cálculo financeiro comercial e suas aplicações 01 2013 cálculo financeiro algÃ...matemática...
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Matemática Financeira – Unidade de Sorriso - SENAC MT, Prof Rikey Felix
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1 1
Cálculo Financeiro
Comercial e suas aplicações.
Método Algébrico
Parte 01
Professor Rikey Felix
Edição 10/2013
Matemática Financeira – Unidade de Sorriso - SENAC MT, Prof Rikey Felix
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Matemática Financeira
Introdução a Matemática Financeira Comercial e suas aplicações.
Rikey Paulo Pires Felix,
Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás,
Pós Graduado em Gestão Empresarial pela Faculdade Montes
Belos Goiás, funcionário concursado em exercício do Banco do
Brasil, instrutor do SENAC da unidade Sorriso MT desde 2011.
Objetivos: Conhecer assuntos introdutórios de Matemática
Financeira Comercial, apresentando conceitos teóricos, resolução
de exercícios, bem como suas respectivas aplicações na
contabilidade, administração, com o auxílio da calculadora científica
financeira HP 12C, trazendo uma didática e proposta pedagógica
voltada para um curso profissionalizante preparatório para o
mercado de trabalho.
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3 3
Conteúdos abordados:
Radiciação e potenciação
Multiplicação de potência de mesma base
Divisão de potência de mesma base
Potência de potência
Percentagem taxa unitária, fórmula para cálculo percentual
Operação sobre Mercadorias
Vendas com lucro (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da
venda)
Vendas com prejuízo (sobre o preço de custo) e (sobre o preço da
venda)
Juros simples – Juro, capital e taxa
Regimes de capitalização
Cálculos de Juros simples
Taxas proporcionais
Taxas equivalentes
Juro comercial e juro exato
Montante
Desconto Simples
Títulos de crédito
Desconto comercial, valor do desconto comercial, valor atual, taxa
de juro efetiva
Equivalência de capitais
Desconto racional, valor do desconto racional, valor atual racional
Juros composto,
Cálculo de montante
Determinação do fator de capitalização
Calculadoras científicas, financeiras e logaritmos
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4 4
Cálculo do capital no juro composto
Taxas proporcionais, taxas equivalentes
Taxa nominal
Taxa efetiva
Taxa Real e taxa aparente,
Taxa unificada
Conceito de inflação
Desconto Composto (Comercial e racional)
Capitalização e amortização composta
Renda certa
Empréstimos
Sistema Francês de amortização (Price) e conceitos
Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização
Tabela Price no Excel
Price com prazo de carência
Sistema de Amortização (SAC) e conceitos.
Calculo do saldo devedor, valor atual e amortização
Tabela SAC no Excel
SAC com prazo de carência.
Uso de calculadora cientifica e financeira HP 12C.
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1. Potenciação
Imagine a seguinte situação ???360. Para resolvermos este
problema utilizamos o conceito de potenciação, (estudo da potência),
Vejam só:
3x3x3x3x3x3x ... por 60 vezes. A potência indica quantas vezes o
elemento (base) está sendo multiplicado por ele mesmo.
Potencia é a multiplicação de um número “a” a R, por ele mesmo,
quantas vezes estiverem indicando em seu expoente n R.
Calcule as seguintes potências:
a) 211
b) 302,0
c) 00075,0
d) 318,1
2. Potência de potência.
Podemos aplicar uma potência sobre uma potência que já está
estabelecida, neste caso para resolvermos este problema, multiplicamos
os índices das potências, transformando em apenas uma potência.
Vejamos o exemplo
164444 22))2(( x
Calcule as seguintes potências:
a) 103)08,0(
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6 6
b) 42
2
)42
5(
c) XX 123)(
3. Multiplicação de potência de mesma base.
Observe o seguinte caso: 35).()( baba yx
. Para
resolvermos multiplicação de potência de mesma, basta conservamos a
base e somarmos os expoentes. .22.2 4545
4. Estudo de Percentagem
Imagine a seguinte situação. Um vendedor recebeu R$ 4.000,00 de
comissão de uma venda de R$ 210.000,00. Qual foi o percentual para o
vendedor desta venda.
100.
valortotal
alvalorparciPercentual
100.210000
4000Percentual
%90,1Percentual
5. Operações sobre mercadoria.
O que vamos ver neste tópico são problemas de percentagem ligados às
operações de compra e venda de mercadorias, isto é, vamos aprender a
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fazer cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços e de venda de
mercadorias.
Legenda:
LLucro
CCusto
PejuízoPr
VVenda
Taxa Unitária do Lucro = i . Sempre utilizar a taxa em unidades decimais.
Por exemplo: 2%, utiliza – se 0,02.
6. Vendas com Lucro sobre o preço de custo
CiLucro .
LCV
CiCV .
CiV ).1(
Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o custo da
mercadoria como equivalente a 100%.
Ex: Um comerciante vendeu mercadorias com um lucro de 8% sobre o
preço de custo. Determine o preço de venda, sabendo que essas
mercadorias custaram R$ 500,00
CiV ).1(
500).08,01(V
500).08,1(V
540V
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8 8
7. Vendas com Lucro sobre o preço de Venda
LCV
ViL .
ViCV .
CViV .
Então temos: i
CV
1
Ex: Um comerciante comprou um objeto por R$ 480,00. Desejando ganhar
20% sobre o preço de custo, qual deve ser o preço de venda?
i
CV
1
2,01
480V
600V
Neste caso, para facilitar no raciocínio, basta considerarmos o valor da
venda como equivalente a 100%.
8. Vendas com Prejuízo sobre o preço de custo.
V=C-P
P=i.C
V=C-P
V=C-i.C
)1( iCV
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9 9
9. Vendas com Prejuizo sobre o preço de venda
V=C-P
P=iV
V=C-P
V=C-iV
V+iV=C
)1( i
CV
10. Abatimentos e aumentos sucessivos.
Legenda:
M – Valor do montante resultante dos aumentos sucessivos.
L – Valor líquido,
N – Valor nominal do título
a – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício
b – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício.
c – taxa qualquer de desconto aplicada definida pelo exercício.
11. Abatimentos sucessivos
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10 10
)1).(1).(1.( cbaNL
Ex: Um trator que custa R$ 200.000,00 é vendido com descontos
sucessivos de 2% e 3 %. Qual o preço líquido final desta máquina?
)97,0).(98,0.(200000L
$190120RL
Aumento sucessivo
)1).(1).(1.( cbaNM
Ex: Um trator que custa R$ 200.000,00 é vendido com acréscimos
sucessivos de 2% e 3 %. Qual o preço líquido final desta máquina?
)03,01).(02,01.(200000M
)03,1).(02,1.(200000M
$210120RM
12. Juro simples e montante
niNJ ..
Legenda
J – juro
N – Valor nominal do título
)03,01).(02,01.(200000L
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i – taxa de juros
n – períodos da aplicação.
Taxa proporcional, modelo simples.
Taxa equivalente, quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo
período, produzem o mesmo juro
Em juro simples taxa proporcional = taxa equivalente.
13. Cálculo do Montante (Juros simples)
JCM
niNNM ..
Então temos a seguinte fórmula:
).1.( niNM
Ex:
a) Tomou emprestado a importância de R$ 1200,00, pelo prazo de dois
anos, à taxas de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?
b) Aplicou – se a importância de R$ 3000,00, pelo prazo de três meses,
à taxa de 1,2% ao mês. Qual o valor do juro a receber?
c) Um capital de R$ 56800,00 foi empregado, à taxa de 0,75% ao mês,
durante 2,5 meses. Calcule o juro?
d) Calcule a taxa anual proporcional a 8% ao trimestre (considerando
juros simples)?
e) A que taxa foi empregado o capital de R$ 12000,00 que, no prazo de
2 anos, rendeu R$ 8400,00 de juro?
f) Determine o período financeiro relativo à aplicação do capital de R$
12800 que, à taxa de 1% ao mês, rendeu R$ 896?
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12 12
14. Juro comercial e juro exato
A técnica que estamos empregando no cálculo do juro simples (1 ano =
360 dias) nos dá o que denominamos juro simples comercial. Entretanto,
podemos obter o juro fazendo uso de número exato de dias do ano (365
dias ou 366, caso o ano seja bissexto. Neste caso o resultado é denomidado
de juro simples exato.
Além disso, temos que levar em consideração o modo de obtenção do
número de dias. Admitindo que cada mês tenha 30 dias, obtemos o tempo
aproximado, fazendo a contagem no calendário, obtemos o tempo exato.
15. Desconto simples comercial (ou desconto por fora)
1) Desconto comercial (considera – se como referência de cálculo o
valor nominal).
O desconto comercial só deve ser empregado para períodos curtos, pois
para períodos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor
nominal do título.
niNDcomercial ..
16. Cálculo do valor atual de um desconto comercial simples
Legenda:
A – Valor atual, valor já com o desconto (valor líquido)
N – Valor do título
D – desconto comercial ( niNDcomercial .. )
n – quantidade de períodos da operação.
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13 13
DNA
inNNA .
)1( inNA
Exercícios
a) Um título de R$ 6000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.
Faltando 45 dias para o vencimento. Calcule o valor do desconto
comercial simples e o valor atual?
b) Uma duplicata de R$ 6900 foi resgatada antes de seu vencimento por
R$ 6072, Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de seu
desconto comercial foi de 4% ao mês?
17. Taxa de juro efetiva simples.
É a taxa que ao capitalizar (simples) o valor atual, obtém – se o valor
nominal. (taxa efetiva representada por .if
).1( niNM
).1( nifAN
Daí temos
nifAAN .. :
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14 14
ANnifA ..
nA
ANif
.
nA
dcomercialif
.
Exemplo de cálculo de taxa efetiva:
a) Um título de R$ 6.000,00 foi descontado a taxa de 2,1% ao mês,
faltando 45 dias para o seu vencimento. Sabendo que o desconto
comercial foi de R$ 189,00, calcule a taxa efetiva.
18. Desconto racional simples (considera – se o valor atual, conhecido
como desconto por dentro)
Na prática, o desconto comercial é mais usado, por referir exatamente ao
valor nominal na base dos cálculos.
Também conhecido por valor (por dentro)
Idéia de raciocínio, A + X/100A = N, Onde o valor inicial corresponde
a 100%
O valor do desconto é menor que o valor do desconto comercial
Pode ser calculado através da fórmula niAdr ..
Esse desconto não é muito usado no dia a dia.
.
A maioria dos exercícios traz em seu contexto o valor nominal, e não o
valor atual, sendo assim, é importante elaborarmos uma outra fórmula
equivalente que utiliza o valor nominal N
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15 15
niAdr ..
nidrNdr .).(
nidrniNdr ....
niNnidrdr ....
niNnidr ..).1(
).1(
..
ni
niNdr
a) Um título de R$ 6.000 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês.
Faltando 45 dias para o vencimento do título, determine o valor descontado
racional, e o valor atual racional
resposta: dr = R$ 183,00
19. Equivalência de capitais (simples)
Usamos o conceito de capital diferido: títulos de crédito com
vencimentos diferentes.
A referência é feita baseado no título, ou valor nominal.
Igualamos os valores atuais das respectivas datas.
Sempre voltamos para uma data igual à zero.
'AA , ).1( niNA niNd ..
a) Quero substituir um título de R$ 5.000, vencível em 3 meses, por
outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem
ser descontados à taxa de 3,5 ao mês, qual o valor nominal comercial
do novo título?
resposta: R$ 6.559,00
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b) Queremos substituir dois títulos, um de R$ 5.000 para 90 dias e outro
de R$ 12.000 para 60 dias, por outros três títulos, com o mesmo
valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias.
Calcule o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto
comercial da transação é de 3% ao mês. resposta: R$ 5.613
20. Juros composto
Chamado de capitalização composta.
niCM )1(
)1(11 iCM
)1(12 iMM
)1(23 iMM
Substituindo de forma regressiva, chegamos à fórmula genérica.
niCM )1(
ni)1( , fator de capitalização.
ni)1( , fator de descapitalização.
É necessária tábua financeira, logaritmo, calculadora científica ou
financeira.
Taxas proporcionais não são equivalentes.
Taxas equivalentes: quando aplicadas a capitais iguais, por prazos
iguais, produzem juros também iguais.
360)1( di12)1( mi
6)1( bi4)1( ti
2)1( si )1( ai
Cálculo do capital inicial da aplicação: Lembrando que ni)1( é o
fator de descapitalização.
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17 17
ni
MC
)1(
21. Taxa nominal
Taxa nominal é quando o período de capitalização não coincide com
aquele a que ela se refere, considera a taxa nominal proporcional na
execução dos cálculos.
a) Qual o montante (composto) de um capital de R$ 5.000, no fim de 2
anos, com juros de 24% ao ano capitalizado trimestralmente?
resposta: R$ 7.969,25
22. Taxa efetiva
Taxa efetiva é a taxa verdadeira da operação.
a) Quando oferecemos 6% ao ano e capitalizamos semestralmente a 3%, a
taxa de 6% é, como vimos anteriormente, representa a taxa nominal. A
taxa efetiva e a taxa anual equivalente a 3% semestrais. Logo, sendo
fi a taxa efetiva, temos.
2)1( si )1( ai ou seja 2)03.01( )1( ai = 0,06090
b) Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente.
Calcule a taxa efetiva.
resposta:18.81% a.a
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23. Relação entre taxa real, taxa aparente e taxa da inflação.
(taxa unificada)
Considere a seguinte situação:
Jorge aplicou o seu dinheiro no Banco Costa e Silva SA em uma aplicação
que rende 12% ao ano. Nesse mesmo período a inflação foi de exatamente
8%. Qual foi a taxa real de rentabilidade desta aplicação?
Legenda
iA , taxa aparente = 12%
iR , taxa real = ?
iI taxa da inflação = 8%
)1).(1.()1.( iRiICiaC
)1).(1()1( iRiIia
24. Desconto composto comercial
niNA )1(
Legenda:
A – Valor atual (valor já com o desconto
N – Valor do título
i –Taxa aplicada
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n – Quantidade de períodos.
Esse desconto não muito usado em matemática financeira, pois em
pouco tempo o valor do desconto ultrapassa o valor do título N.
A base de cálculo é o valor nominal do título N.
Mesmo raciocínio do Abatimento sucessivo.
25. Desconto racional composto.
Cálculo do valor atual: Valor atual, em regime de juro composto, de um
capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse período, é
o capital A que colocado a juros compostos a taxa i, produz no fim dos n
períodos o Montante N.
Legenda:
A – Valor atual (valor já com o desconto)
N – Valor do título
i – Taxa aplicada
n – Quantidade de períodos.
NiA n)1.(
ni
NA
)1( ou
niNA )1.(
Lembrando que ni)1( é o fator de descapitalização.
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20 20
a) Um título de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses
antes de seu vencimento. Tendo sido contratado a taxa de 30% ao
ano, capitalizado mensalmente. Qual foi o desconto composto
racional concedido?
26. Equivalência de capitais compostos. (capitais diferidos)
'
)1(
AA
iNA n
Mesmo conceito de equivalência de capitais simples, mas considerando a
descapitalização do valor nominal composta.
a) Um título no valor nominal de R$ 7000,00 com vencimento para 5
meses, é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo
que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor
nominal do novo título? (considerar juros compostos)
b) Um comerciante, devedor de um título de R$ 40.000 para três anos,
deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais e iguais: um
no fim do 1 ano e outro no fim do 2 anos. Sabendo que a taxa é de
40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. (considerar juros
compostos)
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27. Capitalização e amortização compostas
Quando queremos fazer um investimento, podemos depositar todos os
meses certa quantia em uma caderneta de poupança; quando queremos
comprar um bem qualquer, podemos fazê – lo em prestações, a serem
pagas mensalmente.
Podemos, portanto, constituir um capital ou resgatar uma dívida
depositando ou pagando certa quantia em épocas distintas.
No primeiro caso temos uma capitalização e no segundo, uma
amortização.
Rendas: A sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas
diferentes, destinados a formar um capital ou pagar uma dívida é
denominada Renda.
As rendas podem ser certas ou aleatórias, periódicas ou não periódicas,
constantes ou variáveis ou diferidas (carência de prazo).
28. Capitalização – POSTECIPADA (final do mês)
a) Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês,
durante 5 meses a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da
renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao
mês, capitalizados mensalmente.
Podemos entender que o depósito é realizado no final do mês, sendo que
o último mês não rende juros.
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22 22
niCM )1(
100+
)02,01(100 +
2)02,01(100 +
3)02,01(100 +
4)02,01(100 +
Somatório = R$ 520,40
Considerando o conceito de fórmula Genérica.
121 )1(...)1()1( niTiTiTTSf121 )1...()1()1(1 niiiTSf
Observe que dentro do colchete, temos uma Progressão Geométrica.
11a ,1)1( n
n ia , )1( iq
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqaSPG n
11
1)1.()1( 1
i
iiSPG
n
i
iSPG
n 1)1(
Voltando a expressão anterior abaixo,
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23 23
i
iTSf
n 1)1(Temos a fórmula para a capitalização
postecipada.
O fator também pode ser obtido através de tabelas, tábuas financeiras e
etc.
a) Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5
meses, a quantia de R$ 350,00. Calcule o montante da renda,
sabendo que esta financeira paga juros compostos de 1% ao mês,
capitalizados mensalmente.
b) Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5
meses, a quantia de R$ 500,00. Calcule o montante da renda,
sabendo que esta financeira paga juros compostos de 1,5% ao mês,
capitalizados mensalmente.
29. Capitalização Antecipada (no início do mês)
Podemos entender que o valor é depositado no início do período, sendo que
a última parcela também rende juros.
a) Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês,
durante 5 meses a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da
renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao
mês, capitalizados mensalmente.
niCM )1.(
1)02,01(100 +
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24 24
2)02,01(100 +
3)02,01(100 +
4)02,01(100 +
5)02,01(100
Somatório = R$ 530,81
Considerando o conceito de fórmula Genérica.
niTiTiTiTSi )1(...)1()1()1( 21
niiiTSi )1(...)1()1( 2
niiiTTTSi )1(...)1()1( 2
niiiTTSi )1(...)1()1(1 2
Observe que dentro do colchete, temos uma Progressão Geométrica.
11a ,n
n ia )1( , )1( iq
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqaSPG n
11
1)1.()1(
i
iiSPG
n
i
iSPG
n 1)1( 1
Voltando a expressão anterior abaixo,
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25 25
i
iTTSi
n 1)1( 1
Ti
iTSi
n 1)1( 1
a) Qual o montante de uma renda antecipada (no inicio do mês) de 10
termos mensais de R$ 500,00 a taxa de 1,5% ao mês?
30. Amortização composta
Vamos, agora, aprender a calcular o valor de uma dívida (ou de um
empréstimo, ou o valor à vista de uma mercadoria) que será paga
em prestações periódicas de quantias constantes, sobre as quais
incide a mesma taxa.
31. Amortização (postecipada)
Consideremos o seguinte problema:
a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais (no
fim do mês) de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de
juros.
O objetivo deste exercício é calcular o valor atual da dívida, ou seja,
saber o preço a vista desta compra.
Lembrando que para trazer cada parcela para a data zero, devemos
aplicar o desconto racional composto em cada uma das parcelas.
niNA )1.(
A fórmula que nos dá o valor atual seria a seguinte:
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26 26
1)02,01(100 +
2)02,01(100 +
3)02,01(100 +
4)02,01(100 +
5)02,01(100 +
Valor atual = R$ 471,34
niTiTiTAf )1(...)1()1( 21
niiiTAf )1(...)1()1( 21
A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de
uma PG, na qual temos:
nia )1(1 ,1)1( ian , )1( iq
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqaSPG n
11
)1()1.()1( 1
i
iiiSPG
n
i
iSPG
n)1(1
Multiplicando toda a expressão por ni)1( para facilitar a visualização
dos termos.
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27 27
n
nn
ii
iiSPG
)1.(
)1.)()1(1(
n
n
ii
iSPG
)1.(
1)1(
Este termo é conhecido como
fator de amortização.
Voltando a expressão anterior,
n
n
ii
iTAf
)1.(
1)1(
a) Qual o valor atual de uma renda anual imediata de 12 termos iguais a
R$ 15.000,00 cada um, à taxa de 6% ao ano?
b) Qual dívida pode ser amortizada por 15 prestações mensais de R$
8.000,00 cada uma, sendo 2% ao mês a taxa de juro?
32. Amortização antecipada
Neste caso, a primeira parcela da amortização é feita no ato do contrato
(data zero). Para exemplificar vamos refazer o exemplo da explicação
anterior considerando o pagamento no ato do contrato.
a) Que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais (no
ínicio do mês) de R$ 100,00, sendo de 2% ao mês a taxa de
juros.
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28 28
Resolução:
niNA )1.( Ou seja,
100+
1)02,1.(100 +
2)02,1.(100 +
3)02,1.(100 +
4)02,1.(100 =
Valor atual = R$ 480,77
Vamos à fórmula genérica
)1(21 )1(...)1()1( niTiTiTTAi)1(21 )1(...)1()1(1 niiiTAi
A expressão que se encontra dentro dos colchetes é a soma dos termos de
uma PG, na qual temos:
)1(
1 )1( nia , 1na , )1( iq
Fórmula da soma da PG. 1
. 1
q
aqaSPG n
11
)1()1.(1 )1(
i
iiSPG
n
i
iiSPG
n )1()1()1(
Voltando a expressão anterior,
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29 29
i
iiTAi
n )1()1()1(
a) Calcule o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos
mensais de R$ 250,00, à taxa de 3% ao mês.
b) Qual o valor de uma prestação mensal antecipada para amortizar,
com 6 pagamentos, uma compra de R$ 6.500, com juro de 2,5% ao
mês.
33. Empréstimos (Sistema Francês de amortização) – Tabela
Price.
O mutuário se compromete a amortizar o empréstimo com
prestações constantes, periódicas e imediatas. Como essas prestações são
constantes, à medida que vão sendo paga, a dívida diminui e os juros
tornam – se menores, enquanto que as quotas de amortização tornam – se
automaticamente maiores. A tabela price amplamente usado em crédito
veículo, eletrônicos, CDC e etc.
Características:
As prestações são constantes em todos os períodos
A prestação é composta por (Juro + amortização) de forma que
a prestação permaneça constante.
Os juros vão diminuindo ao longo do tempo,
A amortização vai aumentando ao longo do tempo.
No cálculo é utilizada a taxa proporcional.
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30 30
Vamos voltar ao conceito de amortização composta postecipada.
n
n
ii
iTAf
)1.(
1)1(
.Podemos entender que o termo
Af é o valor atual, e ao mesmo tempo o valor a vista 0D
n
n
ii
iTD
)1.(
1)1(0
Isolando o T temos,
34. Esta é a formula para financiamentos gerais, pelo método
PRICE.
1)1(
)1.(0 n
n
i
iiDT
Vamos aos exemplos:
a) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00
para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO
(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano. Calcule o
valor da prestação e monte a planilha de amortização.
Utilizando a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da
parcela, R$ 35.027,00
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TABELA PRICE
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 R$ 100.000,00
1 R$ 35.027,00 R$ 15.000,00 R$ 20.027,00 R$ 79.973,00
2 R$ 35.027,00 R$ 11.995,95 R$ 23.031,05 R$ 56.941,95
3 R$ 35.027,00 R$ 8.541,29 R$ 26.485,71 R$ 30.456,24
4 R$ 35.027,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$ 2,32
Podemos tirar algumas conclusões escrevendo as fórmulas genéricas:
O valor do juro é 1. kk DiJ
O valor da amortização é kk JTA
O saldo devedor é kkk ADD 1
b) Uma moto Honda custa R$ 6.000,00 à vista. Financiado em
24 parcelas com a taxa de 1,5% a. m. Calcule o valor da
parcela e construa a tabela PRICE correspondente.
TABELA PRICE
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 R$ 6.000,00
1 R$ 299,55 R$ 90,00 R$ 209,55 R$ 5.790,45
2 R$ 299,55 R$ 86,86 R$ 212,69 R$ 5.577,76
3 R$ 299,55 R$ 83,67 R$ 215,88 R$ 5.361,87
4 R$ 299,55 R$ 80,43 R$ 219,12 R$ 5.142,75
5 R$ 299,55 R$ 77,14 R$ 222,41 R$ 4.920,34
6 R$ 299,55 R$ 73,81 R$ 225,74 R$ 4.694,60
7 R$ 299,55 R$ 70,42 R$ 229,13 R$ 4.465,47
8 R$ 299,55 R$ 66,98 R$ 232,57 R$ 4.232,90
9 R$ 299,55 R$ 63,49 R$ 236,06 R$ 3.996,84
10 R$ 299,55 R$ 59,95 R$ 239,60 R$ 3.757,24
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11 R$ 299,55 R$ 56,36 R$ 243,19 R$ 3.514,05
12 R$ 299,55 R$ 52,71 R$ 246,84 R$ 3.267,21
13 R$ 299,55 R$ 49,01 R$ 250,54 R$ 3.016,67
14 R$ 299,55 R$ 45,25 R$ 254,30 R$ 2.762,37
15 R$ 299,55 R$ 41,44 R$ 258,11 R$ 2.504,26
16 R$ 299,55 R$ 37,56 R$ 261,99 R$ 2.242,27
17 R$ 299,55 R$ 33,63 R$ 265,92 R$ 1.976,36
18 R$ 299,55 R$ 29,65 R$ 269,90 R$ 1.706,45
19 R$ 299,55 R$ 25,60 R$ 273,95 R$ 1.432,50
20 R$ 299,55 R$ 21,49 R$ 278,06 R$ 1.154,44
21 R$ 299,55 R$ 17,32 R$ 282,23 R$ 872,20
22 R$ 299,55 R$ 13,08 R$ 286,47 R$ 585,74
23 R$ 299,55 R$ 8,79 R$ 290,76 R$ 294,97
24 R$ 299,55 R$ 4,42 R$ 295,13 -R$ 0,15
35. Determinação do saldo devedor (Sistema Price)
Vamos imaginar uma maneira de calcular o saldo devedor após
ma certa quantia sem construir a tabela price e sem calcular
manualmente dos saldos anteriores.
Quando calculamos o 0D, na verdade estamos amortizando
todas as parcelas para a data zero, então com isso estamos
obtendo o saldo devedor que é igual ao valor inicial do
financiamento. Podemos entender que
,1D ,2D ,3D ,knD segue o cálculo do saldo devedor à
medida que vamos quitando as respectivas parcelas.
Então temos.
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33 33
n
n
ii
iTD
)1.(
1)1(0
kn
kn
kii
iTD
)1.(
1)1(
, onde k é quantidade de
parcelas já quitadas (pagas)
a) Uma dívida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada, através do Sistema
Francês de Amortização, em 8 prestações anuais à taxa de 20% ao
ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a terceira parcela.
b) Um banco empresta R$ 200.000,00 para ser pago pelo Sistema
Francês de Amortização em 20 prestações anuais à taxa de 25% ao
ano. Calcule o saldo devedor após o pagamento da décima segunda
prestação.
36. Empréstimos (Sistema Francês de amortização) – Tabela
Price. COM CARÊNCIA.
Um financiamento pode ser oferecido ao mutuário com um
prazo de carência. Quando isso acontece, devemos considerar
três casos:
1) Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da
dívida, não havendo, portanto, amortização desta.
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34 34
2) Durante a carência o mutuário não paga os juros da dívida,
estes serão capitalizados e incorporados à dívida, para
serem amortizados nas prestações.
3) A carência é apenas um incentivo para o mutuário na
negociação, não havendo cobrança por isso. (Não conheço
nenhum caso na prática.
Vamos estudar o primeiro caso (mutuário paga
somente os juros no período da carência).
a) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00
para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO
(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e 2 anos de
carência. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de
amortização.
Utilizando a fórmula descrita (tabela price) calculamos o valor da
parcela, R$ 35.027,00
TABELA PRICE ( Com carência)
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 R$ 100.000,00
1 CARÊNCIA R$ 15.000,00 Carência R$ 100.000,00
2 CARÊNCIA R$ 15.000,00 Carência R$ 100.000,00
3 R$ 35.027,00 R$ 15.000,00 R$ 20.027,00 R$ 79.973,00
4 R$ 35.027,00 R$ 11.995,95 R$ 23.031,05 R$ 56.941,95
5 R$ 35.027,00 R$ 8.541,29 R$ 26.485,71 R$ 30.456,24
6 R$ 35.027,00 R$ 4.568,44 R$ 30.458,56 -R$ 2,32
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35 35
Vamos estudar o segundo caso (mutuário não
paga nada durante a carência e estes juros
serão capitalizados e incorporados à dívida).
b) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00
para ser pago pelo SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO
(PRICE) em 4 prestações anuais, à taxa de 15% ao ano e 2 anos de
carência. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de
amortização.
Vamos capitalizar a dívida.
niCM )1(
115000)15,01(100000 1
1M
------------------------------------------------------------------------------
132250)15,01(100000 2
2M
-------------------------------------------------------------------------------
TABELA PRICE COM CARENCIA
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 R$ 100.000,00
1 R$ 115.000,00
2 R$ 132.250,00
3 R$ 46.322,56 R$ 19.837,50 R$ 26.485,06 R$ 105.764,94
4 R$ 46.322,56 R$ 15.864,74 R$ 30.457,82 R$ 75.307,12
5 R$ 46.322,56 R$ 11.296,07 R$ 35.026,49 R$ 40.280,63
6 R$ 46.322,56 R$ 6.042,09 R$ 40.280,47 R$ 0,16
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36 36
37. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (TABELA SAC)
O Sistema de amortização constante (SAC), também chamado de
sistema hamburguês, foi introduzido no Brasil, a partir de 1971,
pelo sistema financeiro da habitação. O SAC Possui as seguintes
características:
A amortização é constante
O mutuário paga a dívida em prestações periódicas e
imediatas decrescentes, que englobam juros e
amortizações.
Os juros são cobrados sobre o saldo devedor e a
amortização é constante, então as prestações são
decrescentes.
O valor do juro é 1. kk DiJ
O valor da amortização é n
DA 0
O saldo devedor é kkk ADD 1
a) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser
pago pelo Sistema de Amortização Constante em 4 prestações
anuais, à taxa de 15% ao ano. Monte a planilha de amortização.
1000000D
4n
aai .%15
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37 37
n
DA 0
=
250004
100000A
TABELA SAC / TAXA 15%
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 R$ 100.000,00
1 R$ 40.000,00 R$ 15.000,00 R$ 25.000,00 R$ 75.000,00
2 R$ 36.250,00 R$ 11.250,00 R$ 25.000,00 R$ 50.000,00
3 R$ 32.500,00 R$ 7.500,00 R$ 25.000,00 R$ 25.000,00
4 R$ 28.750,00 R$ 3.750,00 R$ 25.000,00 R$ 0,00
38. Determinação do saldo devedor.
Por analogia aos modelos apresentados, temos a fórmula genérica
do saldo devedor de um sistema de amortização constante:
AkDDk .0
a) Uma dívida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, através do sistema
de amortização constante, em 12 prestações anuais, à taxa de 20% ao
ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a oitava prestação.
5000012
6000000
n
DA
AkDDk .0
20000050000.86000008D
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38 38
Comprovando o cálculo anterior através da tabela SAC.
TABELA SAC / TAXA 20%
PERÍODOS PRESTAÇÃO JURO AMORTIZAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 R$ 600.000,00
1 R$ 170.000,00 R$ 120.000,00 R$ 50.000,00 R$ 550.000,00
2 R$ 160.000,00 R$ 110.000,00 R$ 50.000,00 R$ 500.000,00
3 R$ 150.000,00 R$ 100.000,00 R$ 50.000,00 R$ 450.000,00
4 R$ 140.000,00 R$ 90.000,00 R$ 50.000,00 R$ 400.000,00
5 R$ 130.000,00 R$ 80.000,00 R$ 50.000,00 R$ 350.000,00
6 R$ 120.000,00 R$ 70.000,00 R$ 50.000,00 R$ 300.000,00
7 R$ 110.000,00 R$ 60.000,00 R$ 50.000,00 R$ 250.000,00
8 R$ 100.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ 200.000,00
9 R$ 90.000,00 R$ 40.000,00 R$ 50.000,00 R$ 150.000,00
10 R$ 80.000,00 R$ 30.000,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00
11 R$ 70.000,00 R$ 20.000,00 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00
12 R$ 60.000,00 R$ 10.000,00 R$ 50.000,00 R$ 0,00
R$ 1.380.000,00 R$ 780.000,00 R$ 600.000,00
39. Sistema de SAC com prazo de carência
Da mesma forma que acontece na tabela price, podemos
considerar três casos.
Quando isso acontece, devemos considerar três casos:
1. Durante a carência o mutuário paga apenas os juros da
dívida, não havendo, portanto, amortização desta.
2. Durante a carência o mutuário não paga os juros da
dívida, estes serão capitalizados e incorporados à dívida,
para serem amortizados nas prestações.
3. A carência é apenas um incentivo para o mutuário na
negociação, não havendo cobrança por isso. (Não
conheço nenhum caso na prática.
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39 39
a) Refaça o exercício anterior atribuindo a carência de dois
anos nos dois casos previstos principais (considerando o
juro e capitalizando e montando um novo capital.
Parte 01
Referências Bibliográficas:
Matemática Comercial e Financeira – Antônio Arnot Crespo
Matemática Financeira com uso do Excel e Hp 12 C – Lúcio Magno
Pires
Matemática Elementar Coleção vol 1 – Gelson Iezzi
Matemática Elementar Coleção vol 2 – Gelson Iezzi
Guia do Usuário Hp 12c – 5º edição – Hp do Brasil.
RIKEY PAULO PIRES FELIX