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MANUAL DE FÓRMULAS TÉCNICAS 1
FORMATADO POR WANDER RODRIGUES
CÁLCULO INTEGRAL Definição de Integração Integração: operação inversa da derivação. O cálculo integral tem por objetivo achar uma função F(x) tal que a derivada F’(x) seja igual a uma função dada f(x).
)()()(' xfdx
xdFxF ==
donde, por integração “A integral indefinida”
∫ += CxFdxxf )()( A constante de integração C desaparece no momento da derivação, pois a derivada de uma constante é nula. Interpretação geométrica da integral definida
Como a figura indica, há uma infinidade de curvas y = F(x) de inclinação y’ = f(x). Todas as curvas são idênticas mas deslocadas paralelamente ao eixo y. A todo valor de C corresponde uma só curva. Se a curva passa por um ponto (xo, yo), encontra-se:
)( oo xFyC −=
KURT GIECK 2
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“A integral definida” A forma geral da integral definida é:
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
−==∫
Diz-se então que se integra entre os limites a e b: introduzir x = b, depois x = a em F(x) e subtrai o segundo valor do primeiro. Integração – Regras Gerais
∫ −≠++
=+
1,1
1
nseCnxdxx
nn
∫ += Cxxdx ln
[ ]∫ ∫ ∫±=± dxxvdxxudxxvxu )()()()(
∫ += Cxudxxuxu )(ln)()('
[ ]∫ += Cxudxxuxu 2)(21)(').(
Integração por Partes
∫ ∫−= dxxvxuxvxudxxvxu )().(')().()(').( Método de substituição
∫ ∫= dzzzfdxxf )(.)]([)( ϕϕ onde )(zx ϕ= e dzzdx )('ϕ= Exemplo:
dxxxF 53)( −=
Façamos , onde zx =− 53 3' ==dxdzz
Obtém-se 3dzdx = , integral em função de z:
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∫ +== CzzdzzxF92
31)(
Substituindo z por seu valor
CxxxF +−−= 53)53(92)(
Integrais Fundamentais (sem a constante de integração C)
∫ = xx edxe xxxdxx −=∫ lnln
∫ =a
adxax
x
ln ∫ −=
−)ln( ax
axdx
∫ ≠−−
−=
−−)(ln1
))((ba
bxax
babxaxdx
∫ ≠−−
−=− − )1(
))(1(1
)( 1 naxnax
dxnn
)(ln21coth1
22 axaxax
aaxar
aaxdx
>+−
=−=−∫
)(ln21arctan1
22 axxaxa
aax
axadx
<−+
==−∫
∫ =+ a
xaax
dx arctan122 )(ln
21 22
22 axax
xdx+=
+∫
∫ ++
=+ a
xaaxa
xax
dx arctan21
)(2)( 3222222
∫ ∫ −− +−−
++−
=+ 1222122222 )()1(2
32))(1(2)( nnn ax
dxna
naxna
xax
dx
3
32 xdxx =∫ x
xdx 2=∫
∫ =− a
xarcsenxa
dx22
∫ +=+
baxabax
dx 2
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∫ −+==−
22
22(lnarccos axx
axh
ax
dx
∫ ++==+
22
22(lnarccos axx
axh
ax
dx
∫ +−=−axarcsenaxaxdxxa
22
22222
∫ −−=−axhaaxxdxax arccos
22
22222
∫ ++=+axarcsenhaaxxdxax
22
22222
xdxxsen cos−=∫
)2(41
22 xsenxdxxsen −=∫
)3(cos121cos
433 xxdxxsen +−=∫
dxxsenn
nxsenxn
dxxsen nnn ∫∫ −− −+−= 21 1.cos1
)(cos1)( axa
dxaxsen −=∫
xsendxx =∫ cos
)2(41
2cos2 xsenxdxx +=∫
)3(121
43cos3 xsenxsendxx +=∫
dxxn
nxxsenn
dxx nnn ∫∫ −− −+= 21 cos1cos.1cos
)(1)(cos axsena
dxax =∫
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∫ −= xdxx coslntan ∫ −= )(cosln1)(tan axa
dxax
∫ −= xxdxx tantan 2
∫ ∫ ≠−−
= −−
)1(tan1
tantan 21
ndxxn
xdxx nn
n
∫ = xsendxx lncot ∫ = )(ln1)(cot axsena
dxax
∫ −= xxdxx cotcot 2
∫ ∫ ≠−−
−= −−
)1(cot1
cotcot 21
ndxxn
xdxx nn
n
∫ =2
tanln xxsen
dx ∫ −= xxsen
dx cot2
∫ ∫ ≠−−
+−
−= −− )1(12cos.
11
21 nxsen
dxnn
xsenx
nxsendx
nnn
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
42tanln
cosπx
xdx ∫ = x
xdx tan
cos2
∫ ∫ ≠−−
+−
= −− )1(cos1
2cos
.1
1cos 21 n
xdx
nn
xxsen
nxdx
nnn
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+ 42tan
1πx
xsendx ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
− 42cot
1πx
xsendx
∫ =+ 2
tancos1
xx
dx ∫ −=− 2
cotcos1
xx
dx
)()(2
)()(2
)()()( bababxaxsen
babxaxsendxbxsenaxsen ≠
−−
+++
−=∫
)()(2
)(cos)(2
)(cos)(cos)( bababxax
babxaxdxbxaxsen ≠
−−
−++
−=∫
)()(2
)()(2
)()(cos)(cos bababxaxsen
babxaxsendxbxax ≠
−−
+++
=∫
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dxaxxanax
axdxaxsenx n
nn )(cos)(cos)( 1∫∫ −+−=
dxaxsenxanaxsen
axdxaxx n
nn )()()(cos 1∫∫ −−=
21. xxarcsenxdxxarcsen −+=∫
21arccos.arccos xxxdxx −−=∫
)1ln(21arctan.arctan 2xxxdxx +−=∫
)1ln(21cot.cot 2xxarcxdxxarc ++=∫
∫ = xdxxsenh cosh
∫ −=2
)2(412 xxsenhdxxsenh
∫ ∫ −− −−= dxxsenh
nnxsenhx
ndxxsenh nnn 21 1.cosh1
∫ = )(cosh1)( axa
dxaxsenh
∫ = xsenhdxxcosh
∫ +=2
)2(41cosh 2 xxsenhdxx
∫ ∫ −− −+= dxx
nnxxsenh
ndxx nnn 21 cos1cosh.1cosh
∫ = )(1)(cosh axsenha
dxax
∫ = xdxx coshlntanh
∫ −= xxdxx tanhtanh 2
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∫ ∫ ≠+−
−= −− )1(tanhtanh1
1tanh 21 ndxxxn
dxx nnn
∫ = )(coshln1)(tanh axa
dxax
∫ = xsenhdxx lncoth
∫ −= xxdxx cothcoth 2
∫ ∫ ≠+−
−= −− )1(cothcoth1
1coth 21 ndxxxn
dxx nnn
∫ = )(ln1)(coth axsenha
dxax
∫ =2
tanhln xxsenh
dx
∫ −= xxsenh
dx coth2
∫ = xex
dx arctan2cosh
∫ = xx
dx tanhcosh 2
∫ +−= 1. 2xxarcsenhxdxxarcsenh
∫ −−= 1arccos.arccos 2xxhxdxxh
( )∫ −+= 21ln21arctan.arctan xxhxdxxh
( )∫ −+= 1ln21coth.coth 2xxarcxdxxarc
∫ ∫ −−+
+−
++
= dxxxsennm
nxxsennm
dxxxsen nmnmnm 211 cos.1cos.1cos.
Para n ímpar, a integral restante vale: