
4
x
xxy
x
xxy
x
xxxy
x
xxxy
x
xy
Se aplica la fórmula:
2
´´´
v
uvvuy
v
uy
Por lo que se obtiene:
9´95
34´4 233
vxv
xuxu
Sustituyendo en la derivada cada parte,
respectivamente.
7)
xxxxy
xxxxy
xxxxy
xxxx
y
15
18
3
28
63
120
18
25´
215
94
3
7
7
5
9
24
2
5
9
5´
15
9
3
7
9
24
9
5
15
9
3
7
9
24
9
5
57
12
2
7
12141
7
51
2
5
247
5
2
5
2
47 55
Para resolver el ejercicio primero
se aplica la fórmula n
na
a
1
para
trasformar las potencias
fraccionarias.
Para derivar se aplica la formula 1´ nn nxyxy
Ampliándola, aplicando la
constante “c” 1´ nn cnxycxy
8)
11
3925284´
399311
28´
9339711
4´
3911
4
11
394
632
632
263
73
73
xxxy
xxxy
xxxy
xxy
xxy
Aplicando la fórmula:
´´ 1unuyuy nn
Donde
11
47
93´39 133
cyn
xuxxu
Modificando la fórmula, agregando “c”
´´ 1ucnuycuy nn
Se aplica nuevamente sustituyendo cada variable.
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4
9)
xy
xy
xy
1454
7´
14524
14´
4
145
Se aplica la fórmula: u
uyuy
2
´´
En este caso: 14´145 uxu
Para posteriormente sustituir en la fórmula a
aplicar
10)
11192
57´
1119
3
2
3
x
xy
xy
El ejercicio pareciese simple, pero, hay que tener cuidado como se aplica
la fórmula, un error en cómo se aplica y todo está mal resuelto.
La fórmula a aplicar es: u
uyuy
2
´´
En este caso: 2133 57´319´1119 xuxuxu
Realizando posteriormente la debida sustitución en la fórmula
Ejercicios: Derivar las funciones algebraicas siguientes.
1) xx
y2
1
2
1
2) xxf 43)( 5
3) 53 23 xxy
4) 52)( 2 xxf
5) 36 1412 xxy
6) 3 5
1
xy
7) 62 525 xy
8) x
xy
16
52
9) 3
2
2
3
xx
xxy
10) 15
55
x
xxy
11) 42 125 xxy
12) 36 xy
13) 10 3
5
6xy
14) 25
6
xy
15) 42
3
xy
16) 7
2
xy
17) 5 84
3
xy
18) 36 725 xxy
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Ejemplos
Derivadas Algebraicas sucesivas o de orden superior
Una derivada sucesiva o de orden superior, implica derivar la derivada, hasta el orden que se indique o
posiblemente hasta cero.
El orden, se refleja en el número de comillas (o número romano) que se escribe como superíndice.
No. Función/Derivada
Derivar cada una de las funciones siguientes hasta obtener cero, por resultado.
1)
0''
2´
2
y
y
xy
2)
0'''
4
21''
4
21´
8
21 2
y
y
xy
xy
3)
11
39136089072151239168''
11
391360845364536151239168''
11
5418392528439168''
11
933962528439168''
11
3925284´
11
394
532463
5322463
253263
253263
632
73
xxxxxxxy
xxxxxxxxy
xxxxxxxy
xxxxxxxy
xxxy
xxy
En este caso se debe llegar a la derivada número 22 para obtener el cero, pero, se van ampliando el número de
términos para poder llegar a esta
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6
4)
5
4
3
2
24
6'''
2''
1´
1
xy
xy
xy
xy
xy
iv
En este caso no existe la
derivada cero, ya que va incrementándose la
potencia.
5)
7
5
3
18
15
8
3'''
4
1''
2
1´
xy
xy
xy
xy
xy
iv
Este es otro caso donde la
derivada cero no existe, se va haciendo más
grande la potencia.
Ejercicios:
1) 3
1
ttf ; xf ´´
2) 152 6 xxf;
xf IV
3) 3
6
m
mmf ; xf ´´
4) xxxf 52 ; xf ´´
5) 165 34 mmmf;
xf VI
6) 23
65
m
mmf ; xf ´´
7) 336 xxf; xf ´´´
8) 64 2tttf ; xf V
Ejemplos
Derivadas Algebraicas Implícitas
Hasta este momento solo se han trabajado funciones explicitas, ahora, derivaremos funciones implícitas, es
decir, funciones en las cuales de ambos lados de la igualdad se encuentren las variables, por ejemplo, las
ecuaciones de las cónicas.
Para estos casos se aplicaran las formulas:
a)
'ydx
yd b)
'1yny
dx
yd nn
Lo que significa que donde se tenga una variable diferente a la que se asigne como independiente, en otras
palabras, “x”, u la que se indique, se podrá esta como derivada, o bien, las comillas que indican derivada. Para
posteriormente realizar el despeje que corresponda en cada caso.
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No. Función/Derivada Notas
1)
yy
xxy
xxyyy
xxyyyy
yyxyyx
yxyx
23
32'
3223'
32'2'3
'22'33
2
2
22
22
22
2233
Derívese término a término y factorice solo la
variable que indica la derivada, no más variables,
ya que para el despeje no sirve de mucho realizar
completamente la factorización.
2)
4210
455'
4554210'
455'4'2'10
'45'24'105
425
2
24
242
242
422
522
xxy
xyyxy
xyyxxxyy
xyyxyyxxyy
yxyxxyxyyy
yxyxxy
Observe que en este caso se aplica la fórmula para
derivar un producto, uv , además de la fórmula de
derivación de potencia. Se debe de tener mucho
cuidado en cómo se aplican las formulas y como se
factoría para no caer en errores, ya que en caso de
no aplicar la formula completa en cada caso no se
puede obtener el resultado solicitado.
3)
26
77'
1414412'
1414'4'12
'41414'12
4274
2
6
62
62
62
723
y
xxy
xxyy
xxyyy
yxxyy
yxxy
Obsérvese como, derivando término a término y
despejando poco a poco, se llega al resultado
correcto.
Ejercicios. Obtén las siguientes derivadas implícitas:
1) 2222 44356 xyxxxyyx
2) yxxyyxxy 65333 22
3) 73125 22 yxyxx
4) xyyyxx 13352 22
5) 33
2
x
yxy
x
xxy
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Ejemplos
Derivadas Funciones Trascendentales: Exponenciales
uay auay u ln'' Este caso la base se trata de un número constante y en la potencia es donde
se tiene la variable.
uvy vuvvuvy uu ln''' 1
Este caso se trata de un polinomio elevado a otro polinomio, lo que implica
que tanto en la base como en la potencia se encuentra la variable.
uey ueuy ''
En este caso la base es el número de Euler, el cual es una constante
inconmensurable, es la fórmula que más aplicación tiene.
No. Función/Derivada Observaciones
1)
7.0ln27.0´
7.0
2
2
x
x
y
y
Se aplica la fórmula: auayay uu ln'´
Dónde: 2´2
7.0
uxu
a
Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene el debido resultado.
2)
3ln343ln35´
3ln453´
3
22
2
2
2525
25
25
xxxx
xx
xx
xy
xy
y
Se aplica la fórmula: auayvy uu ln'´
Dónde: xuxxu
a
45´25
3
2
Sustituyendo en la fórmula cada parte, se obtiene el debido
resultado.
Los siguientes ejercicios son los casos de polinomio elevado a un polinomio, por lo que se debe de tener
mucho cuidado en cómo se aplica la formula, ya que es necesario derivar tanto la base como la potencia.
3)
x
x
x
x
xy
xx
xxx
y
xy
xx
xx
x
1ln11
´
1ln1
1111
´
1
2
11
2
11
1
Se aplica la fórmula:
vuvvuvyvy uuu ln''' 1
Dónde:
2
1'
1
1´1
xu
xu
vxv
Por lo que se sustituye en la fórmula de la
derivada cada parte. Para terminar, se
multiplica, dejando especificada la operación,
cada termino.
4)
xxxxxx
xxxxxx
xx
xy
xy
y
23ln232ln223´
23ln1232ln223´
23
1
1
Se aplica la fórmula:
vuvvuvyvy uuu ln''' 1
Dónde: 1'
2ln2´23
uxu
vv xx
Por lo que se sustituye en la fórmula de la derivada
cada parte. Para terminar, se aplican las leyes de
los exponentes para reducir el resultado.
Los casos donde la base es el número de Euler, son los más fáciles de resolver y los de mayor aplicación, ya
que solo se debe de derivar la variable que está en la potencia.
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culo
Dif
eren
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9
5)
x
x
ey
ey
2
2
2'
Aplicando la fórmula: uu euyey '´
Dónde: 2´2 uxu
Sustituyendo por ultimo en la formula.
6)
2
2'
2
2'
2´
2´
tey
etey
etey
t
teey
tey
t
tt
tt
tt
t
Aplicando la fórmula: uu euyey '´
Además, la formula principal seria, para este caso:
''´ wvvwyvwy
Dónde: t
utu2
1´
Sustituyendo por ultimo en la formula. Y aplicando leyes de los
exponentes y radicales, denominador común y factorizando, se
obtiene el resultado deseado.
7)
2
2
21'
2'
2´
2
22
22
2
xey
exey
xxeey
xey
x
xx
xx
x
Aplicando la fórmula: uu euyey '´
Además, la formula principal seria, para este caso: ''´ wvvwyvwy
Dónde: xuxu 2´2
Sustituyendo por ultimo en la formula. Y aplicando leyes de los exponentes y
radicales, denominador común y factorizando, se obtiene el resultado
deseado.
Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Exponenciales
1) xexxf 33)(
2) xexy 32 3
3) tettP 23
4) 32104 xyx
5) 3223 2 xyx
6) ttP 02.1300
7) tets 45 2
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Ejemplos
Derivadas Funciones Logarítmicas
uy ln u
uy
''
El logaritmo natural es un logaritmo cuya base es el número de Euler,
uue lnlog . Es una de las fórmulas más usuales.
vy log
v
evy
log''
10ln
´'
v
vy
El logaritmo base diez, vulgar o de Briggs, tiene dos fórmulas de derivación
aplicables, ambas fórmulas, se pueden aplicar indistintamente.
uy alog au
uy
ln
''
En este logaritmo la base es cualquier número diferente a él número de Euler o a
10, tampoco puede ser un número negativo, puede ser cualquier número real
positivo.
No. Función/Derivada Observaciones
1)
ty
tt
ty
tty
5ln1'
5ln5
5´
5ln
Aplicando la fórmula: ''´ vwwvywvy y la formula
u
uyuy
'´ln
Dónde: 5´5 utu
Aplicando en primer lugar la fórmula del producto y en una parte
la del logaritmo, además de reducir, se llega al resultado.
2)
xx
xy
xx
xy
xx
x
xx
y
xx
xx
x
y
xx
xx
xx
y
xxy
3
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
12'
1
12'
1
1
1
´
1
11´
1
11
´
1ln
Aplicando la fórmula: u
uyuy
'´ln
Dónde:
11
2´1 2
2
2
x
x
xxuxxu
Aplicando en este caso la fórmula:
''´ vwwvywvy
Cambiando una variable para no causar
confusión.
Sustituyendo por ultimo en la formula inicial,
reduciendo lo más posible.
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Menos usual que el logaritmo natural son los logaritmos de cualquier base y de Briggs.
3) 37log xy
Para este ejercicio se tienen dos posibilidades de
solución:
a) Usando la derivada v
evy
log'' , se tiene:
37
log7'
x
ey
b) Usando la derivada 10ln
´'
v
vy , se tiene:
10ln37
7'
xy
La deriva de él logaritmo de Briggs, tiene dos
posibles resultados:v
evy
log'' o
10ln
´'
v
vy ,
por lo que cualquiera de los dos es correcto.
Donde 7'37 vxv
Se puede realizar las sustitución en cualquiera de
las dos formulas
4)
2ln95
9'
95log 2
xy
xy
La deriva de un logaritmo de cualquier base es:au
uy
ln
''
Donde 9'95 uxu y la base es 2a
Debe de realizarse cuidadosamente la sustitución en la formula.
5)
9ln76
12'
76log
2
2
9
x
xy
xy
La deriva de un logaritmo de cualquier base es:au
uy
ln
''
Donde xuxu 12'76 2 y la base es 9a
Debe de realizarse cuidadosamente la sustitución en la formula.
6)
11ln3272
146'
3272log
23
2
23
11
xx
xxy
xxy
La deriva de un logaritmo de cualquier base es:au
uy
ln
''
Donde xxuxxu 146'3272 223 y la base es
11a
Debe de realizarse cuidadosamente la sustitución en la formula.
Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Logarítmicas
1) xxxxxf 4532ln)( 423
2) 22log)( 2 xx eexf
3) x
xxf
1
1log)(
4) xxxf 1ln)(
5) 4 23ln)( xxf
6) xxxf 3log)( 2
2
7) 20log 5 xy
8) senx
senxy
1
1ln
9)
1
1ln
x
xy
10) 1ln 2 xxy
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Dif
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12
Ejemplos
Derivadas Funciones Trigonométricas
senuy uuy cos''
uy cos senuuy ''
uy tan uuy 2sec''
uy cot uuy 2csc''
uy sec uuuy tansec''
uy csc uuuy cotcsc''
No. Función/Derivada Observaciones
1)
xxy
xseny
1cos
1´
1
2
La fórmula de derivación en este caso es: uuysenuy ´cos´
Como se observa el argumento de la función se deriva y multiplica a la
derivada de la función, considerando que si en lugar de “u”, fuera “x”
Se tendría: xysenxy cos´ y la derivada del argumento es
2
1´
1
xu
xu
2)
32
3
412´
4cos
xsenxy
xy
La fórmula de derivación en este caso es: senuuyuy ´´cos
Como se observa el argumento de la función se deriva y multiplica a la
derivada de la función, considerando que si en lugar de “u”, fuera “x”
Se tendría: senxyxy ´cos y la derivada del argumento es
23 12´4 xuxu
3)
xy
xy
5sec´
5tan
2
La fórmula de derivación en este caso es: uuyuy 2´sec´tan
Como se observa el argumento de la función se deriva y multiplica a la
derivada de la función, considerando que si en lugar de “u”, fuera “x”
Se tendría: xyxy 2sec´tan y la derivada del argumento es
1´5 uxu
4)
322
322
3
52csc15´
52csc15´
52cot
xxy
xxy
xy
La fórmula de derivación en este caso es: uuyuy 2´csc´cot
Como se observa el argumento de la función se deriva y multiplica a la
derivada de la función, considerando que si en lugar de “u”, fuera “x”
Se tendría: xyxy 2csc´cot y la derivada del argumento es
23 15´52 xuxu
5)
xxxy
xy
2tan
2sec
2´
2sec
2
La fórmula de derivación en este caso es:
uuuyuy tan´sec´sec
Como se observa el argumento de la función se deriva y multiplica a la
derivada de la función, considerando que si en lugar de “u”, fuera “x”
Se tendría: xxyxy tansec´sec y la derivada del argumento
es 2
2´
2
xu
xu
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Elaboró: Profra. Teresa Badillo Academia de Matemáticas T. V.
Cal
culo
Dif
eren
cial
13
6)
xxx
y
xy
cotcsc2
1´
csc
La fórmula de derivación en este caso es:
uuuyuy cot´csc´csc
Como se observa el argumento de la función se deriva y multiplica a la
derivada de la función, considerando que si en lugar de “u”, fuera “x”
Se tendría: xxyxy cotcsc´csc y la derivada del
argumento es x
uxu2
1´
7)
22
22
22
cos4´
cos22'
xxsenxy
xsenxxy
xseny
La fórmula principal de derivación en este caso es:
´´ 1unuyuy nn , dado que la función se encuentra elevada a una
potencia, es decir, se encuentra como: nn senuuseny además de
aplicar la fórmula uuysenuy ´cos´
Dónde: xuxun 2´,2 2
Por lo que primero se aplica la fórmula de la potencia y después la de la
función.
8)
xxseny
xsenxy
xy
77cos21´
77cos37´
7cos
2
2
3
La fórmula principal de derivación en este caso es:
´´ 1unuyuy nn , dado que la función se encuentra elevada a una
potencia, es decir, se encuentra como: nn uuy coscos además de
aplicar la fórmula senuuyuy ´´cos
Dónde: 7´7,3 uxun
Por lo que primero se aplica la fórmula de la potencia y después la de la
función.
9)
62625
62625
63
sectan18´
sectan63´
tan
xxxy
xxxy
xy
La fórmula principal de derivación en este caso es:
´´ 1unuyuy nn , dado que la función se encuentra elevada a
una potencia, es decir, se encuentra como: nn uuy tantan
además de aplicar la fórmula uuyuy 2´sec´tan
Dónde: 56 6´,3 xuxun
Se debe de tener cuidado, en este caso de cómo aplicar las formulas,
obsérvese, que los exponentes de la función y del argumento, nunca se
colocan juntas para reducirse, siempre se mantiene separadas.
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Cal
culo
Dif
eren
cial
14
10)
1
1csc
1
2´
1
1csc
1
2´
1
1csc
1
11´
1
1csc
1
1111´
1
1cot
2
2
2
2
2
2
2
2
u
u
uy
u
u
uy
u
u
u
uuy
u
u
u
uuy
u
uy
La fórmula de derivación en este caso es:
uuyuy 2´csc´cot
El argumento es 21
2´
1
1
uu
u
uu
11)
3322
3332
32
17tan17sec102´
17tan17sec17sec1732´
17sec
xxxy
xxxxy
xy
La fórmula principal de derivación en este caso es:
´´ 1unuyuy nn , dado que la función se
encuentra elevada a una potencia, es decir, se
encuentra como: nn uuy secsec además de
aplicar la fórmula uuuyuy tan´sec´sec
Dónde: 23 51´17,2 xuxun
Se debe de tener cuidado, en este caso de cómo aplicar
las formulas, obsérvese, que los exponentes de la
función y del argumento, nunca se colocan juntas para
reducirse, siempre se mantiene separadas. Pero, como
aparece doble las función secante, en ese caso se aplica
la formula mnmn aaa , para reducir la función,
solo se debe aplicar para reducir funciones, no se debe
aplicar con los argumentos.
12)
8867
88857
86
7cot7csc336´
7cot7csc7csc786´
7csc
xxxy
xxxxy
xy
La fórmula principal de derivación en este caso es:
´´ 1unuyuy nn , dado que la función se
encuentra elevada a una potencia, es decir, se encuentra
de la forma: nn uuy csccsc además de aplicar
la fórmula uuuyuy cot´csc´csc
Dónde: 78 56´7,6 xuxun
Se debe de tener cuidado, en este caso de cómo aplicar
las formulas, obsérvese, que los exponentes de la
función y del argumento, nunca se colocan juntas para
reducirse, siempre se mantiene separadas. Pero, como
aparece doble las función cosecante, en ese caso se
aplica la formula mnmn aaa , para reducir la
función, solo se debe aplicar para reducir funciones, no
se debe aplicar con los argumentos.
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Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Trigonométricas
1) xxy 3cos3csc
2) 59)( 3 xsenxf
3) 8
5)(
xsenxf
4) xxf 57cos)(
5) 42tan)( xxf
6) xxxf 85sec)( 2
7) xsenxf 3)( 3
8) 24 35cot)( xxxf
9) x
xy
2cos1
2cos1
10) xseny 2
Ejemplos
Derivadas Funciones Trigonométricas inversas (arco)
arcsenuy 21
''
u
uy
uy arccos 21
''
u
uy
uy arctan 21
''
u
uy
uarcy cot 21
''
u
uy
uarcy sec
1
''
2
uu
uy
uarcy csc
1
''
2
uu
uy
No. Función/Derivada Observaciones
1)
21
1´
xy
arcsenxy
La derivada de la función arco seno es: 21
''
u
uy
Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula.
2)
21
1´
arccos
ry
ry
La derivada de la función arco seno es: 21
''
u
uy
Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula.
3)
21
1´
arctan
xy
xy
La derivada de la función arco seno es: 21
''
u
uy
Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula
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4)
21
1´
cot
zy
zarcy
La derivada de la función arco seno es: 21
''
u
uy
Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula
5)
1
1´
sec
2
rry
rarcy
La derivada de la función arco seno es: 1
''
2
uu
uy
Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula.
6)
1
1´
csc
2
xxy
xarcy
La derivada de la función arco seno es: 1
''
2
uu
uy
Y dado que 1' uxu , se sustituye directo en la formula.
7)
23
2
3
751
715´
75
xx
xy
xxarcseny
La fórmula básica en este caso es 21
''
u
uyarcsenuy
Dónde: 715'75 23 xuxxu . Sustituyendo en la
formula los valores de u y u´, se obtiene el resultado deseado.
8)
19
6´
3
19
3
2
3´
9
19
3
2
3´
9
19
3
2
3´
9
11
3
2
3´
3
11
3
2
3´
3
1arccos3
4
2
4
3
4
4
3
4
4
3
4
3
2
2
3
2
xy
x
x
xy
x
x
xy
x
x
xy
x
xy
x
xy
xy
La fórmula básica en este caso es
21
''arccos
u
uyuy
Dónde: 32 3
2'
3
1
xu
xu y 3c
Sustituyendo en la formula los valores de u y u´, y
reduciendo poco a poco los términos, se obtiene el
resultado deseado.
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9)
6
2
23
2
3
251
60´
51
154´
5arctan4
x
xy
x
xy
xy
La fórmula básica en este caso es
21
''arctan
u
uyuy
Dónde: 23 15'5 xuxu y 4c
Sustituyendo en la formula los valores de u y u´,
en la formula, se obtiene el resultado deseado.
10)
266036
12´
2560361
12´
561
12´
56cot
24
24
22
2
xx
xy
xx
xy
x
xy
xarcy
La fórmula básica en este caso es
21
''cot
u
uyuarcy
Dónde: xuxu 12'56 2 .
Sustituyendo en la formula los valores de u y u´,
se obtiene el resultado deseado.
11)
3202525
5´
14202525
5´
12525
5´
25sec
2
2
2
xxxy
xxxy
xxy
xarcy
La fórmula básica en este caso es
1
''sec
2
uu
uyuarcy
Dónde: 5'25 uxu
Sustituyendo en la formula los valores d u y u´, y
reduciendo, se obtiene el resultado deseado.
12)
14
5´
122
10´
2csc
10
255
4
5
xxy
xx
xy
xarcy
La fórmula básica en este caso es
1
''csc
2
uu
uyuarcy
Dónde: 45 10'2 xuxu . Sustituyendo en
la formula los valores de u y u´, y reduciendo los
términos, se obtiene el resultado deseado.
Ejercicios. Obtén mediante formula, la derivada trascendental de las Funciones Trigonométricas inversas
1) xarcy 5cos
2) xarcseny
3) x
arcseny1
4) xarcxy cot2
5) 33tan xarcy
6) xarcseny 4
7) xarcy sec
8) 47csc xarcy
9) 3tan 2 xarcy
10) 3
cosx
arcxy
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Ejemplos
Derivadas de Funciones Trascendentales Compuestas
No. Función/Derivada
1)
xxy
x
xy
xarcseny
2
2
ln1
1´
ln1
1
´
ln
2)
x
x
exseny
ey
2cos
2cos
22´
3)
2
2arctan
2arctan
41
2´
x
ey
ey
x
x
4)
x
xseny
xy
ln´
lncos
5)
xarcsenx
y
xarcseny
2sec41
2´
2tan
2
2
6)
7ln´
7
7ln7´
7ln
y
y
y
x
x
x
Ejercicios. Realizar las derivadas de las siguientes funciones trascendentales compuestas
1) xxseny 25ln
2) senxy ln
3) xy tanln
4) xy cosln
5) xarcy lnsec
6) xarcy 5lntan
7) xy logarccos
8) xarcy 5sec4
9)
2
1ln
senx
senxy
10) senxey
Ejemplos
Derivadas Implícitas de funciones Trascendentales No. Función/Derivada Observaciones
1)
1´
1´
´'
´'
´´
ln
2
2
2
2
xy
yy
yxyy
yyxyy
yyxyy
y
yyxy
yxy
Al igual que en las funciones algebraicas
implícitas, en las trascendentales, se aplican la
fórmulas de las explícitas con adecuaciones, para
su desarrollo, recordando que
'ydy
yd .
En esta función se aplican las fórmulas de la
multiplicación y la de logaritmo natural.
Posteriormente se debe de juntar los términos
comunes, para poder factorizar y despejar la
variable que indica la derivada.
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2)
coxy
xy
xyy
xyyy
yyxy
ysenxy
2
2´
2cos2´
2´cos´2
´cos2´2
2 2
En esta función se aplican las fórmulas de la
potencia y la de la función seno.
Posteriormente se debe de juntar los términos
comunes, para poder factorizar y despejar la
variable que indica la derivada.
3)
yxx
yxysenxy
yxx
yxysenxy
yxysenxyxxy
yxysenxyxyxy
ysenxxyyxyyx
ysenxxyyxy
xyyxsen
coscos
cos´
coscos
cos´
coscoscos´
cos´cos´cos
´cos´coscos
´coscos´1
cos
En esta función se aplican las fórmulas de la
función seno y coseno además de la de
producto.
Posteriormente se debe de juntar los términos
comunes, para poder factorizar y despejar la
variable que indica la derivada.
Nótese además que aunque el argumento de la
función seno tiene una suma de funciones, esta
no se separa, se debe de mantener de esta
manera, ya que el argumento, solo se separa
aplicando una identidad trigonométrica.
4)
xyx
senysenxyy
senysenxyxyxy
senysenxyxyyxy
xyyyyxsenysenx
xyyyxsenxseny
xyxseny
coscos´
coscos´
´cos´cos
´cos´cos
´coscos
cos
En esta función se aplican las fórmulas de la
función seno y coseno además de la de producto.
Posteriormente se debe de juntar los términos
comunes, para poder factorizar y despejar la
variable que indica la derivada.
Obsérvese que en el producto de seno y coseno, al
no tener los mismos argumentos, no son términos
comunes por lo que no se pueden escribir como un
solo termino, en otras palabras, como potencia.
5)
y
y
y
y
y
y
eyy
yxy
yxeyyy
yxeyyyy
yxeyyyy
xeyy
yy
xey
52
24
2452
2452
2452
45
2
552
52
10´
1052´
10´5´2
10´5´2
10´5´2
2ln
En esta función se aplican las fórmulas de
logaritmo natural, numero de Euler y potencia.
Se debe de juntar los términos comunes, para
poder factorizar y despejar la variable que indica la
derivada.
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Obtén las siguientes derivadas implícitas:
1) 21 xysenx
2) 422 xsenyyx
3) 1cos4 xseny
4) yxe yx 2
5) yxsenxe y 1cos
6) 239ln5 xexyy
7) xyxyx ln42 2
8) 2
1325 xyeyxy
Ejemplos
Derivadas de funciones Trascendentales sucesivas o de orden superior
Una derivada sucesiva o de orden superior, implica derivar la derivada, hasta el orden que se indique o
posiblemente hasta cero. El orden, se refleja en el número de comillas (o número romano) que se escribe como
superíndice. En cada uno de los siguientes ejercicios, se obtendrá hasta la tercer derivada
No. Función/Derivada Observaciones
1)
6
6
6
6
6
14´´
4'
246
1'
24
x
x
x
x
ey
ey
ey
ey
6
6
6
9
1´´´
6
1
3
2´´´
3
2´´
x
x
x
ey
ey
ey
En este ejercicio se aplica la fórmula de la derivada
de Euler, por ser una de las formulas repetitivas,
siempre se tendrá en la derivada, tómese en cuenta
que el exponente es el único que se deriva y se
multiplica por la constante en cada una de las
derivadas, siendo este el que se reduce en cada una
de las Derivadas, ya que es un numero fraccionario.
2)
x
x
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
y
33
32
32
3
3
3
3
22ln27'''
2ln322ln9'''
22ln9''
2ln322ln3''
22ln3´
2ln32´
2
Este caso es de una constante elevada a la variable,
aplicando esta fórmula en cada una de las veces que
se debe derivar, por lo que la derivada es muy
similar a la del número de Euler, se debe de
considerar que el logaritmo de la base se debe de
multiplicar por el mismo cada vez que se derive,
considerando esto, se toma como un término
algebraico, para poder reducirlo,
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culo
Dif
eren
cial
21
3)
3
2
3
2
3
6´´´
3´´
3´
7
21´
7ln
xy
xy
xy
x
xy
xy
La fórmula para derivar el logaritmo natural, es de
las más sencillas, ya que es la derivada del
argumento entre el argumento, por lo que se reduce
a una fracción, la cual se vuelve a derivar aplicando
la fórmula de una constante entre una variable.
4)
xy
xy
xseny
xseny
xy
xy
xseny
4cos192´´´
4cos448´´´
448´´
4412´´
4cos12´
4cos43´
43
La derivada de la función seno es el coseno y la
derivada de la función coseno es seno, negativo,
por lo que la derivada de estas funciones es
recíproca, por lo que en esta se repiten seno y
coseno en cada derivada, con signo diferente,
además de considerar que en cada derivada se
multiplica por el argumento de la función
trigonométrica, dado que la variable es lineal, solo
se multiplica en cada una por una constante.
5)
ssssy
ssssssy
sssssssssy
sssy
sssssy
ssy
sy
7csc7cot3437csc7cot1718´´´
7cot7csc10297csc7cot3437csc7cot689´´´
7cot7csc7csc73497cot7csc7cot7497csc7csc7cot7249´´´
7csc497csc7cot49´´
7csc7csc777cot7csc7cot77´´
7cot7csc7´
7csc
33
333
222
32
2
Este caso también es cíclico, dado que la derivada de cosecante es ella misma por cotangente, en la
segunda derivada se obtienen dos términos, así que la derivada se vuelve la de un producto, y la siguiente
se convierte en la derivada de un producto y una potencia, por lo cíclica de las funciones y la tercera se
convierte en la de productos y potencias, por lo que en cada una de las derivadas se convierte en una
derivada más compleja, además de que los signos se van multiplicando pasando de positivos a negativos y
viceversa en cada derivada nueva.
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Cal
culo
Dif
eren
cial
22
6)
23
234
23
2234234
23
223
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
124´´´
123632222´´´
131222´´´
12´´
1
12´´
1
1
12
´´
1
11
2
´´
1
11
2
´´
1
1´
csc
xx
xxxy
xx
xxxxxxxxxy
xx
xxxxxxy
xx
xxy
xx
xxy
xx
x
xx
y
xx
xx
x
y
xx
xx
xx
y
xxy
xarcy
La derivada de cualquier función
trigonométrica inversa es una fracción,
en algunos casos, como este, es una raíz,
por lo que en la segunda derivada, aparte
de derivar la división de dos funciones,
se deriva una raíz, misma que en este
caso particular se reduce a un polinomio,
mismo que debe volverse a derivar,
aplicando la fórmula de división de dos
polinomios, en este caso, no se puede
reducir ningún termino, ya que el
polinomio resultante en el numerador no
es factorizable ninguno de los
polinomios resultantes en el numerador
de las derivadas obtenidas.
En cada uno de los siguientes ejercicios, obtén hasta la tercera derivada:
1) tey 24
2) ty 02.1400
3) xy 1log
4) xy 5ln
5) xxf 2cos
6) xxy tan2
7) senxxy 3
8) xy 2sec4
1
9) xarcy 3cos
10) xarcy 7tan